--- title: "Cálculo literal e equações" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 57 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes --- # Capítulo 57 — Cálculo literal e equações O Ano 7 apresentou as letras e reduziu expressões simples ([Capítulo 48](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/48-expressoes-literais#ch-g7-literal)). Este capítulo acrescenta as duas habilidades que tornam a álgebra poderosa: *desenvolver* [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de parênteses e *resolver [equações](#def-g8-equations-def)* — encontrar o número escondido atrás da letra. ## 57.1 Desenvolver **Teorema 57.1 (Distributividade simples e dupla).** Para quaisquer números: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **Demonstração.** A primeira regra é o [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/45-prioridades-das-operacoes#thm-g7-priorities-distributivity) (sinais incluídos: $k$ e os termos podem ser negativos, [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#ch-g8-negprod)). Para a segunda, aplique a primeira regra duas vezes, tratando $(c + d)$ como um único número: $$ (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere $$ ∎ **Exemplo 57.2.** Atenção aos sinais em cada termo: $$ \begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(um menos na frente troca os dois sinais)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*} $$ ![A distributividade dupla em áreas: o retângulo (a+b) × (c+d) se reparte em quatro retângulos menores — um por termo do desenvolvimento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg) *A distributividade dupla em [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): o retângulo $(a+b) \times (c+d)$ se reparte em quatro retângulos menores — um por termo do desenvolvimento.* **Método 57.3 (Desenvolver e reduzir).** 1. Desenvolva todo [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) , escrevendo cada termo com o sinal dele; 2. junte os termos semelhantes ( $x^2$ com $x^2$ , $x$ com $x$ , números com números); 3. confira com um valor: substitua, por exemplo, $x = 2$ na expressão original e no resultado — resultados iguais pegam a maioria dos erros. ## 57.2 Resolver equações **Definição 57.4 (Equação).** Uma *equação* é uma igualdade com um número desconhecido, escrito $x$ (ou qualquer letra). *Resolvê-la* é encontrar todos os valores de $x$ que tornam a igualdade verdadeira — as *soluções*. **Teorema 57.5 (Regras da balança).** Uma [equação](#def-g8-equations-def) mantém exatamente as mesmas soluções quando: 1. o mesmo número é somado aos (ou subtraído dos) dois lados; 2. os dois lados são multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número *não nulo* . **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ ![Uma equação é uma balança equilibrada: o que se faz num prato tem de ser feito no outro, e o equilíbrio — a igualdade — sobrevive.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-ea3f5e4cec83.svg) *Uma [equação](#def-g8-equations-def) é uma balança equilibrada: o que se faz num prato tem de ser feito no outro, e o equilíbrio — a igualdade — sobrevive.* **Método 57.6 (Resolver uma equação do primeiro grau).** 1. Desenvolva e reduza cada lado, se for preciso; 2. some ou subtraia nos dois lados para juntar os termos em $x$ de um lado e os números puros do outro; 3. reduza e depois divida os dois lados pelo coeficiente de $x$ ; 4. *confira* substituindo o valor encontrado na [equação](#def-g8-equations-def) original. **Exemplo 57.7.** Resolva $7x - 5 = 4x + 16$: $$ \begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(some $5$ e subtraia $4x$, nos dois lados)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(divida os dois lados por 3).} \end{align*} $$ Conferência: lado esquerdo $7 \times 7 - 5 = 44$; lado direito $4 \times 7 + 16 = 44$. A solução é $7$. **Exemplo 57.8 (Com parênteses e negativos).** Resolva $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$: $$ \begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(desenvolva os dois lados)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(reduza)} \\ 5x &= 15 && \text{(some $2x + 12$ nos dois lados)} \\ x &= 3 . \end{align*} $$ Conferência: $3(3 - 4) = -3$ e $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. Solução: $3$. **Método 57.9 (Resolver um problema com uma equação).** 1. Escolha a incógnita: “seja $x$ …” (a quantidade pedida ou outra mais simples relacionada a ela); 2. traduza a história numa [equação](#def-g8-equations-def) ; 3. resolva-a; 4. interprete: responda à pergunta original com uma frase, com unidades, e confira a resposta com a história. **Exemplo 57.10.** Lucas é $4$ anos mais velho que a irmã; juntas, as idades deles somam $26$. Seja $x$ a idade da irmã; então Lucas tem $x + 4$, e $$ x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 . $$ A irmã tem $11$ anos e Lucas tem $15$. Confere: $11 + 15 = 26$ e $15 - 11 = 4$. ## 57.3 Ordem e desigualdades **Proposição 57.11 (Operações e ordem).