---
title: "Frações: as quatro operações"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes
---

# Capítulo 55 — Frações: as quatro operações

Este capítulo completa a aritmética das frações: adição e subtração com [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) *quaisquer*, multiplicação e — a novidade — a divisão, que se revela uma multiplicação disfarçada. Os sinais do [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#ch-g8-negprod) vêm junto na carona.

## 55.1 Somar com denominadores quaisquer

**Método 55.1 (Denominador comum).**

Para somar ou subtrair $\frac ab$ e $\frac cd$:

1. encontre um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) comum de $b$ e $d$ (o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) $b \times d$ sempre serve; um menor poupa trabalho);
2. reescreva as duas frações com esse [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) ;
3. some ou subtraia os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) ; simplifique.

**Exemplo 55.2.**

Calcule $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$. Um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) comum de $6$ e $4$ é $12$:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

Com sinais: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 Multiplicar frações

**Teorema 55.3 (Produto de frações).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**Por quê, num desenho.** Tome $\frac34$ de $\frac25$ de um quadrado: corte o quadrado em $5$ faixas verticais e fique com $2$; corte na horizontal em $4$ e fique com $3$ fileiras do que sobrou. A parte guardada é uma malha de $3 \times 2$ casinhas em $4 \times 5$: [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5: a região pintada duas vezes tem 3 × 2 = 6 casinhas em 4 × 5 = 20, isto é, 6/20 = 3/10 — numeradores multiplicados, denominadores multiplicados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-3a48d87f1467.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: a região pintada duas vezes tem $3 \times 2 = 6$ casinhas em $4 \times 5 = 20$, isto é, $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) multiplicados, [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) multiplicados.*

**Exemplo 55.4.**

Simplifique *antes* de multiplicar, cortando os fatores comuns:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(o fator $7$ e um fator $3$ se cancelam entre o de cima e o de baixo). Com sinais, as regras do [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#thm-g8-negprod-rules) valem primeiro: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$.

## 55.3 Dividir frações

**Definição 55.5 (Inverso).**

O *inverso* de um número não nulo $x$ é o número que, multiplicado por $x$, dá $1$. O inverso de $\frac ab$ é $\frac ba$, pois $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$; o inverso de um número inteiro $n$ é $\frac1n$.

**Teorema 55.6 (Dividir é multiplicar pelo inverso).**

Para $c \neq 0$:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**Demonstração.** Por definição, o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $q$ de $\frac ab$ por $\frac cd$ é o número com $q \times \frac cd = \frac ab$. Confira o candidato $q = \frac ab \times \frac dc$:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**Exemplo 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

Uma conferência de bom senso: dividir por $\frac{7}{10}$, um número menor que $1$, tem de dar um resultado *maior* que $\frac35$ — e $\frac67 > \frac35$ de fato ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**Exemplo 55.8 (Barras de fração dentro de barras de fração).**

Uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) “de dois andares” é apenas uma divisão escrita na vertical:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

Localize primeiro a barra *principal* (a mais comprida) e depois aplique o [Teorema 55.6](#thm-g8-fractions-div).

**Método 55.9 (Cálculos mistos).**

Numa expressão que mistura frações e as quatro operações:

1. aplique as prioridades de sempre ( [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#ch-g7-priorities) );
2. converta toda divisão numa multiplicação pelo [inverso](#def-g8-fractions-inverse) ;
3. decida os sinais primeiro ( [Método 54.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#met-g8-negprod-compute) ) e depois multiplique ou procure [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comuns;
4. simplifique na primeira oportunidade.

**Exemplo 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(o produto primeiro!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 Exercícios

**Exercício 55.1 ★.**

Calcule e simplifique:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**Solução de Exercício 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**Exercício 55.2 ★.**

Calcule (os sinais primeiro):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**Solução de Exercício 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**Exercício 55.3 ★.**

Calcule, simplificando antes de multiplicar:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**Solução de Exercício 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplifique por $5$ e por $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ (simplifique por $7$ e por $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (sinais opostos: negativo).

**Exercício 55.4 ★.**

Dê o [inverso](#def-g8-fractions-inverse) de: $\dfrac{3}{7}$; $5$; $\dfrac{1}{4}$; $-\dfrac{2}{9}$.

**Solução de Exercício 55.4.**

[Inversos](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac73$; $\dfrac15$; $4$; $-\dfrac92$ (o [inverso](#def-g8-fractions-inverse) mantém o sinal).

