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title: "Números naturais"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 37
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais
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# Capítulo 37 — Números naturais

Tudo em matemática começa contando. Este capítulo revê como os números naturais são escritos, comparados e combinados — e examina com atenção a divisão, a operação que dá ao mesmo tempo um [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) *e* um [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder).

## 37.1 Escrever e comparar números naturais

**Definição 37.1 (Valor posicional).**

O nosso jeito de escrever números usa dez algarismos ($0$ a $9$), e o *valor de um algarismo depende da posição dele*: em $5\,208$, o algarismo $5$ conta milhares, o $2$ conta centenas, o $0$ conta dezenas (não há nenhuma) e o $8$ conta unidades:

$$
5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .
$$

![O quadro de valor posicional de 5\,208. O 0 importa: sem ele, o 5 e o 2 escorregariam para as colunas erradas e o número se leria 528.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-83a6931b915e.svg)

*O quadro de [valor posicional](#def-g6-wholes-place) de $5\,208$. O $0$ importa: sem ele, o $5$ e o $2$ escorregariam para as colunas erradas e o número se leria $528$.*

**Método 37.2 (Comparar dois números naturais).**

1. O número com mais algarismos é o maior ( $1\,203 > 989$ ).
2. Se tiverem a mesma quantidade de algarismos, compare algarismo por algarismo a partir da *esquerda* ; a primeira [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) decide: $6\,742 > 6\,715$ porque, na casa das dezenas, $4 > 1$ .

Os símbolos são $<$ (“menor que”) e $>$ (“maior que”); a ponta fina do símbolo aponta para o número menor.

**Exemplo 37.3.**

Ordene do menor para o maior: $908$; $89$; $1\,001$; $980$. Primeiro pela quantidade de algarismos: $89$ (dois algarismos) vem na frente e $1\,001$ (quatro algarismos) no fim. Entre $908$ e $980$: mesmo algarismo das centenas, $9$; depois, nas dezenas, $0 < 8$, logo $908 < 980$. Resposta final:

$$
89 < 908 < 980 < 1\,001 .
$$

![Os números moram numa reta: menor significa mais à esquerda. Cada traço aqui vale 100.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-9fc3a4fd334b.svg)

*Os números moram numa reta: menor significa mais à esquerda. Cada traço aqui vale $100$.*

## 37.2 Adição, subtração, multiplicação

**Exemplo 37.4 (Contas armadas).**

Para somar ou subtrair, alinhe as unidades sob as unidades e as dezenas sob as dezenas, e trabalhe da direita para a esquerda, levando o vai-um quando for preciso:

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
+\ 2\,8\,6 \\
\hline
7\,4\,3
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
6\,0\,3 \\
-\ 1\,4\,7 \\
\hline
4\,5\,6
\end{array}
$$

Na adição: $7 + 6 = 13$, escreva $3$, vai $1$; depois $5 + 8 + 1 = 14$, escreva $4$, vai $1$; depois $4 + 2 + 1 = 7$. Confira a subtração somando de volta: $456 + 147 = 603$.

**Observação 37.5 (Vocabulário).**

O resultado de uma adição é uma *soma*; o de uma subtração, uma *diferença*; o de uma multiplicação, um *produto*; o de uma divisão, um *quociente*. Os números que estão sendo combinados são os *termos* (em $+$ e $-$) ou os *fatores* (em $\times$).

**Exemplo 37.6 (Cálculo esperto).**

Reordenar termos ou fatores muitas vezes poupa trabalho:

$$
17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,
$$

$$
25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .
$$

## 37.3 Divisão

**Teorema 37.7 (Divisão euclidiana).**

Dados dois números naturais $a$ (o *dividendo*) e $b \neq 0$ (o *[divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple)*), existe exatamente uma maneira de escrever

$$
a = b \times q + r
\qquad\text{com}\qquad
0 \leq r < b .
$$

O número $q$ é o *quociente* e $r$ é o *resto* da divisão de $a$ por $b$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 37.8.**

Vamos dividir $137$ por $4$, passo a passo.

