--- title: "Pontos médios e paralelas" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 59 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas --- # Capítulo 59 — Pontos médios e paralelas Ligue os pontos médios de dois lados de um triângulo: o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) obtido é sempre paralelo ao terceiro lado e tem exatamente a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do comprimento dele. Esse “teorema dos pontos médios” e a recíproca dele são a primeira amostra de uma grande ideia — as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) cortam comprimentos proporcionalmente — que floresce no teorema de Tales no [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#ch-g9-thales). ## 59.1 O teorema dos pontos médios **Teorema 59.1 (Teorema dos pontos médios).** Num triângulo $ABC$, seja $I$ o ponto médio de $[AB]$ e $J$ o ponto médio de $[AC]$. Então a reta $(IJ)$ é paralela a $(BC)$ e $$ IJ = \frac{BC}{2} . $$ **Ideia da demonstração.** Seja $K$ o [simétrico](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-def) de $I$ em relação a $J$ (uma meia volta, [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#ch-g7-central)). O [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ tem diagonais $[IK]$ e $[AC]$ que se cruzam no ponto médio comum $J$: ele é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram), então $KC$ é paralelo a $AI$, isto é, a $(AB)$, e $KC = AI = IB$. Depois, $IBCK$ tem dois lados opostos ($[IB]$ e $[KC]$) paralelos e iguais: também é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize)), logo $(IK) \parallel (BC)$ — ou seja, $(IJ) \parallel (BC)$ — e $BC = IK = 2\,IJ$. ∎ ![O segmento dos pontos médios (IJ) (em vermelho) é paralelo ao terceiro lado (BC) e tem metade do comprimento dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg) *O [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) dos pontos médios $[IJ]$ (em vermelho) é paralelo ao terceiro lado $(BC)$ e tem [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do comprimento dele.* **Exemplo 59.2.** Num triângulo $ABC$ com $BC = 9$ cm, ligam-se os pontos médios $I$ de $[AB]$ e $J$ de $[AC]$. Sem medição nenhuma: $(IJ) \parallel (BC)$ e $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. O triângulo pequeno $AIJ$ é uma cópia de $ABC$ em tamanho [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) — o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) dele também é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$. **Teorema 59.3 (Recíproca).** Num triângulo $ABC$, a reta que passa pelo ponto médio $I$ de $[AB]$ e é *paralela* a $(BC)$ cruza o lado $[AC]$ no ponto médio dele. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Exemplo 59.4.** Um caminho atravessa um campo triangular, partindo do meio de uma borda e correndo paralelo à borda oposta. A recíproca garante que o caminho sai exatamente no meio da outra borda — sem precisar medir nada do lado de lá. **Método 59.5 (Escolher entre teorema e recíproca).** 1. *Dois pontos médios conhecidos* $\Rightarrow$ use o teorema direto: conclua o paralelismo e o meio comprimento. 2. *Um ponto médio e uma paralela conhecidos* $\Rightarrow$ use a recíproca: conclua que o ponto de cruzamento é um ponto médio. 3. Escreva que triângulo, que pontos médios e que teorema você usa — uma frase para cada. ## 59.2 Triângulos em tamanho metade **Proposição 59.6 (O triângulo medial).** Ligar os três pontos médios dos lados de um triângulo o corta em quatro triângulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais, cada um uma cópia do original em tamanho [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half). **Demonstração.** Cada lado do triângulo medial é paralelo a um lado de $ABC$ e tem [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do comprimento dele ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), aplicado três vezes). Os quatro triângulos pequenos têm lados dos mesmos três comprimentos, então são cópias idênticas; juntos, eles ladrilham $ABC$, então cada um tem um quarto da [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dele. ∎ ![O triângulo medial IJK corta ABC em quatro triângulos iguais — uma imagem que vale a pena guardar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg) *O triângulo medial $IJK$ corta $ABC$ em quatro triângulos iguais — uma imagem que vale a pena guardar.* **Observação 59.7 (Rumo a Tales).** O teorema dos pontos médios é o caso “[metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half)” de um fato mais geral: uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os outros dois lados em *razões iguais* — um terço e um terço, dois quintos e dois quintos … Esse enunciado geral é o teorema de Tales ([Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#ch-g9-thales)); o caso dos pontos médios é o único necessário este ano. ## 59.3 Exercícios **Exercício 59.1 ★.