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title: "Simetria central e paralelogramos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 52
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos
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# Capítulo 52 — Simetria central e paralelogramos

Gire uma figura de meia volta em torno de um ponto: isso é a *[simetria central](#def-g7-central-def)*, a segunda transformação do livro depois das reflexões do [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#ch-g6-symmetry). A figura-estrela dela é o [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) — o [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) que é [simétrico](#def-g7-central-def) em relação ao ponto de cruzamento das próprias diagonais.

## 52.1 Simetria central

**Definição 52.1 (Simétrico em relação a um ponto).**

O *simétrico* de um ponto $M$ em relação a um ponto $O$ é o ponto $M'$ tal que $O$ é o *ponto médio* de $[MM']$. A figura simétrica é aquilo em que a original se transforma depois de uma meia volta ($180^\circ$) em torno de $O$.

![Simetria em relação a O: cada ponto e a imagem dele ficam alinhados com O, a distâncias iguais dos dois lados (tracinhos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-3a5d10b2de5e.svg)

*Simetria em relação a $O$: cada ponto e a imagem dele ficam alinhados com $O$, a distâncias iguais dos dois lados (tracinhos).*

**Método 52.2 (Construir o simétrico de um ponto).**

Para construir o [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ em relação a $O$:

1. trace a reta $(MO)$ e prolongue-a além de $O$ ;
2. meça $MO$ (com régua ou compasso);
3. marque $M'$ sobre o prolongamento, com $OM' = OM$ .

No papel quadriculado: conte os passos horizontais e verticais de $M$ até $O$ e repita os *mesmos* passos a partir de $O$ para chegar a $M'$.

**Exemplo 52.3 (Na malha quadriculada).**

Se $M$ está $3$ quadradinhos à esquerda e $1$ acima de $O$, o [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ fica $3$ quadradinhos à *direita* e $1$ *abaixo* de $O$: a [simetria central](#def-g7-central-def) inverte as duas direções de uma vez (uma reflexão inverte só uma).

**Proposição 52.4 (O que uma meia volta preserva).**

A [simetria central](#def-g7-central-def) preserva comprimentos, ângulos, [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) e [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area); a imagem de uma reta é uma reta *paralela*, a imagem de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) é um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo de mesmo comprimento, e a imagem de um círculo é um círculo de mesmo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) (com centro no [simétrico](#def-g7-central-def) do centro).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 52.5.**

Compare com as reflexões ([Proposição 42.4](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#prop-g6-symmetry-preserved)): as duas preservam comprimentos e ângulos; mas a reflexão vira as figuras do avesso (um “b” vira um “d”), enquanto a meia volta as mantém legíveis — de cabeça para baixo (um “b” vira um “q”). E, ao contrário de uma reflexão, uma meia volta leva toda reta a uma reta paralela a ela.

**Definição 52.6 (Centro de simetria).**

Um ponto $O$ é um *centro de simetria* de uma figura quando a meia volta em torno de $O$ leva a figura exatamente sobre ela mesma. Por exemplo, as letras S, N, Z têm centro de simetria; um círculo tem um (o centro dele); um triângulo nunca tem.

## 52.2 Paralelogramos

**Definição 52.7 (Paralelogramo).**

Um *paralelogramo* é um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) cujas diagonais se cruzam no ponto médio comum delas. Esse ponto de cruzamento é então um [centro de simetria](#def-g7-central-center) da figura: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) é a imagem, pela meia volta, do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposto.

**Teorema 52.8 (Propriedades de um paralelogramo).**

Num [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ de centro $O$:

1. os lados opostos são paralelos: $(AB) \parallel (CD)$ e $(BC) \parallel (AD)$ ;
2. os lados opostos têm o mesmo comprimento: $AB = CD$ e $BC = AD$ ;
3. os ângulos opostos são iguais: $\widehat A = \widehat C$ e $\widehat B = \widehat D$ .

