--- title: "Construções geométricas" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 33 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/33-construcoes-geometricas --- # Capítulo 33 — Construções geométricas Régua, esquadro, compasso: com essas três ferramentas e um pouco de método, qualquer figura descrita em palavras pode ser construída com exatidão. Este capítulo constrói [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-def), [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-def), triângulos e os [quadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) especiais — primeiro o ofício, depois a teoria (Capítulos [40](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#ch-g6-lines) e [41](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#ch-g6-shapes)). ## 33.1 Perpendiculares e paralelas por um ponto **Método 33.1 (As duas construções básicas).** *Perpendicular a $d$ por $A$*: deslize o esquadro ao longo de $d$ até a outra borda do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) alcançar $A$; trace; marque o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle). *Paralela a $d$ por $A$*: encoste uma régua no esquadro, servindo de trilho apoiado em $d$; deslize o esquadro até $A$; trace. (Conferência: a distância entre as duas retas é a mesma em toda parte.) **Exemplo 33.2 (Encadear construções).** Muitas figuras são cadeias desses dois movimentos. Um retângulo $ABCD$ com $AB = 5$ cm e $BC = 3$ cm: trace $[AB]$; perpendicular em $A$; perpendicular em $B$; marque $D$ e $C$ a $3$ cm do mesmo lado; ligue. Cada passo é uma construção básica. ## 33.2 Triângulos com o compasso **Método 33.3 (Triângulo a partir de três lados).** Para construir um triângulo de lados $6$ cm, $5$ cm e $4$ cm: 1. trace o lado mais longo, $[AB]$ com $AB = 6$ cm; 2. arco de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm; 3. arco de centro $B$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; 4. o cruzamento deles é o terceiro [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $C$ ; ligue. O compasso garante os comprimentos: todo ponto do primeiro arco está a exatamente $5$ cm de $A$. ![Dois arcos, um cruzamento: o triângulo 6–5–4 construído com o compasso. (Se os dois lados curtos juntos fossem menores que a base, os arcos não se encontrariam — mais sobre isso no .)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-b167d3504da4.svg) *Dois arcos, um cruzamento: o triângulo $6$–$5$–$4$ construído com o compasso. (Se os dois lados curtos juntos fossem menores que a base, os arcos não se encontrariam — mais sobre isso no [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#ch-g7-triangles).)* **Exemplo 33.4 (Isósceles e equilátero de graça).** Mesma abertura de compasso nos dois arcos $\Rightarrow$ triângulo isósceles. Abertura igual à base $\Rightarrow$ equilátero. O compasso não mede: ele *copia* comprimentos, o que é ainda melhor. ## 33.3 Os quadriláteros especiais, por construção **Método 33.5 (Construir a família).** 1. *Retângulo* : dois pares de [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-def) que se cruzam em [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) — ou a cadeia do [Exemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain) ; 2. *quadrado* : um retângulo cujos quatro lados usam o mesmo comprimento — transporte-o com o compasso; 3. *losango* : quatro lados iguais — trace um lado e depois dois arcos de compasso a partir das pontas dele, com a mesma abertura, para fixar os outros dois [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (um losango são dois triângulos isósceles colados por uma diagonal). Depois de construir, *confira* sempre com as ferramentas: esquadro nos cantos, compasso nos lados. **Exemplo 33.6 (Reconhecer a partir de uma descrição).** “Um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com quatro lados de $4$ cm e um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)” — construa: os quatro lados iguais forçam um formato de losango, e empurrar um canto para o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) endireita todos os outros: o resultado é um quadrado. Algumas descrições descrevem, sem dizer, uma forma mais especial do que anunciam. (Por que o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) se espalha pelos quatro cantos é explicado no [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central).) ## 33.4 Círculos nas construções **Exemplo 33.7 (O círculo como ferramenta).** “Encontre todos os pontos a $3$ cm de $A$”: o círculo de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. “Encontre todos os pontos a $3$ cm de $A$ *e* a $4$ cm de $B$”: trace os dois círculos; os cruzamentos deles (dois, um ou nenhum ponto) são as respostas. Mapas de tesouro e construções de triângulos usam exatamente essa ideia. ## 33.5 Exercícios **Exercício 33.1 ★.** Trace uma reta $d$ e um ponto $A$ a uns $3$ cm dela. Construa a perpendicular a $d$ por $A$ e depois a paralela a $d$ por $A$. Marque os [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle). **Solução de Exercício 33.1.