**Exercício 55.5 ★.**

Calcule:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**Solução de Exercício 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**Exercício 55.6 ★.**

Calcule as frações de dois andares:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**Solução de Exercício 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**Exercício 55.7 ★.**

Calcule, respeitando as prioridades:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**Solução de Exercício 55.7.**

O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) primeiro: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

Os parênteses primeiro: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**Exercício 55.8 ★★.**

Um tanque está com $\frac{2}{5}$ da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units). Acrescenta-se $\frac{1}{3}$ *da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) do tanque*. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do tanque está cheia agora? E que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) continua vazia?

**Solução de Exercício 55.8.**

Cheio: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} =
\dfrac{11}{15}$ do tanque. Vazio: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**Exercício 55.9 ★★.**

Três quartos dos alunos de uma turma passaram numa prova; entre eles, dois terços tiraram mais de $14$ em $20$. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) da turma tirou mais de $14$? Se isso representa $12$ alunos, qual é o tamanho da turma?

**Solução de Exercício 55.9.**

[Fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) que tirou mais de $14$: $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ da turma. Se isso são $12$ alunos, a turma tem $24$ alunos.

**Exercício 55.10 ★★.**

Uma corda de $\frac{15}{2}$ m tem de ser cortada em pedaços de $\frac{3}{4}$ m cada. Quantos pedaços se obtêm? (Uma divisão de frações — confira que a resposta é um número inteiro.)

**Solução de Exercício 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ pedaços — um número inteiro, sem desperdício de corda.

**Exercício 55.11 ★★.**

Calcule

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**Solução de Exercício 55.11.**

$E$: a divisão primeiro: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$; depois $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (o quadrado é positivo).

**Exercício 55.12 ★★★.**

Simplifique a expressão

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(comece pela [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) mais interna e vá saindo, uma barra de cada vez).

**Solução de Exercício 55.12.**

De dentro para fora: $1 + 1 = 2$; depois $1 + \dfrac12 = \dfrac32$; depois

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 Problema: frações egípcias

**Problema 55.1.**

Problema de fim de semana — toda fração é uma soma de frações unitárias distintas

Uma *[fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária* é uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) de [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $1$. Os escribas do Egito antigo — o papiro de Rhind foi copiado por volta de $1550$ a.C. — escreviam toda [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de frações unitárias *distintas*: nunca $\frac27 = \frac17 + \frac17$, e sim $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$. Uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dessas chama-se *escrita egípcia* da [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def). Este problema desenvolve as técnicas de adição e comparação deste capítulo ([Método 55.1](#met-g8-fractions-add)) num método — publicado por Fibonacci em $1202$ — que produz uma escrita egípcia de qualquer [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) entre $0$ e $1$, e termina com um célebre quebra-cabeça de herança.

**Parte I — Frações unitárias e a identidade de divisão.**

1. Calcule $\frac12 + \frac13$ e $\frac12 + \frac14$ e deduza escritas egípcias de $\frac56$ e de $\frac34$ .
2. Verifique a entrada dos escribas para $\frac27$ : mostre que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. Confira que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ e que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. Depois demonstre a *identidade de divisão*: para todo número inteiro $n \geq 1$, $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. Deduza uma escrita egípcia do próprio $1$ , como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de três frações unitárias distintas.
5. Divida o último termo de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ para obter uma *segunda* escrita egípcia de $\frac56$ , com três frações unitárias. Explique por que nenhuma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) tem escrita egípcia única.

**Parte II — O método guloso de Fibonacci.** O método é: subtrair a *maior* [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária que couber e repetir com o que sobrar.

6. Usando [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comuns, mostre que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Por que isso demonstra que $\frac14$ é a maior [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária menor que $\frac27$ ?
7. Calcule $\frac27 - \frac14$ . Que escrita de $\frac27$ o método guloso produz?
8. Agora tome $\frac57$ . Mostre que a maior [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária menor que $\frac57$ é $\frac12$ e calcule $\frac57 - \frac12$ .
9. Mostre que a maior [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária menor que $\frac{3}{14}$ é $\frac15$ (compare $\frac{3}{14}$ com $\frac14$ e com $\frac15$), calcule $\frac{3}{14} - \frac15$ e conclua: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ Verifique essa escrita diretamente com o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $70$.
10. Rode o método guloso em $\frac45$ , conferindo a cada passo que a sua [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária é a maior que cabe, e verifique a escrita final.