**Demonstração.** A meia volta em torno de $O$ leva $A$ a $C$ e $B$ a $D$ (pela definição: $O$ é o ponto médio das duas diagonais). Logo ela leva o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ ao [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[CD]$; pela [Proposição 52.4](#prop-g7-central-preserved), a imagem é paralela a $[AB]$ e de mesmo comprimento: pontos 1 e 2. Ela também leva o ângulo em $A$ ao ângulo em $C$, e os ângulos são preservados: ponto 3. ∎

![Um paralelogramo e o centro O dele: as diagonais (em vermelho) se cortam nos pontos médios, e os lados opostos são paralelos e iguais (tracinhos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-f7a6741d6cd6.svg)

*Um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) e o centro $O$ dele: as diagonais (em vermelho) se cortam nos pontos médios, e os lados opostos são paralelos e iguais (tracinhos).*

**Teorema 52.9 (Reconhecer um paralelogramo).**

Um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (sem lados que se cruzem) é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) assim que *uma* das condições abaixo valer:

1. as diagonais dele têm o mesmo ponto médio (a definição);
2. os lados opostos são paralelos dois a dois;
3. dois lados opostos são paralelos *e* de mesmo comprimento.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 52.10.**

$ABCD$ tem $(AB) \parallel (CD)$ e $AB = CD = 5$ cm. Vale o critério 3: $ABCD$ é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) — então, sem medir mais nada, também sabemos que $AD = BC$, que $(AD) \parallel (BC)$ e que as diagonais dele se cortam ao meio.

**Observação 52.11 (Paralelogramos especiais).**

O retângulo, o [losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) e o quadrado do [Capítulo 41](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#ch-g6-shapes) são exatamente os [paralelogramos](#def-g7-central-parallelogram) com uma propriedade a mais: diagonais iguais (retângulo), diagonais [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) ([losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)), as duas coisas (quadrado). O argumento de ângulos prometido no [Exemplo 41.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#ex-g6-shapes-recognize) agora funciona: num [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram), os ângulos consecutivos são suplementares ([ângulos alternos internos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#def-g7-triangles-pairs) e correspondentes com as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), [Teorema 51.2](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#thm-g7-triangles-equalities)), então um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) obriga os quatro.

## 52.3 Exercícios

**Exercício 52.1 ★.**

No papel quadriculado, marque $O$ e depois $M$ quatro quadradinhos à direita de $O$ e um acima. Construa o [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ em relação a $O$ e o [simétrico](#def-g7-central-def) de $M$ em relação à *linha vertical da malha* que passa por $O$. Compare as duas imagens.

**Solução de Exercício 52.1.**

Imagem pela meia volta: $M'$ fica quatro quadradinhos à *esquerda* de $O$ e um *abaixo* (as duas direções invertidas). Imagem pela reflexão em relação à linha vertical: quatro quadradinhos à esquerda, mas ainda um *acima*. As duas imagens são diferentes: uma é a espelhada vertical da outra.

**Exercício 52.2 ★.**

Trace um triângulo $ABC$ e um ponto $O$ fora dele. Construa a imagem $A'B'C'$ dele pela meia volta em torno de $O$. O que você pode dizer sobre os comprimentos $A'B'$ e $AB$? E sobre as retas $(A'B')$ e $(AB)$?

**Solução de Exercício 52.2.**

$A'B' = AB$ (as meias voltas preservam comprimentos) e $(A'B') \parallel (AB)$ (a imagem de uma reta é uma reta paralela, [Proposição 52.4](#prop-g7-central-preserved)).

**Exercício 52.3 ★.**

Que algarismos, escritos como num visor de calculadora ($0$ a $9$), têm [centro de simetria](#def-g7-central-center)? E que letras maiúsculas entre H, A, N, S, T, Z, O?

**Solução de Exercício 52.3.**

Algarismos de calculadora com [centro de simetria](#def-g7-central-center): $0$, $2$, $5$, $8$ (e o $1$, se traçado como uma barra simples). Letras: H, N, S, Z, O têm centro; A e T não têm (elas têm eixo).

