--- title: "Proporcionalidade e dados" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 44 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados --- # Capítulo 44 — Proporcionalidade e dados Se três cadernos custam $6$ reais, seis cadernos custam $12$: o dobro de cadernos, o dobro do preço. Grandezas que se comportam assim são *[proporcionais](#def-g6-propdata-def)* — uma das ideias mais úteis de toda a matemática, desenvolvida mais a fundo no [Capítulo 49](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/49-proporcionalidade#ch-g7-prop). O capítulo termina lendo e traçando gráficos de dados simples. ## 44.1 Grandezas proporcionais **Definição 44.1 (Proporcionalidade).** Duas grandezas são *proporcionais* quando os valores de uma são obtidos a partir dos valores da outra multiplicando sempre pelo *mesmo* número, chamado de *coeficiente de proporcionalidade*. **Exemplo 44.2.** Cadernos a $2$ reais cada um: | cadernos | $3$ | $5$ | $8$ | $12$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | preço (reais) | $6$ | $10$ | $16$ | $24$ | Cada preço é o número de cadernos $\times 2$: o coeficiente é $2$ (o preço unitário). Uma conferência rápida de que uma tabela é proporcional: todos os “[quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de coluna” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ têm de ser iguais — aqui todos valem $2$. **Exemplo 44.3 (Um contraexemplo).** Idade e altura não são [proporcionais](#def-g6-propdata-def): quem tem $12$ anos não é duas vezes mais alto que quem tem $6$. Confira nos números: $1.50$ m aos $12$ anos e $1.15$ m aos $6$ anos dão [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $\frac{1.50}{12} = 0.125$ e $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — não são iguais. **Método 44.4 (Completar uma tabela de proporcionalidade).** Três caminhos, à escolha: 1. *coeficiente* : descubra o multiplicador a partir de uma coluna completa e aplique-o às outras; 2. *colunas* : uma coluna pode ser multiplicada por um número, ou duas colunas podem ser somadas, para produzir uma coluna nova; 3. *voltar à unidade* : descubra primeiro o valor de *um* item e depois multiplique. **Exemplo 44.5.** Cinco canecas iguais custam $15$ reais; quanto custam oito canecas? *Voltando à unidade*: uma caneca custa $15 \div 5 = 3$ reais, então oito canecas custam $8 \times 3 = 24$ reais. *Pelas colunas*: $8 = 5 + 3$; três canecas custam $\frac{3}{5}$ de $15$, ou seja, $9$; então oito canecas custam $15 + 9 = 24$ reais. A mesma resposta, como tinha de ser. ## 44.2 Porcentagens **Definição 44.6 (Porcentagem).** “$t\,\%$ de uma quantidade” quer dizer a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) $\frac{t}{100}$ dela: $25\,\%$ de $60$ é $\frac{25}{100} \times 60 = 15$. Uma porcentagem é uma [proporcionalidade](#def-g6-propdata-def) de coeficiente $\frac{t}{100}$. **Exemplo 44.7.** Uma turma de $30$ alunos tem $40\,\%$ de meninas. Número de meninas, passo a passo: $40\,\%$ quer dizer $\frac{40}{100} = 0.4$, e $0.4 \times 30 = 12$ meninas. Referências úteis: $50\,\%$ é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half), $25\,\%$ é um quarto, $10\,\%$ é um décimo — então $10\,\%$ de $30$ é $3$, e $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ é $4 \times 3 = 12$: a mesma resposta, calculada de cabeça. ## 44.3 Ler e traçar gráficos **Método 44.8 (Ler uma tabela ou um gráfico).** Seja qual for a imagem — tabela, gráfico de barras, gráfico de linhas: 1. leia primeiro o título e as unidades dos dois eixos; 2. para responder a uma pergunta, localize a barra ou a coluna certa e depois leia o valor com cuidado na graduação; 3. para comparar, compare as barras pela altura — mas confira se o eixo começa em $0$ , senão a imagem pode enganar. **Exemplo 44.9.