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title: "Perímetro, área e volume"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 43
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume
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# Capítulo 43 — Perímetro, área e volume

Que comprimento tem a cerca, que tamanho tem o campo, quanta água cabe no tanque? Três perguntas diferentes, três grandezas diferentes — [perímetro](#def-g6-measure-perimeter), [área](#def-g6-measure-area), [volume](#def-g6-measure-volume) —, cada uma com as suas unidades. Confundi-las é o erro mais comum da geometria; este capítulo põe ordem nisso de uma vez por todas.

## 43.1 Comprimentos e perímetro

**Definição 43.1 (Perímetro).**

O *perímetro* de uma figura é o comprimento total do contorno dela. Ele é medido em unidades de comprimento: milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m), quilômetros (km), com

$$
1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad
1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad
1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.
$$

**Exemplo 43.2.**

Um retângulo de comprimento $L$ e largura $w$ tem [perímetro](#def-g6-measure-perimeter)

$$
P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).
$$

Para um retângulo de $7$ cm por $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) =
2 \times 11 = 22$ cm. Um quadrado de lado $c$ tem [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $4c$.

**Proposição 43.3 (Comprimento de uma circunferência).**

O [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (ou *comprimento da circunferência*) de um círculo de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ é

$$
P = 2 \pi r ,
$$

em que $\pi \approx 3.14$ é o mesmo número para todos os círculos.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 43.4.**

Um lago circular tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. A borda dele mede $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Guarde o valor exato $10\pi$ o máximo possível; arredonde só no fim.

## 43.2 Áreas

**Definição 43.5 (Área).**

A *área* de uma figura mede a superfície que ela cobre: quantos quadrados unitários cabem dentro dela. Unidades: cm$^2$ (um quadrado de lado $1$ cm), m$^2$, km$^2$, … Cuidado:

$$
1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2
$$

— um metro quadrado é um quadrado de $100$ cm por $100$ cm, então cada degrau da escada de unidades vale $100$, e não $10$.

![A área de um retângulo: 7 colunas de 4 quadrados unitários cada uma, logo 7 × 4 = 28 quadrados ao todo. É por isso que a área é comprimento × largura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-b1934fc09756.svg)

*A [área](#def-g6-measure-area) de um retângulo: $7$ colunas de $4$ quadrados unitários cada uma, logo $7 \times 4 = 28$ quadrados ao todo. É por isso que a [área](#def-g6-measure-area) é comprimento $\times$ largura.*

**Proposição 43.6 (Fórmulas básicas de área).**

| figura | [área](#def-g6-measure-area) |
| --- | --- |
| retângulo ($L \times w$) | $A = L \times w$ |
| quadrado (lado $c$) | $A = c^2$ |
| [4pt] [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) (catetos $a$, $b$) | $A = \dfrac{a \times b}{2}$ |
| [4pt] disco ([raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$) | $A = \pi r^2$ |

**Demonstração para o triângulo retângulo.** Duas cópias de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $a$ e $b$, coladas pela hipotenusa, formam um retângulo $a \times b$. Logo a [área](#def-g6-measure-area) do triângulo é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da do retângulo: $\frac{ab}{2}$. (A fórmula do retângulo é a contagem de quadrados unitários feita acima; a fórmula do disco é admitida, veja o [Capítulo 53](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#ch-g7-areas).) ∎

![Um triângulo retângulo é metade de um retângulo: daí a fórmula a× b/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-f09c902cf7d5.svg)

*Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) é [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um retângulo: daí a fórmula $\frac{a\times b}{2}$.*

**Exemplo 43.7 (Figuras compostas).**

Um cômodo em forma de L é um retângulo de $6$ m $\times$ $4$ m com um canto quadrado de $2$ m $\times$ $2$ m retirado. A [área](#def-g6-measure-area) dele, passo a passo:

1. retângulo inteiro: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
2. quadrado retirado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
3. [área](#def-g6-measure-area) que sobra: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

O *[perímetro](#def-g6-measure-perimeter)* dele não é $20$ de coisa nenhuma: percorrendo o L, o contorno continua medindo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — os dois cortes do canto substituem dois pedaços iguais de parede. O mesmo número por coincidência, mas metros quadrados num caso e metros no outro!

