--- title: "Números decimais" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 38 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais --- # Capítulo 38 — Números decimais Entre $2$ e $3$ há um monte de números: $2.5$, $2.71$, $2.999$ … Os [números decimais](#def-g6-decimals-places) estendem o sistema de [valor posicional](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-place) para a direita das unidades, e seguem as mesmas regras dos números naturais — com algumas armadilhas que este capítulo vai ensinar você a evitar. ## 38.1 A escrita decimal **Definição 38.1 (Casas decimais).** Um *número decimal* tem uma parte inteira e uma parte decimal, separadas pelo [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point). Cada casa à direita do ponto vale dez vezes menos que a anterior: décimos, centésimos, milésimos. Por exemplo, $$ 13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}. $$ ![O quadro de valor posicional de 13.407: o ponto decimal fica entre as unidades e os décimos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d64f8d714ff0.svg) *O quadro de [valor posicional](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-place) de $13.407$: o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) fica entre as unidades e os décimos.* **Observação 38.2 (Zeros que contam e zeros que não contam).** Acrescentar [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) no *fim* da parte decimal não muda nada: $2.5 = 2.50 = 2.500$. Mas os [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) *entre* algarismos são essenciais: $13.407 \neq 13.47$. E $0.5$ é bem diferente de $0.05$! **Método 38.3 (Comparar números decimais).** 1. Compare primeiro as partes inteiras: $7.2 > 5.99$ porque $7 > 5$ . 2. Se as partes inteiras forem iguais, compare as partes decimais algarismo por algarismo a partir da esquerda — completar com [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) no fim ajuda: para comparar $3.4$ e $3.15$ , escreva $3.40$ e $3.15$ ; como $40 > 15$ centésimos, $3.4 > 3.15$ . Atenção: *mais comprido não quer dizer maior*. $3.15$ tem mais algarismos que $3.4$, mas é menor. ![Ampliação da reta numérica entre 3 e 4: cada traço é um décimo. O ponto 3.15 fica bem no meio, entre 3.1 e 3.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg) *Ampliação da reta numérica entre $3$ e $4$: cada traço é um décimo. O ponto $3.15$ fica bem no meio, entre $3.1$ e $3.2$.* ## 38.2 Somar, subtrair, multiplicar **Método 38.4 (Contas armadas com decimais).** Para somar ou subtrair [números decimais](#def-g6-decimals-places), alinhe os *[pontos decimais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point)* (assim as unidades ficam sob as unidades e os décimos sob os décimos), completando com [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) no fim se for preciso; depois calcule como com números naturais e ponha o ponto do resultado sob os outros. **Exemplo 38.5.** Calcule $13.7 + 2.85$, alinhando os pontos ($13.7 = 13.70$): $$ \begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array} $$ Calcule $6 - 2.35$ (escreva $6 = 6.00$): $6.00 - 2.35 = 3.65$. Confira: $3.65 + 2.35 = 6$. **Exemplo 38.6 (Multiplicar decimais).** Para calcular $2.3 \times 1.4$: multiplique como números naturais, $23 \times 14 = 322$; depois conte os algarismos decimais dos fatores ($1 + 1 = 2$) e ponha o ponto de modo que o resultado tenha essa quantidade: $2.3 \times 1.4 = 3.22$. Conferência de tamanho: $2.3 \times 1.4$ deve dar um pouco mais que $2.3 \times 1 = 2.3$ — e $3.22$ dá. ## 38.3 Multiplicar e dividir por 10, 100, 1000 **Proposição 38.7 (Deslocar o ponto).