** Num triângulo $RST$, $M$ é o ponto médio de $[RS]$ e $N$ é o ponto médio de $[RT]$, com $ST = 7$ cm. O que se pode dizer da reta $(MN)$ e do comprimento $MN$? Cite o teorema usado. **Solução de Exercício 59.1.** $M$ e $N$ são os pontos médios de dois lados do triângulo $RST$: pelo teorema dos pontos médios ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)), $(MN) \parallel (ST)$ e $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm. **Exercício 59.2 ★.** Num triângulo $ABC$, $I$ é o ponto médio de $[AB]$ e a reta que passa por $I$ paralelamente a $(BC)$ corta $[AC]$ em $J$, com $AC = 11$ cm. Calcule $AJ$, citando o teorema usado. **Solução de Exercício 59.2.** $I$ é um ponto médio e $(IJ) \parallel (BC)$: pela *recíproca* ([Teorema 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)), $J$ é o ponto médio de $[AC]$, então $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm. **Exercício 59.3 ★.** Trace um triângulo $ABC$ com $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm e $BC = 7$ cm, marque os pontos médios $I$ de $[AB]$ e $J$ de $[AC]$, e meça $IJ$ para conferir o teorema. Calcule o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$ sem medir mais nada. **Solução de Exercício 59.3.** A medição dá $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$: $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$: total $10.5$ cm — a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ cm). **Exercício 59.4 ★.** $IJK$ é o triângulo medial de $ABC$, cujos lados medem $10$, $12$ e $16$ cm. Dê os três lados de $IJK$ e o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) dele. Como os dois [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) se comparam? **Solução de Exercício 59.4.** Cada lado de $IJK$ é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um lado de $ABC$: $5$, $6$ e $8$ cm. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter): $19$ cm, a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $10 + 12 + 16 = 38$ cm. **Exercício 59.5 ★.** A [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de um triângulo é $36$ cm$^2$. Qual é a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) do triângulo medial dele? E a de cada um dos quatro triângulos pequenos? **Solução de Exercício 59.5.** O triângulo medial é um dos quatro triângulos iguais da [Proposição 59.6](#prop-g8-midpoints-medial): [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — e cada um dos quatro triângulos pequenos tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $9$ cm$^2$. **Exercício 59.6 ★★.** Num triângulo $ABC$, $I$ é o ponto médio de $[AB]$, $J$ o de $[AC]$ e $K$ o de $[BC]$. Mostre que $IJKB$ é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram). (Compare $[IJ]$ e $[BK]$: paralelos? iguais?) **Solução de Exercício 59.6.** Pelo teorema dos pontos médios em $ABC$: $(IJ) \parallel (BC)$, isto é, $(IJ) \parallel (BK)$, e $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (pois $K$ é o ponto médio de $[BC]$). Dois lados opostos de $IJKB$ são paralelos e iguais: ele é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), critério 3). **Exercício 59.7 ★★.** Uma vela triangular tem a borda de baixo com $6.4$ m de comprimento. Uma costura de reforço liga os pontos médios das outras duas bordas. Que comprimento de costura é necessário? E se, em vez disso, a costura ligar os pontos situados a um quarto de cada borda, a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de cima? (Conjecture com um desenho; a demonstração é a de Tales, [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#ch-g9-thales).) **Solução de Exercício 59.7.** A costura liga dois pontos médios: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. A um quarto a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de cima, o desenho sugere uma costura de $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, paralela à base — confirmado por Tales no [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#ch-g9-thales). **Exercício 59.8 ★★.** No triângulo $ABC$, retângulo em $A$, $M$ é o ponto médio da hipotenusa $[BC]$, e a paralela a $(AB)$ que passa por $M$ encontra $[AC]$ em $N$. 1. Mostre que $N$ é o ponto médio de $[AC]$ . 2. Explique por que $(MN)$ é perpendicular a $(AC)$ . **Solução de Exercício 59.8.** *1.* $M$ é o ponto médio de $[BC]$ e $(MN) \parallel (AB)$: pela recíproca do teorema dos pontos médios (no triângulo $ABC$, lado $[AC]$), $N$ é o ponto médio de $[AC]$. *2.