--- title: "Cubos e blocos retangulares" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 35 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares --- # Capítulo 35 — Cubos e blocos retangulares Saindo da página plana: os [sólidos](#def-g5-solids-def) são as formas do mundo real — dados, caixas de cereal, latas, bolas. Este capítulo aprende a nomeá-los, a contar as [faces](#def-g5-solids-def) e as [arestas](#def-g5-solids-def) deles, a desdobrá-los em planificações e a medir o [volume](#def-g5-solids-volume) contando cubinhos. (As fórmulas de [volume](#def-g5-solids-volume) vêm no [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#ch-g6-measure).) ## 35.1 A família dos sólidos **Definição 35.1 (Os sólidos e o vocabulário deles).** Um *sólido* ocupa espaço. Os lados planos são as *faces*; as faces se encontram nas *arestas*; as arestas se encontram nos *vértices*. Os retratos de família: - o *cubo* : $6$ faces quadradas, $12$ arestas, $8$ vértices; - o *bloco retangular* (prisma de base retangular): $6$ faces retangulares, $12$ arestas, $8$ vértices; - o *cilindro* : duas faces em forma de disco e uma face enrolada (uma lata); - a *pirâmide* : uma base poligonal e triângulos que se encontram num ápice; - a *bola* (esfera): uma superfície perfeitamente redonda, sem face e sem aresta. ![A galeria dos sólidos. As linhas tracejadas mostram as arestas escondidas — o fundo do sólido, visto através dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-1719d244d1c5.svg) *A galeria dos [sólidos](#def-g5-solids-def). As linhas tracejadas mostram as [arestas](#def-g5-solids-def) escondidas — o fundo do [sólido](#def-g5-solids-def), visto através dele.* **Exemplo 35.2 (Contar no cubo).** Confira num dado: $6$ [faces](#def-g5-solids-def) (os números de $1$ a $6$), $8$ [vértices](#def-g5-solids-def) (os cantos), $12$ [arestas](#def-g5-solids-def) (passe o dedo por elas: $4$ em cima, $4$ embaixo, $4$ verticais). E $6 + 8 = 12 + 2$ — o mesmo padrão curioso vale para o bloco e para a [pirâmide](#def-g5-solids-def) (o [Exemplo 62.2](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#ex-g8-solids-count) volta a ele). ## 35.2 Planificações **Definição 35.3 (Planificação).** Uma *planificação* de um [sólido](#def-g5-solids-def) é um desenho plano de todas as [faces](#def-g5-solids-def) dele, unidas pelas [arestas](#def-g5-solids-def), que se dobra e forma o [sólido](#def-g5-solids-def) — o [sólido](#def-g5-solids-def) desembrulhado, como uma caixa de papelão achatada para a reciclagem. ![Três arranjos de seis quadrados. Os dois primeiros se dobram num cubo; o terceiro não — ao dobrar, dois quadrados caem sobre a mesma face e o cubo fica aberto. Recorte e experimente!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-13abbaf41bbb.svg) *Três arranjos de seis quadrados. Os dois primeiros se dobram num [cubo](#def-g5-solids-def); o terceiro não — ao dobrar, dois quadrados caem sobre a mesma [face](#def-g5-solids-def) e o [cubo](#def-g5-solids-def) fica aberto. Recorte e experimente!* **Exemplo 35.4 (Ler uma planificação).** Num dado, as [faces](#def-g5-solids-def) opostas somam $7$. Na [planificação](#def-g5-solids-net), as [faces](#def-g5-solids-def) opostas são as separadas por exatamente um quadrado numa fileira (ou dobrando um canto) — não as vizinhas! Marcar os pares na [planificação](#def-g5-solids-net) antes de dobrar é um ótimo exercício de enxergar o espaço no plano. ## 35.3 Volume: contar cubinhos **Definição 35.5 (Volume por contagem).** O *volume* de um [sólido](#def-g5-solids-def) montado com cubinhos unitários é o número de cubinhos que ele contém. A unidade pode ser o centímetro cúbico (cm$^3$) ou o metro cúbico (m$^3$). **Exemplo 35.6 (Contar um bloco camada por camada).** Um bloco com $4$ cubinhos de comprimento, $3$ de largura e $2$ de altura: a camada de baixo leva $4 \times 3 = 12$ cubinhos, e há $2$ camadas: $$ 12 \times 2 = 24 \text{ cubinhos} . $$ Contar por camadas sempre funciona — e demonstra discretamente a fórmula $V = L \times w \times h$ do [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#ch-g6-measure). ![Um bloco 4 × 3 × 2 de cubinhos unitários, contado camada por camada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-219ab07a3941.svg) *Um bloco $4 \times 3 \times 2$ de cubinhos unitários, contado camada por camada.* **Exemplo 35.7 (Os mesmos cubinhos, formas diferentes).** Oito cubinhos unitários montam um [cubo](#def-g5-solids-def) $2 \times 2 \times 2$, um bastão $8 \times 1 \times 1$ ou uma laje $4 \times 2 \times 1$: três [sólidos](#def-g5-solids-def) diferentes, um só [volume](#def-g5-solids-volume) ($8$ cubinhos). O [volume](#def-g5-solids-volume) conta o material, não a forma. ## 35.4 Exercícios **Exercício 35.1 ★.** Dê o nome de um objeto real com o formato de: um [cubo](#def-g5-solids-def); um [bloco retangular](#def-g5-solids-def); um [cilindro](#def-g5-solids-def); uma bola; uma [pirâmide](#def-g5-solids-def). **Solução de Exercício 35.1.