--- title: "Potências" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias --- # Capítulo 56 — Potências Dobre uma folha de papel ao meio $10$ vezes (se conseguir!): a espessura dobra a cada vez, e $10$ dobras a multiplicam por $2^{10} = 1024$. As potências são a escrita abreviada da multiplicação repetida; este capítulo monta a notação e as regras dela, com um papel especial para as potências de $10$. ## 56.1 Definição **Definição 56.1 (Potência).** Para um número $a$ e um número inteiro $n \geq 1$: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fatores}}, $$ que se lê “$a$ elevado a $n$”; $a$ é a *base* e $n$ é o *expoente*. Nomes especiais: $a^2$ é “$a$ ao quadrado” e $a^3$, “$a$ ao cubo”. Por convenção: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **Exemplo 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$; $10^3 = 1000$; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$; $(-2)^3 = -8$ e $(-2)^4 = +16$ ([Exemplo 54.5](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#ex-g8-negprod-powers)). Atenção: $a^n$ *não* é $a \times n$: $2^5 = 32$, e não $10$. ![Potências de 2: cada barra é o dobro da anterior. O crescimento por multiplicação repetida dispara muito mais depressa que o crescimento por adição repetida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *Potências de $2$: cada barra é o dobro da anterior. O crescimento por multiplicação repetida dispara muito mais depressa que o crescimento por adição repetida.* ## 56.2 As regras dos expoentes **Teorema 56.3 (Regras dos expoentes).** Para uma base $a$ não nula e [expoentes](#def-g8-powers-def) inteiros $m$, $n$: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **Demonstração contando fatores.** $a^m \times a^n$ enfileira $m$ fatores $a$ seguidos de mais $n$: $m + n$ ao todo. $\left(a^m\right)^n$ repete um bloco de $m$ fatores $n$ vezes: $mn$ fatores. $(ab)^n$ contém $n$ letras $a$ e $n$ letras $b$, que podem ser reagrupadas. A regra do [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) vem de cancelar $n$ dos $m$ fatores; com as convenções $a^0 = 1$ e $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, ela continua valendo mesmo quando $n \geq m$. ∎ **Exemplo 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ Uma armadilha: as regras valem para uma *base comum* (ou um [expoente](#def-g8-powers-def) comum, no caso da última). Nenhuma regra simplifica $2^3 \times 5^2$ — é só calcular: $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 Potências de dez **Proposição 56.5 (Potências de dez).** Para $n \geq 1$: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ e $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. As regras dos [expoentes](#def-g8-powers-def) se leem assim: multiplicar potências de dez [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) os [expoentes](#def-g8-powers-def). **Exemplo 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. Quantidades enormes e minúsculas ficam legíveis: $$ \text{um bilhão} = 10^9, \qquad \text{um milionésimo} = 10^{-6}. $$ Combinadas com decimais: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ e $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (deslocando o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point), [Proposição 38.7](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#prop-g6-decimals-shift)). O uso sistemático dessa escrita — a *notação científica* — é desenvolvido no [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#ch-g9-fractions). **Exemplo 56.7 (Ordens de grandeza).** A luz percorre cerca de $3 \times 10^8$ m/s; um ano tem cerca de $3.2 \times 10^7$ segundos. Um ano-luz é, portanto, cerca de $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — dez milhões de bilhões de metros. As potências de dez fazem as contas astronômicas caberem numa linha. **Método 56.8 (Simplificar uma expressão com potências).** 1. Agrupe os fatores base por base; 2. aplique as regras dos [expoentes](#def-g8-powers-def) dentro de cada base; 3. calcule as potências pequenas que restarem, ou deixe a resposta em forma de potência se ela for grande. **Exemplo 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 Exercícios **Exercício 56.1 ★.** Calcule: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **Solução de Exercício 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **Exercício 56.2 ★.** Calcule: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **Solução de Exercício 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **Exercício 56.3 ★.** Escreva como uma única potência: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **Solução de Exercício 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (mesmo [expoente](#def-g8-powers-def): multiplicam-se as bases). **Exercício 56.4 ★.** Escreva como [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places): $10^{-2}$; $4 \times 10^3$; $2.5 \times 10^{-4}$; $10^0$. **Solução de Exercício 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **Exercício 56.5 ★.** Escreva com uma potência de dez: cem mil; um décimo; dez bilhões; $0.000\,001$. **Solução de Exercício 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **Exercício 56.6 ★.** Simplifique e depois calcule: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **Solução de Exercício 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **Exercício 56.7 ★.** Verdadeiro ou falso? Corrija as falsas. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **Solução de Exercício 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *falso* — os [expoentes](#def-g8-powers-def) se somam: $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$: *falso* — não há regra para [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def): $25 + 125 = 150$, enquanto $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$: *verdadeiro*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *verdadeiro* — os dois valem $10^6$ (à esquerda, $10^{3+3}$; à direita, $(10^2)^3$). **Exercício 56.8 ★★.** Um boato se espalha: no dia 1, três pessoas o conhecem; a cada dia, cada pessoa que o conhece conta a três pessoas novas. Escreva com uma potência o número de pessoas *novas* informadas no dia $4$ e calcule quantas pessoas conhecem o boato no fim do dia 4 (incluindo as três iniciais). **Solução de Exercício 56.8.** Pessoas novas no dia $4$: cada uma das $3^3 = 27$ pessoas informadas no dia 3 conta a três outras: $3^4 = 81$. Sabendo do boato no fim do dia 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ pessoas. **Exercício 56.9 ★★.** Uma folha de papel tem $0.1$ mm de espessura, isto é, $10^{-4}$ m. Dobrá-la dobra a espessura a cada vez. 1. Expresse a espessura depois de $10$ dobras como um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) e calcule-a em centímetros ( $2^{10} = 1024$ ). 2. Depois de $42$ dobras, a espessura seria $2^{42} \times 10^{-4}$ m, com $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Mostre que isso ultrapassa a distância Terra–Lua, de cerca de $3.8 \times 10^8$ m. **Solução de Exercício 56.9.** *1.* Espessura: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, maior que $3.8 \times 10^8$ m: depois de $42$ dobras (teóricas!), o maço de papel passaria da Lua. **Exercício 56.10 ★★.** Ordene do menor para o maior, sem calculadora: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (Calcule cada um; $2^{10}$ e $10^3$ são vizinhos famosos.) **Solução de Exercício 56.10.** $2^{10} = 1024$; $10^3 = 1000$; $3^6 = 729$; $5^4 = 625$. Ordem: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **Exercício 56.11 ★★★.** O que é maior, $2^{100}$ ou $10^{30}$? Use $2^{10} = 1024 > 10^3$ para comparar $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ com $\left(10^3\right)^{10}$. **Solução de Exercício 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ e $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. Como $1024 > 1000$, multiplicar dez cópias de cada mantém a desigualdade: $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 Problema: o tabuleiro de xadrez e as potências de dois **Problema 56.1.** Problema de fim de semana — a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) geométrica $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, de uma lenda famosa aos números binários A lenda: como recompensa por ter inventado o xadrez, o sábio Sissa pediu ao rei um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira — dobrando de casa em casa, até a sexagésima quarta. O rei riu de tanta modéstia. Este problema calcula o que o rei prometeu, usando as regras dos [expoentes](#def-g8-powers-def) da [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules), e termina onde a história leva em segredo: os números binários dentro de todo computador. **Parte I — O truque da duplicação.** Para $n \geq 1$, seja $S_n$ o número total de grãos nas $n$ primeiras casas. 1. Expresse o número de grãos da casa $k$ como potência de $2$ . Que potência fica na casa $64$ ? 2. Calcule $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ e $S_5$ e compare cada um com uma potência de $2$ próxima. Conjecture uma fórmula para $S_n$ . 3. O *truque da duplicação*: escreva as [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $S_n$ e $2 \times S_n$ uma embaixo da outra, subtraia e demonstre a sua conjectura: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. Quantos grãos o rei prometeu ao todo? Expresse a resposta com uma potência de $2$ e complete a observação clássica: “o tabuleiro inteiro carrega um grão a menos do que carregaria uma única sexagésima quinta casa”. 5. Mostre que a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do tabuleiro (casas $33$ a $64$ ) carrega *exatamente* $2^{32}$ vezes mais grãos que a primeira [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) . **Parte II — Qual é o tamanho de $2^{64}$?** A comparação $2^{10} = 1024 > 10^3$ do [Exercício 56.11](#exo-g8-powers-11) é a chave de todas as estimativas abaixo. 6. Mostre que $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. Um grão de trigo pesa cerca de $0.05$ g, isto é, $5 \times 10^{-2}$ g. Mostre que o trigo prometido pesa mais que $8 \times 10^{17}$ g e converta isso em toneladas ( $1$ tonelada $= 10^6$ g). 8. O mundo inteiro colhe hoje cerca de $8 \times 10^8$ toneladas de trigo por ano. Quantos anos de colheita mundial, no mínimo, o rei prometeu? 9. Encontre o menor número inteiro $n$ tal que $2^n > 10^6$ — isto é, de quantas duplicações se precisa para passar de um milhão. (Calcule $2^{19}$ e $2^{20}$ exatamente, usando $2^{10} = 1024$ .) 10. Um espertalhão oferece a você um salário de um mês: $1$ centavo no dia $1$ e depois o dobro do pagamento do dia anterior a cada dia. Em que dia o pagamento *diário* sozinho passa pela primeira vez de um milhão de reais ( $10^8$ centavos)? (Calcule $2^{26}$ e $2^{27}$ exatamente.) **Parte III — Pesos binários.** Uma comerciante tem cinco pesos: $1$, $2$, $4$, $8$ e $16$ gramas, um de cada. Ela põe alguns deles num prato da balança para pesar mercadorias no outro prato. 11. Que pesos ela põe para pesar $21$ g? E para pesar $27$ g? 12. Explique por que qualquer alvo de $16$ g ou mais *tem* de usar o peso de $16$ g, e por que qualquer alvo de $15$ g ou menos *não* pode usá-lo. (A questão 3 diz até onde os pesos $1, 2, 4, 8$ chegam.) Explique por que o mesmo raciocínio se repete com o peso seguinte, em cada etapa. 