--- title: "Prioridades das operações" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 45 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes --- # Capítulo 45 — Prioridades das operações Quanto é $3 + 4 \times 5$? Se você calcular da esquerda para a direita, dá $35$; se multiplicar primeiro, dá $23$. A matemática precisa de uma resposta única, então existem regras de trânsito para os cálculos — as prioridades. Este capítulo as enuncia e apresenta uma primeira identidade algébrica, a distributividade. ## 45.1 As regras de prioridade **Teorema 45.1 (Regras de prioridade).** Num cálculo sem parênteses: 1. as multiplicações e as divisões são feitas *antes* das adições e das subtrações; 2. as operações do mesmo nível são feitas da esquerda para a direita. Os parênteses passam na frente de tudo: o que está dentro deles é calculado primeiro, começando pelos mais internos. **Exemplo 45.2.** Uma etapa por linha, sublinhando (mentalmente) o que está sendo calculado: $$ \begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(a multiplicação primeiro)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(mesmo nível: da esquerda para a direita)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(mesmo nível: da esquerda para a direita)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(os parênteses primeiro).} \end{align*} $$ Repare nas armadilhas: $20 - 8 + 2$ *não* é $20 - 10$, e $18 \div 3 \times 2$ *não* é $18 \div 6$. **Exemplo 45.3 (Parênteses encaixados).** $$ \begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(parêntese mais interno)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(parêntese restante)}\\ &= 50 - 18 && \text{(multiplicação)}\\ &= 32 . \end{align*} $$ **Observação 45.4 (A barra de fração esconde parênteses).** A barra de [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) agrupa o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dela, como se cada um tivesse parênteses invisíveis: $$ \frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{e não}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 . $$ **Método 45.5 (Calcular com segurança).** 1. Identifique a operação a fazer primeiro (parênteses mais internos, depois $\times$ e $\div$ , depois $+$ e $-$ ); 2. calcule *só ela* e reescreva a expressão inteira com o resultado no lugar; 3. repita até sobrar um único número — uma operação por linha, sem atalhos. ## 45.2 Distributividade **Teorema 45.6 (Distributividade).** Para quaisquer números $k$, $a$, $b$: $$ k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b . $$ **Demonstração por um desenho.** Conte a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um retângulo de largura $k$ dividido em dois retângulos menores de comprimentos $a$ e $b$: inteiro, ele é $k \times (a+b)$; em duas partes, ele é $k \times a + k \times b$. O mesmo retângulo, a mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area). ∎ ![A distributividade em áreas: o retângulo grande k × (a + b) é a soma dos dois menores.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg) *A distributividade em [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): o retângulo grande $k \times (a + b)$ é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos dois menores.* **Exemplo 45.7 (Nos dois sentidos).** *Desenvolver* (da esquerda para a direita) facilita o cálculo mental: $$ 7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 . $$ *Fatorar* (da direita para a esquerda) recolhe um fator comum: $$ 23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 . $$ **Exemplo 45.8 (Traduzir palavras em cálculo).** “A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de $8$ com o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $5$ por $3$” é $8 + 5 \times 3 = 23$. “O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $5$ pela [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de $8$ com $3$” é $5 \times (8 + 3) = 55$: as palavras “o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de … pela [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de…” põem parênteses em torno da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def). ## 45.3 Exercícios **Exercício 45.1 ★.** Calcule, uma operação por linha: $$ 5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 . $$ **Solução de Exercício 45.1.** $5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$. $(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$. $30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$. $(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$. **Exercício 45.2 ★.** Calcule: $$ 24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2). $$ **Solução de Exercício 45.2.