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title: "Expressões literais"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 48
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/48-expressoes-literais
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# Capítulo 48 — Expressões literais

Uma letra num cálculo representa um número que ainda não conhecemos, ou *todos* os números de uma vez: escrever $P = 4c$ dá o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de todo quadrado numa fórmula só. Este capítulo ensina as convenções de escrita, como substituir valores e como simplificar expressões simples — o começo da álgebra, que continua no [Capítulo 57](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#ch-g8-equations).

## 48.1 Escrever com letras

**Definição 48.1 (Expressão literal).**

Uma *expressão literal* é um cálculo que contém uma ou mais letras, cada uma representando um número. Convenções de escrita:

- o sinal $\times$ é omitido antes de uma letra ou de um parêntese: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
- mas ele fica entre dois números: $3 \times 5$ não pode ser escrito $35$ !
- $a \times a$ escreve-se $a^2$ (“ $a$ ao quadrado”) e $a \times a \times a = a^3$ ;
- $1a$ escreve-se $a$ , e $0a$ é $0$ .

**Exemplo 48.2.**

Simplifique a escrita:

$$
5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y,
\qquad
a \times 7 = 7a \ \text{(o número na frente)},
\qquad
x \times x \times 4 = 4x^2 .
$$

**Exemplo 48.3 (As fórmulas são expressões literais).**

Para um retângulo de comprimento $L$ e largura $w$: [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + w)$, [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $A = Lw$. Uma fórmula só resume de uma vez os infinitos retângulos — é para isso que servem as letras.

![Duas fórmulas, válidas para todo retângulo: substitua os valores de L e w para obter números.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg)

*Duas fórmulas, válidas para todo retângulo: substitua os valores de $L$ e $w$ para obter números.*

## 48.2 Substituir

**Método 48.4 (Calcular o valor de uma expressão).**

Para calcular o valor de uma expressão com valores dados das letras:

1. reescreva a expressão devolvendo os sinais $\times$ escondidos: $3a + a^2$ é $3 \times a + a \times a$ ;
2. substitua cada letra pelo valor dela, mantendo parênteses em volta se for preciso;
3. calcule, respeitando as prioridades do [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#ch-g7-priorities) .

**Exemplo 48.5.**

Calcule $E = 3x + x^2$ para $x = 5$:

$$
E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .
$$

Calcule $F = 2(a + 3b)$ para $a = 4$ e $b = 0.5$:

$$
F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5
= 11 .
$$

## 48.3 Reduzir expressões

**Proposição 48.6 (Juntar termos semelhantes).**

Os termos que têm a mesma parte literal podem ser juntados somando as partes numéricas deles (isso é a distributividade, [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#thm-g7-priorities-distributivity), lida ao contrário):

$$
5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,
\qquad
7a - 2a = 5a .
$$

Termos com partes literais diferentes (como $3x$ e $5y$, ou $x$ e $x^2$) não podem ser juntados.

**Exemplo 48.7.**

Reduza $E = 4x + 7 + 3x + 2$, separando os termos:

$$
E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .
$$

Cuidado: $7x + 9$ *não* é $16x$! Teste com $x = 1$: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ e $7 \times 1 + 9 = 16$ coincidem, mas $16x$ também daria $16$ — teste com $x = 2$: a expressão original dá $8 + 7 + 6 + 2 = 23$, e $7 \times 2 + 9 = 23$, enquanto $16 \times 2 = 32$. A redução $7x + 9$ está certa; $16x$ está errada.

**Método 48.8 (Testar uma igualdade).**

Para verificar se duas expressões podem ser iguais para todo valor:

1. substitua o mesmo valor nas duas, ao menos duas vezes (por exemplo, $x = 2$ e $x = 10$ ; evite $0$ e $1$ , que escondem [diferenças](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) demais);
2. se os resultados diferirem uma única vez, as expressões *não* são iguais — um contraexemplo derruba uma afirmação geral;
3. se os resultados coincidirem, a igualdade é apenas *plausível* : a demonstração exige álgebra (desenvolver, reduzir).

**Exemplo 48.9.**

$2(x + 3)$ é igual a $2x + 6$ para todo $x$? Desenvolver demonstra isso: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. E $(x + 1)^2$ é igual a $x^2 + 1$? Teste $x = 2$: $(2+1)^2 = 9$, mas $2^2 + 1 = 5$. Não — e um contraexemplo é uma demonstração completa do “não”.

## 48.4 Produzir expressões

**Exemplo 48.10 (Da situação à expressão).**

Um táxi cobra $4$ reais mais $2$ reais por quilômetro. Para uma corrida de $k$ quilômetros, o preço é

$$
p = 4 + 2k \quad\text{reais}.
$$

Para $k = 7$: $p = 4 + 14 = 18$ reais. A expressão *é* a resposta geral; substituir produz cada resposta particular.