1. Quantas vezes o $4$ cabe em $13$ ? Três vezes ( $4 \times 3 = 12$ ), com [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $13 - 12 = 1$ .
2. Baixe o $7$ : quantas vezes o $4$ cabe em $17$ ? Quatro vezes ( $4 \times 4 = 16$ ), com [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $1$ .

Logo $q = 34$ e $r = 1$:

$$
137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{e de fato } 0 \leq 1 < 4 .
$$

Conferência: $4 \times 34 = 136$, e $136 + 1 = 137$.

![Dividindo 137 por 4: cabem 34 grupos completos de 4 (chegando a 136), e sobra 1 — o resto é sempre menor que o divisor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-cb760413b300.svg)

*Dividindo $137$ por $4$: cabem $34$ grupos completos de $4$ (chegando a $136$), e sobra $1$ — o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é sempre menor que o [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple).*

**Definição 37.9 (Divisível).**

Quando o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é $0$, dizemos que $a$ é *divisível* por $b$: por exemplo, $135$ é divisível por $5$, pois $135 = 5 \times 27 + 0$.

**Método 37.10 (Problemas com divisão).**

Depois de calcular $a = bq + r$, volte sempre à pergunta:

1. “Quantas caixas / equipes / páginas completas?” — a resposta é o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $q$ ;
2. “Quantos sobram?” — a resposta é o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $r$ ;
3. “Quantas caixas são necessárias para todos?” — se $r > 0$ , uma a *mais* que o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) : $q + 1$ .

**Exemplo 37.11.**

$137$ alunos vão a um passeio em ônibus de $40$ lugares. Divisão: $137 = 40 \times 3 + 17$. Três ônibus levam $120$ alunos e sobram $17$ alunos — que também precisam de ônibus! Logo são necessários $4$ ônibus, mesmo com o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) sendo $3$.

## 37.4 Exercícios

**Exercício 37.1 ★.**

Escreva em algarismos: “três mil e quarenta e sete”; “vinte mil e quinhentos”; “cento e quatro”. Depois escreva $60\,013$ por extenso.

**Solução de Exercício 37.1.**

$3\,047$; $20\,500$; $104$. $60\,013$: “sessenta mil e treze”.

**Exercício 37.2 ★.**

No número $47\,209$: qual é o algarismo das centenas? E o das unidades? O que conta o algarismo $4$? Escreva o número como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $1$, $10$, $100$, … como na [Definição 37.1](#def-g6-wholes-place).

**Solução de Exercício 37.2.**

Algarismo das centenas: $2$; algarismo das unidades: $9$; o $4$ conta as dezenas de milhar. Decomposição:

$$
47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10
+ 9 .
$$

**Exercício 37.3 ★.**

Copie e complete com $<$ ou $>$:

$$
507 \;?\; 570, \qquad
1\,099 \;?\; 989, \qquad
23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad
9\,999 \;?\; 10\,000 .
$$

**Solução de Exercício 37.3.**

$507 < 570$ (dezenas: $0 < 7$); $1\,099 > 989$ (quatro algarismos vencem três); $23\,456 < 23\,465$ (dezenas: $5 < 6$); $9\,999 < 10\,000$ (quatro algarismos contra cinco).

**Exercício 37.4 ★.**

Ordene do menor para o maior: $2\,043$; $978$; $2\,304$; $2\,034$; $1\,001$.

**Solução de Exercício 37.4.**

Pela quantidade de algarismos, $978$ e $1\,001$ vêm antes dos três números de quatro algarismos começados por $2$; entre esses, compare as dezenas e as unidades: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$. Ordem final:

$$
978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .
$$

**Exercício 37.5 ★.**

Arme as contas e calcule: $348 + 576$; $805 - 268$; $307 \times 26$. Confira a subtração com uma adição.

