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title: "Frações: primeiros passos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 39
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos
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# Capítulo 39 — Frações: primeiros passos

Repartir três pizzas igualmente entre quatro pessoas dá a cada uma … um número não inteiro de pizzas. As frações são os números inventados para repartir. Este capítulo monta o quadro: a [fração](#def-g6-fractions-def) como parte de um inteiro, como ponto da reta numérica e como resultado exato de uma divisão.

## 39.1 O que significa uma fração

**Definição 39.1 (Fração).**

Corte uma unidade em $b$ partes iguais e tome $a$ delas: a quantidade obtida é a *fração*

$$
\frac{a}{b}
\qquad
\begin{array}{l}
a \text{: o \emph{numerador} --- quantas partes tomamos;}\\
b \text{: o \emph{denominador} --- em quantas partes a unidade é cortada.}
\end{array}
$$

![Duas frações da mesma barra. O denominador diz quão fino é o corte; o numerador, quanto se toma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-9d8636ff2369.svg)

*Duas frações da mesma barra. O [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) diz quão fino é o corte; o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def), quanto se toma.*

**Exemplo 39.2.**

Uma [fração](#def-g6-fractions-def) pode ser maior que $1$: $\frac74$ quer dizer sete quartos — uma unidade inteira (quatro quartos) e mais três quartos:

$$
\frac74 = 1 + \frac34 .
$$

**Proposição 39.3 (Frações na reta numérica).**

Para marcar $\frac ab$ na reta numérica, corte cada intervalo unitário em $b$ partes iguais e conte $a$ partes a partir do $0$.

![A reta graduada em quartos: 3/4 fica antes do 1, 7/4 fica entre 1 e 2, e 22/4 = 5 + 2/4 fica bem no meio, entre 5 e 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b24e42c46fdc.svg)

*A reta graduada em quartos: $\frac34$ fica antes do $1$, $\frac74$ fica entre $1$ e $2$, e $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ fica bem no meio, entre $5$ e $6$.*

**Teorema 39.4 (Uma fração é uma divisão).**

A [fração](#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ é o número que, multiplicado por $b$, dá $a$:

$$
\frac ab \times b = a .
$$

Em outras palavras, $\frac ab$ é o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) exato de $a$ por $b$ — mesmo quando a divisão “não é exata”.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 39.5.**

Três pizzas para quatro pessoas: cada pessoa recebe $\frac34$ de pizza. Confira com o teorema: $4$ partes de $\frac34$ dão $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Algumas frações são [números decimais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places) ($\frac34 = 0.75$), outras não: $\frac13 = 0.333\dots$ nunca para. A [fração](#def-g6-fractions-def) é o valor *exato*; $0.33$ é apenas uma aproximação.

## 39.2 Frações iguais

**Proposição 39.6 (Frações equivalentes).**

Uma [fração](#def-g6-fractions-def) não muda quando o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dela são ambos multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número não nulo:

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Ideia da demonstração.** Cortar cada parte da partilha em $k$ pedacinhos multiplica por $k$ tanto o número de pedaços tomados quanto o número total de pedaços, mas a quantidade tomada é a mesma. Um desenho diz isso melhor: ∎

![2/3 = 4/6: cortar cada terço em dois dobra as contagens em cima e embaixo, sem mudar a quantidade pintada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-1cfba25eec39.svg)

*$\frac23 = \frac46$: cortar cada terço em dois dobra as contagens em cima e embaixo, sem mudar a quantidade pintada.*

**Método 39.7 (Simplificar uma fração).**

Procure um número que divida o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) *e* o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def), e divida os dois. Repita até não sobrar nenhum [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) comum:

$$
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}
= \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.
$$

## 39.3 Tomar uma fração de uma quantidade

**Método 39.8 (Fração de uma quantidade).**

Para calcular $\frac ab$ de uma quantidade, divida a quantidade por $b$ (uma parte) e depois multiplique por $a$ (o número de partes):

$$
\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .
$$

(Multiplicar primeiro por $a$ e depois dividir por $b$ dá o mesmo resultado — escolha a ordem que deixa os números mais simpáticos.)

