---
title: "Retas, círculos e ângulos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 40
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos
---

# Capítulo 40 — Retas, círculos e ângulos

A geometria começa com régua, esquadro e compasso. Este capítulo fixa o vocabulário — pontos, [segmentos](#def-g6-lines-objects), semirretas, retas, círculos —, apresenta as duas posições especiais de retas ([paralelas](#def-g6-lines-perp) e [perpendiculares](#def-g6-lines-perp)) e ensina a medir e a traçar ângulos.

## 40.1 Pontos, segmentos, retas

**Definição 40.1 (Objetos básicos).**

Por dois pontos distintos $A$ e $B$ passam:

- o *segmento* $[AB]$ : a parte da reta entre $A$ e $B$ (tem um comprimento, escrito $AB$ );
- a *semirreta* $[AB)$ : começa em $A$ , passa por $B$ e continua para sempre;
- a *reta* $(AB)$ : prolonga-se para sempre nos dois sentidos. Dois pontos determinam exatamente uma reta.

Pontos que estão numa mesma reta são chamados de *colineares*.

![Os mesmos dois pontos, três objetos diferentes. Os parênteses e colchetes dizem o que para e o que continua: ( para, ( continua.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-65fd77515e2d.svg)

*Os mesmos dois pontos, três objetos diferentes. Os parênteses e colchetes dizem o que para e o que continua: $[$ para, $($ continua.*

## 40.2 Retas paralelas e perpendiculares

**Definição 40.2 (Perpendiculares, paralelas).**

Duas retas são *perpendiculares* quando se cruzam formando um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle); escrevemos $d_1 \perp d_2$ e marcamos o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) com um quadradinho. Duas retas são *paralelas* quando nunca se encontram, por mais que sejam prolongadas; escrevemos $d_1 \parallel d_2$.

![Um cruzamento em ângulo reto (marcado com o quadradinho) e duas paralelas: mesma direção, nenhum ponto de cruzamento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-cc8654014598.svg)

*Um cruzamento em [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) (marcado com o quadradinho) e duas [paralelas](#def-g6-lines-perp): mesma direção, nenhum ponto de cruzamento.*

**Proposição 40.3 (Dois fatos úteis).**

1. Se duas retas são ambas [perpendiculares](#def-g6-lines-perp) a uma terceira reta, elas são [paralelas](#def-g6-lines-perp) entre si.
2. Se duas retas são [paralelas](#def-g6-lines-perp) , toda reta perpendicular a uma é perpendicular à outra.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 40.4 (Traçar com o esquadro).**

Para traçar a perpendicular a uma reta $d$ passando por um ponto $P$:

1. apoie uma das bordas do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) do esquadro sobre $d$ ;
2. deslize o esquadro ao longo de $d$ até a outra borda alcançar $P$ ;
3. trace a reta ao longo dessa borda e marque o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) .

Para uma paralela por $P$: trace uma perpendicular a $d$ e depois a perpendicular a *essa* reta passando por $P$ ([Proposição 40.3](#prop-g6-lines-facts)).

## 40.3 Círculos

**Definição 40.5 (Círculo).**

O *círculo* de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ é o conjunto de todos os pontos que estão à distância exatamente $r$ de $O$. Um [segmento](#def-g6-lines-objects) do centro até o círculo é um *[raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes)*; um [segmento](#def-g6-lines-objects) que liga dois pontos do círculo passando pelo centro é um *[diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle)* — o comprimento dele é $2r$; um [segmento](#def-g6-lines-objects) que liga dois pontos do círculo é uma *corda*.

![Um círculo com um raio (OM), um diâmetro (AB) (uma corda que passa pelo centro, com o dobro do comprimento do raio) e uma corda (CD).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-92a046f86108.svg)

*Um círculo com um [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $[OM]$, um [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[AB]$ (uma corda que passa pelo centro, com o dobro do comprimento do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes)) e uma corda $[CD]$.*

**Exemplo 40.6.**

“Trace o círculo de centro $O$ que passa por $A$”: abra o compasso de $O$ até $A$ — o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) é a distância $OA$ — e gire. Todo ponto desse círculo está à mesma distância de $O$ que $A$.