**Solução de Exercício 37.5.**

$348 + 576 = 924$; $805 - 268 = 537$ (confere: $537 + 268 = 805$); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6
= 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$.

**Exercício 37.6 ★.**

Calcule de modo esperto, agrupando termos ou fatores:

$$
38 + 45 + 12 + 5, \qquad
2 \times 83 \times 50, \qquad
4 \times 78 \times 25 .
$$

**Solução de Exercício 37.6.**

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$.

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 =
8\,300$.

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 =
7\,800$.

**Exercício 37.7 ★.**

Para cada divisão, dê o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) e o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder), e escreva a igualdade $a = b \times q + r$:

$$
95 \div 7, \qquad
230 \div 6, \qquad
504 \div 8 .
$$

**Solução de Exercício 37.7.**

$95 = 7 \times 13 + 4$ ([quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $13$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $4$).

$230 = 6 \times 38 + 2$ ([quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $38$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $2$).

$504 = 8 \times 63 + 0$ ([quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $63$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$: $504$ é [divisível](#def-g6-wholes-divisible) por $8$).

**Exercício 37.8 ★.**

Sem dividir, explique por que a igualdade $173 = 8 \times 20 + 13$ *não* é a divisão euclidiana de $173$ por $8$, e encontre o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) e o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) corretos.

**Solução de Exercício 37.8.**

A igualdade é verdadeira, mas o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $13$ *não* é menor que o [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) $8$, então não é a divisão euclidiana. Tire mais um $8$ do [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder): $173 = 8 \times 21 + 5$, com $0 \leq 5 < 8$: [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $21$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $5$.

**Exercício 37.9 ★★.**

Os ovos são embalados em caixas de $12$.

1. Uma granja tem $2\,000$ ovos. Quantas caixas completas ela consegue encher, e quantos ovos sobram?
2. Uma padaria precisa de $150$ ovos. Quantas caixas ela tem de comprar?

**Solução de Exercício 37.9.**

*1.* $2\,000 = 12 \times 166 + 8$: a granja enche $166$ caixas completas e sobram $8$ ovos.

*2.* $150 = 12 \times 12 + 6$: doze caixas contêm apenas $144$ ovos, o que não basta. A padaria tem de comprar $13$ caixas.

**Exercício 37.10 ★★.**

Hoje é terça-feira. Que dia da semana será daqui a $100$ dias? (A semana tem $7$ dias: divida e pense no [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder).)

**Solução de Exercício 37.10.**

$100 = 7 \times 14 + 2$: cem dias são $14$ semanas completas e mais $2$ dias. Catorze semanas depois é de novo uma terça-feira; dois dias depois de uma terça-feira é uma *quinta-feira*.

**Exercício 37.11 ★★.**

Numa divisão por $9$, o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é $56$ e o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é o maior possível. Qual é o dividendo?

**Solução de Exercício 37.11.**

O maior [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) possível numa divisão por $9$ é $8$ (o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) tem de ser menor que o [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple)). Então o dividendo é

$$
9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .
$$

**Exercício 37.12 ★★★.**

Sou um número de três algarismos. O meu algarismo das centenas é o dobro do das unidades, o das dezenas é $0$, e a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos meus algarismos é $9$. Quem sou eu? (Raciocine passo a passo e depois confira.)

**Solução de Exercício 37.12.**

Sejam os algarismos $c$ (centenas), $0$ (dezenas) e $u$ (unidades). Sabemos que $c = 2 \times u$ e $c + 0 + u = 9$, logo $2u + u = 9$, o que dá $3u = 9$, $u = 3$ e $c = 6$. O número é $603$. Confere: $6$ é o dobro de $3$, o algarismo das dezenas é $0$, e $6 + 0 + 3 = 9$.