** Multiplicar um [número decimal](#def-g6-decimals-places) por $10$, $100$, $1000$ desloca o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) dele $1$, $2$, $3$ casas para a *direita*; dividir o desloca para a *esquerda* (completando com [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) quando for preciso): $$ 3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 . $$ **Demonstração.** Multiplicar por $10$ faz cada algarismo valer dez vezes mais: os décimos viram unidades, as unidades viram dezenas, e assim por diante — cada algarismo anda uma coluna para a esquerda no quadro de [valor posicional](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-place), o que é o mesmo que deslocar o ponto uma casa para a direita. Dividir inverte isso. ∎ **Exemplo 38.8 (Unidades de medida).** Converter unidades é exatamente esse jogo: como $1$ m $= 100$ cm, $$ 3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}. $$ ## 38.4 Arredondamento **Definição 38.9 (Arredondamento).** O *arredondamento* de um número à unidade (ou ao décimo, ao centésimo, …) é o número mais próximo com essa precisão. Olhe o algarismo seguinte: se for $0,1,2,3,4$, arredonde para baixo (mantenha); se for $5,6,7,8,9$, arredonde para cima. **Exemplo 38.10.** $7.38$ arredondado à unidade é $7$ (algarismo seguinte $3$: mantém); arredondado ao décimo é $7.4$ (algarismo seguinte $8$: sobe). O preço $4.996$ arredondado ao centésimo é $5.00$ — o [arredondamento](#def-g6-decimals-rounding) pode mudar todos os algarismos! ## 38.5 Exercícios **Exercício 38.1 ★.** Escreva como [número decimal](#def-g6-decimals-places): $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$; $\dfrac{9}{10}$; $12 + \dfrac{4}{1000}$; “oito unidades e cinco centésimos”. **Solução de Exercício 38.1.** $5.37$; $0.9$; $12.004$; $8.05$. **Exercício 38.2 ★.** Em $86.354$: qual é o algarismo dos décimos? E o dos centésimos? O que conta o algarismo $8$? Escreva esse número como na [Definição 38.1](#def-g6-decimals-places). **Solução de Exercício 38.2.** Algarismo dos décimos: $3$; algarismo dos centésimos: $5$; o $8$ conta as dezenas. $$ 86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}. $$ **Exercício 38.3 ★.** Copie e complete com $<$, $>$ ou $=$: $$ 5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 . $$ **Solução de Exercício 38.3.** $5.3 > 5.29$ (compare $5.30$ com $5.29$); $0.7 = 0.70$ ([zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) no fim não mudam nada); $2.09 < 2.9$ (décimos: $0 < 9$); $14.5 > 14.49$. **Exercício 38.4 ★.** Ordene do menor para o maior: $4.2$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.5$. **Solução de Exercício 38.4.** Complete até duas casas: $4.20$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.50$. Ordem: $$ 4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 . $$ **Exercício 38.5 ★.** Que [números decimais](#def-g6-decimals-places) correspondem aos pontos $A$, $B$, $C$ numa reta numérica graduada em décimos, se $A$ está $3$ traços depois do $6$, $B$ está $7$ traços depois do $6$ e $C$ está $2$ traços depois do $7$? **Solução de Exercício 38.5.** Cada traço é um décimo. $A$: $6.3$; $B$: $6.7$; $C$: $7.2$. **Exercício 38.6 ★.** Arme as contas e calcule: $45.8 + 7.65$; $23.4 - 8.72$; $5.6 \times 2.4$ (conte os algarismos decimais!). **Solução de Exercício 38.6.** $45.80 + 7.65 = 53.45$. $23.40 - 8.72 = 14.68$ (confere: $14.68 + 8.72 = 23.4$). $56 \times 24 = 1344$, e dois algarismos decimais nos fatores: $5.6 \times 2.4 = 13.44$. **Exercício 38.7 ★.** Calcule sem escrever nada: $$ 6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 . $$ **Solução de Exercício 38.7.