**Observação 43.8 (Mesmo perímetro, áreas diferentes).**

Duas figuras podem ter o mesmo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) e [áreas](#def-g6-measure-area) bem diferentes: um quadrado $5 \times 5$ e um retângulo $9 \times 1$ têm ambos [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$, mas [áreas](#def-g6-measure-area) $25$ e $9$. [Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) e [área](#def-g6-measure-area) são grandezas realmente independentes.

## 43.3 Volumes

**Definição 43.9 (Volume).**

O *volume* de um [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) mede o espaço que ele preenche: quantos [cubos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) unitários cabem dentro dele. Unidades: cm$^3$, m$^3$, … com $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$ (cada degrau da escada vale $1000$). Para líquidos usa-se também o *litro*:

$$
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3,
\qquad
1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.
$$

**Proposição 43.10 (Volume de um bloco retangular).**

Um [bloco retangular](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) (um *prisma de base retangular*) de comprimento $L$, largura $w$ e altura $h$ tem [volume](#def-g6-measure-volume)

$$
V = L \times w \times h .
$$

**Demonstração.** A camada de baixo contém $L \times w$ [cubos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) unitários (o desenho da [Definição 43.5](#def-g6-measure-area), com [cubos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)), e há $h$ camadas dessas. ∎

![Um bloco preenchido com cubos unitários: 4 × 2 cubos por camada, duas camadas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-6110a0cfc095.svg)

*Um bloco preenchido com [cubos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) unitários: $4 \times 2$ [cubos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) por camada, duas camadas.*

**Exemplo 43.11.**

Um aquário mede $60$ cm por $30$ cm por $40$ cm (altura). [Volume](#def-g6-measure-volume):

$$
V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3
= 72 \text{ L}.
$$

Passo a passo da conversão: $1000$ cm$^3$ fazem um litro, e $72\,000 \div 1000 = 72$.

## 43.4 Exercícios

**Exercício 43.1 ★.**

Converta: $3.5$ m em cm; $420$ mm em cm; $0.8$ km em m; $25\,000$ m em km.

**Solução de Exercício 43.1.**

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

**Exercício 43.2 ★.**

Calcule o [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) de: um retângulo $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; um quadrado de lado $6.2$ cm; um triângulo de lados $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm.

**Solução de Exercício 43.2.**

Retângulo: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Quadrado: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triângulo: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

**Exercício 43.3 ★.**

Uma pista de corrida circular tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $50$ m. Que comprimento tem uma volta (valor exato com $\pi$ e depois arredondado ao metro)? Quantas voltas fazem pelo menos $2$ km?

**Solução de Exercício 43.3.**

Uma volta: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Para $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$, então são necessárias $7$ voltas completas ($6$ voltas dão só uns $1\,885$ m).

**Exercício 43.4 ★.**

Calcule a [área](#def-g6-measure-area) de: um retângulo $9$ cm $\times$ $4$ cm; um quadrado de lado $7$ m; um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $6$ cm e $10$ cm; um disco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm (valor exato e depois arredondado ao cm$^2$).

**Solução de Exercício 43.4.**

Retângulo: $9 \times 4 = 36$ cm$^2$. Quadrado: $7^2 = 49$ m$^2$. [Triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm$^2$. Disco: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm$^2$.

**Exercício 43.5 ★.**

Converta: $3$ m$^2$ em cm$^2$; $45\,000$ cm$^2$ em m$^2$; $2.5$ L em cm$^3$; $4\,500$ L em m$^3$.

