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title: "Triângulos e ângulos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 51
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos
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# Capítulo 51 — Triângulos e ângulos

Dá para traçar um triângulo de lados $10$, $3$ e $2$? E com ângulos $80^\circ$, $70^\circ$ e $50^\circ$? Este capítulo responde às duas perguntas com dois dos fatos mais úteis da geometria plana: a desigualdade triangular e a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos igual a $180^\circ$ — mais o vocabulário de ângulos que vem com retas que se cruzam e [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp).

## 51.1 Ângulos em torno de retas que se cruzam

**Definição 51.1 (Pares de ângulos).**

- Dois ângulos são *complementares* quando as medidas deles somam $90^\circ$ , e *suplementares* quando somam $180^\circ$ .
- Quando duas retas se cruzam, os ângulos que ficam um de frente para o outro através do ponto de cruzamento são *opostos pelo vértice* .
- Quando uma reta cruza duas outras retas, os ângulos situados na mesma posição em cada cruzamento são *ângulos correspondentes* ; os ângulos entre as duas retas e em lados opostos da reta que as cruza são *ângulos alternos internos* .

**Teorema 51.2 (Igualdades de ângulos).**

1. [Ângulos opostos pelo vértice](#def-g7-triangles-pairs) são iguais.
2. Se duas retas são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) , os ângulos correspondentes são iguais e os [ângulos alternos internos](#def-g7-triangles-pairs) são iguais. Reciprocamente, ângulos correspondentes (ou alternos internos) iguais obrigam as retas a serem [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) .

**Demonstração de 1.** Os dois ângulos $\widehat{1}$ e $\widehat{2}$ de um lado de uma reta formam um ângulo raso: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. O ângulo $\widehat 3$, oposto pelo [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) a $\widehat 1$, também satisfaz $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (pela mesma razão). Logo $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. O ponto 2 é admitido neste nível. ∎

![À esquerda: ângulos opostos pelo vértice, 1 = 3 (cada um é suplementar de 2). À direita: retas paralelas cortadas por uma terceira reta — os ângulos correspondentes a e b são iguais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg)

*À esquerda: [ângulos opostos pelo vértice](#def-g7-triangles-pairs), $\widehat 1 = \widehat 3$ (cada um é suplementar de $\widehat 2$). À direita: [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) cortadas por uma terceira reta — os ângulos correspondentes $\widehat a$ e $\widehat b$ são iguais.*

## 51.2 A soma dos ângulos de um triângulo

**Teorema 51.3 (Soma dos ângulos).**

Em todo triângulo, os três ângulos somam $180^\circ$.

**Demonstração.** Seja $ABC$ um triângulo. Trace a reta que passa por $A$ e é paralela a $(BC)$. No [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $A$, três ângulos se alinham ao longo dessa paralela e formam um ângulo raso, $180^\circ$: o do meio é $\widehat{A}$, e os dois de fora são alternos internos com $\widehat B$ e $\widehat C$ ([retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)!), então valem $\widehat B$ e $\widehat C$. Portanto, $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎

![A demonstração numa imagem: ao longo da paralela a (BC) que passa por A, os ângulos B, A, C (alternos internos, em cores correspondentes) preenchem um ângulo raso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg)

*A demonstração numa imagem: ao longo da paralela a $(BC)$ que passa por $A$, os ângulos $\widehat B$, $\widehat A$, $\widehat C$ (alternos internos, em cores correspondentes) preenchem um ângulo raso.*

**Exemplo 51.4.**

Dois ângulos de um triângulo medem $67^\circ$ e $58^\circ$. O terceiro mede

$$
180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .
$$

Casos especiais que vale a pena decorar: cada ângulo de um [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) mede $180 \div 3 = 60^\circ$; num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), os dois ângulos agudos são complementares (somam $180 - 90 = 90^\circ$); os ângulos da base de um [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) são iguais, então cada um vale $\frac{180 - \text{ângulo do ápice}}{2}$.

