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title: "Organizando dados"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 50
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/50-organizando-dados
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# Capítulo 50 — Organizando dados

Antes de calcular qualquer coisa, os dados precisam ser coletados, contados e apresentados. Este capítulo trata de transformar uma lista bagunçada de observações numa tabela ou numa imagem clara: [frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency) e relativas, dados agrupados, gráficos de barras e gráficos de setores. Resumir dados por um único número (média, mediana) é assunto do [Capítulo 71](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/71-estatistica-e-probabilidade#ch-g9-statproba).

## 50.1 Frequências absolutas e relativas

**Definição 50.1 (Frequência absoluta e relativa).**

Para cada valor possível de uma pesquisa, a *frequência absoluta* dele é o número de vezes que ele aparece; a *frequência relativa* é a frequência absoluta dividida pelo número total de observações:

$$
\text{frequência relativa}
= \frac{\text{frequência absoluta}}{\text{total}} .
$$

As frequências relativas podem ser escritas como frações, decimais ou porcentagens, e somam sempre $1$ (ou seja, $100\,\%$).

**Exemplo 50.2.**

Esporte preferido dos $25$ alunos de uma turma, da lista bruta à tabela:

| esporte | futebol | natação | tênis | judô | total |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| freq. absoluta | $10$ | $6$ | $5$ | $4$ | $25$ |
| freq. relativa | $0.40$ | $0.24$ | $0.20$ | $0.16$ | $1$ |

Para o futebol: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$. A linha das [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) tem de somar $1$ — uma conferência permanente e gratuita.

**Observação 50.3 (Por que frequências relativas?).**

[Frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency) não podem ser comparadas entre grupos de tamanhos diferentes: $10$ torcedores de futebol numa turma de $25$ (isto é, $40\,\%$) mostram mais entusiasmo que $12$ num ano escolar de $120$ ($10\,\%$). As [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) põem tudo na mesma escala.

## 50.2 Agrupar dados em classes

**Exemplo 50.4 (Classes).**

As alturas (em cm) de $20$ alunos vão de $148$ a $172$. Listar cada altura separadamente daria uma tabela com quase tantas colunas quantos alunos; em vez disso, agrupamos em *classes*:

| altura (cm) | $\intco{145}{155}$ | $\intco{155}{165}$ | $\intco{165}{175}$ | total |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| freq. absoluta | $5$ | $9$ | $6$ | $20$ |
| freq. relativa | $0.25$ | $0.45$ | $0.30$ | $1$ |

Cada altura é contada em exatamente uma classe ($155$ entra em $\intco{155}{165}$, e não nas duas — é por isso que os intervalos são semiabertos). Agrupar perde detalhe, mas ganha legibilidade.

## 50.3 Gráficos

**Método 50.5 (Escolher e traçar um gráfico).**

1. *Gráfico de barras* : uma barra por valor ou classe, com altura proporcional à [frequência absoluta](#def-g7-stats-frequency) (ou à relativa). Bom para comparar valores.
2. *Gráfico de setores*: um setor por valor, com ângulo proporcional à [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) — o círculo inteiro ($360^\circ$) representa o total, então $$\text{ângulo} = \text{frequência relativa} \times 360^\circ .$$ Bom para mostrar partes de um todo.
3. Nos dois casos: título, rótulos e uma graduação ou as porcentagens escritas no gráfico.

**Exemplo 50.6.**

Ângulos para os esportes do [Exemplo 50.2](#ex-g7-stats-frequency): futebol $0.40 \times 360 = 144^\circ$; natação $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$; tênis $72^\circ$; judô $57.6^\circ$. Confere: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$.