**Solução de Exercício 43.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$; $45\,000$ cm$^2 = 4.5$ m$^2$; $2.5$ L $= 2\,500$ cm$^3$; $4\,500$ L $= 4.5$ m$^3$.

**Exercício 43.6 ★.**

Um campo retangular tem $120$ m de comprimento e $85$ m de largura. Quantos metros de cerca são necessários para cercá-lo? Qual é a [área](#def-g6-measure-area) dele?

**Solução de Exercício 43.6.**

Cerca ([perímetro](#def-g6-measure-perimeter)): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. [Área](#def-g6-measure-area): $120 \times 85 = 10\,200$ m$^2$.

**Exercício 43.7 ★.**

Calcule o [volume](#def-g6-measure-volume) de um [bloco retangular](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm e o de um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de aresta $3$ cm.

**Solução de Exercício 43.7.**

Bloco: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm$^3$. [Cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm$^3$.

**Exercício 43.8 ★.**

Trace dois retângulos diferentes de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm e calcule as [áreas](#def-g6-measure-area) deles. Qual dos seus retângulos tem a [área](#def-g6-measure-area) maior?

**Solução de Exercício 43.8.**

[Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm significa comprimento $+$ largura $= 8$ cm. Por exemplo $6 \times 2$ ([área](#def-g6-measure-area) $12$ cm$^2$) e $5 \times 3$ ([área](#def-g6-measure-area) $15$ cm$^2$) — ou o quadrado $4 \times 4$ ([área](#def-g6-measure-area) $16$ cm$^2$). Quanto mais perto de um quadrado, maior a [área](#def-g6-measure-area).

**Exercício 43.9 ★★.**

Uma figura em forma de T é feita de um retângulo horizontal $10 \times 2$ em cima de um vertical $2 \times 6$ (medidas em cm). Calcule a [área](#def-g6-measure-area) dela e depois o [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (percorra o contorno com cuidado, somando cada borda).

**Solução de Exercício 43.9.**

[Área](#def-g6-measure-area): $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm$^2$.

[Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (haste centrada sob a barra): percorrendo o contorno,

$$
10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}
$$

(topo; ponta direita da barra; [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de baixo à direita; lado direito da haste; base da haste; lado esquerdo da haste; [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de baixo à esquerda; ponta esquerda da barra).

**Exercício 43.10 ★★.**

Uma piscina é um [bloco retangular](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de $25$ m de comprimento, $10$ m de largura e $2$ m de profundidade.

1. Quantos metros cúbicos de água ela leva quando cheia?
2. Quantos litros são?
3. A piscina é enchida a $50\,000$ L por hora. Quanto tempo leva o enchimento?

**Solução de Exercício 43.10.**

*1.* $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m$^3$.

*2.* $500$ m$^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

*3.* $500\,000 \div 50\,000 = 10$ horas.

**Exercício 43.11 ★★.**

Um jardim é um quadrado de lado $20$ m que contém um lago circular de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ m. Que [área](#def-g6-measure-area) de grama existe ali (valor exato e depois arredondado ao m$^2$)?

**Solução de Exercício 43.11.**

Jardim: $20^2 = 400$ m$^2$. Lago: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m$^2$. Grama: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m$^2$.

**Exercício 43.12 ★★★.**

Uma barra de chocolate mede $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. O fabricante dobra *as três* dimensões.

1. Por quanto o [volume](#def-g6-measure-volume) fica multiplicado? Verifique calculando os dois [volumes](#def-g6-measure-volume) .
2. O preço é multiplicado por $4$ . A barra grande vale mais a pena que a pequena?

**Solução de Exercício 43.12.**

*1.* Barra pequena: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm$^3$. Barra grande: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm$^3$. O [volume](#def-g6-measure-volume) fica multiplicado por $720 \div 90 = 8$ — dobrar cada uma das três dimensões multiplica o [volume](#def-g6-measure-volume) por $2 \times 2 \times 2 = 8$.