**Exercício 52.4 ★.**

$KLMN$ é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) de centro $O$ com $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm e $\widehat K = 115^\circ$. Dê, com justificativa: $MN$, $NK$, $\widehat M$ e o ponto médio de $[LN]$.

**Solução de Exercício 52.4.**

Lados opostos iguais: $MN = KL = 7$ cm e $NK = LM = 4$ cm. Ângulos opostos iguais: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$. As diagonais se cortam no ponto médio comum, e esse ponto é $O$: o ponto médio de $[LN]$ é $O$.

**Exercício 52.5 ★.**

Construa um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ a partir das diagonais: $AC = 8$ cm e $BD = 5$ cm, cruzando-se nos pontos médios com um ângulo de $60^\circ$ entre elas. (Trace primeiro as diagonais!)

**Solução de Exercício 52.5.**

Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm, marque o ponto médio $O$ dele, trace por $O$ uma reta formando $60^\circ$ com $(AC)$ e marque $B$ e $D$ sobre ela a $2.5$ cm de $O$, um de cada lado. Ligue $A$, $B$, $C$, $D$: as diagonais se cortam nos pontos médios, então $ABCD$ é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) pela definição.

**Exercício 52.6 ★.**

Num [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram), um ângulo mede $115^\circ$. Usando a observação sobre ângulos consecutivos suplementares, dê os outros três ângulos.

**Solução de Exercício 52.6.**

Os ângulos consecutivos são suplementares: ao lado de $115^\circ$ fica $180 - 115 = 65^\circ$. Os ângulos opostos são iguais, então os quatro ângulos são $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$ ([soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $360^\circ$).

**Exercício 52.7 ★★.**

Marque $A(1, 1)$, $B(4, 2)$ e o ponto $O(2.5, 2.5)$. Calcule as coordenadas das imagens $A'$ e $B'$ pela meia volta em torno de $O$ (use a contagem na malha do [Exemplo 52.3](#ex-g7-central-grid)).

**Solução de Exercício 52.7.**

De $A(1,1)$ até $O(2.5, 2.5)$: $1.5$ para a direita e $1.5$ para cima; continuando o mesmo: $A'(4, 4)$. De $B(4,2)$ até $O$: $1.5$ para a esquerda e $0.5$ para cima; continuando: $B'(1, 3)$.

**Exercício 52.8 ★★.**

$ABCD$ é um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) em que $AB = CD$. Isso basta para que ele seja um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)? Se não, esboce um contraexemplo (um trapézio [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) ajuda) e diga o que precisa ser acrescentado à hipótese.

**Solução de Exercício 52.8.**

Não. Um trapézio [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem os dois lados inclinados iguais sem ser um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) (os dois lados paralelos têm comprimentos diferentes). O que basta é o critério 3 da [Teorema 52.9](#thm-g7-central-recognize): dois lados opostos iguais *e paralelos*.

**Exercício 52.9 ★★.**

Seja $ABC$ um triângulo e $O$ o ponto médio de $[BC]$. Construa o [simétrico](#def-g7-central-def) $A'$ de $A$ em relação a $O$. Mostre que $ABA'C$ é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram). (Que critério do [Teorema 52.9](#thm-g7-central-recognize) sai de graça aqui?)

**Solução de Exercício 52.9.**

$O$ é o ponto médio de $[BC]$ por escolha, e é o ponto médio de $[AA']$ pela construção do [simétrico](#def-g7-central-def). O [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABA'C$ tem diagonais $[AA']$ e $[BC]$ com o mesmo ponto médio $O$: o critério 1 (a definição) faz dele um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) sem custo algum.

**Exercício 52.10 ★★.**

Verdadeiro ou falso, com justificativa: “um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) cujos ângulos opostos são iguais dois a dois é um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)”; “um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) com diagonais [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) é um [losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)”; “um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) com um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) é um retângulo”.