** O gráfico de barras abaixo mostra o número de livros emprestados na biblioteca da escola durante uma semana. ![Um gráfico de barras: uma barra por dia, com altura igual à contagem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-d229dbfe5656.svg) *Um gráfico de barras: uma barra por dia, com altura igual à contagem.* Leituras: o dia mais movimentado é quarta-feira ($17$ livros). Terça e quinta juntas somam $8 + 6 = 14$ livros — menos que sexta sozinha ($15$). Total da semana: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ livros. ![As grandezas proporcionais têm um gráfico bem reconhecível: os pontos se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, cadernos a 3 reais cada um; o tracejado lê o preço de 6 cadernos: 18 reais).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-f81249c7d7cc.svg) *As grandezas [proporcionais](#def-g6-propdata-def) têm um gráfico bem reconhecível: os pontos se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, cadernos a $3$ reais cada um; o tracejado lê o preço de $6$ cadernos: $18$ reais).* ## 44.4 Exercícios **Exercício 44.1 ★.** A tabela é proporcional? Justifique calculando os [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder). | kg de maçãs | $2$ | $3$ | $5$ | | --- | --- | --- | --- | | preço (reais) | $5$ | $7.5$ | $12.5$ | | idade (anos) | $2$ | $4$ | $8$ | | --- | --- | --- | --- | | altura (cm) | $85$ | $103$ | $130$ | **Solução de Exercício 44.1.** Maçãs: [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $\frac52 = 2.5$, $\frac{7.5}{3} = 2.5$, $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — todos iguais: proporcional (preço de $2.50$ por quilo). Idade/altura: $\frac{85}{2} = 42.5$, mas $\frac{103}{4} = 25.75$ — não são iguais: não é proporcional. **Exercício 44.2 ★.** Quatro croissants custam $4.80$ reais. Descubra o preço de um croissant e depois o de sete croissants. **Solução de Exercício 44.2.** Um croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ reais. Sete: $7 \times 1.20 = 8.40$ reais. **Exercício 44.3 ★.** Complete a tabela de [proporcionalidade](#def-g6-propdata-def) (comece pelo coeficiente!): | litros de combustível | $10$ | $25$ | $?$ | $60$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | preço (reais) | $18$ | $?$ | $72$ | $?$ | **Solução de Exercício 44.3.** Coeficiente: $18 \div 10 = 1.8$ reais por litro. Então $25$ L custam $25 \times 1.8 = 45$ reais; $72$ reais compram $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L custam $60 \times 1.8 = 108$ reais. **Exercício 44.4 ★.** Um carro usa $6$ L de combustível a cada $100$ km. Quanto combustível para $250$ km? E para $350$ km? Que distância ele percorre com $27$ L? **Solução de Exercício 44.4.** Para $250$ km: $2.5$ vezes o combustível de $100$ km, ou seja, $2.5 \times 6 = 15$ L. Para $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Com $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ centenas de km, isto é, $450$ km. **Exercício 44.5 ★.** Calcule de cabeça, usando as referências do [Exemplo 44.7](#ex-g6-propdata-percent): $50\,\%$ de $84$; $25\,\%$ de $200$; $10\,\%$ de $63$; $30\,\%$ de $70$. **Solução de Exercício 44.5.** $50\,\%$ de $84$: a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half), $42$. $25\,\%$ de $200$: um quarto, $50$. $10\,\%$ de $63$: um décimo, $6.3$. $30\,\%$ de $70$: $3 \times 7 = 21$. **Exercício 44.6 ★.** Numa escola de $450$ alunos, $60\,\%$ almoçam no refeitório. Quantos alunos são? E quantos não almoçam? **Solução de Exercício 44.6.** $60\,\%$ de $450$: $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ alunos almoçam no refeitório; $450 - 270 = 180$ não almoçam. **Exercício 44.7 ★.