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title: "Frações: comparar e somar"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 47
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/47-fracoes-comparar-e-somar
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# Capítulo 47 — Frações: comparar e somar

O Ano 6 apresentou as frações como partes e como [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) exatos ([Capítulo 39](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#ch-g6-fractions)). Este capítulo aprende a *calcular* com elas: reconhecer frações iguais, comparar, somar e subtrair — por enquanto com [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) amigáveis; o caso geral vem no [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#ch-g9-fractions).

## 47.1 Frações iguais

**Teorema 47.1 (Frações iguais).**

Uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) não muda quando o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dela são multiplicados, ou divididos, pelo mesmo número não nulo:

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 47.2.**

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ e, no outro sentido, $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6}
= \dfrac{7}{5}$ (simplificada por $6$).

Para testar se $\dfrac{8}{12}$ e $\dfrac{10}{15}$ são iguais, simplifique as duas: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — sim, são iguais.

## 47.2 Comparar frações

**Método 47.3 (Comparar duas frações).**

1. *Mesmo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def)* : compare os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
2. *Um [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) do outro* : reescreva a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) mais grossa e depois compare: $\frac{5}{6}$ contra $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
3. *Compare com $1$ ou com $\frac12$* quando der: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ resolve $\frac98$ contra $\frac79$ na hora.

![Comparando 5/6 e 7/12 em barras gêmeas: cortar os sextos ao meio mostra que 5/6 = 10/12, mais que 7/12.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-fractions/fig-342a23a205ce.svg)

*Comparando $\frac56$ e $\frac{7}{12}$ em barras gêmeas: cortar os sextos ao meio mostra que $\frac56 = \frac{10}{12}$, mais que $\frac{7}{12}$.*

## 47.3 Somar e subtrair

**Teorema 47.4 (Mesmo denominador).**

Frações de mesmo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) são somadas (ou subtraídas) somando (ou subtraindo) os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def):

$$
\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d},
\qquad
\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .
$$

**Por quê.** $a$ partes de tamanho $\frac1d$ mais $b$ partes do mesmo tamanho fazem $a + b$ partes desse tamanho. ∎

**Método 47.5 (Denominadores diferentes).**

Quando um [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) do outro:

1. reescreva a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) de [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) menor para que as duas fiquem com o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) maior ( [Teorema 47.1](#thm-g7-fractions-equal) );
2. some ou subtraia os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) ;
3. simplifique o resultado, se der.

**Exemplo 47.6.**

Vamos calcular $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$, passo a passo:

1. $8$ é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $4$ : reescreva $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
2. some: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
3. não há o que simplificar: o resultado é $\dfrac{11}{8}$ , ou seja, $1 + \dfrac38$ .

Outro: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} =
\dfrac{6}{5}$ (escreva primeiro o número inteiro sobre o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $5$).

**Exemplo 47.7 (Uma armadilha clássica).**

$\dfrac12 + \dfrac13$ *não* é $\dfrac{2}{5}$! Somar [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) separadamente está errado — a resposta $\frac25$ seria menor que $\frac12$, o que é absurdo quando se *[soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def)* algo positivo a $\frac12$. (A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) correta, $\frac56$, precisa do [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $6$; o método geral está no [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#ch-g9-fractions).)

## 47.4 Multiplicar uma fração por um número

**Proposição 47.8 (Fração vezes um número).**

Para um número $k$:

$$
k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .
$$

Tomar $\frac ab$ *de* uma quantidade é multiplicar por $\frac ab$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 47.9.**

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$: seis vezes dois terços dá quatro inteiros. E “$\frac34$ de $60$ reais” é $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ reais — a mesma resposta de dividir por $4$ e depois multiplicar por $3$ ([Método 39.8](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#met-g6-fractions-ofquantity)).

## 47.5 Exercícios

**Exercício 47.1 ★.**

Complete: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**Solução de Exercício 47.1.**

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**Exercício 47.2 ★.**

Simplifique o máximo possível: $\dfrac{12}{16}$; $\dfrac{30}{45}$; $\dfrac{27}{36}$; $\dfrac{48}{12}$.