**Exemplo 39.9.**

Vamos calcular $\frac35$ de $40$ reais, passo a passo:

1. um quinto de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
2. três quintos: $8 \times 3 = 24$ .

Logo $\frac35$ de $40$ reais são $24$ reais. Confere: os $\frac25$ que sobram são $16$ reais, e $24 + 16 = 40$.

## 39.4 Exercícios

**Exercício 39.1 ★.**

Para cada descrição, escreva a [fração](#def-g6-fractions-def): um bolo cortado em $8$ fatias, $3$ comidas; uma barra de chocolate de $12$ quadradinhos, $7$ comidos; uma torta cortada em $6$, todas as $6$ fatias comidas.

**Solução de Exercício 39.1.**

Bolo: $\frac38$ comido. Chocolate: $\frac{7}{12}$. Torta: $\frac66 = 1$ (a torta inteira).

**Exercício 39.2 ★.**

Desenhe uma barra cortada em $5$ partes iguais e pinte $\frac45$ dela. $\frac45$ é menor ou maior que $1$? E $\frac65$?

**Solução de Exercício 39.2.**

Quatro partes em cinco ficam pintadas. $\frac45 < 1$ (quatro partes de cinco é menos que a barra inteira); $\frac65 > 1$ (seis quintos são uma barra inteira e mais um quinto).

**Exercício 39.3 ★.**

Marque numa reta numérica graduada em terços: $\frac13$; $\frac53$; $2$; $\frac73$. Quais dois desses números estão à mesma distância do $2$?

**Solução de Exercício 39.3.**

Na reta graduada em terços: $\frac13$ fica um traço depois do $0$; $\frac53$ fica um traço antes do $2$ (pois $2 = \frac63$); $\frac73$ fica um traço depois do $2$. Logo $\frac53$ e $\frac73$ estão os dois à distância $\frac13$ do $2$.

**Exercício 39.4 ★.**

Escreva cada [fração](#def-g6-fractions-def) como um número inteiro mais uma [fração](#def-g6-fractions-def) menor que $1$ (como em $\frac74 = 1 + \frac34$):

$$
\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad
\frac{25}{8} .
$$

**Solução de Exercício 39.4.**

$\frac94 = 2 + \frac14$; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$; $\frac{12}{6} = 2$ (exatamente); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$.

**Exercício 39.5 ★.**

Complete de modo que as frações fiquem iguais:

$$
\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad
\frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad
\frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad
\frac{?}{6} = \frac{10}{12}.
$$

**Solução de Exercício 39.5.**

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplique por $4$); $\frac{15}{20} = \frac34$ (divida por $5$); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplique por $3$); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (divida por $2$).

**Exercício 39.6 ★.**

Simplifique o máximo possível: $\dfrac{6}{8}$; $\dfrac{15}{25}$; $\dfrac{18}{24}$; $\dfrac{35}{7}$.

**Solução de Exercício 39.6.**

$\frac68 = \frac34$; $\frac{15}{25} = \frac35$; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$; $\frac{35}{7} = 5$ (um número inteiro).

**Exercício 39.7 ★.**

Calcule: $\frac12$ de $86$; $\frac34$ de $60$; $\frac25$ de $35$; $\frac{7}{10}$ de $250$.

**Solução de Exercício 39.7.**

$\frac12$ de $86$: $86 \div 2 = 43$.

$\frac34$ de $60$: $60 \div 4 = 15$, depois $15 \times 3 = 45$.

$\frac25$ de $35$: $35 \div 5 = 7$, depois $7 \times 2 = 14$.

$\frac{7}{10}$ de $250$: $250 \div 10 = 25$, depois $25 \times 7 = 175$.

**Exercício 39.8 ★.**

Qual é maior: $\frac12$ ou $\frac13$ (do mesmo bolo)? $\frac25$ ou $\frac35$? $\frac34$ ou $\frac78$ (escreva as duas com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $8$)?

**Solução de Exercício 39.8.**

$\frac12 > \frac13$: as [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) são partes maiores que os terços. $\frac35 > \frac25$: as mesmas partes, em maior número. $\frac34 = \frac68 < \frac78$: sete oitavos vencem seis oitavos.

