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title: "Áreas e volumes"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes
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# Capítulo 53 — Áreas e volumes

O Ano 6 mediu retângulos, [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) e blocos ([Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#ch-g6-measure)). Com uma tesoura — corte um pedaço aqui, cole ali — as mesmas ideias dão agora as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dos [paralelogramos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram), de *todos* os triângulos e do disco, e os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dos [prismas](#def-g7-areas-prism) e dos [cilindros](#def-g7-areas-prism).

## 53.1 Área de um paralelogramo

**Teorema 53.1 (Paralelogramo).**

Um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) com um lado de comprimento $b$ (a *base* dele) e distância $h$ entre esse lado e o oposto (a *altura* dele) tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = b \times h .
$$

**Demonstração com a tesoura.** Corte o [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que sobra de um lado e cole-o do outro: o [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) vira um retângulo $b \times h$ de mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area). ∎

![A demonstração com a tesoura: deslizar o triângulo vermelho da ponta esquerda para a direita transforma o paralelogramo num retângulo — mesma área, b × h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*A demonstração com a tesoura: deslizar o triângulo vermelho da ponta esquerda para a direita transforma o [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) num retângulo — mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area), $b \times h$.*

**Observação 53.2.**

A altura é a distância *perpendicular* entre as duas bases, e não o comprimento do lado inclinado! Um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) bem inclinado pode ter lados compridos e [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) pequena.

## 53.2 Área de um triângulo

**Teorema 53.3 (Triângulo).**

Um triângulo de base $b$ e altura correspondente $h$ (a distância perpendicular do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposto até a reta da base) tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**Demonstração.** Duas cópias do triângulo, uma delas girada de meia volta em torno do ponto médio de um lado, se encaixam num [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $b$ e altura $h$ (é a [simetria central](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-def) em ação, [Proposição 52.4](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#prop-g7-central-preserved)). O triângulo é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) dele: $\frac{bh}{2}$. ∎

![Um triângulo e a cópia dele girada de meia volta (tracejada) formam um paralelogramo: a área do triângulo é b× h/2. Qualquer um dos três lados pode servir de base — com a altura correspondente a ele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*Um triângulo e a cópia dele girada de meia volta (tracejada) formam um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram): a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do triângulo é $\frac{b\times h}{2}$. Qualquer um dos três lados pode servir de base — com a *altura correspondente a ele*.*

**Exemplo 53.4.**

Um triângulo tem base de $9$ cm e a altura correspondente mede $4$ cm:

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .
$$

Num triângulo *retângulo*, os dois catetos são uma base e a altura dela: recuperamos a fórmula da [Proposição 43.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#prop-g6-measure-formulas).

## 53.3 Área de um disco

**Teorema 53.5 (Disco).**

Um disco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \pi r^2 .
$$

**Ideia da demonstração.** Corte o disco em muitas fatias finas e iguais e disponha-as ponta com ponta: elas quase formam um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de altura $r$ cuja base é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do comprimento da circunferência, $\pi r$ ([Proposição 43.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#prop-g6-measure-circle)). A [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dele fica perto de $\pi r \times r = \pi r^2$, e a aproximação vira exata à medida que as fatias ficam mais finas. Uma demonstração completa precisa do cálculo integral, do volume do ensino médio. ∎

![Fatiar o disco e desenrolar as fatias: quase um paralelogramo de base π r (metade do contorno) e altura r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-1cb0774f961c.svg)

*Fatiar o disco e desenrolar as fatias: quase um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $\pi r$ ([metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do contorno) e altura $r$.*

**Exemplo 53.6.**

O tampo redondo de uma mesa tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $60$ cm. A [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dele é $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm$^2$, um pouco mais que $1.1$ m$^2$. Repare na [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference): o *[perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter)* $2\pi r$ usa $r$, e a *[área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area)* $\pi r^2$ usa $r^2$.

## 53.4 Prismas e cilindros

**Definição 53.7 (Prisma, cilindro).**

Um *prisma* é um [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) com duas [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) poligonais [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) e idênticas (as *bases*), ligadas por retângulos; um *cilindro* é a mesma coisa com discos como bases. A *altura* é a distância entre as duas bases.

**Teorema 53.8 (Volumes).**

Para um [prisma](#def-g7-areas-prism) ou um [cilindro](#def-g7-areas-prism) de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $B$ e altura $h$:

$$
V = B \times h .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 53.9.**

Uma barraca é um [prisma](#def-g7-areas-prism) deitado de lado: as bases dela são triângulos de base $2$ m e altura $1.5$ m, e a barraca tem $3$ m de comprimento.

1. [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
2. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Uma lata de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e altura $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm$^3$, mais ou menos meio litro.

