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title: "Triângulos e quadriláteros"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 41
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros
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# Capítulo 41 — Triângulos e quadriláteros

Triângulos e [quadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) são as formas básicas da geometria. O objetivo deste capítulo é conhecer as famílias especiais deles — [isósceles](#def-g6-shapes-triangles), [equiláteros](#def-g6-shapes-triangles), retângulos; retângulos, [losangos](#def-g6-shapes-quadrilaterals), quadrados — pelas suas *propriedades definidoras*, e construí-los com precisão com régua e compasso.

## 41.1 Triângulos

**Definição 41.1 (Triângulos especiais).**

Um triângulo $ABC$ tem três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) e três lados. Ele é:

- *isósceles* em $A$ quando $AB = AC$ (dois lados iguais);
- *equilátero* quando $AB = BC = CA$ (três lados iguais);
- *retângulo* em $A$ quando o ângulo $\widehat{BAC}$ é reto. O lado $[BC]$ , oposto ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) , chama-se *hipotenusa* .

![Os três triângulos especiais. Os tracinhos indicam lados iguais; o quadradinho marca o ângulo reto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-611fb9dc4939.svg)

*Os três triângulos especiais. Os tracinhos indicam lados iguais; o quadradinho marca o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle).*

**Método 41.2 (Construir um triângulo a partir dos três lados).**

Para construir $ABC$ com $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

1. trace o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $5$ cm com a régua;
2. trace um arco do círculo de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm (todos os pontos a $4$ cm de $A$ );
3. trace um arco do círculo de centro $B$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm;
4. o ponto $C$ é onde os dois arcos se cruzam; ligue-o a $A$ e a $B$ .

![Construção de um triângulo com o compasso: o vértice C é o ponto de cruzamento de dois arcos. (No você vai ver quando essa construção é possível.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-df026e474b4b.svg)

*Construção de um triângulo com o compasso: o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $C$ é o ponto de cruzamento de dois arcos. (No [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#ch-g7-triangles) você vai ver quando essa construção é possível.)*

## 41.2 Quadriláteros

**Definição 41.3 (Quadriláteros especiais).**

Um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem quatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) e quatro lados. Ele é um:

- *retângulo* quando os quatro ângulos dele são retos;
- *losango* quando os quatro lados dele têm o mesmo comprimento;
- *quadrado* quando é as duas coisas: quatro [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) *e* quatro lados iguais.

**Proposição 41.4 (Propriedades das diagonais).**

Nesses [quadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon), as duas diagonais se cortam no ponto médio comum delas e, além disso:

- num retângulo, as diagonais têm o *mesmo comprimento* ;
- num [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) , as diagonais são *[perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)* ;
- num quadrado, as duas coisas ao mesmo tempo.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Os três quadriláteros especiais com as suas diagonais (em vermelho). O quadrado herda as propriedades do retângulo e do losango.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-2e21c6c96604.svg)

*Os três [quadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) especiais com as suas diagonais (em vermelho). O quadrado herda as propriedades do retângulo e do [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals).*

**Observação 41.5.**

Um quadrado é automaticamente um retângulo (tem quatro [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)) e automaticamente um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (quatro lados iguais). Então “retângulo” não quer dizer “que não é quadrado”! Em matemática, a forma mais especial pertence à família mais geral.

**Exemplo 41.6 (Reconhecer uma forma pelas propriedades).**

Um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem quatro lados de comprimento $4$ cm e um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle). O que é ele? Quatro lados iguais fazem dele um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals). Num [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals), os ângulos opostos são iguais e os quatro ângulos somam $360^\circ$; um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) obriga então os quatro a serem retos (isso será demonstrado com os paralelogramos no [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central)). Logo a forma é um quadrado.

**Método 41.7 (Programas de construção).**

Um *programa de construção* é uma lista de instruções que qualquer pessoa pode seguir para reproduzir uma figura exatamente. Escreva uma instrução por linha, dê nome a cada ponto no momento em que ele é criado, e use apenas: “trace o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) / a reta / o círculo…”, “marque o ponto onde … se cruzam”. Teste o seu programa seguindo-o ao pé da letra, palavra por palavra.

**Exemplo 41.8.**

Programa para um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm:

1. Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ com $AB = 4$ cm.
2. Trace a perpendicular a $(AB)$ em $A$ ; sobre ela, marque $D$ a $4$ cm de $A$ (escolha um lado da reta e mantenha-o).
3. Trace a perpendicular a $(AB)$ em $B$ ; sobre ela, marque $C$ a $4$ cm de $B$ , do mesmo lado que $D$ .
4. Ligue $C$ e $D$ .