* $(MN) \parallel (AB)$ e $(AB) \perp (AC)$ ([ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) em $A$): uma reta paralela a $(AB)$ também é perpendicular a $(AC)$ ([Proposição 40.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#prop-g6-lines-facts)). Logo $(MN) \perp (AC)$ — o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[MN]$ é o pedaço de [mediatriz](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#def-g6-symmetry-bisector) que mostra de novo que $MA = MC$ ([Teorema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#thm-g8-cosine-circle)). **Exercício 59.9 ★★★.** Seja $ABCD$ um [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) *qualquer* e $I$, $J$, $K$, $L$ os pontos médios de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ (a conjectura do [Exercício 52.11](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#exo-g7-central-11)). 1. Aplique o teorema dos pontos médios no triângulo $ABC$ ao [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ , e no triângulo $ACD$ ao [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : compare cada um com a diagonal $[AC]$ . 2. Conclua que $IJKL$ é sempre um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) . **Solução de Exercício 59.9.** *1.* No triângulo $ABC$, $I$ e $J$ são pontos médios de $[AB]$ e $[BC]$: $(IJ) \parallel (AC)$ e $IJ = \frac{AC}{2}$. No triângulo $ACD$, $L$ e $K$ são pontos médios de $[DA]$ e $[CD]$: $(LK) \parallel (AC)$ e $LK = \frac{AC}{2}$. *2.* Então $[IJ]$ e $[LK]$ são paralelos (os dois paralelos à diagonal $(AC)$) e iguais (os dois iguais à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de $AC$): $IJKL$ é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), critério 3) — para *todo* [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$, como conjecturado no [Exercício 52.11](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#exo-g7-central-11). ## 59.4 Problema: as três medianas e o centro de gravidade **Problema 59.1.** Problema de fim de semana — as medianas de um triângulo se encontram num único ponto, a dois terços do caminho de cada uma Recorte um triângulo de papelão duro e ele vai se equilibrar, perfeitamente na horizontal, sobre a ponta de um lápis colocada num ponto especial: o *centro de gravidade* do triângulo. Este problema encontra esse ponto. Uma *mediana* de um triângulo é o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) que liga um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ao *ponto médio* do lado oposto. Você vai demonstrar — com o teorema dos pontos médios usado duas vezes, de um jeito inesperado — que as três medianas passam todas por um ponto, e vai localizá-lo com precisão. **Parte I — Aquecimento.** 1. Trace um triângulo $ABC$ grande (sem forma especial), construa os pontos médios $I$ de $[AB]$ , $J$ de $[AC]$ e $K$ de $[BC]$ , e trace as três medianas $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . O que você observa? 2. Demonstre que uma mediana corta o triângulo em dois triângulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais. (Compare bases e alturas e use a fórmula da [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) : base $\times$ altura $\div\ 2$ .) Para um triângulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm $^2$ , quais são as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) das duas peças? 3. No triângulo $ABC$ , o que o [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) diz sobre o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ? **Parte II — Duas medianas se encontram a dois terços.** As medianas $[BJ]$ e $[CI]$ se cruzam num ponto; chame-o de $G$. Seja $M$ o ponto médio de $[GB]$ e $N$ o ponto médio de $[GC]$. 4. Aplique o teorema dos pontos médios *no triângulo $GBC$* : o que ele diz sobre o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ? 5. Deduza que $(IJ) \parallel (MN)$ e $IJ = MN$ , e conclua, com a [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize) , que $IJNM$ é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) . 6. Explique por que $I$ e $N$ estão os dois sobre a mediana $(CI)$ , e $J$ e $M$ os dois sobre a mediana $(BJ)$ — de modo que as diagonais do [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ são $[IN]$ e $[JM]$ , e elas se cruzam exatamente em $G$ . O que a *definição* de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) diz, então, sobre $G$ ? 7. Deduza que $BM = MG = GJ$ e conclua: $$BG = 2 \times GJ$$ — o ponto $G$ fica sobre a mediana $[BJ]$ a dois terços do caminho a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $B$. Enuncie e justifique o resultado análogo na mediana $[CI]$. 