## 53.5 Exercícios

**Exercício 53.1 ★.**

Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $8$ cm e altura $5$ cm; e a de outro de base $6.5$ m e altura $4$ m.

**Solução de Exercício 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ cm$^2$; $6.5 \times 4 = 26$ m$^2$.

**Exercício 53.2 ★.**

Um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) tem lados de $10$ cm e $6$ cm, e a altura relativa à base de $10$ cm mede $4$ cm. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dele. Por que a resposta não é $60$ cm$^2$?

**Solução de Exercício 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ cm$^2$. A resposta não é $10 \times 6 = 60$ porque o lado de $6$ cm é inclinado: a fórmula usa a *altura* (distância perpendicular), que é $4$ cm.

**Exercício 53.3 ★.**

Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um triângulo de base $12$ cm e altura $7$ cm; de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $9$ e $6$; e de um triângulo de base $5.5$ m e altura $2$ m.

**Solução de Exercício 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm$^2$; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m$^2$.

**Exercício 53.4 ★.**

Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um disco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm e depois a de um semidisco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm (valores exatos com $\pi$ e depois arredondados à unidade).

**Solução de Exercício 53.4.**

Disco: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm$^2$. Semidisco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $10$: $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm$^2$.

**Exercício 53.5 ★.**

Calcule o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) *e* a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um disco de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Qual das duas respostas vem em cm e qual em cm$^2$?

**Solução de Exercício 53.5.**

[Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter): $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (um comprimento, em cm). [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm$^2$ (uma superfície, em cm$^2$).

**Exercício 53.6 ★.**

Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de um [prisma](#def-g7-areas-prism) de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $24$ cm$^2$ e altura $10$ cm; e o de um [cilindro](#def-g7-areas-prism) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm e altura $8$ cm (exato e depois arredondado).

**Solução de Exercício 53.6.**

[Prisma](#def-g7-areas-prism): $24 \times 10 = 240$ cm$^3$. [Cilindro](#def-g7-areas-prism): $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm$^3$.

**Exercício 53.7 ★.**

Um triângulo tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $28$ cm$^2$ e base $8$ cm. Encontre a altura correspondente, escrevendo antes a equação.

**Solução de Exercício 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$, então $4h = 28$ e $h = 7$ cm.

**Exercício 53.8 ★★.**

Trace um triângulo qualquer e meça com cuidado os três pares base–altura. Calcule $\frac{b \times h}{2}$ para cada par: os três resultados devem coincidir (a menos do erro de medição). Por quê?

**Solução de Exercício 53.8.**

Os três [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) coincidem porque cada um calcula a *mesma* grandeza — a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do triângulo. Isso dá uma conferência prática das construções e uma maneira de calcular uma altura a partir de outro par base–altura (usada no [Exercício 53.12](#exo-g7-areas-12)).

**Exercício 53.9 ★★.**

Um jardim em forma de trapézio pode ser dividido, por uma diagonal, em dois triângulos que compartilham a mesma altura $h = 20$ m, com bases $30$ m e $18$ m. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) total dele. Você consegue adivinhar uma fórmula geral para o trapézio?

**Solução de Exercício 53.9.**

Os dois triângulos têm [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m$^2$ e $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m$^2$: total $480$ m$^2$. Fórmula geral sugerida: para lados paralelos $a$ e $b$ à distância $h$,

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— a fórmula do trapézio (aqui, $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$).

**Exercício 53.10 ★★.**

Um vaso cilíndrico de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm contém água até a altura de $15$ cm. Toda a água é despejada numa caixa vazia de base $18$ cm $\times$ $12$ cm. Que altura de água é atingida na caixa? (Mesmo [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume), base diferente.)

**Solução de Exercício 53.10.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de água: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm$^3$. Base da caixa: $18 \times 12 = 216$ cm$^2$. Altura atingida: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

**Exercício 53.11 ★★.**

Uma pizza de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $30$ cm custa $9$ reais; uma de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $40$ cm custa $14$ reais. Calcule as duas [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) e o preço por $100$ cm$^2$. Que pizza vale mais a pena?

**Solução de Exercício 53.11.**

[Raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $15$ e $20$ cm. [Áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): $225\pi \approx 707$ cm$^2$ e $400\pi \approx 1257$ cm$^2$. Preço por $100$ cm$^2$: $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ reais e $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ reais. A pizza grande vale mais a pena — as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) crescem com o *quadrado* do [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle).

**Exercício 53.12 ★★★.**

Os dois catetos de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) medem $6$ cm e $8$ cm, e a hipotenusa mede $10$ cm. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dele com os catetos e depois use essa [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) para encontrar a altura relativa à *hipotenusa*.