## 40.4 Ângulos

**Definição 40.7 (Ângulo).**

Duas semirretas $[AB)$ e $[AC)$ com o mesmo ponto de partida $A$ formam o *ângulo* $\widehat{BAC}$; o ponto $A$ é o *[vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)* dele (sempre a letra do meio!). Os ângulos são medidos em *graus* ($^\circ$), de $0^\circ$ a $360^\circ$ para uma volta completa. Um ângulo é:

- *reto* se mede $90^\circ$ ;
- *agudo* se mede menos que $90^\circ$ ;
- *obtuso* se mede entre $90^\circ$ e $180^\circ$ ;
- *raso* se mede $180^\circ$ (as duas semirretas formam uma reta).

![As quatro famílias de ângulos. O ângulo reto (90) é a referência: agudo quer dizer menor; obtuso, maior.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-63ce0be62b38.svg)

*As quatro famílias de ângulos. O [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) ($90^\circ$) é a referência: agudo quer dizer menor; obtuso, maior.*

**Método 40.8 (Medir um ângulo com o transferidor).**

1. Ponha o centro do transferidor exatamente sobre o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do ângulo;
2. alinhe a linha de $0^\circ$ dele com um dos lados do ângulo;
3. leia a graduação atravessada pelo outro lado — usando a escala que começa em $0$ no lado alinhado;
4. confira com o olho: um ângulo agudo tem de dar menos que $90^\circ$ , e um obtuso, mais.

**Exemplo 40.9.**

Antes de medir, estime! Um ângulo um pouco mais aberto que o canto de uma folha de papel tem pouco mais de $90^\circ$; a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) é $45^\circ$; um terço de um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) é $30^\circ$. Se o seu transferidor diz $150^\circ$ para um ângulo que parece agudo, você leu a escala errada: a medida correta é $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

## 40.5 Exercícios

**Exercício 40.1 ★.**

Marque três pontos $A$, $B$, $C$ não colineares. Trace com cores diferentes: o [segmento](#def-g6-lines-objects) $[AB]$, a semirreta $[CA)$ e a reta $(BC)$.

**Solução de Exercício 40.1.**

Construção livre. O [segmento](#def-g6-lines-objects) para em $A$ e em $B$; a semirreta começa em $C$ e continua além de $A$; a reta continua dos dois lados de $B$ e $C$.

**Exercício 40.2 ★.**

Verdadeiro ou falso? “$[AB]$ e $[BA]$ são o mesmo [segmento](#def-g6-lines-objects).” “$[AB)$ e $[BA)$ são a mesma semirreta.” “$(AB)$ e $(BA)$ são a mesma reta.” Explique cada resposta.

**Solução de Exercício 40.2.**

“$[AB] = [BA]$”: *verdadeiro* — a parte entre os dois pontos não depende da ordem.

“$[AB) = [BA)$”: *falso* — $[AB)$ começa em $A$ e $[BA)$ começa em $B$; elas apontam em sentidos opostos.

“$(AB) = (BA)$”: *verdadeiro* — os dois nomes descrevem a mesma reta ilimitada.

**Exercício 40.3 ★.**

Trace uma reta $d$ e um ponto $P$ fora de $d$. Construa com o esquadro: a perpendicular a $d$ por $P$ e depois a paralela a $d$ por $P$. Descreva os seus passos.

**Solução de Exercício 40.3.**

Passos: deslize o esquadro ao longo de $d$ até a borda perpendicular passar por $P$; trace essa perpendicular e chame-a de $p$. Depois trace do mesmo jeito a perpendicular a $p$ por $P$: pela [Proposição 40.3](#prop-g6-lines-facts), ela é paralela a $d$.

**Exercício 40.4 ★.**

As retas $a$ e $b$ são ambas [perpendiculares](#def-g6-lines-perp) a uma reta $c$, e uma quarta reta $e$ é perpendicular a $a$. O que você pode dizer sobre $a$ e $b$? E sobre $e$ e $c$? Justifique com a [Proposição 40.3](#prop-g6-lines-facts).

**Solução de Exercício 40.4.**

$a$ e $b$ são ambas [perpendiculares](#def-g6-lines-perp) à mesma reta $c$, logo $a \parallel b$ (fato 1). Quanto a $e$ e $c$: as duas são [perpendiculares](#def-g6-lines-perp) à mesma reta $a$ (é dado que $e \perp a$, e $a \perp c$ também significa $c \perp a$), então o fato 1 se aplica de novo: $e \parallel c$.

**Exercício 40.5 ★.**

Trace um círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Marque um ponto $M$ sobre o círculo, um ponto $N$ dentro e um ponto $P$ fora. O que você pode dizer sobre as distâncias $OM$, $ON$, $OP$ em comparação com $3$ cm?