**Solução de Exercício 47.2.**

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$; $\dfrac{48}{12} = 4$.

**Exercício 47.3 ★.**

$\dfrac{15}{35}$ e $\dfrac{21}{49}$ são iguais? E $\dfrac{16}{28}$ e $\dfrac{20}{36}$? Justifique simplificando.

**Solução de Exercício 47.3.**

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ e $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$: iguais.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ e $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$: para comparar, $\frac47 = \frac{36}{63}$ e $\frac59 = \frac{35}{63}$ — não são iguais.

**Exercício 47.4 ★.**

Compare (escreva o raciocínio, não só a resposta):

$$
\frac{7}{11} \text{ e } \frac{9}{11}; \qquad
\frac{5}{6} \text{ e } \frac{11}{18}; \qquad
\frac{13}{12} \text{ e } \frac{19}{20}.
$$

**Solução de Exercício 47.4.**

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (mesmo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def)).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$.

$\dfrac{13}{12} > 1$ enquanto $\dfrac{19}{20} < 1$, logo $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$.

**Exercício 47.5 ★.**

Calcule e simplifique quando der:

$$
\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad
\frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad
\frac{5}{8} + \frac{7}{8} .
$$

**Solução de Exercício 47.5.**

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$.

**Exercício 47.6 ★.**

Calcule usando o [Método 47.5](#met-g7-fractions-add):

$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad
\frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad
\frac{3}{4} + \frac{5}{12} .
$$

**Solução de Exercício 47.6.**

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$.

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} =
\dfrac{3}{10}$.

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} =
\dfrac{14}{12} = \dfrac76$.

**Exercício 47.7 ★.**

Calcule:

$$
3 - \frac{5}{4}, \qquad
1 + \frac{3}{8}, \qquad
2 - \frac{7}{6} .
$$

**Solução de Exercício 47.7.**

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$.

**Exercício 47.8 ★.**

Calcule:

$$
5 \times \frac{3}{10}, \qquad
\frac{7}{8} \times 4, \qquad
\frac{2}{3} \text{ de } 45 .
$$

**Solução de Exercício 47.8.**

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$; $\dfrac23$ de $45$ é $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$.

**Exercício 47.9 ★★.**

Marcos comeu $\frac14$ de uma pizza e Júlia comeu $\frac38$ da mesma pizza. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) da pizza eles comeram juntos? Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) sobrou?

**Solução de Exercício 47.9.**

Juntos: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ da pizza. Sobrou: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$.

**Exercício 47.10 ★★.**

Uma garrafa contém $\frac34$ L de suco. Lia serve $\frac16$ L duas vezes. Quanto suco resta? ([Denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum: $12$.)

**Solução de Exercício 47.10.**

Servido: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Resta:

$$
\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
\text{ L}.
$$

**Exercício 47.11 ★★.**

Explique, com o argumento do [Exemplo 47.7](#ex-g7-fractions-trap), por que $\frac35 + \frac12$ não pode ser $\frac{4}{7}$, sem calcular a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) correta.

**Solução de Exercício 47.11.**

Somar a quantidade positiva $\frac12$ a $\frac35$ tem de dar um resultado *maior* que $\frac35$. Mas $\frac47 < \frac35$ (de fato, $\frac47 = \frac{20}{35}$ e $\frac35 = \frac{21}{35}$): a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) alegada seria menor que um dos termos dela — impossível.

**Exercício 47.12 ★★★.**

Calcule a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def)

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}
$$

passo a passo (da esquerda para a direita). Observe o padrão das [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) parciais: de que número elas se aproximam à medida que mais e mais termos $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ são somados?

**Solução de Exercício 47.12.**

Passo a passo:

$$
\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad
\frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad
\frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.
$$

As [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) parciais $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ ficam a cada vez na [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da distância que faltava até $1$: a cada passo, a parte que falta é cortada ao meio. As [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) se aproximam de $1$ sem nunca alcançá-lo.