**Exemplo 48.11 (Truques com números).**

“Pense num número, dobre-o, some $10$, divida por $2$, subtraia o seu número.” Chame o número de $n$ e siga os passos:

$$
n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\
n + 5 - n = 5 .
$$

Todo mundo obtém $5$, qualquer que tenha sido $n$ — as letras explicam a mágica.

## 48.5 Exercícios

**Exercício 48.1 ★.**

Simplifique a escrita:

$$
7 \times x, \qquad
y \times 3, \qquad
a \times b \times 5, \qquad
x \times x, \qquad
2 \times (a + 4).
$$

**Solução de Exercício 48.1.**

$7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$.

**Exercício 48.2 ★.**

Devolva os sinais $\times$:

$$
5ab, \qquad
3(x + 2), \qquad
x^2 + 4x, \qquad
2a^3 .
$$

**Solução de Exercício 48.2.**

$5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$.

**Exercício 48.3 ★.**

Calcule o valor para $x = 3$: $5x + 1$; $x^2$; $2x^2 - x$; $10 - 2x$.

**Solução de Exercício 48.3.**

Para $x = 3$: $5 \times 3 + 1 = 16$; $3 \times 3 = 9$; $2 \times 9 - 3 = 15$; $10 - 6 = 4$.

**Exercício 48.4 ★.**

Calcule $3a + 2b$ e $a b + 5$ para $a = 4$ e $b = 1.5$.

**Solução de Exercício 48.4.**

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$.

**Exercício 48.5 ★.**

Reduza:

$$
8x + 5x, \qquad
9a - 4a + a, \qquad
6y + 2 + 3y + 7, \qquad
5t + 3 - 2t - 3 .
$$

**Solução de Exercício 48.5.**

$8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$.

**Exercício 48.6 ★.**

Dê uma fórmula para: o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de um quadrado de lado $c$; o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de um [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de base $b$ e lados iguais $s$; o preço de $n$ pães a $1.20$ reais cada um.

**Solução de Exercício 48.6.**

Quadrado: $P = 4c$. [Triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$. Pães: $p = 1.20\,n$ reais.

**Exercício 48.7 ★.**

Ligue cada expressão a uma descrição: $2n$; $n + 2$; $n^2$; $\frac n2$. Descrições: “a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $n$”; “o dobro de $n$”; “o quadrado de $n$”; “duas unidades a mais que $n$”.

**Solução de Exercício 48.7.**

$2n$: o dobro; $n + 2$: duas unidades a mais que $n$; $n^2$: o quadrado; $\frac n2$: a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half).

**Exercício 48.8 ★★.**

Usando o [Método 48.8](#met-g7-literal-test), decida (com demonstração ou contraexemplo) se estas igualdades valem para todo $x$:

$$
3(x + 4) = 3x + 12; \qquad
2x + 5 = 7x; \qquad
x + x = x^2 .
$$

**Solução de Exercício 48.8.**

$3(x+4) = 3x + 12$: *verdadeiro* para todo $x$ (distributividade — isso é uma demonstração, sem precisar de teste).

$2x + 5 = 7x$: teste $x = 2$: à esquerda $9$, à direita $14$ — *falso* em geral (só vale para $x = 1$).

$x + x = x^2$: teste $x = 3$: à esquerda $6$, à direita $9$ — *falso* em geral ($x + x = 2x$).

**Exercício 48.9 ★★.**

Um retângulo tem largura $w$ e comprimento $3$ cm maior que a largura.

1. Expresse o comprimento e depois o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) em função de $w$ , e reduza.
2. Calcule o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) para $w = 5$ cm, diretamente e com a sua fórmula reduzida. A resposta é a mesma?

**Solução de Exercício 48.9.**

*1.* Comprimento: $w + 3$. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter):

$$
P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .
$$

*2.* Para $w = 5$: diretamente, os lados são $5$ e $8$, então $P = 2 \times 13 = 26$ cm; pela fórmula, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Coincidem.

**Exercício 48.10 ★★.**

Refaça o truque do [Exemplo 48.11](#ex-g7-literal-trick) com letras: “pense num número, some $6$, multiplique por $3$, subtraia $18$, divida pelo seu número de partida” (supondo que ele não seja [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero)). O que todo mundo obtém?

**Solução de Exercício 48.10.**

Seguindo os passos com a letra $n$:

$$
n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n
\ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .
$$

Todo mundo obtém $3$.

**Exercício 48.11 ★★★.**

A figura abaixo é um quadrado de lado $a$ com um canto quadrado de lado $b$ retirado ($b$ menor que $a$). Escreva duas expressões diferentes para a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dela (uma como [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) e outra cortando o L em dois retângulos) e confira que coincidem para $a = 5$ e $b = 2$.

