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title: "Números negativos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos
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# Capítulo 46 — Números negativos

Temperaturas abaixo de [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero), andares abaixo do térreo, dinheiro devido: muitas grandezas descem abaixo de $0$. Os números negativos estendem a reta numérica para a esquerda do [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero). Este capítulo ensina a compará-los e a somá-los e subtraí-los — a multiplicação deles espera o [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#ch-g8-negprod).

## 46.1 Números relativos

**Definição 46.1 (Números relativos).**

Um *número relativo* é formado por um sinal ($+$ ou $-$) e uma *distância até o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero)*: $+3$ e $-3$ estão os dois à distância $3$ de $0$, em lados opostos. Os números positivos costumam ser escritos sem o sinal: $+3 = 3$. Os números $+3$ e $-3$ são *opostos* um do outro.

![A reta numérica estendida para a esquerda: -3 e +3 são números opostos, à mesma distância de 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg)

*A reta numérica estendida para a esquerda: $-3$ e $+3$ são números opostos, à mesma distância de $0$.*

**Método 46.2 (Comparar números relativos).**

Na reta numérica, menor significa mais à esquerda. Na prática:

1. um número negativo é sempre menor que um positivo: $-7 < 2$ ;
2. entre dois positivos, vale a ordem de sempre;
3. entre dois negativos, o de *maior* distância até o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) é o *menor* : $-7 < -2$ .

**Exemplo 46.3.**

Ordene do menor para o maior: $3$; $-5$; $0$; $-1.5$; $2.8$. Os negativos primeiro, com o mais negativo na frente:

$$
-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .
$$

## 46.2 Somar números relativos

Pense num [número relativo](#def-g7-negatives-def) como um movimento ao longo da reta: $+5$ quer dizer “ande $5$ passos para a direita” e $-3$ quer dizer “ande $3$ passos para a esquerda”. Somar números é encadear as caminhadas.

**Método 46.4 (Somar dois números relativos).**

1. *Mesmo sinal* : some as distâncias e mantenha o sinal comum: $(-3) + (-4) = -7$ .
2. *Sinais opostos* : subtraia a distância menor da maior e tome o sinal do maior: $(-7) + (+2) = -5$ e $(+7) + (-2) = +5$ .
3. Os opostos se cancelam: $(+4) + (-4) = 0$ .

![Somar é caminhar: partindo de 0, a caminhada -3.5 seguida da caminhada +2 chega a (-3.5) + 2 = -1.5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg)

*Somar é caminhar: partindo de $0$, a caminhada $-3.5$ seguida da caminhada $+2$ chega a $(-3.5) + 2 = -1.5$.*

**Exemplo 46.5.**

Passo a passo, agrupando como convém:

$$
\begin{align*}
(-8) + (+3) &= -5 && \text{(sinais opostos: } 8 - 3 = 5,
\text{ com o sinal do } 8)\\
(-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(mesmo sinal: some as distâncias)}\\
(+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 .
\end{align*}
$$

## 46.3 Subtrair números relativos

**Teorema 46.6 (Regra da subtração).**

Subtrair um [número relativo](#def-g7-negatives-def) é o mesmo que *somar o oposto dele*:

$$
a - b = a + (-b) .
$$

**Por que funciona.** $a - b$ é o número que, somado a $b$, dá $a$. Confira que $a + (-b)$ faz o serviço: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$. ∎

**Exemplo 46.7.**

Toda subtração vira uma adição e, depois, aplica-se o [Método 46.4](#met-g7-negatives-add):

$$
\begin{align*}
5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\
(-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\
(-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 .
\end{align*}
$$

A última linha é a famosa: *subtrair um negativo é somar*. Tirar uma dívida deixa você mais rico!

**Exemplo 46.8 (Diferenças de temperatura).**

Num dia, a temperatura passou de $-6$ graus para $+9$ graus. A subida é a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference)

$$
9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ graus}.
$$

Na reta numérica: de $-6$ até $0$ são $6$ graus, e de $0$ até $9$ são mais $9$.

## 46.4 Coordenadas no plano inteiro

**Definição 46.9 (Coordenadas com sinal).**

Com dois eixos graduados [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) que se cruzam na origem $O$, todo ponto do plano ganha duas coordenadas relativas $(x, y)$: $x$ negativo quer dizer à esquerda do eixo vertical, e $y$ negativo quer dizer abaixo do eixo horizontal.

