--- title: "Proporcionalidade" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 49 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/49-proporcionalidade --- # Capítulo 49 — Proporcionalidade O Ano 6 conheceu as tabelas [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def) ([Capítulo 44](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#ch-g6-propdata)); este capítulo transforma a [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) numa ferramenta completa: a regra da cruz para encontrar um quarto valor, as porcentagens e as [escalas](#def-g7-prop-scale) de mapas e maquetes. A velocidade, a mais famosa de todas as [proporcionalidades](#def-g7-prop-table), é estudada no [Capítulo 61](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#ch-g8-speed). ## 49.1 Reconhecer e completar tabelas **Definição 49.1 (Tabela de proporcionalidade).** Uma tabela de duas linhas é uma *tabela de proporcionalidade* quando os números da segunda linha são os da primeira multiplicados por um número fixo, o *coeficiente*. Dito de outro modo: todos os [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de coluna $\frac{\text{de baixo}}{\text{de cima}}$ são iguais. **Exemplo 49.2.** | de cima | $4$ | $10$ | $14$ | | --- | --- | --- | --- | | de baixo | $6$ | $15$ | $21$ | [Quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder): $\frac64 = 1.5$, $\frac{15}{10} = 1.5$, $\frac{21}{14} = 1.5$: proporcional, com coeficiente $1.5$. **Teorema 49.3 (Regra da cruz).** Numa [tabela de proporcionalidade](#def-g7-prop-table) com colunas $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$, os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) cruzados são iguais: $$ a \times d = b \times c . $$ Por consequência, o quarto valor pode ser calculado a partir dos outros três: $d = \dfrac{b \times c}{a}$. **Demonstração.** Seja $k$ o coeficiente: $b = ka$ e $d = kc$. Então $$ a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac : $$ os dois [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) cruzados valem $k \times ac$. Dividindo $ad = bc$ por $a$, obtém-se a fórmula de $d$. ∎ **Exemplo 49.4 (Quarta proporcional).** Se $7$ livros iguais pesam $2.8$ kg, quanto pesam $12$ livros desses? Tabela e regra da cruz: | livros | $7$ | $12$ | | --- | --- | --- | | kg | $2.8$ | $m$ | $$ 7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}. $$ Conferência pela unidade: um livro pesa $0.4$ kg, e doze pesam $4.8$ kg. ## 49.2 Porcentagens **Método 49.5 (Aplicar e encontrar porcentagens).** 1. *Aplicar* $t\,\%$ : multiplique por $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ de $350$ é $0.12 \times 350 = 42$ ); 2. *encontrar* a porcentagem que uma parte representa: calcule $\frac{\text{parte}}{\text{todo}}$ e reescreva sobre $100$ ( $21$ em $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ ); 3. pergunte sempre: *porcentagem de quê?* O todo de referência importa. **Exemplo 49.6.** Numa escola, $180$ dos $400$ alunos são meninas. Porcentagem: $$ \frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% . $$ No outro sentido: quantos são os $55\,\%$ de meninos? $0.55 \times 400 = 220$. Confere: $180 + 220 = 400$. ## 49.3 Escalas **Definição 49.7 (Escala).** Num mapa ou numa maquete de *escala* $\frac{1}{n}$ (escrita $1 : n$), as distâncias no mapa são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def) às distâncias reais, com coeficiente $\frac1n$: $$ \text{distância no mapa} = \frac{1}{n} \times \text{distância real}, $$ as duas medidas na *mesma unidade*. **Exemplo 49.8.** Num mapa $1 : 50\,000$, duas cidades estão a $7$ cm uma da outra. Distância real: $$ 7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}. $$ Ao contrário, uma trilha de $12$ km mede no mapa: $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, logo $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm. ![Uma escala é uma proporcionalidade: as distâncias no mapa contra as distâncias reais se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, 1 cm 4 km; o tracejado lê 7 cm 28 km).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-prop/fig-1b4ca17feefc.svg) *Uma [escala](#def-g7-prop-scale) é uma [proporcionalidade](#def-g7-prop-table): as distâncias no mapa contra as distâncias reais se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; o tracejado lê $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).* **Observação 49.9.