**Solução de Exercício 48.11.**

Como [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference): $A = a^2 - b^2$. Cortando o L em dois retângulos: uma faixa de largura inteira e altura $a - b$ e, em cima dela, um retângulo mais estreito:

$$
A = a(a - b) + b(a - b)
$$

(o retângulo de baixo com $a$ de largura e $a - b$ de altura, e o de cima com $a - b$ de largura e $b$ de altura, dá a variante $a(a-b) + (a-b)b$ — a mesma coisa). Para $a = 5$ e $b = 2$: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, e $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. As duas expressões coincidem — e coincidem sempre: é a identidade $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ do [Capítulo 66](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/66-algebra-e-equacoes#ch-g9-algebra), disfarçada.

## 48.6 Problema: o oráculo dos palitos de fósforo

**Problema 48.1.**

Problema de fim de semana — padrões que crescem e o termo geral deles: três fórmulas para um mesmo padrão, e o padrão famoso que quebra no sexto passo

Monte palitos de fósforo numa fileira de quadrados: um quadrado, depois dois, depois três … De quantos palitos a centésima figura vai precisar? Contar um a um levaria o fim de semana inteiro; uma *fórmula em $n$* responde na hora para todas as figuras de uma vez — é exatamente para isso que servem as letras ([Exemplo 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). Mas atenção: este problema termina com um padrão célebre que joga limpo por cinco passos e depois trai todos os que confiaram nele.

**Parte I — Uma fileira de quadrados.** A figura $1$ é um quadrado de palitos ($4$ palitos); cada figura seguinte acrescenta mais um quadrado que compartilha um lado com o anterior.

1. Desenhe as figuras $1$ a $4$ e conte os palitos delas.
2. Explique por que cada quadrado novo custa exatamente $3$ palitos a mais e use isso para prever a contagem da figura $10$ sem nenhuma fórmula.
3. Justifique a fórmula: a figura $n$ precisa de $3n + 1$ palitos. (De onde vem o “ $+1$ ” solitário?) Confira-a com a questão 1.
4. Amir raciocina de outro jeito: “ $4$ palitos para o primeiro quadrado e depois $3$ para cada um dos outros $n - 1$ ”, o que dá $4 + 3(n - 1)$ . Desenvolva e reduza a expressão dele ( [Proposição 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): ele concorda com a questão 3?
5. Lena conta de uma terceira maneira: “ $2n$ palitos horizontais e $n + 1$ verticais”. Escreva a fórmula dela, reduza-a e conclua. Depois responda à pergunta de abertura: quantos palitos para a figura $100$ ?

**Parte II — Triângulos, mesas e o caminho de volta.**

6. Uma fileira de triângulos de palitos (cada triângulo novo se apoia no anterior): conte os palitos para $1$ , $2$ , $3$ triângulos e depois justifique a fórmula $2n + 1$ para $n$ triângulos.
7. De trás para a frente: com exatamente $49$ palitos, quantos triângulos a fileira pode ter? (Desfaça a fórmula passo a passo.)
8. Mesas quadradas de banquete acomodam um convidado por lado livre. Quando $n$ mesas são encostadas numa fileira comprida, explique por que a fórmula de lugares é $2n + 2$ e confira-a para $1$ , $2$ , $3$ mesas.
9. Uma festa espera $30$ convidados. De quantas mesas uma fileira precisa? O bufê, em vez disso, divide as mesmas mesas em *duas* fileiras de sete: quantos convidados cabem agora? Explique o ganho com a fórmula.
10. Padrão de pontos: a figura $n$ é um L de pontos, com $n$ pontos de altura e $n$ pontos de largura (o canto contado uma vez só). Conte os pontos das figuras $1$ , $2$ , $3$ , encontre a fórmula e dê o nome dos números que ela produz. (Encaixados uns nos outros, esses Ls ladrilham um quadrado — história continuada no [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1) .)

**Parte III — Confiar, testar, demonstrar.**

11. Um colega afirma que a figura $n$ da Parte I precisa de $3(n + 2) - 5$ palitos. Resolva a questão desenvolvendo e reduzindo — sem precisar testar.
12. “Elevar ao quadrado deixa os números maiores, então $n^2 \geq n$ para todo número $n$ .” Teste a afirmação para $n = 2$ , $3$ , $10$ ; depois encontre um número em que ela falha. O que os três testes bem-sucedidos demonstraram, e o que a única falha demonstra ( [Método 48.8](#met-g7-literal-test) )?
13. Marque pontos sobre um círculo e trace *todos* os [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) entre eles; depois conte as regiões dentro do círculo. Faça isso para $2$ , $3$ , $4$ e $5$ pontos (ponha os pontos de modo desigual, para que três [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) nunca se cruzem num mesmo ponto interior). Anote as contagens. Que fórmula o padrão sussurra?
14. Agora $6$ pontos, desenhados grandes e desigualmente, contando com muito cuidado (há muitas regiõezinhas). Quantas regiões você encontra — e o que aconteceu com a conjectura?
15. A moral, em duas frases: o que teria sido preciso para *demonstrar* a conjectura da duplicação, e por que as fórmulas dos palitos das Partes I e II nunca correram esse perigo? Comemore com uma previsão demonstrada: quantos palitos para a fileira de $2\,026$ quadrados?

