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title: "Multiplicando números negativos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos
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# Capítulo 54 — Multiplicando números negativos

O Ano 7 somou e subtraiu [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) ([Capítulo 46](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#ch-g7-negatives)); falta multiplicá-los e dividi-los. Uma pergunta domina o capítulo: por que “menos vezes menos” deveria ser mais? Damos uma razão, e não apenas uma regra.

## 54.1 As regras de sinal

**Teorema 54.1 (Sinal de um produto).**

O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) tem distância até o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) igual ao [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) das distâncias, e o sinal dele é dado por:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*Sinais iguais: [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) positivo. Sinais opostos: [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) negativo.* A mesma tabela vale para os [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder).

**Por que $(-1) \times (-1) = +1$.** Primeiro, $3 \times (-4)$ quer dizer $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: um positivo vezes um negativo é negativo. Agora observe o padrão:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

A cada passo, o primeiro fator cai $1$ e o resultado *sobe* $4$. Continuando o padrão mais um passo:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

Qualquer outra escolha quebraria a regularidade da aritmética (a distributividade). Logo menos vezes menos tem de ser mais. ∎

![O argumento do padrão numa imagem: os pontos (k,\ k × (-4)) se alinham, e continuar a reta além de k = 0 obriga (-1)×(-4) = +4 e (-2)×(-4) = +8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*O argumento do padrão numa imagem: os pontos $(k,\ k \times (-4))$ se alinham, e continuar a reta além de $k = 0$ obriga $(-1)\times(-4) = +4$ e $(-2)\times(-4) = +8$.*

**Exemplo 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(sinais opostos)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(sinais iguais)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 Produtos de vários fatores

**Proposição 54.3 (Sinal de um produto longo).**

O sinal de um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de vários fatores não nulos depende apenas da quantidade de fatores negativos:

- uma quantidade *par* de fatores negativos dá [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) positivo;
- uma quantidade *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* dá [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) negativo.

**Demonstração.** Os fatores negativos se emparelham, e cada par contribui com sinal positivo ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)); uma quantidade [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) deixa um fator negativo sem par, o que torna o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) inteiro negativo. ∎

**Exemplo 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: três fatores negativos ([ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)), então o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é negativo; distâncias: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$. Resultado: $-30$. Decida o sinal *primeiro* e depois multiplique as distâncias — duas tarefas fáceis em vez de uma cheia de armadilhas.

**Exemplo 54.5 (Potências de negativos).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, e $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: expoentes pares dão valores positivos, e expoentes [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) mantêm o sinal. Cuidado com a notação: $(-3)^2 = 9$, mas $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 Calcular com as quatro operações

**Método 54.6 (Cálculo seguro com números relativos).**

1. Respeite as prioridades do [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#ch-g7-priorities) : parênteses, depois $\times$ e $\div$ , depois $+$ e $-$ ;
2. em cada multiplicação ou divisão, descubra *primeiro o sinal* e depois a distância;
3. reescreva uma etapa por linha.

**Exemplo 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(o produto primeiro: sinais opostos)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(numerador: sinais iguais)}\\
&= -15 && \text{(quociente: sinais opostos).}
\end{align*}
$$

**Exemplo 54.8 (Substituir valores negativos).**

Calcule $E = 3x^2 - 2x$ para $x = -5$, com parênteses em torno do valor:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

Os parênteses em $(-5)^2$ são essenciais: sem eles, o quadrado se aplicaria só ao $5$.

## 54.4 Exercícios

**Exercício 54.1 ★.**

Calcule:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**Solução de Exercício 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$; $(-9) \times (-6) = +54$; $(+12) \times (-0.5) = -6$; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (três fatores negativos: [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Exercício 54.2 ★.**

Calcule:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**Solução de Exercício 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$; $(-8) \div (-16) = +0.5$; $\dfrac{45}{-5} = -9$; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**Exercício 54.3 ★.**

Dê apenas o *sinal* de cada [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def), sem calculá-lo:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**Solução de Exercício 54.3.**

Três fatores negativos: *negativo*. $(-1)^{10}$: dez fatores negativos, par: *positivo* (vale $1$). $(-2)^7$: sete fatores, [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *negativo*. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: nem positivo nem negativo.

**Exercício 54.4 ★.**

Calcule:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**Solução de Exercício 54.4.**

$(-2)^4 = +16$; $-2^4 = -16$ (o menos não é elevado ao quadrado); $(-3)^3 = -27$; $(-1)^{2026} = +1$ (expoente par).