** Somar o mesmo número aos dois lados de uma desigualdade a preserva; multiplicar os dois lados por um número *positivo* a preserva; multiplicar por um número *negativo* a *inverte*: $$ 2 < 5 \ \text{ mas }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 . $$ **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Exemplo 57.12.** Resolva $5 - 2x \leq 11$: subtraia $5$ dos dois lados, $-2x \leq 6$; divida por $-2$ *e inverta*: $x \geq -3$. Todos os números maiores ou iguais a $-3$ são soluções — uma [equação](#def-g8-equations-def) em geral tem uma solução, e uma desigualdade tem uma semirreta inteira delas. ## 57.4 Exercícios **Exercício 57.1 ★.** Desenvolva e reduza: $$ 5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5). $$ **Solução de Exercício 57.1.** $5(2x + 3) = 10x + 15$. $-3(4x - 1) = -12x + 3$. $2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$. **Exercício 57.2 ★.** Desenvolva e reduza: $$ (x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6). $$ **Solução de Exercício 57.2.** $(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$. $(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$. $(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$. **Exercício 57.3 ★.** $x = 3$ é solução de $4x - 5 = 7$? E de $2x + 1 = x + 4$? E de $x^2 = 6x - 9$? (Substitua e compare os dois lados.) **Solução de Exercício 57.3.** $4 \times 3 - 5 = 7$: sim. $2 \times 3 + 1 = 7$ e $3 + 4 = 7$: sim. $3^2 = 9$ e $6 \times 3 - 9 = 9$: sim — $x = 3$ resolve as três. **Exercício 57.4 ★.** Resolva, com conferência: $$ x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 . $$ **Solução de Exercício 57.4.** $x + 9 = 4$: $x = -5$ (confere: $-5 + 9 = 4$). $5x = -35$: $x = -7$. $\frac x3 = 8$: $x = 24$. $2x - 7 = 13$: $2x = 20$, $x = 10$ (confere: $20 - 7 = 13$). **Exercício 57.5 ★.** Resolva: $$ 6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 . $$ **Solução de Exercício 57.5.** $6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$, então $x = 5$. $9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$, então $x = 4$. $3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$, então $x = 5$. **Exercício 57.6 ★.** Resolva $4(2x - 3) = 5(x + 6)$, desenvolvendo primeiro, e confira a sua solução. **Solução de Exercício 57.6.** $8x - 12 = 5x + 30$, então $3x = 42$ e $x = 14$. Confere: $4(28 - 3) = 100$ e $5(14 + 6) = 100$. **Exercício 57.7 ★.** Traduza e resolva: “o triplo de um número, diminuído de $8$, é igual a $19$”; “o dobro de um número aumentado de $5$ é igual ao número aumentado de $12$”. **Solução de Exercício 57.7.** “$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$. “$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$. **Exercício 57.8 ★★.** O comprimento de um retângulo é $5$ cm maior que a largura dele, e o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) é $58$ cm. Seja $x$ a largura: escreva uma [equação](#def-g8-equations-def), resolva-a e dê as duas dimensões. **Solução de Exercício 57.8.** Largura $x$, comprimento $x + 5$; [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, então $4x = 48$ e $x = 12$: largura $12$ cm, comprimento $17$ cm (confere: $2 \times (12 + 17) = 58$). **Exercício 57.9 ★★.** Três números inteiros consecutivos têm [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $141$. Chame o do meio de $n$ e encontre os três. **Solução de Exercício 57.9.** Os números são $n - 1$, $n$, $n + 1$, de [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $3n = 141$, então $n = 47$: os números são $46$, $47$, $48$. **Exercício 57.10 ★★.** Resolva as desigualdades e descreva as soluções: $$ 3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 . $$ **Solução de Exercício 57.10.** $3x + 4 > 19$: $3x > 15$, então $x > 5$. $7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$, e dividir por $-2$ inverte: $x \leq 3$. $5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$, então $3x < 12$ e $x < 4$. **Exercício 57.11 ★★.** Mia tem $140$ reais de poupança e acrescenta $15$ reais por mês; Tomás tem $200$ reais e acrescenta $10$ reais por mês. Depois de quantos meses Mia terá estritamente mais que Tomás? (Monte uma desigualdade.) **Solução de Exercício 57.11.** Depois de $n$ meses, Mia tem $140 + 15n$ e Tomás tem $200 + 10n$. Mia fica na frente quando $$ 140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 : $$ a partir do $13^{\text{o}}$ mês. **Exercício 57.12 ★★★.** Resolva a [equação](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$. (Multiplique os dois lados por $20$, o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum, e depois siga como de costume; confira a sua solução na [equação](#def-g8-equations-def) original.) **Solução de Exercício 57.12.** Multiplique os dois lados por $20$: $$ 5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}. $$ Confere: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$, e $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$. Iguais: a solução é $\frac{19}{3}$. ## 57.5 Problema: produtos notáveis e a escada dos números ímpares **Problema 57.1.