**Solução de Problema 48.1.**

**1.** As figuras $1$ a $4$ precisam de $4$, $7$, $10$, $13$ palitos.

**2.** Um quadrado novo compartilha um lado com a figura anterior, então apenas $3$ dos $4$ lados dele são palitos novos. A partir da figura $4$ ($13$ palitos), mais seis quadrados custam $6 \times 3 = 18$: a figura $10$ precisa de $13 + 18 = 31$ palitos.

**3.** Lendo a fileira da esquerda para a direita: ela começa com um palito vertical, e cada um dos $n$ quadrados contribui então com um topo, uma base e um lado direito — $3$ palitos por quadrado. Total: $3n + 1$; o “$+1$” é o primeiro palito vertical de todos. Confere: $n = 1, 2, 3, 4$ dão $4, 7, 10, 13$.

**4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: a fórmula de Amir se desenvolve exatamente na mesma expressão reduzida. Acordo total.

**5.** Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — de novo a mesma. Três maneiras de enxergar, uma forma reduzida. Figura $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ palitos.

**6.** Contagens: $3$, $5$, $7$ palitos. Cada triângulo novo se apoia num lado já existente e acrescenta apenas $2$ palitos, partindo de $3$: a figura $n$ precisa de $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ palitos.

**7.** Desfaça $2n + 1 = 49$: tirando o primeiro palito sobram $48$, e cada triângulo responde por $2$: $48 \div 2 = 24$ triângulos.

**8.** Numa fileira de $n$ mesas, cada mesa oferece o lado de cima e o de baixo ($2n$ lugares), e as duas mesas das pontas oferecem mais um lado cada ($+2$): $2n + 2$ lugares. Confere: $4$, $6$, $8$ para $n = 1, 2, 3$.

**9.** Uma fileira: $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$, ou seja, $14$ mesas. Dividindo as mesmas $14$ mesas em duas fileiras de $7$: cada fileira acomoda $2 \times 7 + 2 = 16$, e juntas $32$ — duas a mais que a fileira única, porque cada fileira nova traz duas *pontas* novas. (Cada divisão ganha $2$ lugares; os bufês sabem disso.)

**10.** O L de tamanho $n$ tem $n$ pontos subindo e $n$ atravessando, com o ponto do canto compartilhado: $n + n - 1 = 2n - 1$ pontos. Figuras $1$, $2$, $3$: $1$, $3$, $5$ pontos — os *[números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Encaixados um em volta do outro, os Ls preenchem um quadrado $n \times n$ de pontos: a história do [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1).

**11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: a afirmação se reduz à fórmula já demonstrada, então está certa para todo $n$ — estabelecida pela álgebra, e não por exemplos.

**12.** Testes: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: todos passam. Mas $n = 0.5$ dá $n^2 = 0.25 < 0.5$: a afirmação falha. Os três testes não demonstraram nada sobre *todos* os números (só não acharam problema); o único contraexemplo *demonstra* que a afirmação geral é falsa ([Método 48.8](#met-g7-literal-test)). Uma letra representa todo número — decimais incluídos.

**13.** Regiões: $2$ pontos $\to 2$; $3$ pontos $\to 4$; $4$ pontos $\to 8$; $5$ pontos $\to 16$. O padrão sussurra “cada ponto dobra a contagem”: esperam-se $32$ regiões para $6$ pontos.

**14.** Uma contagem cuidadosa dá $31$ regiões — e não $32$. A conjectura da duplicação morreu: sobreviveu a quatro conferências e falhou na quinta. (Esse contraexemplo é famoso o bastante para ter nome, “a armadilha das regiões do círculo”; nada de atalhos com pontos igualmente espaçados — três cordas passando por um mesmo ponto fundiriam regiões e estragariam a contagem.)

**15.** Uma demonstração teria exigido uma razão *estrutural* para que acrescentar um ponto dobrasse as regiões — e não existe nenhuma: a duplicação foi uma coincidência dos casos pequenos. As fórmulas dos palitos estavam a salvo porque cada uma foi lida da própria construção (cada quadrado custa visivelmente $3$ palitos, cada mesa oferece visivelmente $2$ lugares): estrutura, e não teste. Previsão demonstrada: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ palitos.