*2.* Oito vezes mais chocolate por quatro vezes o preço: sim, a barra grande vale duas vezes mais a pena por grama.

## 43.5 Problema: a cerca da rainha Dido

**Problema 43.1.**

Problema de fim de semana — com um comprimento fixo de cerca, que forma cerca mais terra? O quadrado vence qualquer retângulo, o círculo vence o quadrado, e a parede de um celeiro muda tudo

A lenda conta que a rainha Dido, ao desembarcar na costa da África, recebeu “tanta terra quanto um couro de boi pudesse cercar” — e ela cortou o couro numa tira imensamente longa e fina, cercando chão suficiente para fundar a cidade de Cartago. O problema dela agora é seu: um agricultor tem exatamente $20$ m de cerca. O [Exercício 43.8](#exo-g6-measure-8) mostrou que dois currais de mesmo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) podem ter [áreas](#def-g6-measure-area) diferentes; este problema encontra o *melhor* curral — e descobre que a resposta muda completamente quando a parede de um celeiro empresta um lado de graça.

**Parte I — Vinte metros de cerca.**

1. O curral tem de ser um retângulo usando todos os $20$ m de cerca. Confira que um curral $1 \times 9$ e um $2 \times 8$ servem, e calcule as [áreas](#def-g6-measure-area) deles.
2. Explique por que o comprimento e a largura de todo curral que serve somam $10$ m. Depois monte a tabela completa dos currais de lados inteiros ( $1 \times 9$ até $5 \times 5$ ) com as [áreas](#def-g6-measure-area) deles. Qual é o melhor?
3. Vale a pena testar lados decimais? Calcule as [áreas](#def-g6-measure-area) do curral $4.5 \times 5.5$ e do curral $4.9 \times 5.1$ , e compare com o quadrado $5 \times 5$ . O que você conjectura?
4. A questão 2 transformou o problema da cerca numa questão puramente numérica: *entre todos os pares de números que somam $10$, que par tem o maior [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def)?* Responda a partir da sua tabela e enuncie a regra geral que você observa.
5. Eis por que afastar-se do quadrado sempre faz perder, com tesoura em vez de álgebra: parta do curral $5 \times 5$ e transforme-o no curral $6 \times 4$ retirando uma faixa e colando outra de volta. Que faixa é retirada, qual é acrescentada, e por que a troca perde exatamente um metro quadrado? Explique por que um passo a mais (até $7 \times 3$ ) perde ainda mais.

**Parte II — O celeiro e o círculo.**

6. Agora o curral é construído encostado na parede comprida de um celeiro: a parede substitui um dos comprimentos do curral, e os $20$ m de cerca cobrem apenas os outros três lados. Monte a tabela dos currais de lados inteiros (largura $w$ , comprimento $L$ ao longo da parede, $w + L + w = 20$ ) e as [áreas](#def-g6-measure-area) deles. Que curral ganha agora — e ele é um quadrado?
7. Explique o vencedor com um espelho ( [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#ch-g6-symmetry) ): reflita o curral em relação à parede do celeiro e considere o curral duplicado. Quanta cerca o curral duplicado usa, qual curral duplicado é o melhor segundo a Parte I, e o que isso faz do curral original?
8. Dido não construiu um retângulo. Dobre os $20$ m de cerca num círculo: usando $\pi \approx 3.14$ , calcule o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) dele (ao centímetro) e depois a [área](#def-g6-measure-area) (ao m $^2$ ) ( [Proposição 43.3](#prop-g6-measure-circle) , [Proposição 43.6](#prop-g6-measure-formulas) ). Compare com o quadrado $5 \times 5$ .
9. O problema inverso: quer-se um curral de [área](#def-g6-measure-area) exatamente $36$ m $^2$ , com o mínimo possível de cerca. Compare os retângulos $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ e $6 \times 6$ : [perímetros](#def-g6-measure-perimeter) ? Que forma é a mais barata, e como esta questão é a imagem espelhada da Parte I?
10. Em uma frase: por que latas, canos e caixas d’água são tantas vezes *redondos* ?