**Solução de Exercício 53.12.**

Com os catetos: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$. Com a hipotenusa como base: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$, então $h = 4.8$ cm.

## 53.6 Problema: o quadradinho que sumiu

**Problema 53.1.**

Problema de fim de semana — uma “demonstração” famosa de que $64 = 65$, desmascarada por áreas e inclinações, com pizzas e anéis de sobremesa

Um mágico corta um quadrado $8 \times 8$ em quatro peças, desliza-as e as remonta num retângulo $5 \times 13$. A plateia conta: $8 \times 8 = 64$, mas $5 \times 13 = 65$ — uma unidade de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) apareceu do nada! As fórmulas de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) deste capítulo são exatamente as ferramentas que pegam o truque. Depois, o problema põe o raciocínio honesto de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) para trabalhar: em trapézios, em pilhas inclinadas, na economia da pizza — e, por fim, volta ao mágico para um segundo número, ainda mais estranho.

**Parte I — O truque, executado e desmascarado.** As quatro peças do quadrado $8 \times 8$ são: dois [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $8$ e $3$ e dois trapézios retângulos de lados paralelos $5$ e $3$ e altura $5$.

1. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do quadrado original e a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do retângulo alegado. Enuncie o escândalo em uma linha.
2. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de cada uma das quatro peças ( [Teorema 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ; para os trapézios, corte-os ou use o [Exercício 53.9](#exo-g7-areas-9) ).
3. Some as quatro [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) . Qual das duas figuras — quadrado ou retângulo — as peças conseguem de fato preencher?
4. No arranjo do retângulo, a hipotenusa de um triângulo (que sobe $3$ ao longo de $8$ ) deveria continuar a borda inclinada de um trapézio (que sobe $2$ ao longo de $5$ ) numa única “diagonal” reta. Teste o alinhamento: $3$ ao longo de $8$ e $2$ ao longo de $5$ têm a mesma inclinação ( [Teorema 49.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/49-proporcionalidade#thm-g7-prop-cross) )?
5. Explique onde se esconde o sexagésimo quinto quadradinho: que forma tem a falha ao longo da falsa diagonal, qual é a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) exata dela, e por que o olho não a percebe? (Qual é a largura média de uma lasca dessa [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) esticada ao longo da diagonal do retângulo, de cerca de $13$ unidades?)

**Parte II — Raciocínio honesto de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area).**

6. Trace duas [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) a $4$ cm de distância, uma base de $6$ cm sobre uma delas e três triângulos diferentes sobre essa base, com ápices em vários pontos da outra reta. Calcule as três [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) . Por que elas são todas iguais, deslize o ápice onde deslizar sobre a reta dele?
7. Demonstre a fórmula do trapézio em geral: um trapézio de lados paralelos $B$ e $b$ e altura $h$, cortado por uma diagonal, dá dois triângulos de mesma altura $h$. Conclua: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. Aplique-a a um trapézio com $B = 9$ cm, $b = 5$ cm e $h = 4$ cm.
9. Os marceneiros usam a mesma fórmula disfarçada: [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $=$ (média dos dois lados paralelos) $\times$ altura. Explique por que essa é a mesma regra e refaça a questão 8 desse jeito.
10. Incline uma pilha arrumada de cartas de baralho, deixando-a torta. Explique por que o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) não mudou e o que isso diz sobre a altura na fórmula do [prisma](#def-g7-areas-prism) $V = B \times h$ ( [Teorema 53.8](#thm-g7-areas-volume) ): que altura se deve tomar para uma pilha inclinada — o comprimento inclinado ou o vertical? (Compare com o [Exercício 53.2](#exo-g7-areas-2) , uma dimensão acima.)

**Parte III — Anéis, pizzas e a volta do mágico.**

11. Um lago circular de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ m fica no centro de um gramado circular de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do anel de grama (exata com $\pi$ e depois arredondada ao m $^2$ ).
12. Encontre o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) do único disco cuja [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) é exatamente igual à desse anel. (Os três [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) que você tem agora formam um terno famoso, cuja história é contada no [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) .)
13. O que é mais pizza: uma pizza de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $40$ cm ou duas pizzas de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $28$ cm? Calcule e compare.
14. Para *dobrar* a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de uma pizza, por que fator, mais ou menos, o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) dela tem de crescer? Teste o candidato $1.4$ (lembre que as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) seguem o *quadrado* do fator de escala, [Problema 44.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#pb-g6-propdata-1) ) e diga onde o fator exato — o número cujo quadrado é $2$ — faz a entrada oficial dele ( [Exemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) ).
15. O mágico volta: ele corta um quadrado $13 \times 13$ com os números $5$ , $8$ , $13$ fazendo os papéis que $3$ , $5$ , $8$ faziam antes, e remonta um retângulo $8 \times 21$ . Calcule as duas [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) : o que some desta vez? Os números $3, 5, 8, 13, 21$ são termos consecutivos da sequência do [Problema 47.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/47-fracoes-comparar-e-somar#pb-g7-fractions-1) — enuncie o padrão dos ganhos e perdas do mágico e a moral: por que as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) nunca mentem?