## 47.6 Problema: as frações escondidas num compasso de música

**Problema 47.1.**

Problema de fim de semana — os valores das notas são frações que têm de somar exatamente, a contagem de ritmos esconde uma sequência famosa, e a paridade manda no ritmo balcânico

A música se escreve em frações. Uma *semibreve* dura $1$ compasso (no comum “quatro por quatro”); uma *mínima* dura $\frac12$; depois vêm a *semínima* $\frac14$, a *colcheia* $\frac18$ e a *semicolcheia* $\frac{1}{16}$. Uma lei inviolável: *as durações dentro de um compasso têm de somar exatamente o total do compasso* — $1$ no quatro por quatro. Cada questão abaixo é a aritmética deste capítulo ([Teorema 47.4](#thm-g7-fractions-add), [Método 47.5](#met-g7-fractions-add)) posta em música; pelo caminho você vai encontrar uma sequência de contagem descoberta por sábios indianos há mil anos.

**Parte I — Notas que têm de fechar a conta.**

1. Confira que cada um destes compassos é legal no quatro por quatro: (a) mínima $+$ semínima $+$ semínima; (b) semínima $+$ colcheia $+$ colcheia $+$ mínima.
2. Um copista escreveu: mínima $+$ semínima $+$ colcheia. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do compasso está escrita, e que nota única a completa?
3. Quantas semicolcheias enchem um compasso inteiro? E quantas semicolcheias fazem uma colcheia?
4. Um *ponto de aumento* depois de uma nota acrescenta a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do valor dela: uma mínima pontuada é $\frac12 +  \frac14$ , e uma semínima pontuada é $\frac14 + \frac18$ . Calcule os dois valores.
5. Uma valsa se escreve em três por quatro: cada compasso tem de totalizar $\frac34$ . Confira que uma única mínima pontuada enche um compasso de valsa e escreva outros dois compassos de valsa legais usando apenas semínimas e colcheias.

**Parte II — A oficina do copista.**

6. Um compasso de quatro por quatro contém: semínima pontuada $+$ colcheia $+$ semínima. O que está faltando?
7. O que dura mais, uma colcheia pontuada ou uma semínima? Compare em semicolcheias.
8. Uma *ligadura* cola durações num só som prolongado: uma mínima ligada a uma colcheia dura quanto? Quantas semicolcheias são?
9. As notas de um compasso somam $\frac{11}{16}$ ; o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é silêncio (uma *pausa* ). Quanto dura a pausa?
10. Um baterista preenche uma semínima ( $\frac{4}{16}$ do compasso) usando apenas colcheias ( $\frac{2}{16}$ ) e semicolcheias ( $\frac{1}{16}$ ), importando a ordem: por exemplo, colcheia–semicolcheia–semicolcheia ou semicolcheia–colcheia–semicolcheia. Confira que os dois exemplos são legais e depois liste *todos* os ritmos possíveis. Quantos são?

**Parte III — Uma sequência de mil anos e um compasso [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd).**

11. Vamos contar os ritmos do baterista para notas mais longas. Todo ritmo termina ou com uma semicolcheia, ou com uma colcheia; explique por que isso dá a regra: (ritmos que enchem $n$ semicolcheias) $=$ (ritmos que enchem $n - 1$ ) $+$ (ritmos que enchem $n - 2$ ). Partindo de $1$ ritmo para uma semicolcheia e $2$ para duas, monte a tabela até $n = 8$ : quantos ritmos enchem uma mínima?
12. Os números que você encontrou — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — foram publicados pelo sábio indiano Hemachandra por volta do ano 1150, contando exatamente ritmos desses, duas gerações antes de Fibonacci os anotar na Itália. Enuncie o padrão que os define em uma frase e confira-o nas três últimas entradas da sua tabela.
13. O estilo *swing* substitui duas colcheias iguais por um par longo–curto: $\frac16$ e depois $\frac{1}{12}$ . Verifique que a troca é legal (mesma duração total), usando o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $12$ .
14. Uma *quiáltera* espreme três notas iguais dentro de uma semínima. Quanto dura cada nota (confira a sua resposta multiplicando por $3$ , [Proposição 47.8](#prop-g7-fractions-mult) )? A mesma pergunta para três notas iguais preenchendo uma mínima.
15. A música de dança dos Bálcãs usa o sete por oito: cada compasso totaliza $\frac78$ . Verifique que semínima pontuada $+$ semínima $+$ semínima o preenche. Depois explique por que *nenhuma* combinação só de mínimas e semínimas, por mais numerosas que sejam, consegue preencher um compasso de sete por oito. (Conte em colcheias e pense em par e [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .)