![Um ponto em cada quarto do plano. Leia sempre primeiro a coordenada horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg)

*Um ponto em cada quarto do plano. Leia sempre primeiro a coordenada horizontal.*

## 46.5 Exercícios

**Exercício 46.1 ★.**

Dê o oposto de: $7$; $-3.5$; $0$; $+12$. Depois complete: “dois números são opostos quando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) deles é ?”.

**Solução de Exercício 46.1.**

Opostos: $-7$; $+3.5$; $0$ (oposto de si mesmo); $-12$. Dois números são opostos quando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) deles é $0$.

**Exercício 46.2 ★.**

Copie e complete com $<$ ou $>$:

$$
-4 \;?\; 1, \qquad
-4 \;?\; -7, \qquad
-2.5 \;?\; -2.4, \qquad
0 \;?\; -0.1 .
$$

**Solução de Exercício 46.2.**

$-4 < 1$; $-4 > -7$; $-2.5 < -2.4$; $0 > -0.1$.

**Exercício 46.3 ★.**

Ordene do menor para o maior: $-3$; $2.5$; $-0.5$; $-3.1$; $0$; $1$.

**Solução de Exercício 46.3.**

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$.

**Exercício 46.4 ★.**

Calcule:

$$
(-5) + (-9), \qquad
(-12) + (+7), \qquad
(+3.5) + (-1.5), \qquad
(-6) + (+6).
$$

**Solução de Exercício 46.4.**

$(-5) + (-9) = -14$; $(-12) + (+7) = -5$; $(+3.5) + (-1.5) = +2$; $(-6) + (+6) = 0$.

**Exercício 46.5 ★.**

Transforme em adições e depois calcule:

$$
4 - 11, \qquad
(-5) - (+3), \qquad
(-7) - (-10), \qquad
0 - (-8).
$$

**Solução de Exercício 46.5.**

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$.

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$.

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$.

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$.

**Exercício 46.6 ★.**

Calcule agrupando com esperteza (os opostos primeiro):

$$
(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad
(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).
$$

**Solução de Exercício 46.6.**

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (os positivos juntos, os negativos juntos).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$.

**Exercício 46.7 ★.**

A temperatura era de $-3$ graus de manhã; subiu $8$ graus durante o dia e depois caiu $12$ graus à noite. Escreva um único cálculo que dê a temperatura final e calcule-o.

**Solução de Exercício 46.7.**

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$: são $-7$ graus à noite.

**Exercício 46.8 ★.**

Marque num sistema de coordenadas: $A(2, 3)$; $B(-3, 1)$; $C(-2, -2)$; $D(3, -1)$; $E(0, -3)$. Que ponto está sobre um eixo?

**Solução de Exercício 46.8.**

Marcação livre; $E(0, -3)$ está sobre o eixo vertical (a primeira coordenada dele é $0$).

**Exercício 46.9 ★★.**

Calcule a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre a temperatura máxima e a mínima: Moscou em janeiro, máxima $-4$ graus, mínima $-13$ graus; Helsinque, máxima $2$, mínima $-9$.

**Solução de Exercício 46.9.**

Moscou: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ graus de [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference). Helsinque: $2 - (-9) = 11$ graus.

**Exercício 46.10 ★★.**

Uma mergulhadora está na altitude $-12$ m (doze metros abaixo da superfície). Ela sobe $7$ m e depois desce $4$ m. Em que altitude ela está? Quanto ainda precisa subir para chegar à superfície?

**Solução de Exercício 46.10.**

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$: ela está em $-9$ m. Para chegar à superfície (altitude $0$), precisa subir $0 - (-9) = 9$ m.

**Exercício 46.11 ★★.**

Marque $A(-2, 1)$, $B(2, 1)$, $C(2, -2)$. Encontre as coordenadas do ponto $D$ para que $ABCD$ seja um retângulo e calcule o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) dele (conte os quadradinhos da malha para os comprimentos dos lados).

**Solução de Exercício 46.11.**

$D(-2, -2)$: a mesma primeira coordenada de $A$ e a mesma segunda coordenada de $C$. Lados: $AB = 4$ (de $-2$ a $2$) e $BC = 3$ (de $1$ até $-2$), então o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) é $2 \times (4 + 3) = 14$.