13. Deduza que todo alvo inteiro de $1$ a $31$ g pode ser pesado, e *de um único jeito* : cada número entre $1$ e $31$ é [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de potências de $2$ distintas de uma única maneira. 14. A comerciante compra um sexto peso, de $32$ g. Até que alvo ela consegue pesar agora? Escreva $45$ g como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de potências de $2$ distintas. 15. Num computador, um número de “64 bits” é guardado em $64$ casas, cada uma com um $0$ ou um $1$ — a casa $k$ contribuindo com $2^{k-1}$ quando contém um $1$ , como os grãos da lenda. Usando a Parte I, explique por que os números inteiros que uma máquina dessas consegue guardar vão exatamente de $0$ a $2^{64} - 1$ . **Solução de Problema 56.1.** **1.** Os grãos dobram de casa em casa a partir de $1 = 2^0$: a casa $k$ leva $2^{k-1}$ grãos ([Definição 56.1](#def-g8-powers-def)). A casa $64$ leva $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$: sempre um a menos que a potência de $2$ seguinte ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$). Conjectura: $S_n = 2^n - 1$. **3.** Dobrar cada termo de $S_n$ sobe cada potência em um ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ Subtraindo a primeira linha da segunda, cada termo de $2$ a $2^{n-1}$ aparece nas duas e se cancela: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{isto é}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** O total é $S_{64} = 2^{64} - 1$ grãos. Uma sexagésima quinta casa levaria $2^{64}$ grãos: o tabuleiro inteiro carrega exatamente um grão a menos do que essa única casa carregaria. **5.** A primeira [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) leva $S_{32} = 2^{32} - 1$ grãos. O tabuleiro inteiro leva $2^{64} - 1$, então a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) leva $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ (pondo $2^{32}$ em evidência e usando $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$, [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules)): exatamente $2^{32}$ vezes a primeira [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half). **6.** Pelas regras dos [expoentes](#def-g8-powers-def), $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. Como $2^{10} = 1024 > 10^3$, $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** Mais de $1.6 \times 10^{19}$ grãos a $5 \times 10^{-2}$ g cada: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ Dividindo por $10^6$ g por tonelada: mais de $8 \times 10^{11}$ toneladas — oitocentos bilhões de toneladas. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: o rei prometeu pelo menos *mil anos* da colheita mundial inteira de hoje. (A lenda conta que os conselheiros dele lhe disseram isso.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, enquanto $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. Então o menor [expoente](#def-g8-powers-def) é $n = 20$: vinte duplicações passam do milhão. **10.** O pagamento do dia $n$ é $2^{n-1}$ centavos (dia 1: $2^0 = 1$). Ora, $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ Então o pagamento diário passa pela primeira vez de $10^8$ centavos quando $n - 1 = 27$: no dia $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: pesos de $16$, $4$ e $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: pesos de $16$, $8$, $2$ e $1$ g. **12.** Pela questão 3, os pesos $1, 2, 4, 8$ juntos pesam $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Então, sem o peso de $16$ g, a comerciante não consegue passar de $15$ g: qualquer alvo de $16$ g ou mais tem de usá-lo. E um alvo de $15$ g ou menos não pode usá-lo, já que o peso de $16$ g sozinho já ultrapassa o alvo. A escolha do maior peso é, portanto, *forçada*. O que resta é um alvo de no máximo $15$ g, para ser formado com $1, 2, 4, 8$ — e o mesmo argumento se repete: o $8$ é forçado (usado se o alvo restante for $\geq 8$, não usado caso contrário, porque $1 + 2 + 4 = 7$), depois o $4$ (porque $1 + 2 = 3$), depois o $2$, depois o $1$. **13.** Seguindo as escolhas forçadas, o alvo restante depois de cada etapa é no máximo o total dos pesos que sobram, então o processo termina com [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$: todo alvo de $1$ a $31$ é alcançado. E, como toda escolha pelo caminho foi forçada, nenhuma outra seleção de pesos alcança o mesmo alvo: a escrita de cada número de $1$ a $31$ como [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de potências de $2$ distintas existe e é *única*. **14.** Os seis pesos totalizam $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, e o mesmo argumento de escolha forçada cobre todo alvo de $1$ a $63$ g. Para $45$: o alvo é $\geq 32$, então use o $32$; resta $13 < 16$, então pule o $16$; use o $8$ (resta $5$), use o $4$ (resta $1$), pule o $2$, use o $1$: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** Escolher um $0$ ou um $1$ em cada uma das $64$ casas é escolher que potências $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ entram numa [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) — exatamente a pesagem da comerciante com $64$ pesos. O menor número guardável é $0$ (todas as casas em $0$); o maior é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de *todas* as potências, que é o total do rei: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (Parte I). Pelo argumento da escolha forçada, todo número inteiro entre eles é alcançado exatamente uma vez: uma máquina de $64$ bits guarda precisamente os números inteiros de $0$ a $2^{64} - 1$.