** $24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (da esquerda para a direita). $24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (da esquerda para a direita). $24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (a multiplicação primeiro). $24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$. **Exercício 45.3 ★.** Calcule passo a passo: $$ 7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr). $$ **Solução de Exercício 45.3.** $7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$. $40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$. $60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$. **Exercício 45.4 ★.** Calcule as frações (parênteses invisíveis!): $$ \frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} . $$ **Solução de Exercício 45.4.** $\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$. **Exercício 45.5 ★.** Use a distributividade para calcular de cabeça: $$ 8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 . $$ **Solução de Exercício 45.5.** $8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$. $25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$. $14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$. $37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$. **Exercício 45.6 ★.** Escreva o cálculo numa linha só, com parênteses onde for preciso, e depois calcule: “a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre $50$ e o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $6$ por $7$”; “o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de $4$ com $5$ pela [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre $10$ e $8$”. **Solução de Exercício 45.6.** “A [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre $50$ e o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $6$ por $7$”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (sem parênteses, a prioridade faz o trabalho). “O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de $4$ com $5$ pela [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre $10$ e $8$”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$. **Exercício 45.7 ★.** Amir comprou $3$ cadernos a $2.50$ cada um e $2$ canetas a $1.20$ cada uma. Escreva o total dele numa única expressão e depois calcule. **Solução de Exercício 45.7.** $3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ reais. **Exercício 45.8 ★★.** Coloque parênteses em $4 + 2 \times 5 - 1$ para que o resultado seja: (a) $13$; (b) $29$; (c) $24$. (Um dos três não precisa de parêntese nenhum — qual?) **Solução de Exercício 45.8.** (a) sem parênteses: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$. (b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$. (c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$. **Exercício 45.9 ★★.** $12 + 4 \times k$ e $16 \times k$ são a mesma coisa para todo número $k$? Teste com $k = 1$ e $k = 2$, e conclua. Que erro de prioridade levaria de um ao outro? **Solução de Exercício 45.9.** $k = 1$: $12 + 4 \times 1 = 16$ e $16 \times 1 = 16$ — coincidem (é por isso que $k = 1$ é um teste ruim!). $k = 2$: $12 + 4 \times 2 = 20$, mas $16 \times 2 = 32$: diferentes. Logo as duas expressões *não* são iguais em geral. O erro $12 + 4 \times k = 16 \times k$ vem de somar $12 + 4$ primeiro, ignorando a prioridade do $\times$. **Exercício 45.10 ★★.** Um ingresso de cinema custa $9$ reais, mas um grupo de $n$ pessoas paga $12$ reais fixos mais $6$ reais por pessoa. 1. Escreva uma expressão para o preço do grupo e calcule-a para $n = 5$ . 2. A partir de quantas pessoas a tarifa de grupo fica mais barata que $n$ ingressos individuais? (Teste alguns valores de $n$ .) **Solução de Exercício 45.10.** *1.* Preço do grupo: $12 + 6 \times n$. Para $n = 5$: $12 + 30 = 42$ reais. *2.* Preço individual: $9n$. Comparando: $n = 3$: $30$ contra $27$ (individual mais barato); $n = 4$: $36$ contra $36$ (igual); $n = 5$: $42$ contra $45$ (grupo mais barato). A partir de $5$ pessoas, a tarifa de grupo ganha (cada pessoa a mais custa $6$ em vez de $9$, então a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) só aumenta). **Exercício 45.11 ★★★.** Usando cada um dos algarismos $1$, $2$, $3$, $4$ exatamente uma vez, as quatro operações e parênteses à vontade, escreva expressões iguais a $24$, a $10$ e a $1$. **Solução de Exercício 45.11.** Respostas possíveis (há muitas): $$ 24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1). $$ ## 45.4 Problema: multiplicar como um escriba egípcio **Problema 45.1.