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title: "O triângulo retângulo e o cosseno"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno
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# Capítulo 60 — O triângulo retângulo e o cosseno

Dois fatos bonitos ligam o [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) ao círculo: um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) cabe exatamente num semicírculo, com a hipotenusa como [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle). E um único número, o *cosseno* de um ângulo, guarda a forma de todo [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que tenha esse ângulo — a primeira razão trigonométrica, antes das irmãs dela, o seno e a tangente ([Capítulo 69](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/69-trigonometria-no-triangulo-retangulo#ch-g9-trig)).

## 60.1 O triângulo retângulo e o círculo dele

**Teorema 60.1 (Teorema do círculo).**

1. Se um triângulo $ABC$ é retângulo em $A$ , então $A$ está sobre o círculo cujo [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) é a hipotenusa $[BC]$ .
2. Reciprocamente, se $A$ está sobre um círculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (com $A \neq B, C$ ), então o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$ .

De modo equivalente: num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), o ponto médio da hipotenusa fica à mesma distância dos três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) — a mediana que sai do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) mede a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da hipotenusa.

**Demonstração de 1.** Seja $O$ o ponto médio de $[BC]$ e $D$ o [simétrico](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-def) de $A$ em relação a $O$. As diagonais de $ABDC$ se cruzam no ponto médio comum $O$, então $ABDC$ é um [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Definição 52.7](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/52-simetria-central-e-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram)) — e tem um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) em $A$: é um retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais, então $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: o ponto $A$ fica à distância $\frac{BC}{2}$ de $O$, isto é, sobre o círculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$. (O ponto 2 se demonstra percorrendo o argumento de trás para a frente.) ∎

![Onde quer que A fique sobre o círculo, o ângulo BAC é reto — a conjectura do , agora um teorema. A mediana vermelha (OA) é um raio: metade da hipotenusa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*Onde quer que $A$ fique sobre o círculo, o ângulo $\widehat{BAC}$ é reto — a conjectura do [Exercício 41.10](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#exo-g6-shapes-10), agora um teorema. A mediana vermelha $[OA]$ é um [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes): [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da hipotenusa.*

**Exemplo 60.2.**

Um triângulo tem hipotenusa de $10$ cm. Sem saber mais nada, a mediana que sai do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) mede $5$ cm, e o [círculo circunscrito](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) ao triângulo tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, com centro no ponto médio da hipotenusa.

## 60.2 O cosseno de um ângulo agudo

**Definição 60.3 (Cosseno).**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), para um ângulo agudo $\theta$:

$$
\cos\theta
= \frac{\text{cateto adjacente a } \theta}{\text{hipotenusa}}
$$

— o cateto que toca $\theta$, dividido pela hipotenusa. Essa razão depende apenas do ângulo, não do tamanho do triângulo: todos os [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) com o mesmo ângulo agudo são ampliações uns dos outros, e as ampliações preservam as razões de comprimentos (o [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#ch-g8-midpoints) começou essa história; o [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#ch-g9-thales) a termina).

![Dois triângulos retângulos que compartilham o ângulo : o pequeno é uma redução do grande, então adjacente hipotenusa é o mesmo para os dois — e esse valor comum é .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*Dois [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que compartilham o ângulo $\theta$: o pequeno é uma redução do grande, então $\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}$ é o mesmo para os dois — e esse valor comum é $\cos\theta$.*

**Proposição 60.4 (Primeiros valores e limites).**

Para todo ângulo agudo $\theta$: $0 < \cos\theta < 1$, e o cosseno *diminui* à medida que o ângulo se abre: um ângulo maior tem cosseno menor. Marcos: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (os valores extremos correspondem a triângulos achatados).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 60.5 (Usar o cosseno).**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), quando as quantidades conhecidas e procuradas são um ângulo agudo, o cateto adjacente a ele e a hipotenusa:

1. escreva a definição: $\cos\theta = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}$ , já com os valores conhecidos no lugar;
2. resolva a equaçãozinha para a incógnita (multiplicando ou dividindo);
3. se a incógnita é um *ângulo* , aplique o $\cos^{-1}$ da calculadora à razão calculada;
4. confira o bom senso: um comprimento tem de sair menor que a hipotenusa; um ângulo, estritamente entre $0^\circ$ e $90^\circ$ .