**Solução de Exercício 52.10.**

“Ângulos opostos iguais $\Rightarrow$ [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)”: *verdadeiro* (é mais um critério de reconhecimento; com a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $360^\circ$, pares opostos iguais obrigam os ângulos consecutivos a serem suplementares, e daí os lados a serem paralelos, pela [Teorema 51.2](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#thm-g7-triangles-equalities)).

“Diagonais [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) $\Rightarrow$ [losango](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)”: *verdadeiro* para um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) (as diagonais já se cortam nos pontos médios).

“Um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) $\Rightarrow$ retângulo”: *verdadeiro* — os ângulos consecutivos são suplementares, então os quatro ficam retos.

**Exercício 52.11 ★★★.**

Seja $ABCD$ um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) qualquer e $I$, $J$, $K$, $L$ os pontos médios dos lados $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ dele. Faça vários exemplos. O que $IJKL$ sempre parece ser? (A demonstração, com o teorema dos pontos médios, vem no [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#ch-g8-midpoints) — e de novo com vetores, no volume do ensino médio.)

**Solução de Exercício 52.11.**

Qualquer que seja o [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) — mesmo um bem irregular — os pontos médios $I$, $J$, $K$, $L$ formam sempre um *[paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)*. A demonstração com o teorema dos pontos médios está no [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#ch-g8-midpoints) ([Exercício 59.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#exo-g8-midpoints-9)).

## 52.4 Problema: o bolo, a mediana e o segundo centro impossível

**Problema 52.1.**

Problema de fim de semana — meias voltas em ação: cortes justos de bolo, um limite para as medianas e por que nenhuma forma pode ter dois centros de simetria

A meia volta parece a mais simples das transformações — e, no entanto, ela corta bolos em [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) comprovadamente justas, mede as medianas de um triângulo e esconde uma pequena pérola de matemática pura: uma figura limitada pode ter um [centro de simetria](#def-g7-central-center), mas *nunca dois*. A demonstração usa uma descoberta que você fará na Parte I: duas meias voltas, feitas uma depois da outra, dão um deslizamento.

**Parte I — Ginástica de meias voltas.**

1. No papel quadriculado, tome a origem $O(0, 0)$ como centro. Usando a contagem na malha do [Exemplo 52.3](#ex-g7-central-grid) , dê as imagens de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ e $P(0, -5)$ pela meia volta em torno de $O$ . Qual é a regra geral para $(x, y)$ ?
2. Agora o centro é $C(2, 1)$ . Calcule a imagem de $M(5, 3)$ e confira a receita geral: cada coordenada da imagem é *o dobro da do centro menos a do ponto* .
3. As cartas de baralho são desenhadas para se ler igual de cabeça para baixo — uma [simetria central](#def-g7-central-def) , para que nenhum jogador veja a carta “errada”. Explique por que, numa carta com um número *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de naipes, um deles tem de ficar exatamente no centro da carta.
4. Duas meias voltas seguidas: tome os centros $O_1(2, 0)$ e $O_2(5, 0)$ . Leve o ponto $A(1, 1)$ pela meia volta em torno de $O_1$ e depois leve a imagem pela meia volta em torno de $O_2$ . Compare partida e chegada. Repita com $B(0, 3)$ . Em que transformação única e simples as duas meias voltas resultaram?
5. Meça o deslizamento da questão 4 em relação à distância $O_1 O_2$ e enuncie a descoberta. (Compare com os dois espelhos paralelos do [Problema 42.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) : o mesmo fenômeno, com outros atores.)