** $6.42 \times 10 = 64.2$; $0.35 \times 1000 = 350$; $78.1 \div 100 = 0.781$; $5 \div 1000 = 0.005$. **Exercício 38.8 ★.** Converta: $2.4$ m em cm; $370$ g em kg; $0.85$ km em m; $56$ mm em m. **Solução de Exercício 38.8.** $2.4$ m $= 240$ cm; $370$ g $= 0.37$ kg (divida por $1000$); $0.85$ km $= 850$ m; $56$ mm $= 0.056$ m. **Exercício 38.9 ★.** Arredonde $23.867$: à unidade; ao décimo; ao centésimo. Arredonde $9.97$ ao décimo. **Solução de Exercício 38.9.** À unidade: $24$ (algarismo seguinte $8$: sobe). Ao décimo: $23.9$. Ao centésimo: $23.87$. E $9.97$ ao décimo: o algarismo seguinte é $7$, então sobem os $9$ décimos — $10.0$. **Exercício 38.10 ★★.** Um pão francês custa $1.15$. Lena compra três pães e paga com uma nota de $5$. Escreva as duas contas necessárias e dê o troco dela. **Solução de Exercício 38.10.** Preço dos pães: $3 \times 1.15 = 3.45$. Troco: $5 - 3.45 = 1.55$. **Exercício 38.11 ★★.** Encontre um [número decimal](#def-g6-decimals-places) estritamente entre $7.4$ e $7.5$; depois um entre $3.99$ e $4$. Quantos números desses existem em cada caso? **Solução de Exercício 38.11.** Entre $7.4$ e $7.5$: por exemplo $7.45$ (ou $7.41$, $7.499$, …). Entre $3.99$ e $4$: por exemplo $3.995$. Nos dois casos há *infinitos* números desses: sempre se pode acrescentar mais casas decimais. **Exercício 38.12 ★★★.** Usando cada um dos algarismos $2$, $5$, $8$ exatamente uma vez e um [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point), escreva o maior número possível e depois o menor possível. (Números como $.58$ não são permitidos: a parte inteira tem de conter pelo menos um algarismo.) **Solução de Exercício 38.12.** Maior: ponha os maiores algarismos na frente e o ponto o mais tarde possível: $85.2$. Menor: os menores algarismos na frente e o ponto o mais cedo possível: $2.58$. ## 38.6 Problema: o número logo depois de 3 não existe **Problema 38.1.** Problema de fim de semana — entre dois números decimais quaisquer sempre há outro: ampliando a reta numérica Na escada dos números naturais, todo número tem um vizinho de porta: logo depois de $7$ vem $8$, e nada mora entre os dois. Os [números decimais](#def-g6-decimals-places) são um mundo completamente diferente. Qual é o número logo depois de $3$? É $3.1$? $3.01$? $3.001$? Este problema desenvolve uma técnica de *ampliação* da reta numérica (continuando o [Exercício 38.11](#exo-g6-decimals-11)) e chega a uma conclusão famosa: o número logo depois de $3$ *não existe* — entre dois [números decimais](#def-g6-decimals-places) quaisquer, por mais próximos que estejam, sempre há espaço para mais. **Parte I — Ampliando.** 1. Qual é maior, $2.999$ ou $3$ ? Calcule a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre eles. 2. Trace uma reta numérica de $7.4$ a $7.5$ , graduada em centésimos, e marque nela $7.42$ , $7.45$ e $7.48$ . Liste *todos* os números com dois algarismos decimais que ficam estritamente entre $7.4$ e $7.5$ . Quantos são? 3. Amplie de novo: entre $7.44$ e $7.45$ , liste todos os números com três algarismos decimais. Quantos são desta vez? 4. Usando a mesma ideia, explique como contar os números com exatamente três algarismos decimais que ficam estritamente entre $7.4$ e $7.5$ , e dê essa contagem. 5. Descreva a receita escondida por trás das questões 2 a 4 (a *ampliação* ): dados dois números que parecem vizinhos, como $5.67$ e $5.68$ , como é que escrever mais uma casa decimal sempre revela um número estritamente entre eles? Aplique a sua receita a $5.67$ e $5.68$ , e depois a $0.1999$ e $0.2$ . **Parte II — O vizinho que não existe.