** Usando o gráfico de barras do [Exemplo 44.9](#ex-g6-propdata-chart): em que dias foram emprestados menos de $10$ livros? Quantos livros a mais foram emprestados na quarta do que na quinta? **Solução de Exercício 44.7.** Menos de $10$ livros: terça ($8$) e quinta ($6$). Quarta menos quinta: $17 - 6 = 11$ livros a mais. **Exercício 44.8 ★.** As temperaturas do meio-dia de segunda a sexta foram $14$, $16$, $13$, $17$, $20$ graus. Trace um gráfico de barras desses dados (escolha uma graduação sensata) e diga qual foi o dia mais quente. **Solução de Exercício 44.8.** Gráfico de barras com cinco barras de alturas $14$, $16$, $13$, $17$, $20$ (graduação de $2$ em $2$ ou de $5$ em $5$ graus funciona bem). Dia mais quente: sexta ($20$ graus). **Exercício 44.9 ★★.** Uma receita para $6$ pessoas pede $450$ g de farinha e $3$ ovos. Adapte-a para $10$ pessoas. (Para os ovos, pense antes de escrever um [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places) de ovos!) **Solução de Exercício 44.9.** Para $10$ pessoas, multiplique por $\frac{10}{6} = \frac53$: farinha, $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Ovos: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — felizmente um número inteiro. (Se não fosse, arredondaríamos *para cima*, para ter o suficiente.) **Exercício 44.10 ★★.** A velocidade constante, uma ciclista percorre $24$ km em $1$ hora. 1. Que distância ela percorre em $2$ h? E em meia hora? E em $1$ h $30$ min? 2. De quanto tempo ela precisa para $60$ km? **Solução de Exercício 44.10.** *1.* Em $2$ h: $48$ km. Em meia hora: $12$ km. Em $1$ h $30$: $24 + 12 = 36$ km. *2.* $60 \div 24 = 2.5$ horas, isto é, $2$ h $30$ min. **Exercício 44.11 ★★.** Uma loja anuncia “$20\,\%$ de desconto em tudo”. Calcule o desconto e o preço novo para: uma bola de $15$ reais; uma raquete de $40$ reais. O preço novo é proporcional ao preço antigo? Qual é o coeficiente? **Solução de Exercício 44.11.** Bola: desconto de $20\,\%$ de $15 = 3$ reais, preço novo $12$ reais. Raquete: desconto de $8$ reais, preço novo $32$ reais. O preço novo é $80\,\%$ do antigo em todos os casos: proporcional, com coeficiente $0.8$. **Exercício 44.12 ★★★.** Duas velas da mesma altura são acesas ao mesmo tempo. A grossa se consome inteira em $6$ horas e a fina em $4$ horas, cada uma a um ritmo constante próprio. Depois de quanto tempo a vela fina tem exatamente a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura da grossa? (Escreva as alturas restantes depois de $t$ horas como frações da altura inicial.) **Solução de Exercício 44.12.** Depois de $t$ horas, a vela grossa queimou $\frac t6$ da altura dela: ela está em $1 - \frac t6$ da altura inicial; a fina está em $1 - \frac t4$. Queremos $$ 1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{isto é}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}. $$ Então $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$, logo $t = 3$ horas. Confere: depois de $3$ h a vela grossa está em $1 - \frac36 = \frac12$ e a fina em $1 - \frac34 = \frac14$ — de fato a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half). ## 44.5 Problema: mapas, plantas e como mentir com um gráfico **Problema 44.1.** Problema de fim de semana — a escala de um mapa é uma proporcionalidade: os comprimentos seguem o coeficiente, as áreas seguem o quadrado dele, e gráficos mal traçados enganam o olho Todo mapa, planta e maquete obedece a uma regra: os comprimentos reais e os comprimentos desenhados são *[proporcionais](#def-g6-propdata-def)* ([Definição 44.1](#def-g6-propdata-def)). O coeficiente tem um nome famoso — a *escala* — e esconde duas armadilhas que este problema arma de propósito: as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) *não* seguem a escala, e as porcentagens, como os gráficos, dependem inteiramente daquilo em relação a que são medidas. **Parte I — Ler um mapa.