**Parte III — [Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) e [área](#def-g6-measure-area) são estranhos um ao outro.**

11. Encontre um retângulo cujo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) passe de $100$ m mas cuja [área](#def-g6-measure-area) seja menor que $1$ m $^2$ . (Bem comprido e bem fino. Decimais permitidos.)
12. Verdadeiro ou falso: “de duas figuras, a de maior [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) tem maior [área](#def-g6-measure-area) ”. Dê um contraexemplo tirado deste problema.
13. Pegue o retângulo $6 \times 4$ e recorte um entalhe quadrado $1 \times 1$ no meio de um dos lados compridos (o entalhe se abre para fora, como um dente que faltasse). Calcule a [área](#def-g6-measure-area) e o [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) da figura entalhada e compare os dois com os do original. O que aconteceu com cada um?
14. Os cartógrafos conhecem um fato estranho: quanto mais detalhado o mapa, *mais comprido* um litoral fica — cada ampliação revela novos entalhezinhos, e a questão 13 mostra o que cada entalhe faz. Explique em uma ou duas frases por que “o comprimento do litoral da Bretanha” é um número escorregadio, enquanto “a [área](#def-g6-measure-area) da Bretanha” não é.
15. A prova do agricultor. Com $36$ m de cerca e a parede do celeiro disponível, encontre o melhor curral retangular (use o espelho da questão 7), dê a [área](#def-g6-measure-area) dele e compare com o melhor curral construído com $36$ m em campo aberto. Quanto a parede do celeiro rende ao agricultor?

**Solução de Problema 43.1.**

**1.** $1 \times 9$: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (1 + 9) = 20$ m, [área](#def-g6-measure-area) $9$ m$^2$. $2 \times 8$: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times 10 = 20$ m, [área](#def-g6-measure-area) $16$ m$^2$.

**2.** O [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) é o dobro de (comprimento $+$ largura) ([Exemplo 43.2](#ex-g6-measure-perimeter)), então comprimento $+$ largura $= 20 \div 2 = 10$ m. A tabela:

| curral | $1 \times 9$ | $2 \times 8$ | $3 \times 7$ | $4 \times 6$ | $5 \times 5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [área](#def-g6-measure-area) (m$^2$) | $9$ | $16$ | $21$ | $24$ | $25$ |

O quadrado $5 \times 5$ é o melhor.

**3.** $4.5 \times 5.5 = 24.75$ e $4.9 \times 5.1 = 24.99$: cada vez mais perto de $25$, mas ainda abaixo. Conjectura: o quadrado vence *todo* retângulo de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$, lados decimais incluídos.

**4.** Pela tabela: o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois números de [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $10$ é maior quando os dois números são *iguais* ($5$ e $5$). Regra geral: com [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) fixa, o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é maior quando as partes são iguais — quanto mais desigual o par, menor o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def).

**5.** A partir do quadrado $5 \times 5$, retire a fileira de cima — uma faixa de $5$ quadrados unitários —, deixando um curral $5 \times 4$; depois cole uma coluna de $4$ quadrados unitários numa das pontas, transformando o curral em $6 \times 4$. Cinco quadrados foram tirados e apenas quatro voltaram: a faixa acrescentada fica ao longo do lado $4$, que é mais curto que o lado $5$ coberto pela faixa retirada. Perda líquida: um metro quadrado ($25 \to 24$). O passo seguinte, de $6 \times 4$ para $7 \times 3$, troca uma fileira de $6$ por uma coluna de $3$ e perde mais três ($24 \to 21$): quanto mais longe do quadrado, mais comprida a faixa que o curral entrega e mais curta a que ele recebe.