** Os gráficos são o teste mais rápido de [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) ([Capítulo 44](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#ch-g6-propdata)): pontos numa reta *que passa pela origem* significam grandezas [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def); uma reta que não passa pela origem (como a tarifa de um táxi com bandeirada fixa) significa que elas *não* são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def), mesmo sendo uma reta. As funções afins, no [Capítulo 67](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/67-funcoes-lineares-e-afins#ch-g9-linfunc), vão tornar isso preciso. ## 49.4 Exercícios **Exercício 49.1 ★.** Que tabelas são [tabelas de proporcionalidade](#def-g7-prop-table)? Dê o coeficiente quando ele existir. | | $3$ | $7$ | $11$ | | --- | --- | --- | --- | | | $7.5$ | $17.5$ | $27.5$ | | | $2$ | $5$ | $9$ | | --- | --- | --- | --- | | | $6$ | $15$ | $28$ | **Solução de Exercício 49.1.** Primeira tabela: [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $\frac{7.5}{3} = 2.5$, $\frac{17.5}{7} = 2.5$, $\frac{27.5}{11} = 2.5$: proporcional, com coeficiente $2.5$. Segunda tabela: $\frac62 = 3$ e $\frac{15}{5} = 3$, mas $\frac{28}{9} \approx 3.1$: não é proporcional. **Exercício 49.2 ★.** Complete usando a regra da cruz, escrevendo o cálculo: $5$ kg de batata custam $6$ reais; quanto custam $8$ kg? **Solução de Exercício 49.2.** Com a regra da cruz: $5 \times p = 6 \times 8$, então $p = \frac{48}{5} = 9.60$ reais. **Exercício 49.3 ★.** Uma impressora imprime $36$ páginas em $3$ minutos. No mesmo ritmo, quantas páginas em $5$ minutos? E quanto tempo para $96$ páginas? **Solução de Exercício 49.3.** Ritmo: $36 \div 3 = 12$ páginas por minuto. Em $5$ minutos: $60$ páginas. Para $96$ páginas: $96 \div 12 = 8$ minutos. **Exercício 49.4 ★.** Calcule: $30\,\%$ de $250$; $15\,\%$ de $60$; o $t\,\%$ tal que $t\,\%$ de $80$ seja $20$. **Solução de Exercício 49.4.** $30\,\%$ de $250$: $0.3 \times 250 = 75$. $15\,\%$ de $60$: $0.15 \times 60 = 9$. $t\,\%$ de $80$ igual a $20$: $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$, logo $t = 25$. **Exercício 49.5 ★.** Em $25$ arremessos, uma jogadora de basquete acertou $18$. Qual é a porcentagem de acerto dela? (Reescreva a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) sobre $100$.) **Solução de Exercício 49.5.** $\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$. **Exercício 49.6 ★.** Num mapa $1 : 25\,000$, uma trilha mede $9$ cm. Qual é o comprimento real dela, em km? Um lago tem $2$ km de comprimento: que comprimento ele tem no mapa? **Solução de Exercício 49.6.** Trilha: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lago: $2$ km $= 200\,000$ cm no terreno, então $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm no mapa. **Exercício 49.7 ★.** Um carrinho de coleção é feito na escala $1 : 43$. O carro real tem $4.3$ m de comprimento. Que comprimento tem o carrinho, em cm? **Solução de Exercício 49.7.** $4.3$ m $= 430$ cm, e $430 \div 43 = 10$ cm. **Exercício 49.8 ★★.** Uma receita usa $240$ g de chocolate para $8$ porções. Aline tem $300$ g de chocolate. Para quantas porções isso dá (número inteiro de porções)? **Solução de Exercício 49.8.** Chocolate por porção: $240 \div 8 = 30$ g. Com $300$ g: $300 \div 30 = 10$ porções exatamente. **Exercício 49.9 ★★.** O preço de uma jaqueta cai de $80$ para $60$ reais. 1. De quanto é o desconto em reais? E em porcentagem do preço original? 2. Mais tarde o preço volta de $60$ para $80$ reais. Explique por que essa alta *não* é de $25\,\%$ — calcule a porcentagem correta de aumento. **Solução de Exercício 49.9.** *1.* Desconto: $20$ reais, ou seja, $\frac{20}{80} = 25\,\%$ do preço original. *2.* A alta de $20$ reais agora é comparada com a *nova* referência $60$: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$. Uma porcentagem sempre se refere a um todo; o todo mudou, então a porcentagem também. **Exercício 49.10 ★★.** Duas linhas de uma tabela são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def): | | $4$ | $x$ | $10$ | | --- | --- | --- | --- | | | $y$ | $10.5$ | $17.5$ | Encontre o coeficiente e depois $x$ e $y$. **Solução de Exercício 49.10.** Coeficiente pela coluna completa: $\frac{17.5}{10} = 1.75$. Então $y = 4 \times 1.75 = 7$ e $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$. **Exercício 49.11 ★★★.** Uma copiadora reduz os documentos a $80\,\%$ do tamanho deles. Um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de $10$ cm é copiado e depois a *cópia* é copiada de novo com o mesmo ajuste. 1. Que comprimento tem o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) depois de uma cópia? E depois de duas? 2. Por que a resposta depois de duas cópias não é $60\,\%$ do original? Que porcentagem única corresponde a duas cópias? **Solução de Exercício 49.11.** *1.