## 37.5 Problema: o pequeno Gauss e a soma dos cem primeiros números

**Problema 37.1.**

Problema de fim de semana — somar $1 + 2 + 3 + \dots +
100$ em dez segundos, e os números triangulares

Uma história famosa: para manter a turma ocupada, um professor pediu aos alunos que somassem todos os números de $1$ a $100$. Um menino escreveu $5\,050$ na lousinha quase em seguida — Carl Friedrich Gauss, com nove anos, que se tornaria um dos maiores matemáticos de todos os tempos. O segredo dele foi apenas *cálculo esperto* ([Exemplo 37.6](#ex-g6-wholes-smart)): agrupar os termos de modo que cada grupo fique fácil. Este problema redescobre o truque dele, faz com que funcione em qualquer situação e mostra como essas [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) aparecem no dia a dia.

**Parte I — Os pares de Gauss.**

1. Calcule $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ agrupando os termos com esperteza.
2. Para $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : junte o primeiro termo com o último ( $1 + 10$ ), o segundo com o penúltimo ( $2 + 9$ ), e assim por diante. Quanto vale cada par? Quantos pares há? Termine a conta.
3. O mesmo método para $1 + 2 + \dots + 20$ : quanto vale cada par, quantos pares, que total?
4. Agora a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) do professor, $1 + 2 + \dots + 100$ : explique por que os pares $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ valem todos o mesmo, e por que há exatamente $50$ deles, sendo o último $50 + 51$ .
5. Escreva a resposta de Gauss como uma única multiplicação e calcule-a.

**Parte II — Um truque que nunca falha.**

6. Experimente o emparelhamento em $1 + 2 + \dots + 9$ : desta vez um número fica sem par. Qual? Emparelhe em torno dele e calcule a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) .
7. Eis uma versão do truque que funciona quer a quantidade de termos seja par, quer seja [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): escreva a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) duas vezes, uma para a frente e outra de trás para a frente, uma linha embaixo da outra, $$\begin{array}{ccccccc}  1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\  9 & + & 8 & + & \dots & + & 1  \end{array}$$ e some *coluna por coluna*. Quanto vale cada coluna? Quantas colunas há? Explique por que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) das duas linhas é $9 \times 10 = 90$ e conclua que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — a mesma resposta da questão 6.
8. Use o truque das duas linhas para calcular $1 + 2 + \dots + 50$ e depois $1 + 2 + \dots + 200$ .
9. Calcule a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos cem primeiros números *pares* , $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Compare cada termo com um termo da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de Gauss: não é preciso nenhum emparelhamento novo.)
10. Calcule $101 + 102 + \dots + 200$ , usando duas [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) que você já conhece e uma subtração.

**Parte III — [Números triangulares](#pb-g6-wholes-1) por toda parte.** Os totais $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ das [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $1 + 2 + \dots + n$ chamam-se *números triangulares*, porque contam objetos empilhados em triângulo.

11. Oito amigos se encontram, e cada um aperta a mão de cada um dos outros exatamente uma vez. Explique por que o número de apertos de mão é $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ e calcule-o.
12. Uma quitandeira monta uma [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) triangular de latas: $12$ latas na fileira de baixo, $11$ na seguinte, e assim por diante até uma única lata no topo. De quantas latas ela precisa? (Use o truque da questão 7.)
13. Desenhe a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ como uma escada de quadradinhos: um quadradinho na primeira coluna, dois na segunda, três na terceira, quatro na quarta. Mostre no seu desenho que *duas* escadas dessas, uma delas virada de cabeça para baixo, se encaixam exatamente num retângulo de $4$ fileiras de $5$ quadradinhos — e explique por que isso é o truque das duas linhas da questão 7, desenhado em vez de escrito.
14. Um relógio bate $1$ vez à uma hora, $2$ vezes às duas horas, …, $12$ vezes às doze horas. Quantas badaladas são essas ao longo das doze horas? E ao longo de um dia inteiro?
15. Uma última para Gauss: $5\,050$ segundos — é mais ou menos que uma hora e meia? Converta em horas, minutos e segundos, usando duas vezes a divisão euclidiana ( [Teorema 37.7](#thm-g6-wholes-division) ).