**Exemplo 51.5 (Não existe triângulo com dois ângulos retos).**

Um triângulo com dois ângulos de $90^\circ$ já gastaria $180^\circ$, deixando $0^\circ$ para o terceiro — impossível. A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos proíbe muitos triângulos de uma vez.

## 51.3 A desigualdade triangular

**Teorema 51.6 (Desigualdade triangular).**

Em todo triângulo, cada lado é menor que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos outros dois: para um triângulo de lados $a$, $b$, $c$,

$$
a < b + c .
$$

Reciprocamente, três comprimentos em que o *maior* é menor que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos outros dois sempre formam um triângulo. Se o maior for *igual* à [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos outros, o “triângulo” fica achatado: os três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ficam alinhados.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 51.7.**

Os lados podem ser $10$, $3$ e $2$? Teste o maior: será que $10 < 3 + 2 = 5$? Não — não existe triângulo assim. O compasso mostra por quê: arcos de [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ e $2$ traçados a partir das pontas de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de comprimento $10$ nunca se encontram.

Lados $7$, $5$ e $4$? Maior: $7 < 5 + 4 = 9$: sim, o triângulo existe (basta conferir o maior lado).

![Tentando construir um triângulo de lados 10, 3, 2: os dois arcos de compasso ficam irremediavelmente distantes, porque 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-03653a45e1c8.svg)

*Tentando construir um triângulo de lados $10$, $3$, $2$: os dois arcos de compasso ficam irremediavelmente distantes, porque $3 + 2 < 10$.*

**Método 51.8 (Existência e construção de um triângulo).**

Dados três comprimentos:

1. compare o maior com a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos outros dois; se ele não for estritamente menor, pare: não há triângulo;
2. caso contrário, construa como no [Método 41.2](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#met-g6-shapes-construct) ( [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de base, dois arcos de compasso);
3. depois de qualquer construção a partir de ângulos, confira de cabeça que os ângulos dados somam menos de $180^\circ$ — com o terceiro ângulo completando exatamente $180^\circ$ .

## 51.4 Exercícios

**Exercício 51.1 ★.**

Dê o complemento (até $90^\circ$) e o suplemento (até $180^\circ$) de: $30^\circ$; $45^\circ$; $72^\circ$.

**Solução de Exercício 51.1.**

Complementos: $60^\circ$; $45^\circ$; $18^\circ$. Suplementos: $150^\circ$; $135^\circ$; $108^\circ$.

**Exercício 51.2 ★.**

Duas retas se cruzam; um dos quatro ângulos mede $35^\circ$. Dê as medidas dos outros três, com uma razão para cada uma.

**Solução de Exercício 51.2.**

O ângulo oposto pelo [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) também mede $35^\circ$ ([Teorema 51.2](#thm-g7-triangles-equalities)); os dois ângulos restantes são suplementares dele: $180 - 35 = 145^\circ$ cada um.

**Exercício 51.3 ★.**

Calcule o terceiro ângulo de um triângulo cujos dois primeiros ângulos medem: (a) $40^\circ$ e $60^\circ$; (b) $90^\circ$ e $28^\circ$; (c) $75^\circ$ e $75^\circ$.

**Solução de Exercício 51.3.**

(a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$.

**Exercício 51.4 ★.**

Um [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem o ângulo do ápice igual a $40^\circ$. Calcule os dois ângulos da base dele. Outro [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem um ângulo da base de $70^\circ$: calcule o ângulo do ápice.

**Solução de Exercício 51.4.**

Ápice $40^\circ$: os ângulos da base repartem igualmente $180 - 40 = 140^\circ$: $70^\circ$ cada um.

Ângulo da base $70^\circ$: os dois ângulos da base são iguais, então o ápice é $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$.

**Exercício 51.5 ★.**

Que ternos podem ser os lados de um triângulo? Justifique pela desigualdade triangular (olhe o maior lado!):

$$
(6,\ 8,\ 12); \qquad
(5,\ 5,\ 11); \qquad
(4,\ 9,\ 13); \qquad
(7,\ 7,\ 7).
$$

**Solução de Exercício 51.5.**

$(6, 8, 12)$: $12 < 6 + 8 = 14$: o triângulo existe.

