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title: "Simetria axial"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 42
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial
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# Capítulo 42 — Simetria axial

Dobre uma folha de papel ao longo de uma reta: cada ponto cai sobre outro ponto, a imagem espelhada dele. Essa dobra é a *[simetria axial](#def-g6-symmetry-def)* (ou reflexão), a primeira transformação geométrica do livro — a segunda, a simetria central, vem no [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central).

## 42.1 Reflexões

**Definição 42.1 (Ponto simétrico).**

Seja $d$ uma reta. O *simétrico* de um ponto $M$ em relação a $d$ é o ponto $M'$ tal que $d$ é a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[MM']$: o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[MM']$ é perpendicular a $d$, e $d$ o corta no ponto médio. Um ponto *sobre* $d$ é o simétrico de si mesmo.

![Refletindo em relação à reta d: o eixo é perpendicular a (MM') e passa pelo ponto médio dele (tracinhos iguais). Um ponto P sobre o eixo não se move.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c8d65390f364.svg)

*Refletindo em relação à reta $d$: o eixo é perpendicular a $[MM']$ e passa pelo ponto médio dele (tracinhos iguais). Um ponto $P$ sobre o eixo não se move.*

**Método 42.2 (Construir um ponto simétrico).**

Para construir o [simétrico](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ em relação à reta $d$:

1. trace a perpendicular a $d$ que passa por $M$ (esquadro); chame de $H$ o ponto em que ela cruza $d$ ;
2. meça $MH$ com o compasso ou com a régua;
3. marque $M'$ sobre a mesma perpendicular, do outro lado de $d$ , com $HM' = MH$ .

No papel quadriculado é mais rápido: conte os quadradinhos de $M$ até o eixo e conte a mesma quantidade do outro lado.

**Exemplo 42.3 (Na malha quadriculada).**

Se o eixo for uma linha vertical da malha e $M$ estiver $3$ quadradinhos à esquerda dela, então $M'$ fica $3$ quadradinhos à direita, na mesma linha. Para um eixo diagonal, a contagem funciona ao longo das diagonais — sempre perpendicularmente ao eixo.

![Uma figura e a reflexão dela em relação ao eixo vertical: cada vértice é refletido quadradinho a quadradinho, e esquerda e direita trocam de lugar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-6df04efda67d.svg)

*Uma figura e a reflexão dela em relação ao eixo vertical: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) é refletido quadradinho a quadradinho, e esquerda e direita trocam de lugar.*

**Proposição 42.4 (O que uma reflexão preserva).**

O [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de uma figura em relação a uma reta é uma figura da *mesma forma e do mesmo tamanho*: comprimentos, ângulos, [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-perimeter) e [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-area) são todos preservados. O [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) é um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects); o de um círculo, um círculo de mesmo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes); o de uma reta, uma reta.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 42.5.**

Uma coisa *não* é preservada: a orientação. Um “b” refletido vira um “d” — escrita espelhada. Se decalcar a sua figura e virar o papel vegetal reproduz a imagem, a reflexão está correta.

## 42.2 Eixos de simetria de uma figura

**Definição 42.6 (Eixo de simetria).**

Uma reta $d$ é um *eixo de simetria* de uma figura quando a reflexão em relação a $d$ leva a figura exatamente sobre ela mesma — dobrar ao longo de $d$ faz as duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) coincidirem.

![Eixos de simetria de formas conhecidas. Cuidado com o retângulo: as diagonais dele não são eixos de simetria (dobre por uma diagonal — as metades não coincidem, a menos que seja um quadrado).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-abe1f68bfd79.svg)

*[Eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis) de formas conhecidas. Cuidado com o retângulo: as diagonais dele *não* são [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis) (dobre por uma diagonal — as [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) não coincidem, a menos que seja um quadrado).*

**Exemplo 42.7.**

Contando [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis):

- [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : $1$ (pelo [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo e pelo meio da base); [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : $3$ ;
- retângulo: $2$ (as duas “linhas médias”, *não* as diagonais); [losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (as diagonais dele!); quadrado: $4$ ;
- círculo: toda reta que passa pelo centro — infinitos.

**Exemplo 42.8 (A simetria demonstra igualdades).**

Por que os dois ângulos da base de um [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) são iguais? Dobre o triângulo ao longo do [eixo de simetria](#def-g6-symmetry-axis) dele: a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) esquerda cai exatamente sobre a direita, então o ângulo da base à esquerda cai sobre o ângulo da base à direita — eles têm de ter a mesma medida ([Proposição 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved): as reflexões preservam ângulos).