** Um mapa de caminhada está na escala $1:100\,000$: cada centímetro no mapa representa $100\,000$ centímetros no terreno. 1. Converta $100\,000$ cm em quilômetros. O que $1$ cm desse mapa representa, em km? 2. Dois vilarejos estão a $7.5$ cm um do outro no mapa; a margem de um lago é uma curva de $12$ cm. Dê as distâncias reais. 3. Uma estrada romana perfeitamente reta tem $20$ km. Que comprimento ela tem no mapa? 4. Um segundo mapa anuncia “ $1$ cm para $5$ km”. Escreva a escala dele na forma $1: \,?$ . Qual dos dois mapas mostra mais detalhes para a mesma região? 5. Monte uma tabelinha (distância no mapa $1$ , $2$ , $7.5$ cm contra distância real) para o mapa de caminhada e explique por que uma escala é exatamente uma [proporcionalidade](#def-g6-propdata-def) no sentido da [Definição 44.1](#def-g6-propdata-def) . Qual é o coeficiente que transforma centímetros-no-mapa em quilômetros? **Parte II — A planta do quarto de Zoe.** Zoe desenha a planta do quarto dela — um retângulo de $4$ m por $3$ m — na escala $1:50$. 6. Que dimensões o quarto tem na planta? 7. A cama dela mede $2$ m por $0.9$ m, e o vão da porta tem $80$ cm de largura. Dê as três medidas na planta. 8. Agora a armadilha. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real do quarto em m $^2$ e depois a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da planta dele em cm $^2$ . Converta a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real em cm $^2$ ( [Definição 43.5](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) ) e divida pela [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da planta: o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é $50$ ? 9. Explique o número que você encontrou: numa planta $1:50$ , cada centímetro quadrado de papel representa um quadrado real de $50$ cm por $50$ cm. Quantos cm $^2$ reais são? Enuncie a regra: quando os comprimentos são divididos por $50$ , as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) são divididas por … 10. Um tapete redondo cobre $6$ cm $^2$ na planta. Que [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real ele cobre, em cm $^2$ e depois em m $^2$ ? **Parte III — Como mentir com um gráfico (e com uma porcentagem).** 11. Uma loja vendeu $105$ reais no sábado e $110$ no domingo. O gerente traça um gráfico de barras cujo eixo vertical começa em $100$ : a barra de sábado sobe $5$ unidadezinhas e a de domingo, $10$ . O que a imagem sugere sobre o domingo, e qual é a verdade? (Calcule o aumento de domingo como porcentagem do sábado, arredondado ao por cento.) Que alerta do [Método 44.8](#met-g6-propdata-read) o gerente ignorou? 12. Refaça (ou descreva) o gráfico honesto, com o eixo começando em $0$ : como as duas barras se comparam agora? 13. Uma coleção cresce de $40$ para $60$ selos: calcule o aumento como porcentagem do valor inicial. Depois ela encolhe de volta de $60$ para $40$ : calcule a queda como porcentagem do valor inicial *dela* . Por que as duas respostas são diferentes, para os mesmos $20$ selos? 14. Época de liquidação: um casaco de $100$ reais recebe “ $20\,\%$ de desconto” e, no caixa, mais “ $10\,\%$ sobre o preço já reduzido”. Calcule o preço final passo a passo. O desconto total é de $30\,\%$ ? Explique ao cliente quanto ele é de verdade. 15. Final, de volta ao mapa da questão 4 ( $1$ cm para $5$ km): uma floresta ocupa $3$ cm $^2$ nesse mapa. Qual é a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real dela, em km $^2$ ? Conclua com a regra deste problema inteiro: os comprimentos seguem a escala, as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) seguem o … **Solução de Problema 44.1.