**Exercício 39.9 ★★.**

Dê o valor decimal das frações que têm um, e diga qual [fração](#def-g6-fractions-def) não tem: $\frac12$; $\frac34$; $\frac13$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{4}$.

**Solução de Exercício 39.9.**

$\frac12 = 0.5$; $\frac34 = 0.75$; $\frac{7}{10} = 0.7$; $\frac94 = 2.25$. A exceção é $\frac13 = 0.333\dots$, cuja escrita decimal nunca acaba: ela não é um [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places).

**Exercício 39.10 ★★.**

Uma turma tem $28$ alunos. Três quartos deles vêm para a escola de ônibus e o restante vem a pé. Quantos alunos vêm a pé? Resolva passo a passo e confira que os tamanhos dos dois grupos somam $28$.

**Solução de Exercício 39.10.**

Quem usa ônibus: $\frac34$ de $28$: $28 \div 4 = 7$, depois $7 \times 3 = 21$ alunos. A pé: $28 - 21 = 7$ alunos (é o quarto que sobra: $28 \div 4 = 7$). Confere: $21 + 7 = 28$.

**Exercício 39.11 ★★.**

Léo gastou $\frac23$ das economias dele num jogo que custou $18$ reais. Quanto dinheiro Léo tinha antes? (Um terço das economias é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $18$ … pense por quê, ou descubra primeiro o tamanho de uma parte.)

**Solução de Exercício 39.11.**

Dois terços das economias são $18$ reais, então *um* terço é $18 \div 2 = 9$ reais, e as economias inteiras (três terços) eram $9 \times 3 = 27$ reais. Confere: $\frac23$ de $27$ é $18$.

**Exercício 39.12 ★★★.**

Um tanque está cheio até $\frac58$ da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) dele. Depois de usar $10$ litros, ele fica pela [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half). Qual é a [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) do tanque? (Que [fração](#def-g6-fractions-def) do tanque os $10$ litros representam?)

**Solução de Exercício 39.12.**

A água usada levou o tanque de $\frac58$ para $\frac48$ (a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) são quatro oitavos): os $10$ litros representam $\frac58 - \frac48 = \frac18$ da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units). Logo o tanque cheio leva $10 \times 8 = 80$ litros. Confere: $\frac58$ de $80$ é $50$; menos $10$ ficam $40$, que é de fato a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $80$.

## 39.5 Problema: a barra de chocolate que nunca acaba

**Problema 39.1.**

Problema de fim de semana — metades de metades: a soma $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ se aproxima de $1$ sem nunca tocá-lo

Pegue uma barra de chocolate. Coma [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) dela. Depois coma [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) *do que sobrou*. Depois de novo [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do que sobrou, e assim por diante. Duas coisas parecem ser verdade ao mesmo tempo: você nunca termina a barra (sempre sobra algo) e, ainda assim, come quase tudo. Este problema transforma as duas sensações em afirmações exatas sobre frações — e encontra, pelo caminho, um corredor da Grécia antiga e um quebra-cabeça de partilha resolvido só com uma faca que corta ao meio.

**Parte I — [Metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half).** A barra é um retângulo de $16$ quadradinhos iguais.

1. Primeira mordida: você come [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da barra. Quantos quadradinhos são? Escreva a mordida como [fração](#def-g6-fractions-def) da barra de duas maneiras, com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $2$ e com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $16$ ( [Proposição 39.6](#prop-g6-fractions-equal) ).
2. Segunda mordida: [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do que sobrou. Quantos quadradinhos? Mostre, com o desenho ou com frações equivalentes, que essa mordida é $\frac14$ da barra inteira: *[metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de uma [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) é um quarto* .
3. Terceira e quarta mordidas, com a mesma regra: dê cada uma em quadradinhos e como [fração](#def-g6-fractions-def) da barra. O que acontece com o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) de uma mordida para a seguinte?
4. Depois das quatro mordidas, quantos quadradinhos foram comidos ao todo? Que [fração](#def-g6-fractions-def) da barra é isso, e que [fração](#def-g6-fractions-def) sobrou?
5. A questão 4 diz, escrita em dezesseis avos: $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16},  \qquad\text{ou seja}\qquad  \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16} .$$ Confira cada uma das quatro reescritas ($\frac12 = \frac{8}{16}$, e assim por diante).