** Por exemplo: um dado ([cubo](#def-g5-solids-def)); uma caixa de cereal ([bloco retangular](#def-g5-solids-def)); uma lata ([cilindro](#def-g5-solids-def)); uma bola de futebol (bola); certos telhados ou os monumentos do Egito ([pirâmide](#def-g5-solids-def)). **Exercício 35.2 ★.** Quantas [faces](#def-g5-solids-def), [arestas](#def-g5-solids-def) e [vértices](#def-g5-solids-def) tem um [bloco retangular](#def-g5-solids-def)? Confira o padrão [faces](#def-g5-solids-def) $+$ [vértices](#def-g5-solids-def) $=$ [arestas](#def-g5-solids-def) $+ 2$. **Solução de Exercício 35.2.** Um [bloco retangular](#def-g5-solids-def) tem $6$ [faces](#def-g5-solids-def), $12$ [arestas](#def-g5-solids-def) e $8$ [vértices](#def-g5-solids-def) — e $6 + 8 = 12 + 2$. ✓ **Exercício 35.3 ★.** Que [faces](#def-g5-solids-def) de um [bloco retangular](#def-g5-solids-def) são idênticas? (Agrupe as seis [faces](#def-g5-solids-def) em pares.) O que há de especial nas [faces](#def-g5-solids-def) do [cubo](#def-g5-solids-def)? **Solução de Exercício 35.3.** As seis [faces](#def-g5-solids-def) vêm em três pares de [faces](#def-g5-solids-def) opostas idênticas (cima–baixo, frente–fundo, esquerda–direita). Num [cubo](#def-g5-solids-def), as seis [faces](#def-g5-solids-def) são quadrados idênticos. **Exercício 35.4 ★.** Trace uma [planificação](#def-g5-solids-net) de um [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $2$ cm (use o modelo em forma de cruz do capítulo), recorte-a e dobre-a. **Solução de Exercício 35.4.** [Planificação](#def-g5-solids-net) em cruz: quatro quadrados de $2$ cm numa fileira, um acima e um abaixo do segundo quadrado. Dobrar o anel de quatro forma as laterais; os dois quadrados extras fecham o topo e o fundo. **Exercício 35.5 ★.** Na [planificação](#def-g5-solids-net) em cruz de um dado, coloque os números de $1$ a $6$ de modo que as [faces](#def-g5-solids-def) opostas somem $7$. (Use o [Exemplo 35.4](#ex-g5-solids-read) para achar antes os pares opostos.) **Solução de Exercício 35.5.** Na [planificação](#def-g5-solids-net) em cruz (quatro quadrados numa fileira, um acima e um abaixo do segundo), os pares opostos são: os quadrados $1$ e $3$ da fileira; os quadrados $2$ e $4$ da fileira; o quadrado de cima e o de baixo. Uma numeração correta: fileira $= 1, 2, 6, 5$; cima $= 3$; baixo $= 4$ — aí $1{+}6$, $2{+}5$ e $3{+}4$ dão todos $7$. **Exercício 35.6 ★.** Conte os cubinhos unitários: um bloco de $5$ de comprimento, $2$ de largura e $3$ de altura; um [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $3$; uma pilha em forma de L feita de uma laje $3 \times 2 \times 1$ com uma laje $1 \times 2 \times 1$ em cima. **Solução de Exercício 35.6.** Bloco: $5 \times 2 = 10$ por camada, $3$ camadas: $30$ cubinhos. [Cubo](#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$. Pilha em L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ mais $1 \times 2 \times 1 = 2$: $8$ cubinhos. **Exercício 35.7 ★.** Um bloco leva exatamente $12$ cubinhos unitários numa camada. Dê dois formatos possíveis de camada ($L \times w$) e, para cada um, o [volume](#def-g5-solids-volume) do bloco se ele tiver $3$ camadas dessas. **Solução de Exercício 35.7.** Camadas de $12$: por exemplo $4 \times 3$ ou $6 \times 2$ (ou $12 \times 1$). Com $3$ camadas, o [volume](#def-g5-solids-volume) é $12 \times 3 = 36$ cubinhos em qualquer caso. **Exercício 35.8 ★.** Com $27$ cubinhos unitários, que [cubo](#def-g5-solids-def) você consegue montar? E com $64$? (Pense na contagem por camadas ao contrário.) **Solução de Exercício 35.8.** $27 = 3 \times 3 \times 3$: um [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $3$. $64 = 4 \times 4 \times 4$: um [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $4$. **Exercício 35.9 ★★.** Torrões de açúcar de lado $1$ cm vêm numa caixa de $10$ cm de comprimento, $5$ cm de largura e $4$ cm de altura (medidas internas). Quantos torrões cabem? Se uma família usa $6$ torrões por dia, para quantos dias dura uma caixa (arredonde com bom senso)? **Solução de Exercício 35.9.** A caixa leva $10 \times 5 \times 4 = 200$ torrões de açúcar. A $6$ por dia: $200 = 6 \times 33 + 2$, então a caixa dura $33$ dias completos (e sobram $2$ torrões para a manhã do dia $34$). **Exercício 35.10 ★★.** Um [cubo](#def-g5-solids-def) $3 \times 3 \times 3$ é pintado de vermelho por fora e depois cortado em $27$ cubinhos unitários. Quantos cubinhos têm tinta em exatamente $3$ [faces](#def-g5-solids-def)? Em $2$? Em $1$? Em nenhuma? (Confira: as quatro contagens têm de somar $27$.) **Solução de Exercício 35.10.** Tinta em $3$ [faces](#def-g5-solids-def): os $8$ cubinhos dos cantos. Em $2$ [faces](#def-g5-solids-def): os do meio das $12$ [arestas](#def-g5-solids-def): $12$ cubinhos. Em $1$ [face](#def-g5-solids-def): os do centro das $6$ [faces](#def-g5-solids-def): $6$ cubinhos. Em nenhuma: o único cubinho escondido no centro: $1$. Confere: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. ✓