Confira com a régua: $DC$ também deve medir $4$ cm.

## 41.3 Exercícios

**Exercício 41.1 ★.**

Construa um triângulo $ABC$ com $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm e $BC = 4$ cm, seguindo o [Método 41.2](#met-g6-shapes-construct).

**Solução de Exercício 41.1.**

Siga o método: [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $6$ cm, arco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm com centro em $A$, arco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm com centro em $B$; o ponto de cruzamento é $C$.

**Exercício 41.2 ★.**

Construa um [triângulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) $DEF$ com $DE = DF = 5$ cm e $EF = 3$ cm. Que dois ângulos desse triângulo parecem iguais? Meça-os para conferir.

**Solução de Exercício 41.2.**

Base $[EF]$ de $3$ cm e depois dois arcos de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm com centros em $E$ e em $F$; o cruzamento deles é $D$. Os dois ângulos da base, $\widehat{DEF}$ e $\widehat{DFE}$, são iguais (cerca de $72.5^\circ$ cada um) — é a simetria do [triângulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) ([Exemplo 42.8](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#ex-g6-symmetry-proves)).

**Exercício 41.3 ★.**

Construa um [triângulo equilátero](#def-g6-shapes-triangles) de lado $4$ cm usando apenas régua e compasso. Meça um dos ângulos dele.

**Solução de Exercício 41.3.**

[Segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $4$ cm e depois dois arcos de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm com centros nas pontas dele. Todos os ângulos medem $60^\circ$.

**Exercício 41.4 ★.**

Classifique cada triângulo a partir dos dados ([isósceles](#def-g6-shapes-triangles), [equilátero](#def-g6-shapes-triangles), retângulo — várias respostas podem valer): (a) lados $7$, $7$, $7$; (b) lados $5$, $5$, $8$; (c) ângulos $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$; (d) ângulos $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

**Solução de Exercício 41.4.**

(a) [equilátero](#def-g6-shapes-triangles) (portanto também [isósceles](#def-g6-shapes-triangles)). (b) [isósceles](#def-g6-shapes-triangles) ($5 = 5$). (c) retângulo e [isósceles](#def-g6-shapes-triangles) (dois ângulos iguais de $45^\circ$ ficam opostos a dois lados iguais). (d) [equilátero](#def-g6-shapes-triangles) (três ângulos iguais).

**Exercício 41.5 ★.**

Num [triângulo retângulo](#def-g6-shapes-triangles), qual lado é a hipotenusa? Trace um triângulo $MNP$ retângulo em $N$ e nomeie a hipotenusa dele. Que [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) a hipotenusa nunca toca?

**Solução de Exercício 41.5.**

A hipotenusa é o lado oposto ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), sempre o lado mais longo. Em $MNP$ retângulo em $N$, a hipotenusa é $[MP]$: ela nunca toca o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), $N$.

**Exercício 41.6 ★.**

Verdadeiro ou falso? Justifique cada resposta em uma frase.

1. Todo quadrado é um retângulo.
2. Todo retângulo é um quadrado.
3. Todo quadrado é um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) .
4. Um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) com um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) é um quadrado.

**Solução de Exercício 41.6.**

*1. Verdadeiro*: um quadrado tem quatro [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), que é a definição de retângulo.

*2. Falso*: um retângulo $5 \times 3$ tem lados desiguais.

*3. Verdadeiro*: um quadrado tem quatro lados iguais, a definição de [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

*4. Verdadeiro*: veja o [Exemplo 41.6](#ex-g6-shapes-recognize).

**Exercício 41.7 ★.**

Construa um retângulo $ABCD$ com $AB = 5$ cm e $BC = 3$ cm. Meça as duas diagonais dele: o que você observa?

**Solução de Exercício 41.7.**

Construção com [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), como no [Exemplo 41.8](#ex-g6-shapes-program). As duas diagonais medem cerca de $5.8$ cm: as diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento ([Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)).

**Exercício 41.8 ★.**

Construa um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) com diagonais de $6$ cm e $4$ cm. (Use a [Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): trace antes as duas diagonais — [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), cruzando-se nos pontos médios — e depois ligue as quatro pontas.)