** As duas construções seguem o [Método 33.1](#met-g5-geometry-basic); a perpendicular e a paralela por $A$ são, elas próprias, [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-def) entre si. **Exercício 33.2 ★.** Construa um retângulo $ABCD$ com $AB = 7$ cm e $BC = 4$ cm, seguindo o [Exemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Confira o quarto ângulo com o esquadro: se a construção for exata, ele é reto automaticamente. **Solução de Exercício 33.2.** Cadeia de [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-def) como no [Exemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Se os três ângulos construídos forem exatamente retos e os comprimentos exatos, o quarto ângulo não tem escolha senão ser reto também — um retângulo bem construído se confere sozinho. **Exercício 33.3 ★.** Construa um triângulo de lados $7$ cm, $6$ cm e $3$ cm ([Método 33.3](#met-g5-geometry-triangle)). **Solução de Exercício 33.3.** Base $[AB]$ de $7$ cm; arcos de [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm (a partir de $A$) e $3$ cm (a partir de $B$); o cruzamento é $C$. **Exercício 33.4 ★.** Construa um triângulo isósceles de base $5$ cm e lados iguais de $7$ cm; depois um triângulo equilátero de lado $6$ cm. **Solução de Exercício 33.4.** Isósceles: base $5$ cm, os dois arcos com a mesma abertura de $7$ cm. Equilátero: base $6$ cm, os dois arcos com abertura de $6$ cm. **Exercício 33.5 ★.** Construa um quadrado de lado $5$ cm. Que ferramentas garantem os [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)? Quais garantem os lados iguais? **Solução de Exercício 33.5.** O esquadro garante os [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle); o compasso (ou a régua) transporta o lado de $5$ cm para os quatro lados. **Exercício 33.6 ★.** Construa um losango de lado $4$ cm que não seja um quadrado (escolha você mesmo a abertura do primeiro canto). Confira os quatro lados com o compasso. **Solução de Exercício 33.6.** Trace um lado $[AB]$ de $4$ cm, escolha uma direção para $[AD]$ (não perpendicular, para não sair um quadrado), com $AD = 4$ cm; depois arcos de $4$ cm a partir de $B$ e de $D$ se cruzam em $C$. O compasso confirma os quatro lados iguais. **Exercício 33.7 ★.** Marque dois pontos $A$ e $B$ com $AB = 5$ cm. Construa todos os pontos que estão a $4$ cm de $A$ e a $3$ cm de $B$. Quantos são? **Solução de Exercício 33.7.** O círculo de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e o círculo de centro $B$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm se cruzam em *dois* pontos (um acima e um abaixo da reta $(AB)$), porque $4 + 3 > 5$ e os círculos se sobrepõem. **Exercício 33.8 ★.** Escreva um programa de construção (passos numerados, pontos com nome) para um retângulo de $6$ cm $\times$ $2$ cm encimado por um triângulo isósceles de lados iguais de $4$ cm (o formato de um lápis). Peça a um colega que o execute. **Solução de Exercício 33.8.** Um programa correto: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 6$ cm (embaixo) e $BC = 2$ cm. 2. Trace dois arcos de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm com centros em $D$ e em $C$ (os cantos de cima); chame de $S$ o cruzamento deles acima do retângulo. 3. Trace $[DS]$ e $[CS]$.” (A ponta do lápis é o triângulo isósceles $DSC$.) **Exercício 33.9 ★★.** Tente construir um triângulo de lados $8$ cm, $3$ cm e $4$ cm. O que acontece com os arcos? Explique em uma frase por que esse triângulo não pode existir. **Solução de Exercício 33.9.** Os arcos de [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm e $4$ cm, traçados a partir das duas pontas da base de $8$ cm, nunca se encontram: mesmo emendados, $3 + 4 = 7$ cm não atravessam $8$ cm. Dois lados juntos têm de ser sempre maiores que o terceiro — senão o triângulo não fecha. **Exercício 33.10 ★★.** Construa um losango cujas diagonais meçam $6$ cm e $4$ cm, sabendo que as diagonais de um losango se cruzam nos seus meios formando [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle): trace *primeiro* as diagonais e depois ligue as quatro pontas. **Solução de Exercício 33.10.** Trace um segmento de $6$ cm e o ponto médio $O$ dele; trace a perpendicular em $O$; marque nela dois pontos a $2$ cm de $O$ (um de cada lado); ligue as quatro pontas em ordem. O compasso confirma os quatro lados iguais. **Exercício 33.11 ★★.** Uma cabra está amarrada a uma estaca $A$ por uma corda de $4$ m, num campo plano com uma cerca reta passando a $3$ m de $A$. Faça uma planta (1 cm por metro): que região a cabra consegue alcançar? Onde a cerca a limita? **Solução de Exercício 33.11.** Na planta, a cabra alcança o disco de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm, cortado pela linha da cerca a $3$ cm de $A$: a região dela é o disco menos a fatia que fica além da cerca. Ao longo da cerca ela pode pastar num segmento (onde o círculo cruza a linha da cerca); além disso, nada.