![Os mesmos dados como gráfico de barras (comparar alturas) e como gráfico de setores (comparar partes da turma). O futebol ocupa 144, isto é, 40\,\% do círculo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-0346f39cac02.svg)

![Os mesmos dados como gráfico de barras (comparar alturas) e como gráfico de setores (comparar partes da turma). O futebol ocupa 144, isto é, 40\,\% do círculo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-ee0702a19bbb.svg)

*Os mesmos dados como gráfico de barras (comparar alturas) e como gráfico de setores (comparar partes da turma). O futebol ocupa $144^\circ$, isto é, $40\,\%$ do círculo.*

**Exemplo 50.7 (Ler com espírito crítico).**

Um gráfico cujo eixo vertical começa em $9$ em vez de $0$ faz uma barra de $10$ parecer dez vezes mais alta que uma barra de $9.1$ — visualmente enganoso, ainda que os números sejam honestos. Primeiro reflexo diante de qualquer gráfico: veja onde o eixo começa e quanto vale uma graduação ([Método 44.8](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#met-g6-propdata-read)).

## 50.4 Exercícios

**Exercício 50.1 ★.**

Eis as notas de $20$ alunos: $12$, $15$, $9$, $12$, $14$, $9$, $12$, $15$, $11$, $12$, $9$, $14$, $12$, $11$, $15$, $9$, $12$, $14$, $11$, $12$. Monte a tabela de [frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency) (uma coluna por nota).

**Solução de Exercício 50.1.**

Contando cada nota:

| nota | $9$ | $11$ | $12$ | $14$ | $15$ | total |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| freq. absoluta | $4$ | $3$ | $7$ | $3$ | $3$ | $20$ |

**Exercício 50.2 ★.**

Complete a tabela do [Exercício 50.1](#exo-g7-stats-1) com uma linha de [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) (como frações de $20$ e depois como porcentagens). Confira a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def).

**Solução de Exercício 50.2.**

[Frequências relativas](#def-g7-stats-frequency): $\frac{4}{20} = 20\,\%$, $\frac{3}{20} = 15\,\%$, $\frac{7}{20} = 35\,\%$, $15\,\%$, $15\,\%$. [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def): $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$. ✓

**Exercício 50.3 ★.**

Numa pesquisa com $50$ famílias, $30$ têm um carro. Qual é a [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) de “um carro”, como decimal e como porcentagem? Em outra pesquisa, $45$ famílias em $90$ têm um carro: que pesquisa mostra a proporção maior?

**Solução de Exercício 50.3.**

Primeira pesquisa: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$. Segunda: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$. A primeira pesquisa mostra a proporção maior, embora tenha menos famílias com um carro em número absoluto.

**Exercício 50.4 ★.**

As [massas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) (kg) de $15$ cães: $8$, $23$, $31$, $12$, $9$, $27$, $35$, $14$, $22$, $18$, $29$, $11$, $25$, $33$, $16$. Agrupe-as nas classes $\intco{5}{15}$, $\intco{15}{25}$, $\intco{25}{35}$, $\intco{35}{45}$ e dê as [frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency).

**Solução de Exercício 50.4.**

$\intco{5}{15}$: $8, 12, 9, 14, 11$, frequência $5$.

$\intco{15}{25}$: $23, 22, 18, 16$, frequência $4$.

$\intco{25}{35}$: $31, 27, 29, 25, 33$, frequência $5$.

$\intco{35}{45}$: $35$, frequência $1$. Total $15$. ✓

**Exercício 50.5 ★.**

Trace o gráfico de barras da tabela:

| bichos de estimação | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| famílias | $8$ | $12$ | $6$ | $4$ |

**Solução de Exercício 50.5.**

Quatro barras de alturas $8$, $12$, $6$, $4$ sobre os valores $0$, $1$, $2$, $3$ (graduação de $2$ em $2$ funciona bem).

**Exercício 50.6 ★.**

Para a tabela do [Exercício 50.5](#exo-g7-stats-5), calcule as [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) e os ângulos do gráfico de setores de cada valor (confira: total $360^\circ$).

**Solução de Exercício 50.6.**

Total: $30$ famílias. [Frequências relativas](#def-g7-stats-frequency): $\frac{8}{30}$, $\frac{12}{30}$, $\frac{6}{30}$, $\frac{4}{30}$. Ângulos ($\times 360^\circ$): $96^\circ$, $144^\circ$, $72^\circ$, $48^\circ$; [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$. ✓

**Exercício 50.7 ★.**

Um gráfico de setores sobre as estações preferidas mostra: verão $162^\circ$, primavera $90^\circ$, outono $54^\circ$, inverno $54^\circ$. Que porcentagem escolheu cada estação? Se $60$ pessoas responderam, quantas escolheram o verão?