**Parte II — A escada rumo a $1$.** Para continuar mordendo, imagine uma barra mais fina, de $64$ quadradinhos.

6. Liste os tamanhos das seis primeiras mordidas, em quadradinhos ( $32$ , depois …), e confira que, depois da sexta mordida, sobra exatamente um quadradinho. Que [fração](#def-g6-fractions-def) da barra sobra?
7. Depois de cada mordida, que [fração](#def-g6-fractions-def) da barra sobra? Escreva a lista ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) até a sexta mordida e descreva o padrão. Se uma faca imaginária pudesse cortar ao meio até o último quadradinho, o que sobraria depois de uma sétima mordida?
8. Explique por que o total comido *nunca* pode chegar a $1$ , por mais mordidas que se dê. (Compare com os vinte noves do [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#pb-g6-decimals-1) : é a mesma história?)
9. Ainda assim, o total ultrapassa qualquer alvo abaixo de $1$ . Um amigo desafia você a comer mais que $\frac{99}{100}$ da barra. Qual é menor, $\frac{1}{128}$ ou $\frac{1}{100}$ — e depois de que mordida o desafio está ganho?
10. Numa reta numérica de $0$ a $1$ graduada em dezesseis avos, marque os totais comidos depois de cada uma das quatro primeiras mordidas: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Onde cai cada novo total, em relação ao anterior e ao $1$ ?

**Parte III — O corredor de Zenão e uma faca que só corta ao meio.**

11. Vinte e quatro séculos atrás, o filósofo grego Zenão contou esta história: para chegar a um muro, um corredor precisa antes percorrer [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da distância, depois [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do que resta, depois de novo [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do que resta … “e assim o corredor nunca chega ao muro!” Usando as questões 8 e 9, diga o que há de *certo* na história de Zenão e onde está a armadilha. (O corredor precisa mesmo de uma eternidade para dar todos esses passos?)
12. O quebra-cabeça da partilha: reparta igualmente $15$ barras de chocolate idênticas entre $16$ crianças, usando apenas cortes ao meio (de uma barra, de meia barra, de um quarto de barra …). Descreva como cortar: quantas barras são cortadas ao meio, quantas em quartos, em oitavos, em dezesseis avos, de modo que cada criança receba um pedaço de cada tamanho.
13. Confira a sua partilha: escreva a parte de cada criança como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de frações, calcule-a em dezesseis avos e verifique que as $16$ partes juntas usam exatamente as $15$ barras.
14. Na turma ao lado, $7$ barras são repartidas igualmente entre $8$ crianças. Que criança recebe mais chocolate — uma das $16$ ou uma das $8$ ? (Escreva as duas partes com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $16$ , [Exercício 39.8](#exo-g6-fractions-8) .)
15. O grande final: um amigo afirma que, com *infinitas* mordidas, comeria-se *exatamente* a barra inteira. Desenhe um quadrado e pinte as mordidas dentro dele: [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do quadrado, depois um quarto, depois um oitavo … O que você observa no canto sem pintar? Enuncie com cuidado os dois fatos verdadeiros deste problema inteiro: o que sobra depois de qualquer quantidade finita de mordidas e quão pequeno esse [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) fica. (O que uma “ [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) infinita” quer dizer exatamente é assunto do volume do ensino médio.)

**Solução de Problema 39.1.**

**1.** A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $16$ quadradinhos são $8$ quadradinhos. Como [fração](#def-g6-fractions-def): $\frac12$ da barra e, como cada [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) são $8$ quadradinhos em $16$, também $\frac{8}{16}$ — a mesma [fração](#def-g6-fractions-def) escrita de duas maneiras ([Proposição 39.6](#prop-g6-fractions-equal)).

**2.** A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) dos $8$ quadradinhos restantes são $4$ quadradinhos, ou seja, $\frac{4}{16}$ da barra. Simplificando por $4$: $\frac{4}{16} = \frac14$. No desenho: cortar ao meio a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) restante produz dois quartos da barra original — [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de uma [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) é um quarto.