**Solução de Exercício 40.5.**

$OM = 3$ cm exatamente ($M$ está sobre o círculo); $ON < 3$ cm ($N$ está dentro); $OP > 3$ cm ($P$ está fora).

**Exercício 40.6 ★.**

Um círculo tem [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $9$ cm. Qual é o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) dele? Outro tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2.6$ cm: qual é o [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle)?

**Solução de Exercício 40.6.**

[Raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. [Diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

**Exercício 40.7 ★.**

Nomeie o ângulo marcado com três letras e depois classifique-o (agudo, reto, obtuso, raso): um ângulo de $72^\circ$ com [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $R$ entre semirretas para $S$ e $T$; um ângulo de $148^\circ$ com [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $B$ entre semirretas para $A$ e $C$; um ângulo de $90^\circ$ com [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $O$ entre semirretas para $M$ e $N$.

**Solução de Exercício 40.7.**

$\widehat{SRT} = 72^\circ$: agudo. $\widehat{ABC} = 148^\circ$: obtuso. $\widehat{MON} = 90^\circ$: reto. (O [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) é sempre a letra do meio.)

**Exercício 40.8 ★.**

Estime e depois meça com o transferidor os três ângulos de um triângulo traçado por você. Some as três medidas: o que você encontra? (Guarde a sua resposta para o [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#ch-g7-triangles).)

**Solução de Exercício 40.8.**

As medidas dependem do triângulo traçado, mas a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos três ângulos é sempre (bem perto de) $180^\circ$ — as pequenas [diferenças](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) vêm da imprecisão da medição. O [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#ch-g7-triangles) demonstra que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é exatamente $180^\circ$.

**Exercício 40.9 ★.**

Trace um ângulo $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ com o transferidor e depois um ângulo de $130^\circ$. Como você conseguiria o segundo a partir do primeiro sem o transferidor?

**Solução de Exercício 40.9.**

Construção livre. Para obter $130^\circ$ a partir de $65^\circ$ sem o transferidor: copie o ângulo de $65^\circ$ duas vezes, lado a lado ($65 + 65 = 130$), por exemplo com papel vegetal ou com uma cópia de ângulo feita a régua e compasso.

**Exercício 40.10 ★★.**

Dois vilarejos $A$ e $B$ estão marcados num mapa. Onde ficam os pontos que estão a $3$ cm de $A$ *e* a $2$ cm de $B$? Faça um desenho mostrando quantos pontos desses pode haver ($0$, $1$ ou $2$, conforme a distância $AB$).

**Solução de Exercício 40.10.**

Os pontos a $3$ cm de $A$ formam o círculo de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm; os que estão a $2$ cm de $B$ formam o círculo de centro $B$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm. Os pontos procurados são as interseções dos dois círculos: dois pontos se os círculos se cruzam ($AB$ estritamente entre $1$ e $5$ cm), um se eles se tocam ($AB = 5$ cm ou $AB = 1$ cm), e nenhum se estão longe demais ou um dentro do outro.

**Exercício 40.11 ★★.**

Um relógio marca 3 horas: qual é o ângulo entre os dois ponteiros? A mesma pergunta às 5 horas e às 6 horas. (Uma volta completa é $360^\circ$ para $12$ horas.)

**Solução de Exercício 40.11.**

As $12$ marcas das horas dividem a volta completa em $12$ ângulos de $360 \div 12 = 30^\circ$. Às 3 horas os ponteiros abrangem $3$ marcas: $90^\circ$ (um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)). Às 5 horas: $5 \times 30 = 150^\circ$. Às 6 horas: $180^\circ$ (um ângulo raso).

**Exercício 40.12 ★★★.**

Trace um [segmento](#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $6$ cm. Construa o ponto $C$ tal que $AC = BC = 6$ cm, usando apenas o compasso, e meça o ângulo $\widehat{CAB}$. Que triângulo você construiu, e o que você conjectura sobre os ângulos dele?

**Solução de Exercício 40.12.**

Trace dois arcos de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm com centros em $A$ e em $B$; o ponto de cruzamento deles é $C$. Os três lados medem $6$ cm: o triângulo é equilátero, e cada ângulo mede $60^\circ$ (a medição confirma). Conjectura: um triângulo equilátero tem três ângulos iguais de $60^\circ$.