**Solução de Exercício 50.7.**

Porcentagens: verão $\frac{162}{360} = 45\,\%$; primavera $\frac{90}{360} = 25\,\%$; outono e inverno $\frac{54}{360} = 15\,\%$ cada. Entre $60$ pessoas, o verão foi escolhido por $0.45 \times 60 = 27$ delas.

**Exercício 50.8 ★★.**

Na turma A, $12$ alunos em $30$ vão a pé para a escola; na turma B, $14$ em $40$. Que turma tem a maior proporção de alunos que vão a pé? Justifique com [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency), e não com as absolutas.

**Solução de Exercício 50.8.**

Turma A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$. Turma B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$. A turma A tem a maior proporção de alunos que vão a pé, mesmo a turma B tendo mais alunos a pé em número absoluto.

**Exercício 50.9 ★★.**

Uma revista publica um gráfico de barras das vendas mensais: $9\,800$, depois $10\,000$, depois $10\,100$, com o eixo vertical começando em $9\,700$. Descreva o que o leitor vê e o que um eixo honesto, começando em $0$, mostraria.

**Solução de Exercício 50.9.**

Com o eixo começando em $9\,700$, as três barras têm alturas visíveis de $100$, $300$ e $400$ unidades: a última parece quatro vezes a primeira, sugerindo que as vendas quadruplicaram. Com um eixo a partir de $0$, as barras ficam quase iguais (de $9\,800$ a $10\,100$ é uma alta de cerca de $3\,\%$): a imagem honesta mostra vendas quase estáveis.

**Exercício 50.10 ★★.**

Uma tabela de frequências tem três valores com [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) $0.35$, $0.4$ e $f$. Encontre $f$. Se o total for $80$, dê as três [frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency).

**Solução de Exercício 50.10.**

As [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) somam $1$: $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$. [Frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency) (total $80$): $0.35 \times 80 = 28$; $0.4 \times 80 = 32$; $0.25 \times 80 = 20$. Confere: $28 + 32 + 20 = 80$.

**Exercício 50.11 ★★★.**

Numa escola, $55\,\%$ dos alunos são meninas. Entre as meninas, $40\,\%$ almoçam no refeitório; entre os meninos, $60\,\%$ almoçam. Em $400$ alunos, quantos almoçam no refeitório? (Calcule os tamanhos dos quatro grupos passo a passo.) Que porcentagem geral é essa?

**Solução de Exercício 50.11.**

Meninas: $55\,\%$ de $400 = 220$; meninos: $180$. Meninas que almoçam no refeitório: $0.4 \times 220 = 88$; meninos: $0.6 \times 180 = 108$. Total: $88 + 108 = 196$ alunos, isto é, $\frac{196}{400} = 49\,\%$ da escola — entre $40\,\%$ e $60\,\%$, mais perto da taxa das meninas porque elas são mais numerosas.

## 50.5 Problema: como os dados mentem — e como pegá-los

**Problema 50.1.**

Problema de fim de semana — frequências absolutas contra relativas, a pesquisa que enganou um país e o paradoxo dos dois hospitais

Os números não mentem, mas podem ser arranjados para enganar: uma contagem enorme pode esconder uma frequência pequena, uma pesquisa gigantesca pode não valer nada e — o mais estranho de tudo — um hospital pode vencer o rival em *todas* as categorias de pacientes e ainda assim perder nos números gerais. As três armadilhas são armadas neste problema, munidas apenas das frequências deste capítulo ([Definição 50.1](#def-g7-stats-frequency)).