**Exercício 46.12 ★★★.**

No quadrado mágico abaixo, toda linha, coluna e diagonal tem de ter a mesma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def). Copie e complete:

| $?$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $?$ |
| $-4$ | $?$ | $?$ |

(Comece descobrindo a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) mágica pela diagonal que está quase completa.)

**Solução de Exercício 46.12.**

A diagonal completa $0, -2, -4$ dá a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) mágica $0 + (-2) + (-4) = -6$. Depois, casa por casa: canto superior esquerdo $= -6 - (-7) - 0 = 1$; centro à direita $= -6 - (-3) - (-2) = -1$; canto inferior direito $= -6 - 0 - (-1) = -5$; centro de baixo $= -6 - (-7) - (-2) = 3$.

| $1$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $-4$ | $3$ | $-5$ |

Toda linha, coluna e diagonal [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $-6$.

## 46.6 Problema: o ano zero que nunca existiu

**Problema 46.1.**

Problema de fim de semana — números relativos na linha do tempo da história: durações que atravessam a fronteira das eras, o truque dos astrônomos e o princípio da variação total

A reta numérica deste capítulo tem uma gêmea famosa no mundo real: a linha do tempo da história, com os anos a.C. se estendendo para a esquerda e os anos d.C. para a direita. Mas a linha dos historiadores esconde uma armadilha que já estragou muita conta: *não existe ano [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero)* — o ano 1 a.C. é seguido imediatamente pelo ano 1 d.C. Este problema calcula com temperaturas, elevadores e contas bancárias e depois conserta o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) quebrado da história do jeito que os astrônomos fazem: com [números relativos](#def-g7-negatives-def).

**Parte I — Aquecimento e uma primeira armadilha.**

1. O cume do Monte Branco está na altitude $+4\,808$ m; a margem do mar Morto, em $-430$ m. Calcule a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de altitude entre os dois.
2. Uma conta bancária tem $-45$ reais (está no vermelho). O dono deposita $120$ reais, paga uma conta de $60$ reais e depois deposita $15$ reais. Escreva o saldo como uma única cadeia de adições e calcule-o. Que depósito único teria levado os $-45$ iniciais exatamente a $0$ ?
3. Júlio César nasceu em $100$ a.C. e morreu em $44$ a.C. Contando os anos a.C. como números negativos ( $100$ a.C. como $-100$ e $44$ a.C. como $-44$ ), calcule $(-44) - (-100)$ : quantos anos César viveu?
4. O imperador Augusto nasceu em $63$ a.C. e morreu em $14$ d.C. A mesma receita dá $14 - (-63) = 77$ anos — mas os historiadores insistem que ele morreu aos $76$ . A objeção deles: a contagem $77$ passa por um ano que nunca existiu. Qual?
5. Os astrônomos consertam a linha do tempo renomeando: os anos d.C. mantêm o número ( $+14$ continua $+14$ ), mas $1$ a.C. vira $0$ , $2$ a.C. vira $-1$ e, em geral, o ano $n$ a.C. vira $-(n - 1)$ . Converta $63$ a.C. e refaça a conta da questão 4 com os números dos astrônomos. Agora a resposta satisfaz os historiadores?

**Parte II — Calcular atravessando as eras.** De agora em diante, use a renomeação dos astrônomos em todas as contas, convertendo de volta para a.C./d.C. no fim (um ano rotulado $0$ ou negativo $-m$ é o ano $m + 1$ a.C. dos historiadores).

6. Converta para números de astrônomo: $1$ a.C.; $10$ a.C.; $476$ d.C.; e $753$ a.C., a fundação lendária de Roma.
7. Quantos anos se passaram da fundação de Roma ( $753$ a.C.) até a queda do Império do Ocidente ( $476$ d.C.)?
8. Um cometa volta a cada $76$ anos e apareceu em $12$ a.C. Dê os anos dos historiadores para as três aparições seguintes e para a aparição imediatamente anterior a $12$ a.C.
9. Quantos anos se passaram de $5$ a.C. até $5$ d.C.? (A resposta tentadora é $10$ ; a linha do tempo diz outra coisa.)
10. Uma criança nascida em $3$ a.C. completou dez anos em que ano (a.C. ou d.C.)?