**Exemplo 60.6 (Achar um lado).**

Uma rampa de $6$ m faz um ângulo de $20^\circ$ com o chão horizontal. Distância horizontal vencida (adjacente a $20^\circ$, hipotenusa $6$ m):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**Exemplo 60.7 (Achar um ângulo).**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ mede $3.5$ e a hipotenusa mede $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 Exercícios

**Exercício 60.1 ★.**

Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem hipotenusa de $13$ cm. Qual é o comprimento da mediana que sai do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle)? Qual é o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) do círculo que passa pelos três [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)?

**Solução de Exercício 60.1.**

Mediana que sai do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle): [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da hipotenusa, $6.5$ cm ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). O [círculo circunscrito](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) tem centro no ponto médio da hipotenusa e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6.5$ cm.

**Exercício 60.2 ★.**

Trace um círculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $8$ cm com um [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, escolha um ponto $A$ qualquer sobre o círculo e trace $ABC$. Qual ângulo é reto? Cite o teorema. Meça $AB$ e $AC$ e confira Pitágoras.

**Solução de Exercício 60.2.**

O ângulo em $A$ é reto ($[BC]$ é um [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle): ponto 2 do [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). As medidas satisfazem $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$, a menos da precisão da medição.

**Exercício 60.3 ★.**

Num triângulo $DEF$ retângulo em $D$, nomeie o cateto adjacente ao ângulo $\widehat E$, o cateto oposto a ele e a hipotenusa. Escreva $\cos \widehat E$ como uma razão.

**Solução de Exercício 60.3.**

Hipotenusa: $[EF]$ (oposta ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) $D$). Adjacente a $\widehat E$: $[ED]$. Oposto: $[DF]$. Logo $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**Exercício 60.4 ★.**

Calcule a quantidade que falta ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. hipotenusa $10$ , ângulo $35^\circ$ : cateto adjacente?
2. cateto adjacente $6$ , ângulo $50^\circ$ : hipotenusa?

**Solução de Exercício 60.4.**

*1.* adjacente $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* hipotenusa $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**Exercício 60.5 ★.**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), o cateto adjacente a $\theta$ mede $8$ e a hipotenusa mede $10$. Calcule $\cos\theta$ e depois $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**Solução de Exercício 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, então $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**Exercício 60.6 ★.**

Explique por que $\cos\theta$ nunca pode valer $1.2$ para um ângulo agudo de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Solução de Exercício 60.6.**

$\cos\theta$ é um cateto dividido pela hipotenusa, e a hipotenusa é o lado *mais longo* de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles): o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é sempre menor que $1$. Um valor de $1.2$ significaria um cateto mais longo que a hipotenusa — impossível.

**Exercício 60.7 ★★.**

Uma tirolesa de $25$ m desce de uma plataforma até o chão, fazendo um ângulo de $12^\circ$ com a horizontal ($\cos 12^\circ \approx 0.978$). Que distância horizontal ela vence?

**Solução de Exercício 60.7.**

Distância horizontal $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978
\approx 24.5$ m.

**Exercício 60.8 ★★.**

Ordene sem calculadora: $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$, $\cos 45^\circ$ (use a [Proposição 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). Depois confira com a calculadora.

**Solução de Exercício 60.8.**

O cosseno diminui quando o ângulo cresce ([Proposição 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(Calculadora: $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**Exercício 60.9 ★★.**

Uma escada de comprimento $L$ se apoia numa parede, com um ângulo $\theta$ entre a escada e o *chão*. O pé dela fica a $1.2$ m da parede e $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). Calcule $L$ e depois a altura alcançada (Pitágoras).

**Solução de Exercício 60.9.**

A distância no chão é adjacente a $\theta$: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, então $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Altura (Pitágoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

**Exercício 60.10 ★★.**

$[BC]$ é um [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) de um círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4.5$ cm, e $A$ é um ponto do círculo com $AB = 5.4$ cm.

1. Por que $ABC$ é retângulo em $A$ ?
2. Calcule $AC$ e depois $\cos \widehat B$ .

**Solução de Exercício 60.10.**

*1.* $A$ está sobre um círculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$: [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) em $A$ ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ cm (o dobro do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes)). Pitágoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. E $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**Exercício 60.11 ★★★.**

Usando a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$ (cortado ao longo de uma altura), justifique o marco $\cos 60^\circ = \frac12$ da [Proposição 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (Onde cai o pé da altura sobre a base? A versão trigonométrica completa é o [Exemplo 69.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/69-trigonometria-no-triangulo-retangulo#ex-g9-trig-special).)