**6.** Com $w + L + w = 20$, isto é, $L = 20 - 2w$:

| $w$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $L$ | $18$ | $16$ | $14$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ |
| [área](#def-g6-measure-area) | $18$ | $32$ | $42$ | $48$ | $50$ | $48$ | $42$ |

O vencedor é o $5 \times 10$, de [área](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — duas vezes mais comprido (ao longo da parede) do que largo: *não* é um quadrado.

**7.** Reflita o curral em relação à parede: curral mais imagem espelhada formam um curral duplicado que usa a cerca duas vezes, $40$ m de cerca em toda a volta (o lado da parede agora é interno). Pela Parte I, o melhor retângulo de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $40$ é o quadrado $10 \times 10$, de [área](#def-g6-measure-area) $100$ m$^2$. O melhor curral de verdade é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) desse curral duplicado: $10$ m ao longo da parede e $5$ m de profundidade, [área](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — exatamente o vencedor da tabela, agora explicado.

**8.** Comprimento $20 = 2 \times \pi \times r$, então $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. [Área](#def-g6-measure-area): $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m$^2$ — bem mais que os $25$ m$^2$ do quadrado. Dido sabia o que estava fazendo: para um comprimento dado de contorno, o círculo cerca o máximo.

**9.** [Perímetros](#def-g6-measure-perimeter): $1 \times 36$: $74$ m; $2 \times 18$: $40$ m; $3 \times 12$: $30$ m; $4 \times 9$: $26$ m; $6 \times 6$: $24$ m. De novo o quadrado — menos cerca para a [área](#def-g6-measure-area) dada. É a Parte I ao contrário: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) fixo com [área](#def-g6-measure-area) máxima, ou [área](#def-g6-measure-area) fixa com [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) mínimo: as duas coroam o quadrado (e, além de todos os retângulos, o círculo).

**10.** Uma parede redonda é o contorno mais curto para o espaço que ela cerca (questão 8), então uma lata, um cano ou uma caixa d’água redonda guarda o máximo de conteúdo com o mínimo de material — e material é dinheiro.

**11.** Por exemplo $50$ m $\times$ $0.01$ m: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, [área](#def-g6-measure-area) $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$. Comprido e fino: quilômetros de contorno e quase nenhuma terra.

**12.** Falso. O curral da questão 11 tem [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $100.02$ m e [área](#def-g6-measure-area) $0.5$ m$^2$, enquanto o curral $5 \times 5$ tem [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$ m e [área](#def-g6-measure-area) $25$ m$^2$: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) maior, [área](#def-g6-measure-area) bem menor.

**13.** [Área](#def-g6-measure-area): falta um quadrado unitário, $24 - 1 = 23$ cm$^2$. [Perímetro](#def-g6-measure-perimeter): percorrendo o contorno, o entalhe substitui $1$ cm de parede reta por três lados do quadradinho, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: o [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) cresce de $20$ cm para $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Retirar material *alongou* o contorno.

**14.** Cada ampliação sobre um litoral real revela novas baías, rochas e enseadas — entalhes sobre entalhes, e a questão 13 mostra que cada entalhe acrescenta comprimento de contorno sem quase mudar a [área](#def-g6-measure-area). Então o comprimento medido continua crescendo com o nível de detalhe (o “paradoxo do litoral”), enquanto a [área](#def-g6-measure-area) medida se estabiliza: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) e [área](#def-g6-measure-area) são grandezas realmente independentes.

**15.** Argumento do espelho: o curral duplicado usaria $2 \times 36 = 72$ m de cerca, e o melhor retângulo de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $72$ é o quadrado $18 \times 18$. Então o melhor curral tem $18$ m ao longo da parede e $9$ m de profundidade: conferência da cerca, $9 + 18 + 9 = 36$ m; [área](#def-g6-measure-area) $18 \times 9 = 162$ m$^2$. Em campo aberto, o melhor é o quadrado $9 \times 9$, de [área](#def-g6-measure-area) $81$ m$^2$. A parede do celeiro exatamente *dobra* a terra do agricultor.