**Solução de Exercício 41.8.**

Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $6$ cm; o ponto médio $O$ dele; a perpendicular em $O$; sobre ela, dois pontos a $2$ cm de $O$, um de cada lado. Ligar as quatro pontas dá o [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (os quatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ficam a distâncias $3$ cm e $2$ cm de $O$ ao longo de [retas perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), então os quatro lados são iguais por simetria).

**Exercício 41.9 ★★.**

Escreva um programa de construção para um [triângulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) de base $4$ cm e lados iguais de $6$ cm, no estilo do [Exemplo 41.8](#ex-g6-shapes-program). Troque com um colega: ele consegue segui-lo sem ver a sua figura?

**Solução de Exercício 41.9.**

Um programa correto: 1. trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[BC]$ com $BC = 4$ cm; 2. trace o arco de centro $B$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm acima de $[BC]$; 3. trace o arco de centro $C$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm acima de $[BC]$; 4. chame de $A$ o ponto de cruzamento dos dois arcos; 5. trace os [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ e $[AC]$.

**Exercício 41.10 ★★.**

Trace um círculo de centro $O$ e um dos [diâmetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) dele, $[AB]$. Marque um ponto $M$ qualquer sobre o círculo e trace o triângulo $AMB$. Meça o ângulo $\widehat{AMB}$. Mude $M$ de lugar e meça de novo. O que você conjectura? (Esse fato surpreendente é demonstrado no [Capítulo 60](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#ch-g8-cosine).)

**Solução de Exercício 41.10.**

Qualquer que seja a posição de $M$ sobre o círculo, o ângulo $\widehat{AMB}$ mede $90^\circ$: o triângulo $AMB$ é retângulo em $M$ sempre que $[AB]$ for um [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle). A demonstração espera o [Capítulo 60](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#ch-g8-cosine).

**Exercício 41.11 ★★.**

Um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem diagonais de mesmo comprimento que se cortam no ponto médio comum delas. Descubra que forma ele tem de ser, usando a [Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): retângulo, [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ou quadrado? (Cuidado: só uma propriedade foi dada.)

**Solução de Exercício 41.11.**

Diagonais que se cortam no ponto médio e têm comprimentos iguais: essa é a lista de propriedades do *retângulo* ([Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)). Nada obriga as diagonais a serem [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), então não precisa ser [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) nem quadrado — a resposta certa é retângulo (um quadrado também satisfaria, mas não é obrigatório).

**Exercício 41.12 ★★★.**

Numa malha de $4 \times 4$ pontos, quantos quadrados diferentes você consegue traçar com os cantos sobre pontos da malha — contando também os quadrados “inclinados”? Trace ao menos um quadrado inclinado e explique por que os lados dele são iguais.

**Solução de Exercício 41.12.**

Com $4 \times 4$ pontos há $3 \times 3$ células de malha. Quadrados alinhados à malha: lados $1$, $2$ ou $3$ dão $9 + 4 + 1 = 14$ quadrados. Também existem quadrados inclinados: os pequenos, cujos lados são diagonais de células $1 \times 1$ (como $(1,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,1)$) — quatro deles; e os maiores, cujos lados são diagonais de retângulos $2 \times 1$, como $(1,0)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(0,2)$ — dois deles. Os quatro lados de um quadrado desses são iguais porque são diagonais de retângulos idênticos. Total: $14 + 4 + 2 = 20$ quadrados. (Qualquer contagem com um exemplo inclinado correto e os $14$ alinhados já é um sucesso neste nível.)

## 41.4 Problema: o que as diagonais sabem

**Problema 41.1.**

Problema de fim de semana — reconstruir cada quadrilátero especial só a partir das diagonais, e contar as diagonais de um polígono qualquer

A [Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) lê uma forma e conta o que se passa com as diagonais dela. Este problema joga o jogo *ao contrário*: dados apenas dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) que se cruzam — as futuras diagonais —, que forma aparece quando ligamos as quatro pontas deles? Você vai montar um “dicionário das diagonais” completo, entender *por que* a construção do [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) do [Exercício 41.8](#exo-g6-shapes-8) funciona, encontrar uma forma que ainda não tem nome e terminar contando as diagonais de [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com bem mais de quatro lados.

**Parte I — O dicionário das diagonais.** Em cada questão, trace os dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) como descrito, ligue as quatro pontas em ordem e identifique o [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) obtido.

1. Dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $6$ cm cada, [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) , cruzando-se no ponto médio comum. Meça os quatro lados e os quatro ângulos da forma resultante: o que é ela?
2. Dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $8$ cm e $5$ cm, [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) , cruzando-se no ponto médio comum. Que forma aparece ( [Exercício 41.8](#exo-g6-shapes-8) )?
3. Dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $7$ cm cada — iguais, mas *não* [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) — cruzando-se no ponto médio comum. Meça os lados e os ângulos: que forma você conjectura?
4. Dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $8$ cm e $5$ cm, não [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) , cruzando-se no ponto médio comum. A forma obtida não é nenhuma das três da [Definição 41.3](#def-g6-shapes-quadrilaterals) — descreva o que você vê (que lados parecem iguais? paralelos?). Esse [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) recebe nome no [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central) .
5. Resuma as questões 1 a 4 num dicionário de quatro entradas: diagonais *iguais / [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) / as duas coisas / nenhuma das duas* (sempre cruzando-se nos pontos médios) $\rightarrow$ nome (ou descrição) da forma.

**Parte II — Por que as construções funcionam.**

6. Na questão 2, as duas diagonais cortam a forma em quatro [triângulos retângulos](#def-g6-shapes-triangles) em torno do ponto de cruzamento. Quais são os dois comprimentos dos catetos de cada um desses triângulos? Explique por que os quatro triângulos são cópias exatas uns dos outros e deduza por que os quatro lados da forma são iguais — o segredo do [Exercício 41.8](#exo-g6-shapes-8) .
7. Deduza um teste só com o compasso: depois de construir uma forma qualquer a partir das diagonais, como conferir apenas com o compasso (sem medir com régua) que os quatro lados são iguais?
8. Escreva um programa de construção ( [Método 41.7](#met-g6-shapes-program) ) para um quadrado cujas *diagonais* meçam $6$ cm — e não os lados.
9. No quadrado da questão 8, o lado é maior ou menor que $3$ cm — a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da diagonal? Meça para descobrir. [Metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da resposta já pode ser *demonstrada* : ir de um canto ao seguinte passando pelo centro é um desvio de $3 + 3$ cm, e um caminho reto é sempre mais curto que um desvio — então o lado é menor que $6$ cm. (Demonstrar que ele também supera $3$ cm, e calculá-lo exatamente, é tarefa do [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) .)
10. Uma entrada nova para o dicionário: trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm; sobre ele, marque o ponto $H$ a $3$ cm de $A$ ; trace por $H$ o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) perpendicular $[BD]$ de $5$ cm, com $H$ como ponto médio *dele* . Ligue $ABCD$ . Essa forma é uma *pipa* (uma diagonal corta a outra ao meio, formando [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) ). Usando os triângulos dos cantos como na questão 6, descubra que lados de uma [pipa](#pb-g6-shapes-1) são iguais a quais.

**Parte III — Contar diagonais.** Uma *diagonal* de um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) liga dois [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que não são vizinhos.

11. Trace um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) , um [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (cinco [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ) e um [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ) e trace todas as diagonais deles. Conte-as: quantas em cada caso?
12. Contando sem desenhar, para o [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) : de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) , quantas diagonais saem? (A quantos dos seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ele *não* pode ser ligado por uma diagonal?) Multiplicar pelos seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) conta cada diagonal exatamente duas vezes — por quê? Recupere a sua contagem da questão 11. (A mesma contagem em dobro apareceu nos apertos de mão do [Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#pb-g6-wholes-1) .)
13. Use o método da questão 12 para contar as diagonais de um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com $10$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) e depois com $20$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) .
14. Um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem exatamente $44$ diagonais. Quantos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ele tem? (Experimente o método da questão 13 em alguns candidatos.)
15. Confira o seu método no menor [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de todos: quantas diagonais tem um triângulo, e o que responde o método de contagem da questão 12? Conclua com uma frase sobre o que apertos de mão e diagonais têm em comum.

**Solução de Problema 41.1.**

**1.** Os quatro lados medem todos o mesmo (cerca de $4.2$ cm) e os quatro ângulos são retos: a forma é um *quadrado*. (As diagonais iguais dão os [ângulos retos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), como no retângulo; as [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) dão os lados iguais, como no [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals); as duas coisas juntas dão o quadrado — a [Proposição 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) lida ao contrário.)

**2.** Um *[losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals)*: quatro lados iguais (cerca de $4.7$ cm), mas nenhum [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) — exatamente a construção do [Exercício 41.8](#exo-g6-shapes-8).