$(5, 5, 11)$: $11 > 5 + 5 = 10$: impossível.

$(4, 9, 13)$: $13 = 4 + 9$: “triângulo” achatado — os pontos ficam alinhados, não há triângulo de verdade.

$(7, 7, 7)$: $7 < 14$: [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Exercício 51.6 ★.**

Um triângulo tem ângulos $x$, $2x$ e $3x$. Encontre $x$ e os três ângulos. Que tipo de triângulo é esse?

**Solução de Exercício 51.6.**

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$, então $x = 30^\circ$: os ângulos são $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$ — um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Exercício 51.7 ★.**

Construa um triângulo $ABC$ com $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ e $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (transferidor em $B$ e em $C$). Antes de construir, preveja a medida de $\widehat{BAC}$ e depois confira na sua figura.

**Solução de Exercício 51.7.**

Previsão: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$; o transferidor sobre a figura pronta confirma.

**Exercício 51.8 ★★.**

Duas [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) são cortadas por uma terceira reta, formando um ângulo de $54^\circ$ no primeiro cruzamento (entre a reta que corta e uma das [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)). Desenhe a situação e dê as medidas de todos os oito ângulos formados.

**Solução de Exercício 51.8.**

No primeiro cruzamento, os quatro ângulos são $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$, $126^\circ$ (pares [opostos pelo vértice](#def-g7-triangles-pairs) e suplementos). A reta paralela reproduz as mesmas quatro medidas no segundo cruzamento (ângulos correspondentes): oito ângulos ao todo, quatro de $54^\circ$ e quatro de $126^\circ$.

**Exercício 51.9 ★★.**

Dois lados de um triângulo medem $8$ cm e $3$ cm. Entre que dois valores tem de ficar o terceiro lado? Dê um comprimento inteiro que sirva e um que não sirva.

**Solução de Exercício 51.9.**

Seja $c$ o terceiro lado. A desigualdade triangular exige $c < 8 + 3 = 11$ e também $8 < c + 3$, isto é, $c > 5$. Logo $5 < c < 11$: o comprimento $7$ cm serve; o comprimento $12$ cm (ou $4$ cm) não serve.

**Exercício 51.10 ★★.**

Num triângulo $ABC$, $\widehat A = 2\widehat B$ e $\widehat C = 90^\circ$. Calcule $\widehat A$ e $\widehat B$.

**Solução de Exercício 51.10.**

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$, e $\widehat A = 2\widehat B$, então $3\widehat B = 90^\circ$: $\widehat B = 30^\circ$ e $\widehat A = 60^\circ$.

**Exercício 51.11 ★★★.**

Os ângulos de qualquer [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ podem ser estudados cortando-o por uma diagonal em dois triângulos. Use isso para demonstrar que os quatro ângulos de todo [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) somam $360^\circ$ e deduza a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos de um [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (cinco lados).

**Solução de Exercício 51.11.**

A diagonal $[AC]$ divide $ABCD$ nos triângulos $ABC$ e $ACD$. Os quatro ângulos do [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) são exatamente os seis ângulos dos dois triângulos, reagrupados (os ângulos em $A$ e em $C$ ficam cada um dividido em dois). Total: $180 + 180 = 360^\circ$. Um [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) se divide, a partir de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), em três triângulos: $3 \times 180 = 540^\circ$.

## 51.5 Problema: dando a volta no quarteirão

**Problema 51.1.**

Problema de fim de semana — os ângulos de um polígono qualquer: $(n-2) \times 180^\circ$ por dentro, sempre $360^\circ$ de giro por fora, e por que só três formas regulares ladrilham um piso

O [Exercício 51.11](#exo-g7-triangles-11) cortou um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) em dois triângulos e encontrou $360^\circ$. Este problema leva a ideia a [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com qualquer número de lados, depois descobre uma segunda demonstração, completamente diferente — *caminhando* em volta da forma e somando os giros — e termina no piso do seu banheiro: entre todos os [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares, exatamente três conseguem ladrilhar um plano sem falhas nem sobreposições, e as abelhas escolheram o delas.

