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title: "O teorema de Pitágoras"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras
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# Capítulo 58 — O teorema de Pitágoras

O teorema mais famoso de toda a matemática relaciona os três lados de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles). Com ele, tornam-se calculáveis comprimentos que nenhuma régua conseguiria medir diretamente: diagonais, distâncias, alturas. É também o nosso primeiro grande encontro com a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre um teorema e a recíproca dele.

## 58.1 O teorema

**Teorema 58.1 (Pitágoras).**

Se um triângulo $ABC$ é retângulo em $A$, então

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)) é igual à [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos quadrados dos outros dois lados.

**Ideia da demonstração.** Quatro cópias do triângulo, dispostas dentro de um quadrado grande de lado $AB + AC$, deixam descoberto um quadrado inclinado construído sobre a hipotenusa: comparar as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dá a igualdade. A conta detalhada é proposta no [Exercício 58.11](#exo-g8-pythagoras-11); o teorema também cai do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) escalar, estudado no volume do ensino médio. ∎

![O teorema como afirmação sobre áreas: o quadrado construído sobre a hipotenusa (25) tem exatamente a mesma área dos outros dois quadrados juntos (16 + 9). Aqui os lados são 3, 4, 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*O teorema como afirmação sobre [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): o quadrado construído sobre a hipotenusa ($25$) tem exatamente a mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dos outros dois quadrados juntos ($16 + 9$). Aqui os lados são $3$, $4$, $5$.*

**Método 58.2 (Calcular um comprimento).**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) em que dois lados são conhecidos:

1. identifique a hipotenusa (oposta ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) — sempre o lado mais longo);
2. escreva a igualdade do [Teorema 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) com os valores conhecidos;
3. isole o quadrado que falta: *some* os quadrados se a hipotenusa for desconhecida, *subtraia* se um cateto for desconhecido;
4. extraia a raiz quadrada, exatamente ou com calculadora, e confira que a hipotenusa saiu como o maior lado.

**Exemplo 58.3 (Encontrar a hipotenusa).**

Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem catetos $6$ e $8$. Hipotenusa $c$:

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(O número $\sqrt{100}$, a *raiz quadrada* de $100$, é o número positivo cujo quadrado é $100$; as raízes quadradas ganham um capítulo inteiro no [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas#ch-g9-sqrt).)

**Exemplo 58.4 (Encontrar um cateto).**

Uma escada de $5$ m se apoia numa parede, com o pé a $1.4$ m da parede. Altura alcançada $h$: a escada é a hipotenusa, então

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

Subtraia, não some: a incógnita aqui é um *cateto*.

## 58.2 A recíproca

**Teorema 58.5 (Recíproca de Pitágoras).**

Se, num triângulo $ABC$, os lados satisfazem $BC^2 = AB^2 + AC^2$, então o triângulo é retângulo em $A$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 58.6 (Testar um ângulo reto).**

Dados os três lados de um triângulo:

1. calcule separadamente o quadrado do lado mais longo e a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos quadrados dos outros dois;
2. se os dois resultados forem iguais, o triângulo é retângulo (recíproca), no [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposto ao lado mais longo;
3. se forem diferentes, ele não é retângulo — porque o teorema de Pitágoras obrigaria a igualdade.

**Exemplo 58.7.**

Lados $5$, $12$, $13$: quadrado do lado mais longo, $13^2 = 169$; [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos outros quadrados, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Iguais: retângulo (no [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposto ao lado $13$).

Lados $6$, $7$, $9$: $9^2 = 81$, mas $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$: não é [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) (é “quase” um — quem decide são os números, e não o olho).

**Observação 58.8 (Teorema e recíproca).**

O teorema e a recíproca dele dizem coisas diferentes: o teorema *usa* um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) para calcular comprimentos; a recíproca usa comprimentos para *demonstrar* um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle). Os construtores usam a recíproca há milênios: uma corda com nós a $3$, $4$, $5$ unidades, bem esticada, dá um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) perfeito.