** Problema de fim de semana — truques de cálculo mental vindos da distributividade, e a multiplicação por dobros e metades usada há quatro mil anos Muito antes das calculadoras — e antes de as tabuadas serem decoradas na escola —, escribas egípcios e camponeses russos multiplicavam dois números quaisquer usando apenas *dobrar, dividir ao meio e somar*. O método deles parece mágica; na verdade é a distributividade ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) trabalhando a todo vapor. Este problema afia o seu cálculo mental, depois ensina o método antigo e, por fim, abre o capô para mostrar exatamente por que ele funciona. **Parte I — A arte de não calcular.** 1. Calcule de cabeça, desenvolvendo como no [Exemplo 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) : $7 \times 102$ e $9 \times 98$ . 2. Calcule de cabeça, fatorando: $17 \times 13 + 17 \times 7$ e $45 \times 101 - 45$ . 3. O truque do “vezes $5$ ”: para multiplicar por $5$ , multiplique por $10$ e divida ao meio. Calcule $5 \times 87$ assim e explique por que o truque é legítimo. 4. Mais dois truques para justificar e usar: multiplicar por $25$ multiplicando por $100$ e dividindo por $4$ (calcule $25 \times 32$ ); multiplicar por $99$ multiplicando por $100$ e subtraindo uma vez (calcule $99 \times 47$ ). 5. Um tiro de alerta: a distributividade espalha um fator sobre uma *[soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def)* , nunca sobre um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) . Compare $8 \times (5 + 3)$ com $8 \times 5 + 8 \times 3$ e depois $8 \times (5 \times 3)$ com $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : qual par bate, e qual não bate? **Parte II — O método de dobrar e dividir ao meio.** Eis a receita para $13 \times 24$. Escreva duas colunas. Coluna da esquerda: comece em $13$ e vá *dividindo ao meio*, jogando fora qualquer [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder), até chegar a $1$: $13,\ 6,\ 3,\ 1$. Coluna da direita: comece em $24$ e vá *dobrando* a mesma quantidade de vezes: $24,\ 48,\ 96,\ 192$. Risque toda linha cuja número da *esquerda* for par e some os números da direita que sobraram. 6. Execute a receita para $13 \times 24$ : que linha é riscada, que [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) resta, e ela é igual a $13 \times 24$ ? 7. Multiplique $21 \times 17$ pelo método (divida $21$ ao meio, dobre $17$ ) e confira a resposta com a multiplicação comum. 8. Multiplique $16 \times 25$ pelo método. Quantas linhas sobrevivem, e o que há de especial numa coluna da esquerda que começa em $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ? 9. Agora, *por que* funciona, um passo de cada vez. Justifique cada igualdade com a distributividade: $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ Moral: dividir a esquerda ao meio e dobrar a direita mantém o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) — mas, quando o número da esquerda é *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*, uma cópia do número da direita se destaca e tem de ir para o cofre. Que número a primeira linha da tabela põe no cofre? 10. Continue a escrituração tabela abaixo: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , depois $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , depois $1 \times 192 = 192$ . Junte tudo o que foi para o cofre pelo caminho e explique por que os números guardados são exatamente os números da coluna da direita das linhas de esquerda [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — as linhas que a receita mantém. **Parte III — Sob o capô: [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de dobros.** 11. Na questão 6, as linhas sobreviventes valiam $1$ , $4$ e $8$ dobros de $24$ : o método escreveu, sem dizer, $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Confira que $1 + 4 + 8 = 13$ e descubra que dobros ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) o método guardou para o $21$ da questão 7. 12. Escreva $25$ e $42$ como [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de números da lista de dobros $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , usando cada um no máximo uma vez. 13. Explique por que *todo* número inteiro pode ser escrito assim: tome o maior número de dobro que couber, subtraia, repita — por que isso tem de parar? Escreva $100$ como uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dessas. 14. Os escribas do Egito faziam exatamente isso, quatro mil anos atrás: para multiplicar $19 \times 35$ , montavam uma tabela de dobros de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), escolhiam as linhas que somavam $19$ e somavam. Faça a conta do jeito deles. 