**Parte I — Os ângulos de dentro.**

1. A partir de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (seis lados), trace todas as diagonais que saem desse [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) . Em quantos triângulos o [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) fica cortado, e qual é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de *todos* os ângulos internos dele ( [Teorema 51.3](#thm-g7-triangles-sum) )?
2. Generalize: a partir de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de $n$ lados, quantos triângulos o leque de diagonais produz? Deduza a fórmula da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos internos e confira-a para $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
3. Calcule a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos internos de um decágono ( $10$ lados) e de um dodecágono ( $12$ lados).
4. Num [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) *regular* , todos os ângulos internos são iguais. Calcule o ângulo interno do [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) , do quadrado, do [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) , do [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) e do [octógono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares.
5. Explique, sem nenhuma fórmula, por que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos cresce exatamente $180^\circ$ a cada vez que o [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) ganha um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) .

**Parte II — A volta no quarteirão.** Caminhe ao longo do contorno de um quarteirão poligonal, sempre para a frente. Em cada esquina você *gira* um certo ângulo — o *ângulo externo* dessa esquina; os giros continuam até você voltar ao ponto de partida, olhando na direção de partida.

6. Numa esquina cujo ângulo interno é $\widehat A$ , de quanto você gira? (Ângulo interno e ângulo externo são suplementares.) Calcule os três giros para um triângulo de ângulos $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
7. Some os três giros da questão 6. Que fato de volta completa você observa?
8. Explique por que os giros de uma volta completa em torno de *qualquer* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) — de três lados ou de trinta — somam sempre exatamente $360^\circ$ . (O que o seu nariz fez, somados todos os giros, quando você volta?)
9. Deduza a fórmula dos ângulos internos uma segunda vez: em cada uma das $n$ esquinas, interno $+$ giro $= 180^\circ$ ; some sobre todas as esquinas e use a questão 8.
10. Num [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular, todos os giros são iguais, então cada ângulo externo é $\frac{360^\circ}{n}$ . Use isso para responder na hora: que [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular tem ângulos internos de $150^\circ$ ? E por que *nenhum* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular tem ângulos internos de $155^\circ$ ?

**Parte III — Ladrilhar o piso.** Em torno de cada ponto de um piso ladrilhado, os cantos dos ladrilhos que se encontram têm de somar exatamente $360^\circ$ — sem falha e sem sobreposição ([Problema 40.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#pb-g6-lines-1)).

11. Para cada um destes — [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) , quadrado e [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular —, quantas cópias se encontram num ponto de canto do ladrilhamento? Verifique os $360^\circ$ em cada caso.
12. Mostre que [pentágonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares não conseguem ladrilhar o piso: quanto somam três cantos, e quanto somariam quatro?
13. Mostre que nenhum [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular com *mais* de seis lados consegue ladrilhar: pelo menos três ladrilhos têm de se encontrar em cada canto (cada ângulo é menor que $180^\circ$ ), e o que acontece com três cantos de $135^\circ$ ou mais? Conclua a lista completa dos ladrilhadores regulares.
14. Pisos de banheiro muitas vezes misturam [octógonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares com quadradinhos. Verifique que este canto funciona: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Outro clássico mistura um quadrado, um [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular e um dodecágono regular em cada canto: verifique-o também (o ângulo interno do dodecágono sai do método da questão 10).
15. A escolha das abelhas: as células do favo de mel são [hexágonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares. Verifique os cantos delas ( $3$ ângulos) e explique em uma frase — com a ajuda da descoberta de Dido ( [Problema 43.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#pb-g6-measure-1) ) — por que, dos três ladrilhos regulares possíveis, o [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) é o mais barato em cera para o mel que guarda.

**Solução de Problema 51.1.**

**1.** As diagonais que saem de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) o cortam em $4$ triângulos, então os ângulos internos somam $4 \times 180 = 720^\circ$.