**Parte III — O princípio da variação total.**

11. A *distância* entre dois números na reta é o maior menos o menor — sempre positiva. Calcule a distância entre $-7$ e $-2$ e depois entre $-3.5$ e $4.5$ .
12. Um elevador parte do andar $0$ e faz os movimentos $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calcule o andar final agrupando com esperteza ( [Método 46.4](#met-g7-negatives-add) , os opostos primeiro sempre que possível). Fazer os movimentos noutra ordem mudaria o destino? Por quê?
13. Dia a dia, a temperatura varia $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ graus ao longo de uma semana. Calcule a *variação total* . Se a semana começou a $-2$ graus, em quanto ela terminou? Enuncie o princípio: valor final $=$ valor inicial $+$ ( [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de todas as variações).
14. A caminhada de uma montanhista a traz de volta exatamente à altitude de partida. Quanto tem de valer a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de todas as variações de altitude dela, e por quê? Das seis variações registradas, cinco são $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (em centenas de metros): encontre a sexta.
15. Final, de volta a Roma. Um historiador calcula: “a República durou de $509$ a.C. a $27$ a.C., e depois o Império até $476$ d.C.; ao todo, de $509$ a.C. a $476$ d.C., ou seja, $509 + 476 = 985$ anos de Estado romano”. Refaça a conta com os números dos astrônomos. Qual é o total correto — e que ano, mais uma vez, causou o erro?

**Solução de Problema 46.1.**

**1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m ([Teorema 46.6](#thm-g7-negatives-sub): subtrair um negativo é somar).

**2.** Saldo:

$$
(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30
\text{ reais}.
$$

Para levar os $-45$ iniciais a $0$, bastava depositar o oposto deles: $45$ reais.

**3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$: César viveu $56$ anos. (Sem armadilha aqui: os dois anos estão do mesmo lado da fronteira das eras.)

**4.** O ano $0$: contar de $-63$ até $+14$ passa por $0$, mas o calendário dos historiadores salta direto de $1$ a.C. para $1$ d.C. — o ano $0$ nunca existiu, então a contagem ingênua é um ano longa demais.

**5.** $63$ a.C. vira $-(63 - 1) = -62$. Então $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ anos: exatamente o número dos historiadores. Na reta renomeada dos astrônomos não há buracos, então a subtração comum dá durações verdadeiras.

**6.** $1$ a.C. $\to 0$; $10$ a.C. $\to -9$; $476$ d.C. $\to +476$; $753$ a.C. $\to -752$.

**7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ anos.

**8.** $12$ a.C. é $-11$. Aparições seguintes: $-11 + 76 = 65$, depois $141$, depois $217$: os anos $65$ d.C., $141$ d.C. e $217$ d.C. Antes: $-11 - 76 = -87$, que é o ano $87 + 1 = 88$ a.C. dos historiadores.

**9.** $5$ a.C. é $-4$, então $5 - (-4) = 9$ anos — e não $10$. O ano [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) que falta ataca sempre que uma duração atravessa a fronteira das eras.

**10.** $3$ a.C. é $-2$; dez anos depois é $-2 + 10 = +8$: a criança completou dez anos em $8$ d.C.

**11.** Entre $-7$ e $-2$: $(-2) - (-7) = 5$. Entre $-3.5$ e $4.5$: $4.5 - (-3.5) = 8$.

**12.** Agrupando opostos e amigos:

$$
3 + (-5) + 2 + (-1) + 4
= \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4
= 0 + (-1) + 4 = +3 :
$$

o elevador termina no andar $3$. A ordem não importa: uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de [números relativos](#def-g7-negatives-def) pode ser reorganizada à vontade (cada movimento é percorrido sobre a mesma reta, e a caminhada total é a mesma).

**13.** Variação total: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ grau. Partindo de $-2$: temperatura final $-2 + (-1) = -3$ graus. Em geral, o valor final é o valor inicial mais a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de todas as variações — não é preciso acompanhar as subidas e descidas uma a uma.

**14.** Voltar ao ponto de partida significa variação total $0$: as subidas e descidas têm de se cancelar exatamente. As cinco variações conhecidas somam $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$, então a sexta variação é a oposta: $+3$ (trezentos metros de subida).

**15.** Pelos astrônomos: $509$ a.C. $\to -508$, e $476 - (-508) = 984$ anos. Os $509 + 476 = 985$ do historiador contam um ano a mais — mais uma vez o ano [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) fantasma, incluído em silêncio na adição, mas ausente da história. (Como conferência, as duas eras: República de $-508$ a $-26$, $482$ anos; Império de $-26$ a $+476$, $502$ anos; $482 + 502 = 984$.)