**Exercício 54.5 ★.**

Calcule passo a passo, respeitando as prioridades:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**Solução de Exercício 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**Exercício 54.6 ★.**

Calcule:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**Solução de Exercício 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**Exercício 54.7 ★.**

Calcule o valor para $x = -3$:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**Solução de Exercício 54.7.**

Para $x = -3$: $5x = -15$; $x^2 = (-3)^2 = 9$; $-x^2 = -9$; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**Exercício 54.8 ★★.**

Complete cada igualdade:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**Solução de Exercício 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$; $10 \div (-4) = -2.5$; $(-5) \times \frac15 = -1$, então o número que falta é $+\frac15 = 0.2$.

**Exercício 54.9 ★★.**

Verdadeiro ou falso? Justifique ou dê um contraexemplo.

1. O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) é sempre pelo menos tão grande quanto a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) deles.
2. O quadrado de um [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) nunca é negativo.
3. Se um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de três fatores é positivo, os três fatores são positivos.

**Solução de Exercício 54.9.**

*1. Falso*: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ é menor que $0.5 + 0.5 = 1$ (ou: $2 \times 3 = 6 > 5$, mas a afirmação teria de valer sempre).

*2. Verdadeiro*: um quadrado é um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois números de mesmo sinal, logo positivo ou nulo.

*3. Falso*: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ é positivo com dois fatores negativos.

**Exercício 54.10 ★★.**

Num quiz, cada resposta errada vale $-3$ pontos e cada resposta certa, $+5$. Zoe respondeu $20$ questões e fez $36$ pontos. Quantas respostas foram certas? (Teste valores ou monte o cálculo $5r - 3(20 - r) = 36$.)

**Solução de Exercício 54.10.**

Seja $r$ o número de respostas certas; então $20 - r$ são erradas, e

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

Doze respostas certas (e oito erradas: confere, $60 - 24 = 36$).

**Exercício 54.11 ★★★.**

Usando a distributividade (como na demonstração da [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)), desenvolva e justifique cada etapa de

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

e conclua que $(-1) \times (-1)$ tem de ser igual a $+1$.

**Solução de Exercício 54.11.**

[Zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) vezes qualquer coisa é [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero), então $(-1) \times 0 = 0$. Escrevendo $0 = 1 + (-1)$ e distribuindo:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

O número $(-1) \times (-1)$, somado a $-1$, dá $0$: ele tem de ser o oposto de $-1$, isto é, $+1$. A distributividade não deixa outra escolha.

## 54.5 Problema: por que menos vezes menos é mais

**Problema 54.1.**

Problema de fim de semana — as regras de sinal deduzidas da distributividade, e a soma alternada $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

A demonstração do [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) continuou um padrão e afirmou que “qualquer outra escolha quebraria a distributividade”. Este problema torna a afirmação exata: partindo apenas da distributividade ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#thm-g7-priorities-distributivity)), você vai *demonstrar* as regras de sinal — sem desenho e sem padrão, do jeito que a álgebra faz — e depois pô-las para trabalhar nas potências de $-1$ e numa [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) famosa de sinais alternados. Ao longo de tudo, $a$ e $b$ são [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def); damos por certas as regras de adição do [Capítulo 46](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#ch-g7-negatives), que $1 \times a = a$ e que um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) pode ser calculado em qualquer ordem (então a distributividade vale dos dois lados de um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def)).

**Parte I — As regras de sinal são teoremas.**

1. Demonstre que $0 \times a = 0$ para todo [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) $a$ . (Escreva $0 = 0 + 0$ , desenvolva $(0 + 0) \times a$ e pergunte que número, somado a $0 \times a$ , devolve $0 \times a$ .)
2. Desenvolva $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ para mostrar que $(-1) \times a + a = 0$ e conclua que $$(-1) \times a = -a :$$ multiplicar por $-1$ dá o oposto. Compare com o [Exercício 54.11](#exo-g8-negprod-11), que é o caso $a = -1$.
3. Deduza que $(-a) \times b = -(a \times b)$ : um sinal de menos sai de um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) sem alteração.
4. Deduza que $(-a) \times (-b) = a \times b$ : dois sinais de menos se cancelam.
5. Todo [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) é a distância dele até o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) com um sinal na frente: $a = +d$ ou $a = -d$ . Explique como as questões 3 e 4 demonstram os quatro casos da tabela de sinais da [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) , distâncias incluídas.

**Parte II — Potências de $-1$.**

6. Calcule $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ e depois dê, com justificativa pela [Proposição 54.3](#prop-g8-negprod-many) , o valor de $(-1)^n$ para todo número inteiro $n \geq 1$ .
7. Dê (sem calcular nenhuma distância) o sinal de $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ e escreva a distância desse [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) como um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de números inteiros, sem efetuá-lo.
8. Mostre que $(-a)^2 = a^2$ e que $(-a)^3 = -a^3$ . Para que expoentes o sinal de menos sobrevive?
9. Use as regras de sinal para mostrar que o quadrado de um [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) nunca é negativo e deduza que nenhum [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) $x$ satisfaz $x^2 = -4$ .
10. Zoe afirma: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ e, de modo mais geral, duas potências consecutivas de $-1$ sempre se cancelam”. Ela tem razão? Justifique.