**3.** Terceira mordida: [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $4$ quadradinhos são $2$ quadradinhos, isto é, $\frac{2}{16} = \frac18$ da barra. Quarta mordida: $1$ quadradinho, isto é, $\frac{1}{16}$. De uma mordida para a seguinte, o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) *dobra*: $2$, $4$, $8$, $16$.

**4.** Comidos: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ quadradinhos em $16$, ou seja, $\frac{15}{16}$ da barra. Sobra: $1$ quadradinho, $\frac{1}{16}$.

**5.** $\frac12 = \frac{8}{16}$ (multiplique em cima e embaixo por $8$), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (por $4$), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (por $2$), e $\frac{1}{16}$ fica como está. Contando dezesseis avos: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ deles, então o total é $\frac{15}{16}$.

**6.** Mordidas: $32$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$ quadradinhos. Total comido: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ quadradinhos, então sobra $1$ quadradinho: $\frac{1}{64}$ da barra.

**7.** Depois de cada mordida sobra

$$
\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad
\frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :
$$

o que sobra cai pela [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) a cada vez — o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dele dobra. Uma sétima mordida imaginária deixaria $\frac{1}{128}$.

**8.** Cada mordida come apenas *[metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half)* do que sobrou, então a outra [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) continua ali: depois de qualquer quantidade de mordidas, sempre sobra algo. O total comido é, portanto, sempre menor que $1$ — exatamente como os vinte noves do [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#pb-g6-decimals-1), que chegam cada vez mais perto de $3$ sem alcançá-lo.

**9.** As duas frações têm [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $1$, e cortar em $128$ partes produz partes menores que cortar em $100$: logo $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$. Depois da sétima mordida sobra $\frac{1}{128}$, então a parte comida ultrapassa $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$: o desafio é ganho na sétima mordida.

**10.** Em dezesseis avos, os totais são $\frac{8}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{14}{16}$, $\frac{15}{16}$. Cada novo total cai exatamente *no meio* entre o total anterior e o $1$: a escada continua reduzindo à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) a distância que falta até $1$, sem nunca pisar nele.

**11.** O que está certo: em toda etapa da descrição de Zenão, de fato ainda falta alguma distância (questão 8) — a lista de etapas nunca acaba. A armadilha: as etapas ficam extremamente curtas, em distância *e* em tempo de corrida; o corredor não gasta o mesmo tempo em cada etapa. Descrever a corrida em infinitos pedaços cada vez menores não torna a corrida em si interminável: o corredor chega ao muro, e a questão 9 mostra a descrição ultrapassando qualquer ponto aquém dele.

**12.** Corte $8$ barras ao meio: $16$ meias barras. Corte $4$ barras em quartos: $16$ pedaços de um quarto. Corte $2$ barras em oitavos: $16$ pedaços de um oitavo. Corte a última barra em dezesseis avos: $16$ pedacinhos. Isso usa $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ barras, e cada criança recebe um pedaço de cada tamanho.

**13.** A parte de cada criança é

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$

de barra (questão 5). Dezesseis partes dessas dão $16 \times \frac{15}{16} = 15$ barras ([Teorema 39.4](#thm-g6-fractions-quotient)): exatamente o que foi cortado, sem sobra — uma partilha justa de $15$ barras entre $16$ crianças, só com cortes ao meio.

**14.** Os vizinhos recebem $\frac78$ de barra cada um. Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $16$: $\frac78 = \frac{14}{16}$, enquanto as nossas crianças recebem $\frac{15}{16}$. Logo uma criança das $16$ recebe mais: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$, por um dezesseis avos de barra.

**15.** No desenho do quadrado, cada mordida pintada preenche [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do canto que ainda está sem pintar, e esse canto continua encolhendo: depois de cada mordida ele fica com [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do tamanho anterior, e nunca desaparece. Os dois fatos verdadeiros: (i) depois de qualquer quantidade finita de mordidas sobra um [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) — o total comido é sempre estritamente menor que $1$; (ii) esse [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) fica menor que qualquer [fração](#def-g6-fractions-def) que se queira dizer ($\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$, …), bastando morder por tempo suficiente. Dar às palavras “a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) infinita vale $1$” o seu sentido exato é tarefa dos *limites*, no volume do ensino médio.