** Problema de fim de semana — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$, e a soma $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ Três desenvolvimentos aparecem com tanta frequência que a álgebra os sabe de cor: são os *[produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis*. Este problema os deduz da distributividade dupla ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)), transforma-os num superpoder de cálculo mental, usa-os para demonstrar um fato lindo sobre os [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) e termina resolvendo [equações](#def-g8-equations-def) de um tipo inteiramente novo: [equações](#def-g8-equations-def) com um quadrado dentro. **Parte I — Os três [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis.** 1. Desenvolva $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ e reduza, para demonstrar $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$ 2. Demonstre do mesmo modo os dois companheiros: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$ 3. Trace um quadrado de lado $a + b$ , divida cada lado em $a$ e $b$ e corte o quadrado em quatro peças. Que parte da primeira identidade cada pedaço do desenho representa? 4. Cálculo mental: use os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis para calcular, sem armar nenhuma multiplicação, $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$ 5. Uma armadilha clássica: Zoe escreve “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”. Teste a fórmula dela com $a = 3$ e $b = 4$ e explique, no desenho da questão 3, exatamente que peças a fórmula dela esquece. **Parte II — A escada dos [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd).** 6. Calcule $1$ , depois $1 + 3$ , depois $1 + 3 + 5$ , depois $1 + 3 + 5 + 7$ , depois $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . O que você percebe nos resultados? 7. Explique por que o $n$ -ésimo [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é $2n - 1$ (confira: $n = 1, 2, 3$ dão $1, 3, 5$ ). 8. Use um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável da Parte I para desenvolver e reduzir $(n + 1)^2 - n^2$ . O que o resultado tem a ver com a questão 7? 9. A questão 8 diz: para passar de um quadrado de lado $n$ a um quadrado de lado $n + 1$, acrescenta-se exatamente o próximo [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de casinhas — uma borda em forma de L ao longo de dois lados, mais o canto. Partindo de $1 = 1^2$ e fazendo o quadrado crescer uma camada de cada vez, explique por que $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos $n$ primeiros [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é o $n$-ésimo quadrado. 10. Deduza, sem somar um a um: o valor de $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; e quantos [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , a partir de $1$ , somam exatamente $400$ . **Parte III — [Equações](#def-g8-equations-def) com um quadrado.** 11. Reconheça um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável em $x^2 + 6x + 9$ e resolva a [equação](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ . 12. Explique, usando a regra de sinal e distância da [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#thm-g8-negprod-rules) , por que um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois números pode ser [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) *apenas se* um dos dois fatores for [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) . Use isso para resolver $(x - 2)(x + 5) = 0$ . 13. Resolva $x^2 = 49$ passando tudo para um lado e fatorando $x^2 - 49$ com o terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável. Quantas soluções essa [equação](#def-g8-equations-def) tem — e em que isso difere de todas as [equações](#def-g8-equations-def) resolvidas neste capítulo até aqui? 14. No [Exercício 57.3](#exo-g8-equations-3) você conferiu que $x = 3$ é solução de $x^2 = 6x - 9$ . Mostre que ela é a *única* : passe tudo para um lado, reconheça um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável e conclua. 15. Final: calcule $2026^2 - 2025^2$ de cabeça e explique, com um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável, por que a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de dois quadrados consecutivos é sempre a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos dois números — o que é a questão 8 outra vez. **Solução de Problema 57.1.** **1.** Distributividade dupla ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)) com $c = a$ e $d = b$: $$ (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 , $$ já que $ab$ e $ba$ são o mesmo [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def). **2.** O mesmo desenvolvimento, com atenção aos sinais: $$ (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 , $$ $$ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 : $$ desta vez os termos cruzados $-ab$ e $+ba$ se cancelam em vez de dobrar. **3.