## 42.3 Mediatriz

**Definição 42.9 (Mediatriz).**

A *mediatriz* de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ é a reta perpendicular a $[AB]$ que passa pelo ponto médio dele — é o [eixo de simetria](#def-g6-symmetry-axis) que troca $A$ e $B$.

**Proposição 42.10 (Equidistância).**

Um ponto $M$ está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ exatamente quando está à mesma distância de $A$ e de $B$: $MA = MB$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 42.11 (Construção com o compasso).**

Para traçar a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ sem medir:

1. abra o compasso mais que a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $AB$ ;
2. trace dois arcos com centro em $A$ , acima e abaixo do [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) ;
3. com a *mesma* abertura, trace dois arcos com centro em $B$ ;
4. ligue os dois pontos de cruzamento: essa reta é a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) (cada ponto de cruzamento é equidistante de $A$ e de $B$ ).

## 42.4 Exercícios

**Exercício 42.1 ★.**

Copie no papel quadriculado: um eixo vertical $d$, um ponto $A$ dois quadradinhos à esquerda dele e um ponto $B$ cinco quadradinhos à esquerda e um quadradinho acima. Construa os [simétricos](#def-g6-symmetry-def) $A'$ e $B'$ deles em relação a $d$.

**Solução de Exercício 42.1.**

$A'$ fica dois quadradinhos à *direita* de $d$, na mesma linha que $A$; $B'$ fica cinco quadradinhos à direita e um quadradinho acima — posições espelhadas.

**Exercício 42.2 ★.**

Trace uma reta $d$ e um ponto $M$ a $3$ cm de $d$ (fora do papel quadriculado). Construa o [simétrico](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ em relação a $d$ com esquadro e régua, seguindo o [Método 42.2](#met-g6-symmetry-construct). Que distância separa $M$ e $M'$?

**Solução de Exercício 42.2.**

Perpendicular a $d$ por $M$, com pé $H$; depois $M'$ do outro lado, com $HM' = MH = 3$ cm. A distância $MM'$ é $3 + 3 = 6$ cm.

**Exercício 42.3 ★.**

Que letras maiúsculas do alfabeto, escritas na forma mais simples, têm [eixo de simetria](#def-g6-symmetry-axis) vertical (como o A)? E horizontal (como o B)? E os dois?

**Solução de Exercício 42.3.**

Eixo vertical (como o A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Eixo horizontal (como o B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Os dois: H, I, O, X. (As respostas exatas dependem um pouco do traçado das letras.)

**Exercício 42.4 ★.**

Quantos [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis) tem: um [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles)? um retângulo (que não seja quadrado)? um [losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) (não quadrado)? um quadrado? um círculo? Trace cada figura com os eixos dela.

**Solução de Exercício 42.4.**

[Triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $3$ eixos. Retângulo: $2$ (as [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) dos lados dele). [Losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals): $2$ (as diagonais dele). Quadrado: $4$. Círculo: infinitos (toda reta que passa pelo centro).

**Exercício 42.5 ★.**

Verdadeiro ou falso? “As diagonais de um retângulo são [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis) do retângulo.” Explique com um argumento de dobra ou com um desenho.

**Solução de Exercício 42.5.**

*Falso.* Dobrar um retângulo (não quadrado) por uma diagonal não faz as duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) coincidirem: os dois triângulos têm a mesma forma, mas ficam posicionados de modos diferentes — experimente com uma folha de papel. Só no quadrado as diagonais funcionam como eixos.

**Exercício 42.6 ★.**

Um triângulo $ABC$ é refletido em relação a uma reta $d$, dando $A'B'C'$. Sabendo que $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ e que o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $ABC$ é $12$ cm, dê, sem construção nenhuma, $A'B'$, $\widehat{B'A'C'}$ e o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C'$.

**Solução de Exercício 42.6.**

As reflexões preservam comprimentos, ângulos e [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-perimeter) ([Proposição 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved)): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ e o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/28-medidas-e-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C'$ é $12$ cm.

**Exercício 42.7 ★.**

Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm e construa a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) dele com o compasso ([Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector)). Escolha um ponto $M$ qualquer sobre ela e confira com a régua que $MA = MB$.

**Solução de Exercício 42.7.**

Construção com o compasso como no [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector). Para qualquer $M$ sobre a reta, a régua confirma $MA = MB$ ([Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**Exercício 42.8 ★★.**

Duas árvores ficam nos pontos $A$ e $B$ de um jardim (plano). Onde se pode plantar uma fonte de modo que ela fique à mesma distância das duas árvores? Descreva *todos* os lugares possíveis.