** **1.** $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: um centímetro no mapa é um quilômetro no terreno. **2.** $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre os vilarejos; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de margem do lago. **3.** $20$ km $\rightarrow 20$ cm no mapa. **4.** $5$ km $= 500\,000$ cm, então a escala é $1:500\,000$. O mapa de caminhada ($1:100\,000$) é o mais detalhado: ele usa $5$ cm de papel onde o outro gasta apenas $1$ cm. **5.** | mapa (cm) | $1$ | $2$ | $7.5$ | | --- | --- | --- | --- | | real (km) | $1$ | $2$ | $7.5$ | Distância real $=$ distância no mapa $\times 1$ (nessas unidades): sempre o *mesmo* multiplicador, que é exatamente a definição de [proporcionalidade](#def-g6-propdata-def) ([Definição 44.1](#def-g6-propdata-def)). O coeficiente aqui é $1$ quilômetro por centímetro. **6.** $4$ m $= 400$ cm e $400 \div 50 = 8$; $3$ m $= 300$ cm e $300 \div 50 = 6$: a planta mostra um retângulo de $8$ cm $\times$ $6$ cm. **7.** Cama: $200 \div 50 = 4$ cm por $90 \div 50 = 1.8$ cm. Vão da porta: $80 \div 50 = 1.6$ cm. **8.** [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real: $4 \times 3 = 12$ m$^2$. [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da planta: $8 \times 6 = 48$ cm$^2$. Convertendo: $12$ m$^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm$^2$, e $$ 120\,000 \div 48 = 2\,500 . $$ O [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) não é $50$, e sim $2\,500 = 50 \times 50$. **9.** Um cm$^2$ de papel representa um quadrado real de $50$ cm por $50$ cm, que contém $50 \times 50 = 2\,500$ cm$^2$. Então, quando os comprimentos são divididos por $50$, as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) são divididas por $50 \times 50 = 2\,500$: as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) seguem o *quadrado* da escala. **10.** $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm$^2$, e $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m$^2$. **11.** A imagem sugere que o domingo vendeu o *dobro* (uma barra duas vezes mais alta). Verdade: o aumento é de $5$ reais sobre $105$, e $5 \div 105 \approx 0.048$: cerca de $5\,\%$ a mais, e não $100\,\%$ a mais. O gerente ignorou o alerta de conferir se o eixo começa em $0$ ([Método 44.8](#met-g6-propdata-read)). **12.** Com o eixo a partir de $0$, as barras sobem até $105$ e $110$ unidadezinhas: duas barras de altura quase igual, a imagem honesta de uma [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de $5\,\%$. **13.** Para cima: o aumento é de $20$ selos a partir de $40$: $\frac{20}{40} = 50\,\%$. Para baixo: a queda é de $20$ selos a partir de $60$: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$. Os mesmos $20$ selos, valores iniciais diferentes — uma porcentagem é sempre uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) *de alguma coisa*, e essa “alguma coisa” mudou. **14.** Depois dos $20\,\%$ de desconto: $100 - 20 = 80$ reais. Os $10\,\%$ extras incidem sobre $80$: desconto de $8$ reais, preço final $72$ reais. Desconto total: $28$ reais em $100$, ou seja, $28\,\%$ — e não $30\,\%$. O segundo desconto agiu sobre o preço já reduzido, então os reais dele são menores: porcentagens de quantidades diferentes não se somam. **15.** Nesse mapa, $1$ cm representa $5$ km, então $1$ cm$^2$ representa $5 \times 5 = 25$ km$^2$ (a regra da questão 9). A floresta: $3 \times 25 = 75$ km$^2$. Os comprimentos seguem a escala; as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) seguem o *quadrado* dela.