**Exemplo 58.9 (Diagonal de um quadrado).**

A diagonal de um quadrado de lado $1$ é a hipotenusa de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $1$ e $1$:

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

então $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — um número que não é uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def), como o volume do ensino médio vai demonstrar. Para um quadrado de lado $c$, a diagonal é $c\sqrt2$.

## 58.3 Exercícios

**Exercício 58.1 ★.**

Em cada [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), calcule a hipotenusa: catetos $9$ e $12$; catetos $5$ e $12$; catetos $8$ e $15$.

**Solução de Exercício 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**Exercício 58.2 ★.**

Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem hipotenusa $25$ e um cateto $7$. Calcule o outro cateto.

**Solução de Exercício 58.2.**

Cateto$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, então o cateto é $\sqrt{576} = 24$.

**Exercício 58.3 ★.**

Calcule a diagonal de um retângulo de lados $12$ cm e $9$ cm; e a diagonal de um quadrado de lado $5$ cm (valor exato com raiz quadrada e depois arredondado ao mm).

**Solução de Exercício 58.3.**

Retângulo: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Quadrado: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm ([Exemplo 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**Exercício 58.4 ★.**

Que triângulos são retângulos? Justifique com o [Método 58.6](#met-g8-pythagoras-test):

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**Solução de Exercício 58.4.**

$(20, 21, 29)$: $29^2 = 841$ e $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$: retângulo.

$(7, 8, 11)$: $121 \neq 49 + 64 = 113$: não é retângulo.

$(1.5, 2, 2.5)$: $6.25 = 2.25 + 4$: retângulo (é o $(3,4,5)$ dividido ao meio).

**Exercício 58.5 ★.**

Um portão é reforçado por uma tábua na diagonal. O portão tem $3$ m de largura e $1.6$ m de altura: que comprimento tem a tábua?

**Solução de Exercício 58.5.**

Tábua $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

**Exercício 58.6 ★.**

Um [triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem dois lados de $10$ cm e base de $12$ cm. A altura dele o divide em dois [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): calcule essa altura e depois a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do triângulo.

**Solução de Exercício 58.6.**

A altura cai no ponto médio da base ([triângulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles)), então cada meio triângulo tem hipotenusa $10$ e um cateto $6$: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm$^2$.

**Exercício 58.7 ★★.**

A tela de uma televisão é um retângulo $16{:}9$ medindo $88.5$ cm por $49.8$ cm. As telas são vendidas pela diagonal, em polegadas ($1$ polegada $= 2.54$ cm). Calcule a diagonal em cm e depois em polegadas (arredonde à polegada mais próxima).

**Solução de Exercício 58.7.**

Diagonal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. Em polegadas: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ polegadas.

**Exercício 58.8 ★★.**

Um barco navega $24$ km para leste e depois $10$ km para o norte. A que distância ele está do ponto de partida (em linha reta)? Faça antes o desenho da situação.

**Solução de Exercício 58.8.**

Os dois catetos são $24$ km e $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

**Exercício 58.9 ★★.**

Uma escada de $2.5$ m tem de alcançar o parapeito de uma janela a $2.4$ m do chão. A que distância da parede o pé dela tem de ser posto? A resposta é compatível com a recomendação de segurança (pé a cerca de um quarto do comprimento da escada, a partir da parede)?

**Solução de Exercício 58.9.**

Distância do pé: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ m. Um quarto da escada é $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: os $0.7$ m encontrados ficam perto da colocação recomendada — aceitável.

**Exercício 58.10 ★★.**

Num plano cartesiano, marque $A(1, 2)$ e $B(5, 5)$ e trace o [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos paralelos aos eixos cuja hipotenusa é $[AB]$. Calcule $AB$. (Essa construção, para dois pontos quaisquer, vira a fórmula da distância da geometria analítica, no volume do ensino médio.)