**Solução de Exercício 42.8.**

Todos os pontos à mesma distância de $A$ e de $B$ formam a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ ([Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)). A fonte pode ficar em qualquer lugar dessa reta (dentro do jardim).

**Exercício 42.9 ★★.**

No papel quadriculado, trace o eixo $d$ (uma diagonal da malha, a $45^\circ$) e uma pequena figura em forma de L de um dos lados. Construa a figura simétrica em relação a $d$. (Reflita cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): para um eixo a $45^\circ$, um ponto $2$ quadradinhos à direita do eixo cai $2$ quadradinhos acima dele.)

**Solução de Exercício 42.9.**

Cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) é refletido perpendicularmente ao eixo: para o eixo a $45^\circ$, um ponto $k$ quadradinhos à direita do eixo cai $k$ quadradinhos acima dele (e vice-versa) — os deslocamentos horizontal e vertical trocam de papel. Reflita os [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) um a um e depois ligue-os em ordem.

**Exercício 42.10 ★★.**

Trace um círculo de centro $O$, uma reta $d$ passando por $O$ e um ponto $M$ sobre o círculo. Onde fica o [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de $M$ em relação a $d$? Explique por que a reflexão leva o círculo sobre ele mesmo.

**Solução de Exercício 42.10.**

O [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de $M$ é a segunda interseção do círculo com a perpendicular a $d$ por $M$ — e ele fica sobre o círculo. Razão: a reflexão preserva distâncias e fixa $O$ (que está sobre $d$), então a imagem de qualquer ponto à distância $r$ de $O$ está de novo à distância $r$ de $O$: o círculo é levado sobre ele mesmo.

**Exercício 42.11 ★★.**

Usando a propriedade de equidistância ([Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)), explique por que os dois pontos de cruzamento dos arcos do [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) realmente ficam sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$.

**Solução de Exercício 42.11.**

Cada ponto de cruzamento $P$ foi traçado com a mesma abertura de compasso $\rho$ a partir de $A$ e de $B$: logo $PA = \rho = PB$. Pela [Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), um ponto equidistante de $A$ e de $B$ está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$; e dois pontos desses determinam a reta.

**Exercício 42.12 ★★★.**

Uma bola de bilhar no ponto $A$ tem de bater numa parede reta $d$ e chegar ao ponto $B$ (os dois do mesmo lado da parede). Reflita $B$ em relação a $d$, obtendo $B'$, e trace o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Explique por que o melhor ponto de rebatida é onde $[AB']$ cruza a parede. (Ideia: o caminho $A \to P \to B$ tem o mesmo comprimento que $A \to P \to B'$.)

**Solução de Exercício 42.12.**

Para qualquer ponto de rebatida $P$ sobre a parede, $PB = PB'$ (a reflexão em relação a $d$ preserva distâncias), então o comprimento do caminho é $AP + PB = AP + PB'$. A linha quebrada $A \to P \to B'$ é mais curta quando é reta, isto é, quando $P$ está sobre o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Logo o melhor ponto de rebatida é a interseção de $[AB']$ com a parede.

## 42.5 Problema: a fonte, o prato quebrado e o espelho que caminha

**Problema 42.1.**

Problema de fim de semana — as três mediatrizes de um triângulo se encontram num ponto: o círculo que passa por três pontos e o que dois espelhos fazem juntos

No [Exercício 42.8](#exo-g6-symmetry-8), uma fonte tinha de ficar à mesma distância de *duas* árvores, e a resposta foi uma reta inteira de lugares. Este problema planta uma *terceira* árvore — e a reta inteira desaba num único ponto perfeitamente determinado. Esse ponto esconde um tesouro da geometria: ele permite traçar o único círculo que passa por três pontos dados, reconstruir um prato inteiro a partir de um caco, e pertence a todo triângulo. A última parte faz uma experiência com dois espelhos cujo resultado anuncia a geometria do ano que vem.