**Parte I — [Frequência absoluta](#def-g7-stats-frequency) não é [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency).**

1. A escola A recicla $120$ das $400$ caixinhas de suco dela; a escola B recicla $90$ das $250$ dela. Que escola tem a maior frequência *absoluta* de caixinhas recicladas? E a maior frequência *relativa* ? Que escola merece o prêmio de reciclagem?
2. Um horário novo é submetido a pesquisa: $18$ dos $30$ professores gostam dele, e $210$ dos $600$ alunos também. Calcule as duas [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) e depois a [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) entre as $630$ pessoas juntas. Por que o número combinado fica tão perto do dos alunos?
3. Um gráfico de setores publicado mostra setores rotulados $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ e $10\,\%$ . Sem nenhuma outra informação, como você sabe que houve erro?
4. Uma tabela de frequências sobre $40$ observações está meio apagada: [frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency) $14$ , $10$ , $?$ , $?$ e relativas $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Reconstrua as entradas que faltam.
5. Uma pesquisa termina com [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) $0.40$ , $0.35$ e $0.25$ . Calcule os três ângulos do gráfico de setores ( [Método 50.5](#met-g7-stats-charts) ) e confira que eles fecham o círculo.

**Parte II — A pesquisa que enganou um país.** Em 1936, uma revista norte-americana enviou dez milhões de cédulas pelo correio a endereços tirados de listas telefônicas e de registros de automóveis, recebeu $2.4$ milhões de respostas e previu uma vitória esmagadora do candidato Landon. Um jovem estatístico, George Gallup, perguntou a apenas cerca de cinquenta mil pessoas — escolhidas para se parecerem com a população inteira — e previu o contrário. Roosevelt ganhou de goleada.

6. Que [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) das cédulas enviadas voltou?
7. Em 1936, telefones e automóveis eram luxos. Explique em uma ou duas frases por que a amostra da revista, embora enorme, estava condenada — e que lição da questão 1 ela repete em escala nacional.
8. Um modelo de brinquedo. Uma cidade tem $1\,000$ eleitores ricos, dos quais $70\,\%$ apoiam L, e $9\,000$ eleitores modestos, dos quais $30\,\%$ apoiam L. Calcule o apoio verdadeiro a L na cidade. Uma “pesquisa da lista telefônica” alcança $500$ ricos e $500$ modestos: que apoio ela prevê?
9. A armadilha silenciosa: uma empresa tem $200$ clientes insatisfeitos e $800$ satisfeitos. Ela consulta todo mundo; $40\,\%$ dos insatisfeitos respondem, mas só $10\,\%$ dos satisfeitos. Calcule o número de respostas de cada tipo e a [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) de insatisfação *entre as respostas* . Compare com a frequência verdadeira.
10. Conserte a pesquisa da questão 8: mantenha $1\,000$ entrevistas, mas distribua-as nas proporções verdadeiras da cidade. O que a pesquisa consertada prevê?

**Parte III — O paradoxo dos dois hospitais.** Dois hospitais publicam as contagens de curas deles, separadas por gravidade:

|  | casos leves | casos graves |
| --- | --- | --- |
| hospital A | $90$ curados de $100$ | $280$ curados de $400$ |
| hospital B | $340$ curados de $400$ | $65$ curados de $100$ |

11. Calcule a taxa de cura do hospital A nos casos leves, nos casos graves e no total (os $500$ pacientes).
12. As mesmas três contas para o hospital B. Que hospital vence nos casos leves? E nos casos graves?
13. Compare as duas taxas gerais. Enuncie com clareza a coisa estranha que aconteceu.
14. Explique o truque: compare as *misturas* de pacientes dos dois hospitais e diga por que a taxa geral pode trair as duas taxas por categoria. Se você tivesse um caso grave, que hospital deveria escolher?
15. Uma manchete de jornal diz: “Hospital B tem a melhor taxa de cura: $81\,\%$ contra $74\,\%$ ”. Escreva a carta de duas frases ao editor que este problema inteiro ensinou você a escrever — uma frase sobre o que a manchete ignora e outra sobre a moral geral (compare o comparável e preste atenção aos pesos).

**Solução de Problema 50.1.**

**1.** [Frequências absolutas](#def-g7-stats-frequency): $120 > 90$, a escola A ganha. [Frequências relativas](#def-g7-stats-frequency): $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ contra $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$: a escola B ganha. O prêmio deve seguir a [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) — a escola B recicla uma parcela maior do que usa; a escola A apenas bebe mais suco.