**Solução de Exercício 58.10.**

Os catetos medem $5 - 1 = 4$ (horizontal) e $5 - 2 = 3$ (vertical), então

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**Exercício 58.11 ★★★.**

Quatro cópias de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$ são colocadas nos cantos de um quadrado de lado $a + b$, deixando descoberto no meio um quadrado inclinado de lado $c$.

1. Expresse a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do quadrado grande de duas maneiras: diretamente e como (quatro triângulos) $+$ (quadrado inclinado).
2. Desenvolva $(a + b)^2$ (veja o [Teorema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#thm-g8-equations-expand) ) e deduza $c^2 = a^2 + b^2$ : você demonstrou o teorema de Pitágoras.

**Solução de Exercício 58.11.**

*1.* Diretamente: $(a + b)^2$. Em peças: quatro triângulos de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $\frac{ab}{2}$ cada um, mais o quadrado inclinado $c^2$:

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* Desenvolvendo o lado esquerdo: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Então

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 Problema: ternos pitagóricos

**Problema 58.1.**

Problema de fim de semana — triângulos retângulos de lados inteiros e a identidade $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ que gera todos eles

Um *terno pitagórico* é um terno de números inteiros $(a, b, c)$ com

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

como o $(3, 4, 5)$ dos construtores. Uma tábua de argila babilônica catalogou ternos enormes — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ entre eles — mais de mil anos antes de Pitágoras. Este problema caça ternos e depois constrói a máquina que os produz: uma identidade algébrica saída diretamente do [Capítulo 57](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#ch-g8-equations), posta a serviço da geometria.

**Parte I — Caçando ternos.**

1. Confira que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ e $(20, 21, 29)$ são [ternos pitagóricos](#pb-g8-pythagoras-1) . O que a [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) diz sobre triângulos com esses comprimentos de lado?
2. Explique por que uma corda esticada com doze [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) iguais, disposta como um triângulo de lados de $3$ , $4$ e $5$ [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) , dá aos construtores um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) perfeito.
3. Mostre que, se $(a, b, c)$ é um [terno pitagórico](#pb-g8-pythagoras-1) , então $(ka, kb, kc)$ também é, para todo número inteiro $k \geq 1$ . Deduza três ternos novos a partir de $(3, 4, 5)$ .
4. Os [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$ são os ternos $(3k, 4k, 5k)$ . Mostre que $(5, 12, 13)$ *não* é um deles.
5. Explique por que as questões 3 e 4, juntas, demonstram que multiplicar $(3, 4, 5)$ por escalas nunca produz todos os [ternos pitagóricos](#pb-g8-pythagoras-1) : é preciso outra máquina.

**Parte II — A máquina.** Tome dois números inteiros $m > n \geq 1$ e forme os três números

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. Usando os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis do [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1) (escreva $A = m^2$ e $B = n^2$), desenvolva $a^2$ e $b^2$ e demonstre que $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ a máquina sempre entrega um [terno pitagórico](#pb-g8-pythagoras-1).
7. Rode a máquina com $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ e $(4, 3)$ e apresente os cinco ternos numa tabela.
8. Um terno da sua tabela é uma cópia ampliada de outro menor. Qual, e de qual?
9. Encontre $(m, n)$ para os quais a máquina entrega o terno $(20, 21, 29)$ da questão 1 (catetos em qualquer ordem).
10. Encontre $m$ e $n$ com $m^2 + n^2 = 100$ e deduza um [terno pitagórico](#pb-g8-pythagoras-1) cuja hipotenusa seja $100$ .

**Parte III — Famílias e um final de paridade.**

11. Rode a máquina com $m = n + 1$ . Mostre que o cateto [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é $2n + 1$ , o cateto par é $2n^2 + 2n$ e a hipotenusa é $2n^2 + 2n + 1$ — de modo que a hipotenusa e o cateto par diferem exatamente por $1$ . Escreva os ternos para $n = 1, 2, 3, 4$ .
12. Deduza que *todo* [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ é lado de algum [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lados inteiros e dê um terno que contenha $11$ .
13. Os [números pares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) também funcionam: rode a máquina com $n = 1$ e produza um terno que contenha $14$ . Depois obtenha o mesmo terno uma segunda vez, ampliando um da sua tabela da questão 7.
14. Mostre que o quadrado de um [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é par e que o quadrado de um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . (Escreva o número como $2k$ ou $2k + 1$ e use um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável.)
15. Conclua o final de paridade: não existe [terno pitagórico](#pb-g8-pythagoras-1) com os três [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — em todo [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lados inteiros, pelo menos um lado é par.