**3.** Os quatro ângulos saem retos, mas os lados vêm em dois comprimentos diferentes: um *retângulo* — é a situação do [Exercício 41.11](#exo-g6-shapes-11).

**4.** Nenhuma afirmação de igualdade de comprimentos sobrevive à medição e nenhum [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) aparece; mas os lados opostos são iguais dois a dois e parecem paralelos. É o “retângulo torto” geral, cujas diagonais apenas se cortam ao meio — o *paralelogramo*, nomeado e estudado no [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central).

**5.** Diagonais que se cruzam no ponto médio comum:

| diagonais… | forma |
| --- | --- |
| iguais e [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) | quadrado |
| só [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) | [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) |
| só iguais | retângulo |
| nenhuma das duas | a sem nome (veja o [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central)) |

**6.** Cada triângulo de canto tem um cateto sobre cada diagonal: a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $8$ cm e a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $5$ cm, ou seja, catetos de $4$ cm e $2.5$ cm, com um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) entre eles — os mesmos dados para os quatro. Triângulos construídos com os mesmos dois catetos e o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) entre eles são cópias exatas uns dos outros (construa-os: as aberturas do compasso são idênticas). As quatro hipotenusas deles — os lados da forma — são, portanto, iguais: a forma é um [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

**7.** Abra o compasso no comprimento de um lado e depois passeie-o pela forma: se a ponta seca e o grafite caírem exatamente sobre cada par de cantos vizinhos, os quatro lados valem essa mesma abertura. Sem régua nenhuma.

**8.** Programa:

1. Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ com $AC = 6$ cm e marque o ponto médio $O$ dele (meça $3$ cm a partir de $A$ ).
2. Trace a perpendicular a $(AC)$ em $O$ .
3. Sobre ela, marque $B$ e $D$ a $3$ cm de $O$ , um de cada lado.
4. Ligue $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonais iguais ($6$ cm), [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) e que se cortam ao meio: pelo dicionário, $ABCD$ é um quadrado.

**9.** A medição dá cerca de $4.2$ cm: *maior* que $3$ cm — o palpite comum “a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da diagonal” está errado. A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) demonstrável: para ir do canto $A$ ao canto seguinte $B$, pode-se percorrer o lado $[AB]$ em linha reta ou fazer o desvio $A \to O \to B$ pelo centro, que custa $3 + 3 = 6$ cm; o lado reto é mais curto, então o lado mede menos que $6$ cm. Que ele também seja *maior* que $3$ cm é o que a régua mostra; o [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) vai demonstrar isso e dar o valor exato ($3$ cm multiplicado pela raiz quadrada de $2$, cerca de $4.24$ cm).

**10.** Os quatro triângulos de canto em $H$ agora vêm em *dois* pares iguais: dois com catetos $3$ cm e $2.5$ cm (hipotenusas $[AB]$ e $[AD]$) e dois com catetos $5$ cm e $2.5$ cm (hipotenusas $[CB]$ e $[CD]$). Logo $AB = AD$ e $CB = CD$: uma [pipa](#pb-g6-shapes-1) tem dois pares de lados *vizinhos* iguais (o [losango](#def-g6-shapes-quadrilaterals) é a [pipa](#pb-g6-shapes-1) especial em que os quatro coincidem).

**11.** [Quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonais. [Pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $9$.

**12.** De um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) saem diagonais para todos os [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), exceto ele mesmo e os dois vizinhos: $6 - 3 = 3$ diagonais. Os seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) lançam $6 \times 3 = 18$ pontas de diagonal — mas cada diagonal foi contada nas *duas* pontas dela, uma vez por extremidade, exatamente como um aperto de mão contado pelos dois que se cumprimentam ([Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#pb-g6-wholes-1)). Contagem verdadeira: $18 \div 2 = 9$. Confere com o desenho.

**13.** Dez [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): $10 - 3 = 7$ de cada um, então $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonais. Vinte [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonais.

**14.** Teste candidatos: $10$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) dão $35$ (questão 13); $11$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) dão $11 \times 8 \div 2 = 44$. Achamos: o [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem $11$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def).

**15.** Um triângulo não tem diagonal nenhuma: os “não vizinhos” de cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) são … ninguém, já que os outros dois [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) são ambos vizinhos dele. O método concorda: $3 - 3 = 0$ de cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), total $0$. Apertos de mão e diagonais são a mesma contagem com roupas diferentes: pares escolhidos dentro de um grupo, cada par contado uma vez — a matemática recicla as boas ideias dela.