**2.** De um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) saem diagonais para todos os [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), exceto ele mesmo e os dois vizinhos: $n - 3$ diagonais, cortando o [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) em $n - 2$ triângulos. Cada ângulo interno do [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) se distribui entre os triângulos, então a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é

$$
(n - 2) \times 180^\circ .
$$

Confere: $n = 3$: $180^\circ$; $n = 4$: $360^\circ$ ([Exercício 51.11](#exo-g7-triangles-11)); $n = 5$: $540^\circ$; $n = 6$: $720^\circ$.

**3.** Decágono: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. Dodecágono: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$.

**4.** Dividindo por $n$: triângulo $60^\circ$; quadrado $90^\circ$; [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $\frac{540}{5} = 108^\circ$; [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $\frac{720}{6} = 120^\circ$; [octógono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $\frac{1080}{8} = 135^\circ$.

**5.** Acrescentar um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) acrescenta mais um triângulo ao leque: o [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) novo precisa de $n - 1$ triângulos onde o antigo precisava de $n - 2$. Um triângulo a mais, $180^\circ$ a mais.

**6.** O caminhante gira o suplemento: $180^\circ - \widehat A$. Para o triângulo $40$–$60$–$80$, os giros são $140^\circ$, $120^\circ$ e $100^\circ$.

**7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$: uma volta completa.

**8.** Ao longo da caminhada inteira, o seu nariz começa e termina apontando para o mesmo lado, tendo varrido exatamente uma volta: todo o giro feito nas esquinas [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) uma revolução completa, $360^\circ$ — qualquer que seja o número de esquinas e o formato do quarteirão. (O fato é lindamente independente de $n$.)

**9.** Em cada esquina, interno $+$ giro $= 180^\circ$. Somando sobre as $n$ esquinas:

$$
\text{(soma dos internos)} + 360^\circ = 180^\circ \times n,
\qquad\text{logo}\qquad
\text{soma dos internos} = (n - 2) \times 180^\circ
$$

— a fórmula da questão 2, demonstrada de novo, agora a pé.

**10.** Interno de $150^\circ$ significa giro de $30^\circ$, e $n = \frac{360}{30} = 12$: o dodecágono regular. Interno de $155^\circ$ significaria giros de $25^\circ$, e $\frac{360}{25} = 14.4$ não é um número inteiro de esquinas: não existe [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular assim.

**11.** Triângulo ($60^\circ$): $6$ se encontram, $6 \times 60 = 360$. Quadrado ($90^\circ$): $4$ se encontram. [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$): $3$ se encontram, $3 \times 120 = 360$. Os três fecham perfeitamente.

**12.** Três cantos de [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $3 \times 108 = 324^\circ$ — sobra uma falha de $36^\circ$. Quatro cantos: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — sobreposição. Nenhum dos dois funciona: [pentágonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares não ladrilham o plano.

**13.** Num canto de ladrilhamento, pelo menos $3$ ladrilhos se encontram. Um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular com mais de seis lados tem ângulos internos *maiores* que $120^\circ$ (questão 4 e o crescimento do ângulo com $n$), então três cantos ultrapassam $3 \times 120 = 360^\circ$: sobreposição, impossível. Com exatamente seis lados, $3 \times 120 = 360$ funciona; abaixo de seis, as questões 11 e 12 resolvem os casos. A lista completa dos ladrilhadores regulares: triângulo, quadrado, [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon).

**14.** [Octógonos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) e quadrados: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$: o canto fecha — o clássico padrão de calçada. Quadrado, [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) e dodecágono: o giro do dodecágono é $\frac{360}{12} = 30^\circ$, então o ângulo interno dele é $150^\circ$, e $90 + 120 + 150 = 360^\circ$: também funciona.

**15.** Cantos do favo: $3 \times 120 = 360^\circ$, perfeito. Entre ladrilhos de triângulo, quadrado e [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area), o [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tem o contorno mais curto — é o mais próximo dos três do círculo de Dido ([Problema 43.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#pb-g6-measure-1)) —, então células hexagonais guardam o mesmo mel com o mínimo de cera: as abelhas ladrilham como geômetras.