** 6. Tomás afirma: “o número logo depois de $3$ é $3.1$ ”. Mostre que ele está errado, dando um número estritamente entre $3$ e $3.1$ . Tomás recua para $3.01$ e depois para $3.001$ . Vença cada um desses candidatos. 7. Explique por que *ninguém* pode ganhar esse jogo de você: qualquer que seja o número estritamente maior que $3$ proposto por Tomás, a receita de ampliação da questão 5 produz um número estritamente entre $3$ e a proposta dele. O que isso prova sobre “o número logo depois de $3$ ”? 8. Agora o outro lado: Tomás caça o número logo *antes* de $3$ e tenta $2.9$ , depois $2.99$ , depois $2.999$ . Vença os três candidatos dele. Depois calcule $3 - 2.999$ e descreva (sem armar a conta) a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre $3$ e o número escrito com um $2$ , um ponto e vinte algarismos $9$ . 9. Por que nada disso funciona com os números *naturais* ? Explique em uma ou duas frases por que não existe número natural estritamente entre $7$ e $8$ , embora existam muitos [números decimais](#def-g6-decimals-places) ali. 10. Um comprimento é anunciado como “ $3.7$ cm, arredondado ao décimo” ( [Definição 38.9](#def-g6-decimals-rounding) ). Dê o menor comprimento que arredonda para $3.7$ cm e explique por que um comprimento de $3.75$ cm *não* arredonda para $3.7$ — de modo que o comprimento verdadeiro é pelo menos $3.65$ cm e estritamente menor que $3.75$ cm. **Parte III — Brincadeiras com algarismos e pontos.** 11. Ordene do menor para o maior: $0.6$ ; $0.58$ ; $0.123$ ; $0.0999$ . Depois explique a um colega, em uma frase, por que $0.0999 < 0.6$ mesmo estando escrito com mais algarismos ( [Método 38.3](#met-g6-decimals-compare) ). 12. Os preços de uma loja têm sempre exatamente dois algarismos decimais. Existe algum *preço* estritamente entre $4.99$ e $5$ ? Compare com a questão 9: o que os preços e os números naturais têm em comum? 13. Usando cada um dos algarismos $2$ , $5$ , $8$ exatamente uma vez e um [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) (parte inteira não vazia, como no [Exercício 38.12](#exo-g6-decimals-12) ), encontre o número mais próximo de $6$ . Justifique calculando a distância dos seus melhores candidatos até $6$ . 14. O número mais famoso da matemática, $\pi$ , satisfaz $3.141 < \pi < 3.142$ . Dê um [número decimal](#def-g6-decimals-places) estritamente entre $3.141$ e $3.142$ ; depois um estritamente entre $3.1415$ e $3.1416$ . (Os matemáticos espremem $\pi$ exatamente assim — cada nova casa decimal é mais uma ampliação. Você vai ver $\pi$ em ação no [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#ch-g6-measure) .) 15. O grande final: explique por que há *mais [números decimais](#def-g6-decimals-places) entre $0$ e $1$ do que qualquer número que você consiga dizer* . (Quantos números uma ampliação produz? A ampliação pode parar algum dia?) **Solução de Problema 38.1.** **1.** $3$ é maior: completando, $3.000 > 2.999$. A [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) é $3.000 - 2.999 = 0.001$, um milésimo. **2.** Estritamente entre $7.4 = 7.40$ e $7.5 = 7.50$ ficam $$ 7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 : $$ nove números, um por nova marca de graduação. **3.** O mesmo desenho, dez vezes menor: entre $7.440$ e $7.450$ ficam $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — nove números de novo. **4.** Entre $7.400$ e $7.500$, os números com três algarismos decimais são $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: todos os milésimos de $401$ a $499$, ou seja, $99$ números. **5.