**Parte I — Duas árvores e depois um mapa de territórios.**

1. Marque dois pontos $A$ e $B$ com $AB = 6$ cm e construa a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ com o compasso ( [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ). Escolha um ponto $M$ sobre ela e confira com a régua que $MA = MB$ .
2. A [Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) diz duas coisas ao mesmo tempo: todo ponto *sobre* a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) é equidistante de $A$ e de $B$ , e todo ponto equidistante *está sobre* a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) . Qual das duas responde à pergunta da fonte do [Exercício 42.8](#exo-g6-symmetry-8) ? O que a proposição diz de um ponto que *não* está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) ?
3. Tome um ponto $M$ do mesmo lado da [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) que $A$ . O [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[MB]$ cruza a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) num ponto $P$ . Compare o caminho $M \to P \to B$ com o caminho $M \to P \to A$ e explique por que $M$ está mais perto de $A$ do que de $B$ : a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) divide a folha num “lado do $A$ ” e num “lado do $B$ ”.
4. Duas escolas $A$ e $B$ atendem uma cidade. Toda criança vai a pé até a escola mais próxima. Faça um mapinha com $A$ e $B$ e pinte a região exata da cidade atendida pela escola $A$ . Que reta forma a fronteira?
5. Abre uma terceira escola $C$ (ponha-a de modo que as três escolas formem um triângulo). Construa a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ e a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$ , e chame de $O$ o ponto de cruzamento delas. Que duas igualdades de distâncias $O$ satisfaz, e por quê?

**Parte II — Três árvores, um ponto, um círculo.**

6. Deduza da questão 5 que $OA = OC$ — e portanto que $O$ também está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$ , que você nunca traçou. Conclua: *as três [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) dos lados de um triângulo passam todas por um mesmo ponto.*
7. Explique por que o círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $OA$ também passa por $B$ e por $C$ : ele é *o* círculo que passa pelos três pontos — o *círculo circunscrito* do triângulo $ABC$ .
8. Construa um triângulo de lados $6$ cm, $5$ cm e $4$ cm ( [Método 41.2](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#met-g6-shapes-construct) ) e depois o [círculo circunscrito](#pb-g6-symmetry-1) dele. Por que basta traçar apenas *duas* [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) para encontrar o centro?
9. O prato quebrado: um arqueólogo desenterra um caco cuja única parte intacta é um pedaço da borda circular do prato. Descreva uma receita que recupera o centro e o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) do prato original — e teste-a: trace um arco de círculo com o seu compasso, “esqueça” o centro, marque três pontos sobre o arco e reconstrua-o.
10. Três pontos poderiam *não* ter círculo nenhum passando por eles? Suponha que $A$ , $B$ , $C$ sejam colineares. O que se pode dizer das [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ e de $[BC]$ ( [Proposição 40.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#prop-g6-lines-facts) )? Conclua.

**Parte III — Eixos por toda parte e o espelho que caminha.**

11. O [Exemplo 42.7](#ex-g6-symmetry-shapes) contou $3$ eixos para o [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) e $4$ para o quadrado. Conjecture a contagem para um [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular e para um [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular, e descreva por onde passam os eixos em cada caso ( [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de lados contra [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : as duas situações são diferentes).
12. Dobre uma folha de papel uma vez e recorte uma forma atravessando as duas camadas; desdobre. Por que o buraco *sempre* tem [eixo de simetria](#def-g6-symmetry-axis) , qualquer que seja o recorte, e que reta é esse eixo?
13. Dobre a folha duas vezes — a segunda dobra perpendicular à primeira —, recorte e desdobre. Quantos [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis) o buraco tem, no mínimo, e quantas cópias do seu recorte você vê? (Os floquinhos de neve de papel são essa ideia dobrada mais vezes.)
14. O espelho que caminha: no papel quadriculado, trace um eixo vertical $d_1$ , uma bandeirinha $F$ à esquerda dele e um segundo eixo vertical $d_2$ , $4$ quadradinhos à direita de $d_1$ . Reflita $F$ em relação a $d_1$ (imagem $F'$ ) e depois reflita $F'$ em relação a $d_2$ (imagem $F''$ ). Compare $F$ e $F''$ : mesma orientação ou espelhada? De quantos quadradinhos a figura andou? Compare com a distância entre os eixos.
15. A mesma experiência com $d_2$ *perpendicular* a $d_1$ : reflita a bandeirinha em relação ao eixo vertical e depois a imagem em relação ao horizontal. Descreva como $F''$ fica em relação a $F$ e ao ponto de cruzamento dos dois eixos. (Você acabou de descobrir a transformação do ano que vem: [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central) .)

**Solução de Problema 42.1.**

**1.** Construção como no [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector); para qualquer $M$ sobre a reta, a régua confirma $MA = MB$ ([Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**2.** A pergunta da fonte precisa do segundo sentido: *todos* os pontos equidistantes estão sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector), então os lugares possíveis são exatamente essa reta e nada mais. E um ponto que não está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) não é, portanto, equidistante: ele fica estritamente mais perto de uma das duas árvores.