**Parte III — Por que o método sempre para, e o décimo oitavo camelo.**

11. Nas questões 7 a 10, o método foi aplicado a $\frac27$ , $\frac57$ e $\frac45$ . Para cada uma, liste os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dos [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) sucessivos (antes de qualquer simplificação). O que você observa?
12. Para uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ e um número inteiro $n$, mostre que $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. Suponha que o método guloso subtraia $\frac1n$ de $\frac ab$: então $\frac1n$ cabe, mas $\frac{1}{n-1}$ já é grande demais, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. Pondo os dois sobre o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $b \times (n - 1)$, deduza que $b > a \times n - a$ e, portanto, que o novo [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) satisfaz $$a \times n - b < a .$$ Explique por que isso demonstra que o método sempre para.
14. Uma velha história: um pai morre deixando $17$ camelos e lega $\frac12$ do rebanho ao filho mais velho, $\frac13$ ao segundo e $\frac19$ ao terceiro — e nenhuma das partes é um número inteiro de camelos. Um vizinho empresta à família um décimo oitavo camelo; os filhos levam $9$ , $6$ e $2$ camelos, e o camelo emprestado é devolvido. Calcule $\frac12 + \frac13 + \frac19$ e explique o truque: por que o rebanho pôde ser repartido em camelos inteiros, e por que nenhum filho recebeu menos do que o testamento prometia?
15. Conserte o testamento: proponha três frações unitárias *distintas* que somem exatamente $1$ e dê o menor tamanho de rebanho para o qual as três partes sejam números inteiros de camelos.

**Solução de Problema 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ e $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Então $\frac56 = \frac12 + \frac13$ e $\frac34 = \frac12 + \frac14$ são escritas egípcias (frações unitárias distintas em cada uma).

**2.** Com o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $28$:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$, e $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} =
\frac{4}{12} = \frac13$. Em geral, o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum de $\frac{1}{n+1}$ e $\frac{1}{n(n+1)}$ é $n(n+1)$:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** Parta de $1 = \frac12 + \frac12$ e divida a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) pela questão 3:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

três frações unitárias distintas.

**5.** Dividindo o $\frac13$ em $\frac56 = \frac12 + \frac13$ dá

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

Nenhuma escrita egípcia é única: a identidade de divisão sempre pode trocar a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária de maior [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) por duas frações unitárias novas, ainda menores — então, de qualquer escrita, se fabrica outra.

**6.** Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$. Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. As frações unitárias encolhem à medida que os [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) crescem, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$; como $\frac13$ (e tudo acima dele) é grande demais e $\frac14$ cabe, $\frac14$ é a maior [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária menor que $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$: o método guloso produz $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$, exatamente a entrada dos escribas da questão 2.

**8.** Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$, enquanto a única [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária maior, $1$, ultrapassa $\frac57$. Então $\frac12$ é a maior que cabe, e

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} <
\frac{7}{28} = \frac14$, então $\frac14$ é grande demais. Com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} =
\frac{3}{14}$, então $\frac15$ cabe: é a maior [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária menor que $\frac{3}{14}$. Então

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{logo}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

Confere: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** Primeiro passo: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} =
\frac45$ e $1 > \frac45$, então subtraia $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Segundo passo: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ é grande demais, e $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} =
\frac{3}{10}$ cabe, então subtraia $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$. Conclusão:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** Os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dos [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) sucessivos são: para $\frac27$: $2$ e depois $1$; para $\frac57$: $5$, depois $3$, depois $1$; para $\frac45$: $4$, depois $3$, depois $1$. Cada lista é *estritamente decrescente*.

**12.** O [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum de $\frac ab$ e $\frac1n$ é $b \times n$:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** Sobre o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $b \times (n-1)$, a desigualdade $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compara os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $b$ e $a \times (n - 1)$:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

e somando $a - b$ aos dois lados vem $a > a \times n - b$. Assim, depois de cada passo guloso, o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) do [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) (questão 12) é um número inteiro estritamente menor que o anterior. Números inteiros não podem decrescer estritamente para sempre: depois de no máximo $a$ passos, o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) tem [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $1$ — uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) unitária — ou é $0$, e o método para.

**14.** Com o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $18$:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

que é *menor que* $1$: o testamento esqueceu $\frac{1}{18}$ do rebanho. Essa falha é todo o truque. De $18$ camelos, as partes $\frac12$, $\frac13$ e $\frac19$ são os números inteiros $9$, $6$ e $2$, que somam $9 + 6 + 2 = 17$: exatamente o rebanho, e o décimo oitavo camelo volta para casa. E ninguém pode reclamar: o testamento prometia, de $17$ camelos, $\frac{17}{2} = 8.5$, depois $\frac{17}{3} \approx 5.67$ e depois $\frac{17}{9} \approx 1.89$ camelos, e cada filho recebeu estritamente mais ($9$, $6$ e $2$). O $\frac{1}{18}$ esquecido é o que o camelo do vizinho preencheu temporariamente.

**15.** A questão 4 fornece o testamento consertado:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

As partes são números inteiros quando o tamanho do rebanho é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $2$, por $3$ e por $6$ — isto é, [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $6$. O menor rebanho assim é o de $6$ camelos: partes $3$, $2$ e $1$, sem sobra nenhuma.