** A receita da ampliação: escreva os dois números com a mesma quantidade de casas decimais e depois *acrescente mais uma casa decimal* — o número menor seguido de um algarismo de $1$ a $9$ cai estritamente entre os dois. De fato, $5.67 = 5.670$ e $5.68 = 5.680$, e $$ 5.670 < 5.675 < 5.680 ; $$ do mesmo modo, $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre duas graduações vizinhas sempre há um nível inteiramente novo de nove graduações mais finas. **6.** $3 < 3.05 < 3.1$; depois $3 < 3.005 < 3.01$; depois $3 < 3.0005 < 3.001$. Cada candidato é vencido por mais uma ampliação. **7.** Qualquer que seja o número proposto por Tomás — chame-o de candidato, estritamente maior que $3$ —, a questão 5 produz um número estritamente entre $3$ e o candidato. Logo o candidato *não* era o número mais próximo de $3$: existe algo ainda mais próximo. Como isso acontece com todo candidato sem exceção, nenhum número pode ser “o número logo depois de $3$”: ele simplesmente não existe. **8.** $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. E $3 - 2.999 = 0.001$. Com vinte noves, a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) é um [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) seguido de dezenove [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) e um $1$ — uma unidade na vigésima casa decimal: minúscula, mas não nula. Por mais noves que Tomás escreva, ele nunca chega a $3$. **9.** Os números naturais sobem de $1$ em $1$: mais que $7$ e menos que $8$ significaria um número inteiro de unidades estritamente entre $7$ e $8$ unidades, e não existe nenhum. A ampliação só escapa disso escrevendo algarismos *depois do ponto* — exatamente o que os números naturais não têm. **10.** O menor comprimento que arredonda para $3.7$ é $3.65$ cm: o algarismo seguinte dele é $5$, que arredonda *para cima* ([Definição 38.9](#def-g6-decimals-rounding)). E $3.75$ sobe para $3.8$ pela mesma razão. Então “$3.7$ cm arredondado ao décimo” quer dizer: pelo menos $3.65$ cm e estritamente menos que $3.75$ cm — um segmento inteiro de comprimentos verdadeiros possíveis se esconde atrás de um único valor arredondado. **11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. Em uma frase: comparando algarismo por algarismo a partir da esquerda, $0.0999$ tem $0$ décimos enquanto $0.6$ tem $6$, e a comparação já se resolve aí — a quantidade de algarismos escritos não diz nada sobre o tamanho ([Método 38.3](#met-g6-decimals-compare)). **12.** Não: em centavos, $4.99$ são $499$ centavos e $5$ são $500$ centavos — números *inteiros* consecutivos, sem nada entre eles. Os preços, tendo exatamente duas casas decimais, são na verdade números inteiros de centavos disfarçados: como os números naturais da questão 9, eles têm vizinhos de porta. A ampliação sem fim precisa do direito de escrever cada vez mais casas decimais. **13.** Os candidatos perto de $6$ são $5.82$ e $8.25$ (um número começado por $2$, ou por $58$, $25$, $82$, $85$, fica longe de $6$). Distâncias: $6 - 5.82 = 0.18$ e $8.25 - 6 = 2.25$. O mais próximo é $5.82$. **14.** Por exemplo $3.1415$, já que $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; depois $3.14159$, já que $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Os dois são passos reais da caça de verdade a $\pi = 3.14159\dots$) **15.** Suponha que alguém diga um número, tão grande quanto quiser. Uma ampliação transforma cada par de graduações vizinhas entre $0$ e $1$ em nove números novos, e a ampliação pode ser repetida para sempre — as questões 2, 3 e 4 foram apenas os dois primeiros níveis. Repetindo-a vezes suficientes, produzem-se mais [números decimais](#def-g6-decimals-places) entre $0$ e $1$ do que o número dito. Logo nenhum número é grande o bastante para contá-los: são infinitos.