15. Final: os computadores modernos, que contam com $0$ e $1$ , multiplicam essencialmente como os escribas — por dobros e adições. Que três adições um computador faria para $13 \times 24$ ? (Por que todo número se reparte em dobros, e o que os $0$ e os $1$ têm a ver com isso, é o problema de fim de semana do capítulo de potências: [Problema 56.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#pb-g8-powers-1) .) **Solução de Problema 45.1.** **1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$. **2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$. **3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$. Legitimidade: $5 = 10 \div 2$, então multiplicar por $5$ é multiplicar por $10$ e depois dividir por $2$ (a ordem de $\times$ e $\div$, no mesmo nível e da esquerda para a direita, faz o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder)). **4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$, porque $25 = 100 \div 4$. E $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$: distributividade sobre a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)). **5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ e $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$: batem — é a distributividade. Mas $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$, enquanto $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$: não batem. O fator se espalha pelos *termos de uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def)*, e não pelos fatores de um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def). **6.** | $13$ | $24$ | mantida ($13$ [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) | | --- | --- | --- | | $6$ | $48$ | riscada ($6$ par) | | $3$ | $96$ | mantida | | $1$ | $192$ | mantida | [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos números da direita que sobraram: $24 + 96 + 192 = 312$, e de fato $13 \times 24 = 312$. **7.** Dividindo $21$ ao meio: $21, 10, 5, 2, 1$; dobrando $17$: $17, 34, 68, 136, 272$. As esquerdas pares $10$ e $2$ são riscadas; os sobreviventes dão $17 + 68 + 272 = 357$. Confere: $21 \times 17 = 357$. **8.** Dividindo $16$ ao meio: $16, 8, 4, 2, 1$; dobrando $25$: $25, 50, 100, 200, 400$. Todos os números da esquerda, exceto o $1$ final, são pares: sobrevive uma única linha, e a resposta é $400$. Uma coluna da esquerda feita só de dobros mantém apenas a última linha — o método se reduz a dobrar. **9.** $13 = 12 + 1$, então, pela distributividade, $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$; e $12 \times 24 = 6 \times 48$, pois dividir um fator ao meio dobrando o outro deixa o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) inalterado ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$). O [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $13$ destacou uma cópia do número da direita: a primeira linha põe $24$ no cofre. **10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ ([metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) e dobro, sem nada para o cofre: $6$ é par). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$: o [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3$ guarda $96$. Por fim, $1 \times 192 = 192$: o [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $1$ guarda $192$ e a tabela acaba. Total guardado: $24 + 96 + 192 = 312$. Uma linha guarda o número da direita exatamente quando o número da esquerda é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — então a receita “mantenha as linhas de esquerda [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) e some” é precisamente a escrituração da distributividade. **11.** $1 + 4 + 8 = 13$. Para o $21$, as linhas sobreviventes foram as de $17$, $68 = 4 \times 17$ e $272 = 16 \times 17$: os dobros $1 + 4 + 16 = 21$. **12.** $25 = 16 + 8 + 1$ e $42 = 32 + 8 + 2$. **13.** Tome o maior número de dobro que não ultrapasse o alvo e subtraia-o; o que sobra é menor e é menor também que o número de dobro recém-usado (senão um maior teria cabido). Repetindo, o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) encolhe estritamente e tem de chegar a $0$: o processo para, e os dobros usados são todos diferentes. Para $100$: $64$ cabe (sobram $36$), $32$ cabe (sobram $4$), $4$ cabe (sobra $0$): $100 = 64 + 32 + 4$. **14.** Tabela de dobros de $35$: $1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$. Como $19 = 16 + 2 + 1$, escolhemos essas linhas: $560 + 70 + 35 = 665$. Confere: $19 \times 35 = 665$. **15.** As mesmas três do escriba e do camponês: $24 + 96 + 192$ — os dobros de $24$ selecionados por $13 = 1 + 4 + 8$. Escrever números como [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de dobros é exatamente escrevê-los com $0$ e $1$; a história completa está no [Problema 56.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#pb-g8-powers-1).