** O quadrado de lado $a + b$ se corta em quatro peças: um quadrado $a \times a$ (o $a^2$), um quadrado $b \times b$ (o $b^2$) e *dois* retângulos $a \times b$ (juntos, o $2ab$). A identidade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ é a afirmação de que as quatro [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) preenchem o quadrado grande — é o desenho da distributividade dupla com os dois lados divididos do mesmo jeito. **4.** Com os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis: $$ \begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*} $$ **5.** Para $a = 3$ e $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$, mas $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. A fórmula de Zoe esquece os dois retângulos $a \times b$ do desenho — os $2ab = 24$ que faltam, e de fato $25 + 24 = 49$. **6.** $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Os resultados são os quadrados perfeitos $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$. **7.** Os [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) começam em $1$ e sobem de $2$ em $2$: o $n$-ésimo é alcançado depois de $n - 1$ passos de $2$ a partir de $1$, então vale $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Confere: $n = 1, 2, 3$ dão $1, 3, 5$. **8.** Pelo primeiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável, $$ (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 : $$ a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre dois quadrados consecutivos é exatamente o $(n+1)$-ésimo [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (questão 7 com $n + 1$ no lugar de $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$). **9.** Construa os quadrados um depois do outro. Comece com uma única casinha: $1 = 1^2$. Para passar do quadrado de lado $1$ ao de lado $2$, acrescente $2 \times 1 + 1 = 3$ casinhas (questão 8): $1 + 3 = 2^2$. Para passar ao de lado $3$, acrescente $2 \times 2 + 1 = 5$ casinhas: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Cada [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) novo é exatamente a camada em L que completa o próximo quadrado, então, depois de somar os $n$ primeiros [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), o quadrado de lado $n$ está completo: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$. **10.** Os [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de $1$ a $99$ são os $50$ primeiros ($2n - 1 = 99$ dá $n = 50$), então $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 . $$ E $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$: os *vinte* primeiros [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ($1$ até $39$) somam $400$. **11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: o primeiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável com $a = x$ e $b = 3$. Então a [equação](#def-g8-equations-def) fica $(x + 3)^2 = 0$. Um quadrado só é [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) quando o próprio número é [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) ([Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#thm-g8-negprod-rules): um número não nulo tem distância não nula, então o quadrado dele também tem distância não nula). Logo $x + 3 = 0$: a única solução é $x = -3$. **12.** Pelo [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/54-multiplicando-numeros-negativos#thm-g8-negprod-rules), a distância de um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) das distâncias. Se os dois fatores forem não nulos, as duas distâncias são não nulas, então a distância do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é não nula: o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) não pode ser $0$. Um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) nulo, portanto, obriga pelo menos um fator nulo. Para $(x - 2)(x + 5) = 0$: ou $x - 2 = 0$, ou $x + 5 = 0$, o que dá as duas soluções $x = 2$ e $x = -5$. **13.** $x^2 = 49$ vira $x^2 - 49 = 0$, e o terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável o fatora: $$ x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 . $$ Pela questão 12, $x = 7$ ou $x = -7$: *duas* soluções. Toda [equação](#def-g8-equations-def) resolvida até aqui neste capítulo era do primeiro grau e tinha exatamente uma solução; um quadrado na [equação](#def-g8-equations-def) pode produzir duas. **14.** Passe tudo para o lado esquerdo: $x^2 - 6x + 9 = 0$, e reconheça o segundo [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Então a [equação](#def-g8-equations-def) é $(x - 3)^2 = 0$, o que obriga $x - 3 = 0$ (como na questão 11): $x = 3$ é a única solução — a conferência do [Exercício 57.3](#exo-g8-equations-3) a encontrou, e a fatoração demonstra que não há outras. **15.** Pelo terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável, $$ 2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 . $$ Em geral, $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de dois quadrados consecutivos é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos dois números — o mesmo $2n + 1$ da questão 8, obtido agora pelo terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável em vez do primeiro.