## 40.6 Problema: a geometria do mostrador do relógio

**Problema 40.1.**

Problema de fim de semana — ângulos como frações de volta: lê-los no relógio, caçar os momentos em que os ponteiros se encontram e fatiar um dia numa pizza

O relógio é um transferidor que diz as horas: o mostrador dele é uma volta completa de $360^\circ$, cortada pelas doze marcas das horas em doze ângulos iguais. O [Exercício 40.11](#exo-g6-lines-11) mediu os ponteiros às 3 horas e às 6 horas; este problema constrói a teoria completa — incluindo os horários em que *nenhum* ponteiro aponta para uma marca —, responde a uma pergunta que poucos adultos acertam (“quantas vezes os dois ponteiros ficam exatamente um sobre o outro?”) e termina fatiando um dia inteiro num gráfico de pizza.

**Parte I — Frações de volta.**

1. Uma volta completa mede $360^\circ$ . Quantos graus são meia volta, um quarto de volta, um doze avos de volta?
2. As doze marcas das horas cortam o mostrador em doze ângulos iguais no centro. Quantos graus entre duas marcas vizinhas? Recupere a resposta do [Exercício 40.11](#exo-g6-lines-11) para as 3 horas contando marcas.
3. Dê o ângulo entre os ponteiros à 1 hora, às 4 horas e às 7 horas. (Às 7 horas os ponteiros separam o mostrador em dois ângulos; “o ângulo entre os ponteiros” sempre significa o *menor* deles.)
4. O ponteiro dos minutos dá uma volta completa em $60$ minutos. Quantos graus ele varre por minuto?
5. O ponteiro das horas vai de uma marca à seguinte — $30^\circ$ — em $60$ minutos. Quantos graus *ele* varre por minuto? (Um [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places) , [Capítulo 38](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#ch-g6-decimals) .)

**Parte II — Horários em que nada aponta para uma marca.**

6. Às 3:30, o ponteiro dos minutos aponta para o $6$ . Onde está exatamente o ponteiro das horas? Calcule o ângulo de cada ponteiro a partir do $12$ (medindo no sentido horário) e deduza o ângulo entre os ponteiros.
7. Às 6:30, muita gente acha que os ponteiros estão um sobre o outro. Chute primeiro e depois calcule o ângulo como na questão 6. Quem estava certo?
8. Calcule o ângulo entre os ponteiros às 9:15.
9. Explique por que, em algum instante entre 1:00 e 1:10, os dois ponteiros têm de estar exatamente um sobre o outro: onde está o ponteiro dos minutos em relação ao das horas à 1:00, e onde está à 1:10? Que ponteiro corre mais depressa, e por que isso resolve a questão?
10. Em doze horas, quantas vezes os dois ponteiros ficam exatamente um sobre o outro? (Um encontro acontece em cada trecho entre horas sucessivas — com uma exceção: o que acontece entre 11 e 12? Liste os horários aproximados dos encontros e conte.) E num dia inteiro?

**Parte III — Ângulos em torno de um ponto: gráficos de pizza.**

11. Os doze setores do mostrador juntos preenchem o mostrador: os ângulos deles somam $360^\circ$ . Explique por que isso vale para *qualquer* coleção de ângulos que compartilhem um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) e preencham uma volta completa em torno dele, sem sobreposição e sem falha.
12. Zoe registra o dia dela, de $24$ horas: sono $9$ h, escola $6$ h, brincadeira $3$ h, refeições $2$ h, todo o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $4$ h. Ela quer um *gráfico de pizza* : um disco em que cada atividade ganha um setor, com ângulos proporcionais aos tempos. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do dia é cada atividade, e quantos graus ganha o setor dela? Confira que os cinco ângulos somam $360^\circ$ .
13. Descreva, passo a passo, como traçar o gráfico de pizza de Zoe com compasso e transferidor ( [Método 40.8](#met-g6-lines-protractor) ): para onde vai o primeiro [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) e como cada setor novo começa onde o anterior termina.
14. Em outro gráfico de pizza de um dia, um setor mede exatamente $90^\circ$ . Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do disco é essa, e quantas horas ela representa?
15. O grande final, de volta ao relógio: em $24$ horas, quantas voltas completas dá o ponteiro das horas? E o dos minutos? E o dos segundos? (Uma dessas respostas passa de mil.)