* Depois de uma cópia: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Depois de duas: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm. *2.* A segunda redução incide sobre a cópia já reduzida, e não sobre o original: os fatores se multiplicam, $0.8 \times 0.8 = 0.64$, então duas cópias reduzem a $64\,\%$ do original — e não a $60\,\%$. ## 49.5 Problema: medir a Terra com uma vara **Problema 49.1.** Problema de fim de semana — as sombras são uma proporcionalidade, e como Eratóstenes calculou o comprimento da Terra em 240 a.C. Vinte e dois séculos atrás, sem telescópio, sem satélite e sem calculadora, o bibliotecário de Alexandria mediu a Terra — usando uma vara, um poço, uma caravana de camelos e a matemática deste capítulo. Este problema refaz os passos dele: primeiro a [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) das sombras, depois a famosa conta em si e, por fim, o que a resposta dele parece em [escala](#def-g7-prop-scale) humana. **Parte I — A sombra de uma vara.** O Sol está tão longe que os raios dele chegam até nós paralelos uns aos outros. Num dado momento, todos os objetos verticais e as sombras deles são, portanto, [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def). 1. Ao meio-dia, uma vara vertical de $1$ m projeta uma sombra de $0.4$ m, e a sombra de uma árvore mede $3.2$ m. Que altura tem a árvore ( [Teorema 49.3](#thm-g7-prop-cross) )? 2. No mesmo momento, uma torre projeta uma sombra de $26$ m: que altura tem a torre? E que comprimento tem a sombra de uma criança de $1.5$ m? 3. Explique em uma frase por que todas essas contas só valem no *mesmo momento* do dia. 4. Conta a lenda que Tales mediu a Grande [Pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) esperando o momento em que *a própria sombra dele ficasse exatamente do tamanho da altura dele* . Qual é o coeficiente de [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) nesse momento, e que altura tem a [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) se a ponta da sombra dela fica a $147$ m do ponto do chão que está logo abaixo do ápice? 5. Resuma a Parte I: num dado momento, que grandeza é a mesma para a vara, a árvore, a torre e a [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ( [Definição 49.1](#def-g7-prop-table) )? **Parte II — A conta de Eratóstenes.** Eratóstenes conhecia dois fatos. Na cidade de Siena, ao meio-dia do solstício de verão, o Sol ficava *exatamente a pino*: a luz alcançava o fundo dos poços mais profundos, e as varas verticais não projetavam sombra. Em Alexandria, $800$ km ao norte, no mesmo momento, uma vara vertical *projetava* sombra, e os [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) do Sol faziam um ângulo de $7.2^\circ$ com a vertical. 6. Explique por que essas duas observações, juntas, provam que o chão de Siena e o chão de Alexandria não são paralelos — isto é, que a superfície da Terra é curva. (O que raios paralelos fariam com duas varas numa Terra plana?) 7. Num desenho da Terra redonda com raios de Sol paralelos, os $7.2^\circ$ de Alexandria reaparecem no centro da Terra, como o ângulo entre as direções das duas cidades. Faça o desenho e convença-se disso (a justificativa limpa usa os pares de ângulos iguais do [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#ch-g7-triangles) ). 8. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) de uma volta completa são $7.2^\circ$ ? 9. O arco de Siena até Alexandria ( $800$ km) corresponde a $7.2^\circ$ ; o comprimento inteiro corresponde a $360^\circ$ . Monte a [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) e calcule o comprimento da Terra. 10. Deduza o [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) da Terra, usando $\pi \approx 3.14$ ( [Proposição 43.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#prop-g6-measure-circle) ) e arredondando à centena de quilômetros mais próxima. (O valor moderno é $12\,742$ km — quão perto chegou um homem com uma vara em 240 a.C.?) **Parte III — A Terra em [escala](#def-g7-prop-scale) humana.** 11. Um globo é construído na escala $1 : 40\,000\,000$ . Usando o comprimento encontrado na questão 9, mostre que o comprimento do globo é exatamente $1$ m. Qual é o [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) dele, ao centímetro mais próximo? 12. O Monte Branco sobe cerca de $4.8$ km. Converta $4.8$ km em centímetros, divida por $40\,000\,000$ e expresse a altura da montanha no globo em milímetros. O que a resposta diz sobre o quanto a Terra é de fato “cheia de bolotas”? 