**Solução de Exercício 60.11.**

No [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$, a altura que sai de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) cai no *ponto médio* do lado oposto ([eixo de simetria](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#def-g6-symmetry-axis)). A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do triângulo é retângula, com hipotenusa $1$ (um lado inteiro), um ângulo de $60^\circ$ no [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) da base e cateto adjacente $\frac12$ ([metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da base). Logo

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 Problema: as relações de Euclides, e Pitágoras mais uma vez

**Problema 60.1.**

Problema de fim de semana — a altura de um triângulo retângulo: $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, uma segunda demonstração de Pitágoras e uma máquina de construir raízes quadradas

Baixe, do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), a perpendicular à hipotenusa: esse [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) curto — a *altura* — satisfaz relações tão úteis que Euclides as colocou no coração dos *Elementos* dele. Neste problema, a propriedade que define o cosseno, “a razão depende apenas do ângulo” ([Definição 60.3](#def-g8-cosine-def)), demonstra todas elas; pelo caminho, você vai redemonstrar o teorema de Pitágoras por uma via completamente diferente e terminar com uma máquina de régua e compasso que constrói $\sqrt2$, $\sqrt5$, $\sqrt{n}$ para todo número inteiro $n$.

Em todo o problema, $ABC$ é um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) em $A$, e $H$ é o pé da perpendicular baixada de $A$ até a hipotenusa $[BC]$, de modo que $H$ fica entre $B$ e $C$ e $AH \perp BC$.

**Parte I — Um ângulo, dois triângulos.**

1. Usando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos de um triângulo ( [Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#thm-g7-triangles-sum) ) em $ABH$ e em $ABC$ , mostre que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : a altura corta o [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) em dois triângulos menores que carregam os *mesmos ângulos* do original.
2. Os triângulos $ABC$ (retângulo em $A$) e $ABH$ (retângulo em $H$) compartilham o ângulo $\widehat B$. Escreva $\cos\widehat B$ em cada um deles e deduza, da [Definição 60.3](#def-g8-cosine-def), que $$AB^2 = BH \times BC .$$ (Para passar de razões iguais a [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) iguais, multiplique os dois lados pelos dois [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def), [Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#thm-g8-equations-balance).)
3. Enuncie e demonstre a relação gêmea no [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $C$: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. Tome o triângulo $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calcule $BH$ e $CH$ pelas questões 2 e 3, e confira que $BH + HC = BC$ .
5. Em geral, expresse $BH$ e $CH$ como frações que envolvam apenas os três lados. Em que sentido o pé $H$ reparte a hipotenusa “proporcionalmente aos quadrados dos catetos”?

**Parte II — Pitágoras de novo, e a altura.**

6. Some as relações das questões 2 e 3 e use $BH + HC = BC$ para obter $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ o teorema de Pitágoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct)), redemonstrado — sem nenhum quebra-cabeça de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) à vista (compare com o [Exercício 58.11](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#exo-g8-pythagoras-11)).
7. Aplique Pitágoras no triângulo pequeno $ABH$ para escrever $AH^2 = AB^2 - BH^2$, substitua $AB^2$ por $BH \times BC$ e coloque $BH$ em evidência para demonstrar a *relação da altura de Euclides*: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. Calcule a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de $ABC$ de duas maneiras — com os catetos como base e altura, e depois com a hipotenusa como base ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#thm-g7-areas-triangle)) — e deduza a terceira relação: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. De volta ao triângulo $3$ – $4$ – $5$ : calcule $AH$ pela questão 8 e depois verifique numericamente a relação da altura da questão 7, usando os valores de $BH$ e $CH$ achados na questão 4.
10. O pé da altura reparte a hipotenusa de certo [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) em [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $BH = 2$ cm e $HC = 8$ cm. Calcule a altura $AH$ .

**Parte III — Uma máquina de raízes quadradas.** Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[BC]$ feito de dois pedaços colocados um após o outro: $BH = p$ e $HC = q$. Trace o semicírculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, e seja $A$ o ponto em que a perpendicular a $(BC)$ em $H$ o encontra.

11. Usando o [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle), explique por que o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$ — de modo que a questão 7 se aplica e $$AH^2 = p \times q .$$ (O comprimento $AH$ se chama *média geométrica* de $p$ e $q$.)
12. Tome $p = 1$ e $q = 2$ . Quanto vale $AH^2$ ? Que comprimento famoso do [Exemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) a sua figura de régua e compasso acaba de construir?
13. Descreva a receita que constrói um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de comprimento $\sqrt n$ para qualquer número inteiro $n \geq 1$ , e diga que escolha de $p$ e $q$ constrói $\sqrt 5$ .
14. Seja $O$ o centro do semicírculo. Explique por que $AH$ nunca pode ultrapassar o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ , e para que posição de $H$ os dois são iguais.
15. Deduza a desigualdade: para todos os números positivos $p$ e $q$, $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ com igualdade exatamente quando $p = q$. Depois redemonstre-a sem geometria nenhuma: desenvolva $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ e reconheça um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1)).