**Solução de Problema 37.1.**

**1.** Por exemplo $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15$.

**2.** Cada par vale $11$: $1 + 10$, $2 + 9$, $3 + 8$, $4 + 7$, $5 + 6$. São $5$ pares (dez números, dois por par), então a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é $5 \times 11 = 55$.

**3.** Pares valendo $21$ ($1 + 20$, $2 + 19, \dots$), e há $10$ deles: $10 \times 21 = 210$.

**4.** Em cada par, quando o primeiro número cresce $1$ o segundo diminui $1$, então o total nunca muda: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$. Os cem números formam $50$ pares (dois números cada), sendo o mais central $50 + 51 = 101$.

**5.** $50$ pares de $101$:

$$
1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .
$$

**6.** Com nove números, o do meio, $5$, fica sem par. Em torno dele: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$, quatro pares. Total: $4 \times 10 + 5 = 45$.

**7.** Cada coluna vale $1 + 9 = 2 + 8 = \dots = 9 + 1 = 10$, e há $9$ colunas: as duas linhas juntas valem $9 \times 10 = 90$. Mas as duas linhas são a *mesma* [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) escrita duas vezes, então uma cópia vale a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half): $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$. Nenhum número fica sem par — o par dele está bem embaixo.

**8.** De $1$ a $50$: $50$ colunas valendo $51$, [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dobrada $50 \times 51 = 2\,550$, logo a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é $2\,550 \div 2 = 1\,275$. De $1$ a $200$: $200$ colunas valendo $201$, [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dobrada $40\,200$, [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $20\,100$.

**9.** Todo [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é o dobro de um número da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de Gauss: $2 = 2 \times 1$, $4 = 2 \times 2$, …, $200 = 2 \times 100$. Então a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) inteira é o dobro da de Gauss:

$$
2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .
$$

**10.** Os números de $101$ a $200$ são os números de $1$ a $200$ com os números de $1$ a $100$ retirados:

$$
101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .
$$

**11.** Ponha os amigos em fila. O primeiro aperta $7$ mãos (uma com cada um dos outros). O segundo já cumprimentou o primeiro, então aperta $6$ mãos *novas*; o terceiro, $5$; e assim por diante, o sétimo apertando $1$ e o oitavo nenhuma que seja nova. Cada aperto de mão é contado exatamente uma vez:

$$
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ apertos de mão}
$$

(emparelhando em torno do meio: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 =
8 + 8 + 8 + 4 = 28$).

**12.** $1 + 2 + \dots + 12$: doze colunas valendo $13$, [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dobrada $12 \times 13 = 156$, logo $156 \div 2 = 78$ latas.

**13.** A escada de $1 + 2 + 3 + 4$ quadradinhos, mais a mesma escada de cabeça para baixo, preenchem exatamente um retângulo de $4$ fileiras e $5$ colunas: cada fileira do retângulo é uma coluna do truque das duas linhas (um degrau da escada que sobe completado por um degrau da que desce: $1 + 4$, $2 + 3$, $3 + 2$, $4 + 1$ — sempre $5$). Logo o dobro da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é $4 \times 5 = 20$ quadradinhos, e $1 + 2 + 3 + 4 = 10$: o desenho *é* a questão 7.

**14.** $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ badaladas em doze horas (questão 12), portanto $78 \times 2 = 156$ badaladas num dia inteiro.

**15.** Divida por $60$: $5\,050 = 60 \times 84 + 10$, então $5\,050$ segundos são $84$ minutos e $10$ segundos. Divida os minutos por $60$: $84 = 60 \times 1 + 24$, então $84$ minutos são $1$ hora e $24$ minutos. Ao todo: $1$ h $24$ min $10$ s — um pouco *menos* que uma hora e meia ($1$ h $30$ min).