**Parte II — Bolos e medianas.**

6. Seja $O$ o centro de um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) . Explique por que toda reta que passa por $O$ encontra o contorno em dois pontos [simétricos](#def-g7-central-def) em relação a $O$ , e por que a reta corta o [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) em duas peças que são cópias exatas uma da outra pela meia volta — e, portanto, de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais.
7. O teorema do confeiteiro: um bolo retangular é repartido com perfeita justiça por *qualquer* corte reto que passe pelo centro dele. Melhor ainda: um bolo retangular tem um buraco retangular (de qualquer tamanho, em qualquer posição, até inclinado). Descreva o único corte reto que dá duas partes com exatamente a mesma quantidade de bolo — e justifique-o com a questão 6.
8. Três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ são $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ e $C(8, 5)$ . Calcule as coordenadas de $D$ e do centro $O$ .
9. O [Exercício 52.9](#exo-g7-central-9) construiu, a partir de um triângulo $ABC$ e do ponto médio $O$ de $[BC]$, o [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$ em que $A'$ é o [simétrico](#def-g7-central-def) de $A$ em relação a $O$. Use-o, junto com a desigualdade triangular ([Teorema 51.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#thm-g7-triangles-inequality)) no triângulo $ABA'$, para demonstrar o *limite da mediana*: a mediana $[AO]$ satisfaz $$AO < \frac{AB + AC}{2} .$$ (Repare que $AA' = 2\,AO$ e $BA' = AC$.)
10. Num triângulo com $AB = 5$ cm e $AC = 7$ cm, entre que dois valores tem de ficar o comprimento da mediana que sai de $A$ ? (Use os dois sentidos da desigualdade triangular em $ABA'$ .)

**Parte III — Quantos centros uma figura pode ter?**

11. Para cada figura, diga se ela tem [centro de simetria](#def-g7-central-center) e onde: um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) ; uma reta inteira; um [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) ; um quadrado; um círculo; as letras S e Z.
12. Demonstre a sua afirmação para o [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : uma meia volta que levasse o triângulo a si mesmo emparelharia os três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) — mas três é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , então algum [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) seria levado a si mesmo. O que isso obrigaria esse [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) a ser, e por que isso é impossível?
13. Generalize a questão 12: explique por que *nenhum* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) tem [centro de simetria](#def-g7-central-center) .
14. A pérola: suponha que uma figura tivesse *dois* [centros de simetria](#def-g7-central-center) distintos $O_1$ e $O_2$ . Faça as duas meias voltas uma depois da outra e use a descoberta da questão 5: que movimento teria de levar a figura exatamente sobre ela mesma? Explique por que uma figura que cabe numa folha de papel não sobrevive a isso e conclua.
15. A conclusão da questão 14 deixa uma brecha: as figuras *ilimitadas* . Verifique, num friso infinito — digamos, uma faixa sem fim de pegadas, esquerda, direita, esquerda, direita … —, que ele tem (pelo menos) dois [centros de simetria](#def-g7-central-center) diferentes, e identifique a translação que a questão 14 previu.

**Solução de Problema 52.1.**

**1.** $M(3, 1) \to (-3, -1)$; $N(-2, 4) \to (2, -4)$; $P(0, -5) \to (0, 5)$. Regra: a meia volta em torno da origem leva $(x, y)$ a $(-x, -y)$ — as duas coordenadas trocam de sinal.

**2.** A partir de $M(5, 3)$: três quadradinhos à direita de $C$ viram três à esquerda, e dois acima viram dois abaixo: imagem $(-1, -1)$. Conferência pela receita: o dobro do centro menos o ponto, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$.

**3.** A meia volta em torno do centro da carta troca os naipes dois a dois. Com um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de naipes, um deles fica sem par: ele tem de ser a imagem de si mesmo, e o único ponto que é a imagem de si mesmo é o próprio centro. Daí o naipe do meio do 3, do 5, do 7 … ficar bem no centro (olhe uma carta de verdade: fica mesmo).

**4.** Em torno de $O_1(2,0)$: $A(1,1) \to (3,-1)$; em torno de $O_2(5,0)$: $(3,-1) \to (7,1)$. Partida $A(1,1)$, chegada $(7,1)$: deslizou $6$ para a direita, sem virar. O mesmo para $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$: deslizou $6$ para a direita. As duas meias voltas resultaram numa *translação*.

**5.** O deslizamento é $6$, e $O_1 O_2 = 3$: a translação percorre o *dobro* da distância entre os centros (no sentido de $O_1$ para $O_2$) — exatamente como os dois espelhos paralelos transladavam pelo dobro do vão deles no [Problema 42.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1).