**Solução de Problema 60.1.**

**1.** No triângulo $ABH$, retângulo em $H$, a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos ângulos ([Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/51-triangulos-e-angulos#thm-g7-triangles-sum)) dá $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, então $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. No triângulo $ABC$, retângulo em $A$: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, então $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. Logo $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: os dois triângulos pequenos repetem os ângulos $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ do original.

**2.** Em $ABC$ (retângulo em $A$), o cateto adjacente a $\widehat B$ é $AB$ e a hipotenusa é $BC$: $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. Em $ABH$ (retângulo em $H$), o cateto adjacente a $\widehat B$ é $BH$ e a hipotenusa é $AB$: $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. A razão depende apenas do ângulo ([Definição 60.3](#def-g8-cosine-def)), então

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

multiplicando os dois lados por $BC \times AB$ ([Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#thm-g8-equations-balance)): $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** Os triângulos $ABC$ (retângulo em $A$) e $ACH$ (retângulo em $H$) compartilham o ângulo $\widehat C$. Cateto adjacente sobre hipotenusa em cada um:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ vira $9 = BH \times 5$, então $BH = 1.8$; e $16 = CH \times 5$ dá $CH = 3.2$. Conferindo: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — como tem de ser, já que $H$ fica sobre a hipotenusa, entre $B$ e $C$.

**5.** Dividindo cada relação por $BC$:

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

Então $BH$ e $CH$ são [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/44-proporcionalidade-e-dados#def-g6-propdata-def) a $AB^2$ e $AC^2$: o pé da altura reparte a hipotenusa na razão dos quadrados dos catetos ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ na questão 4).

**6.** Somando as duas relações e colocando $BC$ em evidência (distributividade):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

Este é o [Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct), obtido só com o cosseno — uma demonstração genuinamente diferente do quebra-cabeça de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) com quatro triângulos do [Exercício 58.11](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** Pitágoras em $ABH$ (retângulo em $H$, hipotenusa $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Substituindo $AB^2$ por $BH \times BC$ (questão 2) e colocando $BH$ em evidência:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** Com os catetos como base e altura, a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de $ABC$ é $\frac{AB \times AC}{2}$; com a hipotenusa $[BC]$ como base, a altura é exatamente $AH$, então a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) também é $\frac{BC \times AH}{2}$ ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#thm-g7-areas-triangle)). Igualando e dobrando: $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} =
2.4$. Verificação da questão 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ e $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. Iguais.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, então $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

**11.** O ponto $A$ está sobre o círculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (e é diferente de $B$ e de $C$), então, pelo ponto 2 do [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle), o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$. Por construção, $(AH) \perp (BC)$ com $H$ entre $B$ e $C$: o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AH]$ é precisamente a altura da questão 7, e $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: a figura constrói, só com régua e compasso, um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) cujo quadrado vale $2$ — a diagonal do quadrado de lado $1$, $\sqrt2 \approx 1.414$, do [Exemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** Receita: coloque um após o outro dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de comprimentos $p = 1$ e $q = n$; trace o semicírculo cujo [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) é o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) inteiro (de comprimento $n + 1$); levante a perpendicular no ponto de junção; ela encontra o semicírculo num ponto cuja distância até a junção é $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$. Para $\sqrt5$: tome $p = 1$ e $q = 5$ (um semicírculo de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $6$).

**14.** $A$ está sobre o círculo de centro $O$, então $OA = \frac{p+q}{2}$, o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes). Se $H \neq O$, o triângulo $AHO$ é retângulo em $H$ com hipotenusa $[OA]$, e um cateto é mais curto que a hipotenusa: $AH < OA$. Se $H = O$, então $AH = OA$ exatamente. Em todos os casos, $AH \leq \frac{p+q}{2}$, com igualdade precisamente quando $H$ é o centro — ou seja, quando $p = q$.

**15.** Elevando ao quadrado $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (os dois lados são positivos) e usando $AH^2 = pq$:

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

com igualdade exatamente para $p = q$. Redemonstração algébrica, com os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

um quadrado, portanto nunca negativo — e nulo exatamente quando $p = q$. A [média geométrica](#pb-g8-cosine-1) de dois números nunca ultrapassa a semissoma deles.