**Solução de Problema 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Os três são ternos e, pela [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse), um triângulo com esses comprimentos de lado é retângulo, com o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) de frente para o lado mais longo.

**2.** A corda forma um triângulo de lados $3$, $4$, $5$ (em [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects)), e $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$: pela recíproca ([Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse)), o ângulo entre os lados de $3$ e $4$ [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) é exatamente reto — sem transferidor nenhum, só com nós.

**3.** Se $a^2 + b^2 = c^2$, então

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

A partir de $(3, 4, 5)$: por exemplo, $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ e $(30, 40, 50)$.

**4.** Um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ com $5$ como menor número exigiria $3k = 5$, e nenhum número inteiro $k$ satisfaz isso ($k = 1$ dá $3$ e $k = 2$ dá $6$). Logo $(5, 12, 13)$ não é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$.

**5.** A questão 3 mostra que a ampliação produz apenas os ternos $(3k, 4k, 5k)$; a questão 4 exibe um terno legítimo que não tem essa forma. Então a família de todos os [ternos pitagóricos](#pb-g8-pythagoras-1) é estritamente maior que a dos [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$: produzi-los exige algo novo.

**6.** Escreva $A = m^2$ e $B = n^2$. Pelos [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1)):

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

Somando:

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** $(8, 6, 10)$ é o dobro de $(4, 3, 5)$ — ou seja, do $(3, 4, 5)$ dos construtores. A máquina às vezes redescobre um terno antigo disfarçado.

**9.** Precisamos de $m^2 - n^2 = 21$ e $2mn = 20$, ou seja, $mn = 10$: tentando $m = 5$ e $n = 2$, dá $25 - 4 = 21$ e $2 \times 10 = 20$, com hipotenusa $25 + 4 = 29$. A máquina entrega $(21, 20, 29)$ para $(m, n) = (5, 2)$.

**10.** $m = 8$ e $n = 6$ dão $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. O terno é

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

e de fato $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** Com $m = n + 1$:

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

([diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de quadrados consecutivos, [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1)); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$; e $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. A hipotenusa ultrapassa o cateto par exatamente por $1$. Para $n = 1, 2, 3, 4$:

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** Todo [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de $3$ em diante é $2n + 1$ para algum $n \geq 1$, e a questão 11 fornece um terno cujo cateto [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é exatamente $2n + 1$. Para $11 = 2 \times 5 + 1$, tome $n = 5$:

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** Com $n = 1$, a máquina dá $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$, cujo cateto par $2m$ pode ser qualquer [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) a partir de $4$. Para $14 = 2 \times 7$, tome $m = 7$: o terno $(48, 14, 50)$. O mesmo terno aparece dobrando $(7, 24, 25)$ da tabela da questão 7: $(14, 48, 50)$ — os mesmos três números.

**14.** Um [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é $2k$, e $(2k)^2 = 4k^2$ é par ([múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $4$, portanto par). Um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) é $2k + 1$, e o primeiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável dá

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

um [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) mais $1$: [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**15.** Suponha que $a$, $b$, $c$ fossem todos [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Pela questão 14, $a^2$ e $b^2$ são [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), então $a^2 + b^2$ é uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de dois [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *par*. Mas $c^2$ seria *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. A igualdade $a^2 + b^2 = c^2$ fica, então, impossível. Logo, em todo [terno pitagórico](#pb-g8-pythagoras-1), pelo menos um dos três números é par — como cada linha da tabela da questão 7 confirma.