**Solução de Problema 40.1.**

**1.** Meia volta: $360 \div 2 = 180^\circ$. Um quarto: $360 \div 4 = 90^\circ$. Um doze avos: $360 \div 12 = 30^\circ$.

**2.** Doze ângulos iguais preenchendo $360^\circ$: $30^\circ$ entre marcas vizinhas. Às 3 horas os ponteiros abrangem $3$ marcas: $3 \times 30 = 90^\circ$ — um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), como no [Exercício 40.11](#exo-g6-lines-11).

**3.** À 1 hora: $1 \times 30 = 30^\circ$. Às 4 horas: $4 \times 30 = 120^\circ$. Às 7 horas os ponteiros abrangem $7$ marcas de um lado, $7 \times 30 = 210^\circ$, então o ângulo entre eles é o do outro lado: $360 - 210 = 150^\circ$.

**4.** $360^\circ$ em $60$ minutos: $360 \div 60 = 6^\circ$ por minuto.

**5.** $30^\circ$ em $60$ minutos: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ por minuto — meio grau. O ponteiro das horas se arrasta; o dos minutos avança a passos largos.

**6.** Nos $30$ minutos desde as 3:00, o ponteiro das horas andou $30 \times 0.5 = 15^\circ$ além do $3$: ele fica exatamente no meio, entre o $3$ e o $4$, a $90 + 15 = 105^\circ$ do $12$. O ponteiro dos minutos aponta para o $6$: $180^\circ$. Ângulo entre os ponteiros: $180 - 105 = 75^\circ$.

**7.** A conta vence o chute: o ponteiro dos minutos está a $180^\circ$, mas o das horas já deixou o $6$ — ele está a $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$. O ângulo entre os ponteiros é $195 - 180 = 15^\circ$: perto, mas não um sobre o outro.

**8.** Ponteiro dos minutos no $3$: $90^\circ$. Ponteiro das horas: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$. [Diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference): $277.5 - 90 = 187.5^\circ$, então o ângulo entre os ponteiros é $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — quase um ângulo raso.

**9.** À 1:00 o ponteiro dos minutos ($0^\circ$) está *atrás* do das horas ($30^\circ$). À 1:10 o ponteiro dos minutos ($60^\circ$) está *à frente* dele ($30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$). O ponteiro dos minutos corre mais depressa ($6^\circ$ por minuto contra $0.5^\circ$), então entre 1:00 e 1:10 ele alcança e ultrapassa o das horas — no instante da ultrapassagem, os dois ponteiros estão exatamente um sobre o outro.

**10.** A mesma perseguição se repete: os ponteiros se encontram às 12:00 em ponto e depois por volta de 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 e 10:55. O encontro que se esperaria entre 11 e 12 cai exatamente *às* 12:00, que já começa a rodada seguinte — então, em doze horas, os ponteiros coincidem $11$ vezes, e não $12$. Num dia inteiro: $22$ vezes.

**11.** Ângulos que compartilham um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), sem sobreposição e sem falha, ladrilham a volta completa em torno desse [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): varrer uma vez em torno do ponto atravessa cada ângulo exatamente uma vez, e uma varredura completa é $360^\circ$. Logo as medidas somam $360^\circ$ — qualquer que seja a quantidade de ângulos e o tamanho deles.

**12.** Cada hora do dia vale $360 \div 24 = 15^\circ$. Assim:

$$
\text{sono } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad
\text{escola } 90^\circ, \quad
\text{brincadeira } 45^\circ, \quad
\text{refeições } 30^\circ, \quad
\text{resto } 60^\circ,
$$

e $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$: a pizza está completa, sem falha e sem sobreposição (questão 11).

**13.** Trace um círculo com o compasso e um [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) (a linha de partida). Ponha o centro do transferidor sobre o centro do círculo, a linha de $0^\circ$ sobre o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes), e marque $135^\circ$; trace o novo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes): o setor do sono está pronto. Depois ponha a linha de $0^\circ$ sobre *esse* [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) e marque $90^\circ$ para a escola, e assim por diante — cada setor começa onde o anterior termina. Depois do último setor, o desenho se fecha exatamente sobre o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) de partida.

**14.** $90^\circ$ é $\frac{90}{360} = \frac14$ do disco ([Método 39.7](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#met-g6-fractions-simplify)), então representa um quarto do dia: $24 \div 4 = 6$ horas.

**15.** O ponteiro das horas dá uma volta em $12$ horas: $2$ voltas por dia. O dos minutos, uma volta por hora: $24$ voltas. O dos segundos, uma volta por minuto: $24 \times 60 = 1\,440$ voltas por dia.