**2.** Professores: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$. Alunos: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$. Juntos: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$. Os alunos são vinte vezes mais numerosos, então a frequência combinada é puxada quase inteiramente para o lado deles — o grupo grande carrega o peso grande.

**3.** As [frequências relativas](#def-g7-stats-frequency) têm de somar $100\,\%$ ([Definição 50.1](#def-g7-stats-frequency)), mas $45 + 30 + 20 + 10 = 105$: pelo menos um setor está errado.

**4.** [Frequência absoluta](#def-g7-stats-frequency) correspondente a $0.15$: $0.15 \times 40 = 6$. As frequências até aqui somam $14 + 10 + 6 = 30$, então a última é $40 - 30 = 10$, com [frequência relativa](#def-g7-stats-frequency) $\frac{10}{40} = 0.25$. (Confere: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$.)

**5.** Ângulos: $0.40 \times 360 = 144^\circ$, $0.35 \times 360 = 126^\circ$, $0.25 \times 360 = 90^\circ$; e $144 + 126 + 90 = 360^\circ$: a pizza fecha.

**6.** $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ das cédulas voltaram.

**7.** As listas telefônicas e os registros de automóveis relacionavam sobretudo lares ricos, cujo voto era diferente do voto do país; os $2.4$ milhões de respostas foram uma contagem gigantesca tirada da população errada. Como na questão 1: o que importa não é quantos você conta, e sim quem — uma frequência calculada numa amostra distorcida descreve a amostra, não o país.

**8.** Apoio verdadeiro: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ apoiadores em $10\,000$: $34\,\%$. A pesquisa: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ em $1\,000$: $50\,\%$ — dezesseis pontos acima, porque os ricos são [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da amostra, mas um décimo da cidade.

**9.** Respostas: $0.4 \times 200 = 80$ insatisfeitos e $0.1 \times 800 = 80$ satisfeitos, então $160$ respostas, das quais $80$ insatisfeitas: insatisfação medida $\frac{80}{160} = 50\,\%$. Insatisfação verdadeira: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$. Ninguém mentiu — os insatisfeitos simplesmente respondem mais, e a pesquisa os ouve mais alto.

**10.** Proporções verdadeiras: um décimo de ricos, ou seja, $100$ entrevistas com ricos e $900$ com modestos: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ em $1\,000$: a pesquisa consertada prevê $34\,\%$ — a verdade da questão 8. Cinquenta mil entrevistas bem escolhidas vencem dois milhões mal escolhidas.

**11.** Hospital A: leves $\frac{90}{100} = 90\,\%$; graves $\frac{280}{400} = 70\,\%$; no total $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$.

**12.** Hospital B: leves $\frac{340}{400} = 85\,\%$; graves $\frac{65}{100} = 65\,\%$; no total $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$. O hospital A vence nos casos leves ($90 > 85$) *e* nos casos graves ($70 > 65$).

**13.** No total, B mostra $81\,\%$ contra os $74\,\%$ de A: o hospital que perde em *todas* as categorias ganha no geral. (Essa inversão tem nome: paradoxo de Simpson.)

**14.** As misturas são opostas: os pacientes de A são na maioria graves ($400$ de $500$), e os de B, na maioria leves ($400$ de $500$). Casos graves se curam menos onde quer que sejam tratados, então o número geral de A é puxado para baixo pelos casos difíceis que ele aceita — o total é uma mistura ponderada, e os pesos diferem entre os hospitais. Um paciente grave deve escolher o hospital A: $70\,\%$ vence $65\,\%$ na única linha que lhe diz respeito.

**15.** Por exemplo: “A sua comparação mistura pacientes leves e graves, e os dois hospitais tratam misturas opostas — separados por gravidade, o hospital A cura uma parcela maior dos *dois* tipos. Números gerais só podem ser comparados quando os grupos por trás deles são parecidos; caso contrário, quem decide o vencedor são os pesos, e não a qualidade.”