**Solução de Problema 47.1.**

**1.** (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14
+ \frac14 = \frac44 = 1$: legal. (b) $\frac14 + \frac18 +
\frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 =
\frac88 = 1$: legal.

**2.** $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 +
\frac18 = \frac78$: falta uma colcheia.

**3.** Um compasso é $1 = \frac{16}{16}$: dezesseis semicolcheias. Uma colcheia é $\frac18 = \frac{2}{16}$: duas semicolcheias.

**4.** Mínima pontuada: $\frac12 + \frac14 = \frac34$. Semínima pontuada: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$.

**5.** A mínima pontuada vale $\frac34$ (questão 4): exatamente um compasso de valsa. Outros preenchimentos, por exemplo: semínima $+$ semínima $+$ semínima ($\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$), ou semínima $+$ colcheia $+$ colcheia $+$ semínima ($\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 =
\frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$).

**6.** $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 +
\frac28 = \frac68 = \frac34$: falta uma semínima ($\frac14$).

**7.** Colcheia pontuada: $\frac18 + \frac{1}{16} =
\frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$. Semínima: $\frac{4}{16}$. A semínima é mais longa.

**8.** $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$, ou seja, $\frac{10}{16}$: dez semicolcheias.

**9.** $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16}
= \frac{5}{16}$ do compasso é silêncio.

**10.** Os dois exemplos totalizam $\frac{2 + 1 + 1}{16} =
\frac{4}{16}$: legais. Todos os ritmos que enchem quatro semicolcheias com pedaços de $2$ e de $1$:

$$
2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad
1{+}1{+}1{+}1 :
$$

cinco ritmos.

**11.** Um ritmo que enche $n$ semicolcheias termina ou com uma semicolcheia — e o que vem antes enche $n - 1$ — ou com uma colcheia — e o que vem antes enche $n - 2$. Todo ritmo é contado exatamente uma vez assim, então $\text{modos}(n) = \text{modos}(n-1) + \text{modos}(n-2)$. Tabela:

| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| modos | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $8$ | $13$ | $21$ | $34$ |

Uma mínima ($8$ semicolcheias) pode ser tocada de $34$ maneiras. ($n = 4$ recupera os cinco ritmos da questão 10.)

**12.** Cada número é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos dois anteriores: $3 + 5 = 8$, $5 + 8 = 13$, $8 + 13 = 21$, $13 + 21 = 34$ — a regra demonstrada na questão 11, com mil anos de idade e hoje conhecida como regra de Fibonacci.

**13.** $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} =
\frac{3}{12} = \frac14$: a mesma duração de duas colcheias comuns ($\frac18 + \frac18 = \frac14$). A troca do swing é legal.

**14.** Cada nota da quiáltera dura $\frac{1}{12}$: confira, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ ([Proposição 47.8](#prop-g7-fractions-mult)). Para uma mínima: cada nota dura $\frac16$, já que $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$.

**15.** Semínima pontuada $+$ semínima $+$ semínima: em colcheias, $3 + 2 + 2 = 7$ colcheias $= \frac78$: legal. Mínimas e semínimas valem $4$ e $2$ colcheias — os dois números *pares*. Qualquer [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de [números pares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é par, mas um compasso de sete por oito precisa de $7$ colcheias, um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): impossível. Para preencher um compasso [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), alguma coisa [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — uma colcheia ou uma nota pontuada — tem de aparecer.