8. Agora esqueça $[CI]$ e refaça exatamente o mesmo argumento com o par de medianas $[BJ]$ e $[AK]$ : o ponto de cruzamento delas também fica a dois terços de $[BJ]$ a partir de $B$ . Explique por que isso o obriga a ser o *mesmo* ponto $G$ — e conclua que as três medianas passam por $G$ . 9. Num triângulo em que a mediana $[BJ]$ mede $9$ cm, a que distância $G$ fica de $B$ e de $J$ ? 10. Justifique (em uma frase) que $AG = 2 \times GK$ também. **Parte III — Seis fatias iguais e coordenadas.** As três medianas cortam o triângulo em seis triângulos pequenos em torno de $G$. 11. No triângulo $GBC$ , o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[GK]$ é uma mediana. Deduza que os dois triângulos pequenos $GBK$ e $GKC$ têm [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais. 12. Usando a questão 2 nos triângulos $ABK$ e $AKC$ (os dois cortados pela mediana $[AK]$ de $ABC$ ), mostre que os triângulos $ABG$ e $ACG$ têm [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais. Repetindo com outra mediana, conclua que os três triângulos $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ têm todos [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) igual a um terço de $ABC$ . 13. Cada um desses três triângulos é cortado ao meio por um pedaço de mediana (por exemplo, $[GI]$ é uma mediana do triângulo $ABG$ — vista de que [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ?). Conclua: as seis fatias pequenas em torno de $G$ têm todas a mesma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) , um sexto do triângulo. 14. Num plano cartesiano, marque $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 6)$, com $K(3, 3)$ o ponto médio de $[BC]$. Use o teorema dos dois terços da Parte II para calcular as coordenadas de $G$ sobre a mediana $[AK]$; depois confira que o mesmo ponto fica a dois terços da mediana $[BJ]$, em que $J(0, 3)$. Compare as coordenadas de $G$ com as médias $$\frac{0 + 6 + 0}{3}, \qquad \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$ 15. O final do equilíbrio: usando as questões 2 e 8, explique por que o triângulo de papelão se equilibra sobre um fio de faca apoiado ao longo de qualquer mediana — quantidades iguais de papelão de cada lado — e por que a ponta do lápis tem, então, de ser colocada em $G$ , o ponto que os físicos chamam de [centro de gravidade](#pb-g8-midpoints-1) . (Uma demonstração de equilíbrio totalmente rigorosa precisa do cálculo integral dos volumes de graduação; as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais já a tornam crível hoje.) **Solução de Problema 59.1.** **1.** Qualquer que seja o triângulo traçado, as três medianas parecem passar por um único ponto, situado dentro do triângulo, visivelmente mais perto do ponto médio de cada lado do que do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposto. O resto do problema demonstra isso. **2.** Tome a mediana $[AK]$ do triângulo $ABC$: os triângulos $ABK$ e $AKC$ têm bases $BK$ e $KC$ de mesmo comprimento ($K$ é o ponto médio de $[BC]$) apoiadas na mesma reta $(BC)$, e a mesma altura: a distância de $A$ até $(BC)$. Pela fórmula da [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area), cada um tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) base $\times$ altura $\div\ 2$, com bases iguais e alturas iguais: as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) são iguais. Para um triângulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm$^2$: duas peças de $18$ cm$^2$ cada. **3.** $I$ e $J$ são os pontos médios dos lados $[AB]$ e $[AC]$ do triângulo $ABC$, então, pelo [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct): $(IJ) \parallel (BC)$ e $IJ = \frac{BC}{2}$. **4.** $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $[GB]$ e $[GC]$ do triângulo $GBC$, então, pelo mesmo teorema: $(MN) \parallel (BC)$ e $MN = \frac{BC}{2}$. **5.** Tanto $(IJ)$ quanto $(MN)$ são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) a $(BC)$, logo [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) entre si; e $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. O [quadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ tem, assim, dois lados opostos, $[IJ]$ e $[NM]$, paralelos e de mesmo comprimento: pelo critério 3 do [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), $IJNM$ é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram). **6.