**6.** A meia volta em torno de $O$ leva o [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) sobre ele mesmo (é isso que “[centro de simetria](#def-g7-central-center)” significa para ele, [Teorema 52.8](#thm-g7-central-properties)). Uma reta que passa por $O$ também é levada sobre ela mesma, então os dois pontos em que ela cruza o contorno trocam de lugar: eles são [simétricos](#def-g7-central-def) em relação a $O$. As duas peças do [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) de cada lado da reta também trocam, então são cópias exatas ([Proposição 52.4](#prop-g7-central-preserved)) — [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais.

**7.** Corte pela reta que passa pelos *dois centros*: o centro do retângulo do bolo e o centro do buraco. Pela questão 6 aplicada ao retângulo do bolo, o corte o divide ao meio; aplicada ao retângulo do buraco (a reta passa pelo centro dele também), ele divide o buraco ao meio. Cada parte fica com [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do bolo menos [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do buraco: perfeitamente justo.

**8.** $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (as diagonais compartilham o ponto médio, então $D$ é a imagem de $B$ pela meia volta em torno do centro). Centro: ponto médio de $[AC]$, $O(4,\ 2.5)$.

**9.** No [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$, os lados opostos são iguais: $BA' = AC$. A desigualdade triangular em $ABA'$ dá $AA' < AB + BA' = AB + AC$. Como $O$ é o ponto médio de $[AA']$, $AA' = 2\,AO$, logo $2\,AO < AB + AC$, isto é, $AO < \frac{AB + AC}{2}$.

**10.** Limite superior: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Limite inferior: em $ABA'$, $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$, então $AO > 1$ cm. A mediana que sai de $A$ fica estritamente entre $1$ e $6$ cm.

**11.** [Segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects): sim, o ponto médio dele. Reta: sim — todo ponto dela é um centro. [Triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): nenhum. Quadrado: sim, o cruzamento das diagonais. Círculo: sim, o centro. S e Z: sim, o ponto do meio delas (vire a página de cabeça para baixo: elas se leem igual).

**12.** A meia volta emparelharia os três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) entre si; como três é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $A$ seria a imagem de si mesmo, o que o obrigaria a ser o centro da meia volta. Os outros dois [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $B$ e $C$ seriam então [simétricos](#def-g7-central-def) em relação a $A$ — e assim $A$ seria o ponto médio de $[BC]$, colocando os três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) numa mesma reta. Um triângulo não tem três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) alinhados: contradição. Não existe centro.

**13.** O mesmo argumento de paridade: uma meia volta que preserve o [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) emparelha os [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) dele; um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) obriga a existir um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) fixo, que teria de ser o centro e o ponto médio do [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) que liga dois outros [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) — três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) alinhados, impossível num [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) … logo, nenhum [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) com um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) tem [centro de simetria](#def-g7-central-center).

**14.** Fazer a meia volta em torno de $O_1$ e depois a meia volta em torno de $O_2$ leva a figura sobre ela mesma nas duas vezes — então a combinação delas também leva. Pela questão 5, essa combinação é uma translação pelo dobro da distância $O_1 O_2$, que não é nula, já que os centros são diferentes. Uma figura que cabe numa folha não pode ser igual a si mesma deslizada de uma quantidade fixa não nula (deslize-a vezes suficientes e ela sai inteirinha da folha). Logo, uma figura limitada tem no máximo um [centro de simetria](#def-g7-central-center).

**15.** Na faixa sem fim, uma meia volta em torno do ponto que fica no meio do caminho entre uma pegada esquerda e a direita seguinte leva o padrão sobre ele mesmo; o ponto um passo inteiro adiante também leva: dois centros distintos. Compor as duas meias voltas dá a translação pelo dobro do meio passo — exatamente o deslizamento de um passo que visivelmente leva o friso infinito sobre ele mesmo, como a questão 14 previa. Padrões ilimitados vivem sob outras regras: é a matemática do papel de parede.