**3.** Os dois caminhos compartilham o trecho $[MP]$, e $PB = PA$ porque $P$ está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector). Então o caminho $M \to P \to B$ tem o mesmo comprimento que o caminho $M \to P \to A$, ou seja, $MP + PA$. Ora, $MB$ é a rota reta até $B$ — aqui ela *é* o caminho por $P$, então $MB = MP + PA$; e a rota reta até $A$ é mais curta que o desvio por $P$: $MA < MP + PA = MB$. Todo ponto do lado do $A$ da [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) está mais perto de $A$.

**4.** A fronteira é a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$: a escola $A$ atende exatamente a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da cidade que fica do lado dela dessa reta (questão 3), a escola $B$ atende a outra [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half), e as crianças que moram sobre a própria reta podem escolher qualquer uma.

**5.** $O$ está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$, logo $OA = OB$; e sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$, logo $OB = OC$ ([Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**6.** De $OA = OB$ e $OB = OC$ vem $OA = OC$. Pelo segundo sentido da [Proposição 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), um ponto equidistante de $A$ e de $C$ está sobre a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$: a terceira [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) passa por $O$ sem que ninguém tenha pedido. As três [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) de qualquer triângulo são *concorrentes*.

**7.** O círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $OA$ é formado por todos os pontos à distância $OA$ de $O$ ([Definição 40.5](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-circle)); como $OB = OA$ e $OC = OA$, os pontos $B$ e $C$ estão sobre ele. Um centro, um [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) e três pontos atendidos: é o círculo que passa por $A$, $B$ e $C$.

**8.** Duas [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) bastam porque a terceira é automática (questão 6): o ponto de cruzamento delas já satisfaz as três igualdades de distância. O círculo é traçado com centro $O$ e o compasso aberto de $O$ até qualquer um dos três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def).

**9.** Receita: marque três pontos $A$, $B$, $C$ sobre o arco que sobrou; trace as [mediatrizes](#def-g6-symmetry-bisector) das cordas $[AB]$ e $[BC]$; o ponto de cruzamento delas é o centro do prato, e a distância dele até $A$ é o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes). Funciona porque a borda do prato é um círculo que passa pelos três pontos marcados — e a questão 8 encontra *o* círculo que passa por eles. O arco de teste é reconstruído exatamente.

**10.** Se $A$, $B$, $C$ forem colineares, a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ e a [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$ são ambas [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) à mesma reta $(AB) = (BC)$ — logo são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) entre si ([Proposição 40.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#prop-g6-lines-facts)) e, sendo distintas, nunca se cruzam. Nenhum ponto é equidistante dos três, e nenhum círculo passa por três pontos colineares.

**11.** [Pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular: $5$ eixos, cada um por um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) e pelo ponto médio do lado oposto (contagem [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): todo eixo é desse único tipo). [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular: $6$ eixos — três por [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) opostos e três por pontos médios de lados opostos (contagem par: dois tipos, [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) e [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half)). O padrão: um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular de $n$ lados tem $n$ eixos.

**12.** O corte atravessa as duas camadas de uma só vez, então as duas camadas perdem pedaços exatamente iguais; desdobrar é a reflexão em relação à linha da dobra, que leva a borda de uma camada sobre a da outra. O buraco é a imagem espelhada de si mesmo: a linha da dobra é o [eixo de simetria](#def-g6-symmetry-axis) dele — qualquer que tenha sido o recorte.

**13.** O buraco desdobrado tem pelo menos $2$ [eixos de simetria](#def-g6-symmetry-axis), as duas linhas de dobra, e o recorte aparece em $4$ cópias (cada desdobra dobra o desenho: $1 \to 2 \to 4$). Dobrar mais vezes, no estilo do floco de neve, multiplica ainda mais as cópias e os eixos.

**14.** $F''$ tem a *mesma* orientação que $F$ (duas inversões de espelho se cancelam), o mesmo tamanho e a mesma altura — é simplesmente $F$ deslizada para a direita. O deslizamento mede $8$ quadradinhos: exatamente o *dobro* da distância entre os dois eixos. Dois espelhos paralelos juntos não espelham coisa alguma: eles *transladam*.

**15.** $F''$ tem de novo o mesmo tamanho, mas agora aparece *de cabeça para baixo*, girada de meia volta em torno do ponto de cruzamento dos dois eixos: cada ponto de $F''$ é diametralmente oposto ao ponto correspondente de $F$ em relação a esse centro. Dois espelhos [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) se compõem na *meia-volta* — a simetria central do [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central).