**Parte III — A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) alternada.** Com as regras de sinal garantidas, podemos calcular [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) que misturam os dois sinais. Para um número inteiro $n \geq 1$, seja

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos números inteiros de $1$ a $n$ com sinais alternados: o último termo é $+n$ quando $n$ é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) e $-n$ quando $n$ é par. Assim, $A_1 = 1$ e $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Calcule $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ e $A_7$ . O que você conjectura?
12. Suponha $n$ par. Agrupe os termos dois a dois, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , conte os pares e demonstre que $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. Suponha $n$ [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Explique por que $A_n = A_{n-1} + n$ e deduza da questão anterior que $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. Calcule $A_{100}$ , $A_{101}$ e $A_{2026}$ .
15. Alma calculou $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ e se surpreendeu ao encontrar exatamente $101$ . Ela deveria ter se surpreendido? Explique em uma frase e dê o valor de $A_{2027} - A_{2026}$ sem nenhuma conta a mais.

**Solução de Problema 54.1.**

**1.** Como $0 = 0 + 0$, a distributividade ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#thm-g7-priorities-distributivity)) dá

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

Então somar $0 \times a$ a si mesmo não muda nada — e o único número que se pode somar sem mudar nada é $0$. (Diretamente: subtraia $0 \times a$ dos dois lados.) Logo $0 \times a = 0$.

**2.** Desenvolvendo e depois usando $1 + (-1) = 0$ e a questão 1:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

Então $(-1) \times a$ é o número que, somado a $a$, dá $0$: é exatamente o oposto de $a$, e $(-1) \times a = -a$. O [Exercício 54.11](#exo-g8-negprod-11) é o caso particular $a = -1$: ali, $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** Escreva $-a = (-1) \times a$ (questão 2) e reagrupe os fatores:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** Aplique a questão 3 duas vezes (uma em cada fator):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

já que o oposto do oposto de um número é o próprio número.

**5.** Escreva $a = +d$ ou $a = -d$ e $b = +e$ ou $b = -e$, em que $d$ e $e$ são as distâncias até o [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero). Os quatro casos:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

os dois do meio pela questão 3 e o último pela questão 4. Em todos os casos, a distância do resultado é $d \times e$, o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) das distâncias, e o sinal é o anunciado pela tabela da [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules): sinais iguais, positivo; sinais opostos, negativo.

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$. Em geral, $(-1)^n$ é um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $n$ fatores negativos, cada um de distância $1$: pela [Proposição 54.3](#prop-g8-negprod-many), ele vale $+1$ quando $n$ é par e $-1$ quando $n$ é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**7.** São dez fatores negativos, uma quantidade par, então o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é *positivo* ([Proposição 54.3](#prop-g8-negprod-many)). A distância dele é $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** Pela questão 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$. Depois, pela questão 3,

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

O sinal de menos desaparece nos expoentes pares e sobrevive nos [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), de acordo com o [Exemplo 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** Se $a = 0$, então $a^2 = 0$. Caso contrário, $a$ e $a$ têm o *mesmo* sinal, então $a^2 = a \times a$ é positivo ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). Um quadrado, portanto, nunca é negativo; como $-4$ é negativo, nenhum [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/46-numeros-negativos#def-g7-negatives-def) $x$ satisfaz $x^2 = -4$.

**10.** Zoe tem razão. Os expoentes $2026$ e $2027$ têm paridades opostas, então $(-1)^{2026} = +1$ e $(-1)^{2027} = -1$, que somam $0$. Em geral, de dois expoentes consecutivos, um é par e o outro é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), então as duas potências são $+1$ e $-1$ em alguma ordem: números opostos, cuja [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é sempre $0$.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, depois $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$. Conjectura: $A_n = -\frac{n}{2}$ para $n$ par e $A_n = \frac{n+1}{2}$ para $n$ [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**12.** Para $n$ par, os termos se emparelham completamente:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

e cada par vale $-1$. Há $\frac{n}{2}$ pares (dois termos por par, $n$ termos ao todo), então $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** Para $n$ [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $A_n$ é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ dos primeiros $n - 1$ termos mais o último termo, que é $+n$ porque $n$ é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Como $n - 1$ é par, a questão 12 dá

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** Nenhuma surpresa: passar de $A_{100}$ para $A_{101}$ acrescenta exatamente um termo, a saber, $+101$, então a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) tinha de ser $101$. Pela mesma razão, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — sem calcular $A_{2027}$ nenhuma vez.