**Solução de Problema 53.1.**

**1.** Quadrado: $8 \times 8 = 64$. Retângulo: $5 \times 13 = 65$. As mesmas quatro peças parecem cobrir $64$ unidades de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) numa figura e $65$ na outra: uma unidade de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) foi criada do nada — supostamente.

**2.** Cada triângulo: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. Cada trapézio: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: as peças somam $64$, então elas podem preencher exatamente o quadrado — e *não* podem preencher o retângulo de $65$ unidades. A imagem do retângulo tem de conter um buraco.

**4.** Mesma inclinação significaria $3$ ao longo de $8$ proporcional a $2$ ao longo de $5$; [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) cruzados: $3 \times 5 = 15$ e $2 \times 8 = 16$. Não são iguais: a hipotenusa e a borda inclinada *não* se alinham. A “diagonal” do retângulo é uma mentira — duas inclinações ligeiramente diferentes se encontrando num ângulo raso.

**5.** Ao longo da falsa diagonal, as quatro peças deixam uma falha comprida e extremamente fina — uma lasca em forma de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) bem achatado — cuja [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) é exatamente a unidade que falta, $65 - 64 = 1$. Esticada ao longo de uma diagonal de cerca de $13$ unidades, a largura média dela é de uns $1 \div 13 \approx 0.08$ unidades: num desenho de verdade, mais fina que o traço de lápis que a esconde.

**6.** Cada triângulo tem base $6$ cm e altura $4$ cm — a distância entre as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), esteja o ápice onde estiver —, então cada [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) é $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ ([Teorema 53.3](#thm-g7-areas-triangle)). Deslizar o ápice ao longo da paralela muda a forma, nunca a base nem a altura: [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais para sempre.

**7.** A diagonal corta o trapézio num triângulo de base $B$ e noutro de base $b$, ambos de altura $h$ (a distância entre os lados paralelos):

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm$^2$.

**9.** A média dos lados paralelos é $\frac{B + b}{2}$, então (média) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$: a mesma fórmula, fatorada de outro jeito. Confere: média $= \frac{9+5}{2} = 7$, e $7 \times 4 = 28$ cm$^2$.

**10.** A pilha inclinada contém exatamente as mesmas cartas — as mesmas camadas, cada uma de mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) —, logo o mesmo [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume). Em $V = B \times h$, a altura tem de ser medida *perpendicularmente* à base (a altura vertical da pilha), e não ao longo da inclinação: exatamente como a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) quer a altura perpendicular, e não o lado inclinado ([Exercício 53.2](#exo-g7-areas-2)), uma dimensão acima.

**11.** Anel $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi =
16\pi \approx 50$ m$^2$ ([Teorema 53.5](#thm-g7-areas-disk)).

**12.** Um disco de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $16\pi$ tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$, já que $\pi \times 4^2 = 16\pi$. Os [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$, $4$, $5$: o terno mais famoso da matemática, protagonista do [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras).

**13.** Uma pizza de $40$ cm: [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $20$, [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm$^2$. Duas pizzas de $28$ cm: [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $14$, juntas $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm$^2$. A pizza grande sozinha é *mais* pizza que as duas médias.

**14.** Multiplicar o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) por $1.4$ multiplica a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) por $1.4^2 = 1.96$ — quase o dobro. O fator exato é o número cujo quadrado é $2$, cerca de $1.414$: o número da diagonal do [Exemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal). (Regra de bolso: [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) mais larga é quase o dobro de pizza.)

**15.** $13 \times 13 = 169$, mas $8 \times 21 = 168$: desta vez uma unidade de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) *desaparece* — as peças se sobrepõem numa lasca fina, em vez de deixarem uma falha. Com termos consecutivos $3,
5, 8, 13, 21$ da sequência de Hemachandra e Fibonacci, os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) alternam entre uma unidade a mais e uma a menos que o quadrado ($5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$, e depois $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): o mágico alternadamente “ganha” e “perde” uma unidade. As [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) nunca mentem: peças que somam $64$ cobrem $64$, deslizem para onde deslizarem — toda unidade que falta ou sobra está escondida numa lasca, esperando uma conferência de inclinação para ser exposta.