** $G$ está sobre a mediana $[CI]$, e $N$ é o ponto médio de $[GC]$, um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) apoiado nessa mesma reta mediana: então $I$, $N$ (e $G$, $C$) estão todos sobre $(CI)$. Do mesmo modo, $J$, $M$ e $G$ estão sobre a reta mediana $(BJ)$. No [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$, as diagonais são $[IN]$ e $[JM]$; elas estão apoiadas nas duas retas medianas, que se cruzam em $G$ — então as diagonais se cruzam em $G$. Pela *definição* de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) (critério 1 da [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#thm-g7-central-recognize): as diagonais têm o mesmo ponto médio), $G$ é o ponto médio de $[IN]$ *e* de $[JM]$: $GI = GN$ e $GJ = GM$. **7.** $M$ é o ponto médio de $[GB]$, então $BM = MG$; e $MG = GJ$ pela questão 6. Logo $BM = MG = GJ$: a mediana $[BJ]$ é cortada em três partes iguais, das quais $BG$ toma duas: $$ BG = 2 \times GJ . $$ Simetricamente, $N$ é o ponto médio de $[GC]$ e $GN = GI$, então $CN = NG = GI$ e $CG = 2 \times GI$: na mediana $[CI]$ também, o ponto de cruzamento fica a dois terços do caminho a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). **8.** O argumento não usou nada de especial do par $[BJ]$, $[CI]$: aplicado ao par $[BJ]$, $[AK]$, ele mostra que o ponto de cruzamento deles também fica sobre $[BJ]$ a dois terços do caminho a partir de $B$. Mas existe apenas *um* ponto do [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ à distância $\frac23 BJ$ de $B$ — então o ponto de cruzamento de $[BJ]$ com $[AK]$ é o próprio $G$. As três medianas, portanto, passam por $G$: elas são *concorrentes*. **9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm e $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm. **10.** Pela questão 8, a mesma conta dos dois terços vale na mediana $[AK]$ (repita o argumento das questões 4 a 7 com o par $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$. **11.** No triângulo $GBC$, o ponto $K$ é o ponto médio do lado $[BC]$, então $[GK]$ é uma mediana de $GBC$; pela questão 2, os triângulos $GBK$ e $GKC$ têm [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais. **12.** A mediana $[AK]$ corta $ABC$ em $ABK$ e $AKC$, de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais (questão 2). Retirando de cada um o triângulo pequeno da questão 11: $$ \text{área}(ABG) = \text{área}(ABK) - \text{área}(GBK), \qquad \text{área}(ACG) = \text{área}(AKC) - \text{área}(GKC), $$ e as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) retiradas são iguais, então $\text{área}(ABG) = \text{área}(ACG)$. A mesma conta ao longo da mediana $[BJ]$ — que divide $ABC$ ao meio em $ABJ$ e $CBJ$, enquanto $[GJ]$, mediana do triângulo $GAC$, o divide ao meio em $GAJ$ e $GCJ$ — dá $\text{área}(ABG) = \text{área}(CBG)$. Assim, os três triângulos $ABG$, $BCG$, $CAG$ têm [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais e, como juntos ladrilham $ABC$, cada um tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) igual a um terço do todo. **13.** No triângulo $ABG$, o ponto $I$ é o ponto médio do lado $[AB]$, então $[GI]$ é uma mediana de $ABG$ *a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $G$*: ela corta $ABG$ em dois triângulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais (questão 2), a saber, $AIG$ e $IBG$. O mesmo acontece em $BCG$ (mediana $[GK]$) e em $CAG$ (mediana $[GJ]$). Cada terço de $ABC$ é cortado ao meio: as seis fatias em torno de $G$ têm cada uma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ do triângulo. **14.** Na mediana $[AK]$, de $A(0,0)$ até $K(3,3)$: $G$ fica a dois terços do caminho, então as coordenadas dele são $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. Na mediana $[BJ]$, de $B(6, 0)$ até $J(0, 3)$: dois terços do caminho significa somar dois terços do deslocamento ($-6$ na horizontal, $+3$ na vertical): $$ \left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right) = (2, 2) . $$ O mesmo ponto — como a questão 8 prometia. E $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ e $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: as coordenadas do [centro de gravidade](#pb-g8-midpoints-1) são as *médias* das coordenadas dos três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). **15.** Pela questão 2, um fio de faca apoiado ao longo de uma mediana tem a mesma quantidade de papelão de cada lado ([áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais), então o triângulo se equilibra ao longo de cada uma das três retas medianas. Um ponto de equilíbrio tem de estar sobre as três retas de equilíbrio ao mesmo tempo, e, pela questão 8, as três medianas compartilham exatamente um ponto: $G$. É ali que vai a ponta do lápis. ([Áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) iguais dos dois lados é a versão crível do argumento; a versão honesta, que pesa *onde* o papelão está e não só quanto há dele, precisa do cálculo integral dos volumes de graduação — que confirma $G$.)