13. Um caminhante percorre $40$ km por dia. Nesse ritmo, quantos dias para o comprimento inteiro de Eratóstenes — e isso dá, mais ou menos, quantos anos? 14. A atmosfera respirável está concentrada, grosso modo, nos primeiros $10$ km acima do chão. Que porcentagem do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da Terra (cerca de $6\,370$ km) é isso ( [Método 49.5](#met-g7-prop-percent) )? Arredonde ao décimo de por cento. 15. Os historiadores estimam que o valor anunciado por Eratóstenes, convertido para unidades modernas, pode ter sido de cerca de $42\,000$ km. Tomando $40\,000$ km como valor verdadeiro, calcule a porcentagem de erro dele. Conclua em uma frase sobre varas, poços e [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) . **Solução de Problema 49.1.** **1.** Alturas e sombras são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def), então, pela regra da cruz ([Teorema 49.3](#thm-g7-prop-cross)), com a coluna da vara $(1,\ 0.4)$ e a da árvore $(h,\ 3.2)$: $0.4 \times h = 1 \times 3.2$, logo $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m. **2.** Torre: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Sombra da criança: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (sombra $=$ altura $\times$ o coeficiente do momento, $0.4$). **3.** À medida que o Sol atravessa o céu, o coeficiente que liga alturas a sombras muda; só medidas tomadas no mesmo momento compartilham o mesmo coeficiente. **4.** Nesse momento o coeficiente é $1$: toda altura é igual à sombra dela. O ápice da [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) está, portanto, a $147$ m de altura — a altura da Grande [Pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) (basta a ponta da sombra dela, medida a partir do ponto abaixo do ápice). **5.** O [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de coluna $\frac{\text{sombra}}{\text{altura}}$ — o coeficiente de [proporcionalidade](#def-g7-prop-table) do momento — é comum a todo objeto vertical: é exatamente isso que faz da tabela de alturas e sombras uma [tabela de proporcionalidade](#def-g7-prop-table) ([Definição 49.1](#def-g7-prop-table)). **6.** Os raios de Sol chegam paralelos. Numa Terra *plana*, dois raios paralelos atingiriam duas varas verticais com o mesmo ângulo: as duas projetariam sombras [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def) — ou as duas sem sombra, ou as duas com sombra. Uma vara sem sombra (Siena) e outra com sombra (Alexandria), no mesmo instante, é impossível numa Terra plana: as duas verticais têm de apontar em direções diferentes — a superfície é curva. **7.** No desenho, a vertical de Siena aponta direto para o Sol; a vertical de Alexandria está inclinada pelo ângulo entre as direções das duas cidades, visto do centro. Como os [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) são paralelos, essa inclinação é exatamente os $7.2^\circ$ medidos entre [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) e vara em Alexandria. **8.** $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$: um cinquenta avos de volta completa. **9.** Os comprimentos de arco são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def) aos ângulos: se $7.2^\circ$ — um cinquenta avos da volta — correspondem a $800$ km, a volta inteira corresponde a $$ 50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}. $$ **10.** [Diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $= \frac{\text{comprimento}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — contra os $12\,742$ km modernos: certo com folga dentro de um por cento, com uma vara. **11.** $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, e $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m de comprimento. [Diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle): $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — um belo globo de mesa. **12.** $4.8$ km $= 480\,000$ cm, e $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. A montanha mais alta dos Alpes é um décimo de milímetro num globo de um metro de contorno: um grão de poeira. Nessa [escala](#def-g7-prop-scale), a Terra é mais lisa que a maioria das bolas polidas. **13.** $40\,000 \div 40 = 1\,000$ dias, e $1\,000 \div 365 \approx 2.7$: quase três anos de caminhada. **14.** $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$, ou seja, cerca de $0.2\,\%$ (mais precisamente $0.16\,\%$): a atmosfera é uma pele finíssima sobre o planeta. **15.** Erro: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, e $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$. Em uma frase: com uma vara, um poço, uma estrada medida e uma [proporcionalidade](#def-g7-prop-table), Eratóstenes mediu um planeta com poucos por cento de erro — a matemática viaja longe com muito pouco.