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title: "Proporcionalidade, velocidade e médias"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias
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# Capítulo 61 — Proporcionalidade, velocidade e médias

A [proporcionalidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/49-proporcionalidade#def-g7-prop-table) ([Capítulo 49](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/49-proporcionalidade#ch-g7-prop)) agora encontra o mundo físico: velocidade, vazão, conversões de unidades — grandezas que são *[quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder)* de duas outras. O capítulo se fecha com as [médias ponderadas](#def-g8-speed-average), em que o raciocínio proporcional evita um erro clássico.

## 61.1 Velocidade média

**Definição 61.1 (Velocidade média).**

A *velocidade média* de um percurso é o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{distância dividida pela duração}\right),
$$

em quilômetros por hora (km/h), metros por segundo (m/s) … A fórmula se vira do avesso: $d = v \times t$ e $t = \frac{d}{v}$.

**Exemplo 61.2.**

Um trem percorre $270$ km em $1$ h $30$ min. Primeiro converta o tempo: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Então

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.
$$

Distância a $90$ km/h durante $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tempo para $35$ km a $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

**Observação 61.3 (Minutos não são decimais).**

$1$ h $30$ min é $1.5$ h, mas $1$ h $20$ min *não* é $1.2$ h: é $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Converta sempre os minutos numa [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) de hora ($60$ min $= 1$ h) antes de dividir.

![Com velocidade constante, a distância é proporcional ao tempo: uma reta pela origem, cuja inclinação é a velocidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-f260d3710f90.svg)

*Com velocidade constante, a distância é proporcional ao tempo: uma reta pela origem, cuja inclinação *é* a velocidade.*

**Método 61.4 (Converter velocidades).**

Para converter km/h em m/s: $1$ km $= 1000$ m e $1$ h $= 3600$ s, então

$$
v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s}
= \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.
$$

Para converter m/s em km/h, multiplique por $3.6$.

**Exemplo 61.5.**

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Um velocista que corre $100$ m em $10$ s se move a $10$ m/s $= 36$ km/h.

## 61.2 Grandezas quociente

**Exemplo 61.6 (Vazão, densidade, preço por quilo).**

A velocidade tem muitas primas, todas tratadas do mesmo jeito:

- uma torneira enche $48$ L em $4$ min: vazão $\frac{48}{4} = 12$ L/min, então encher uma banheira de $150$ L leva $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
- $0.6$ kg de queijo custa $9$ euros: preço $\frac{9}{0.6} = 15$ euros por kg;
- um carro gasta $6.3$ L em $90$ km: consumo $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L por $100$ km.

Identifique o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder), e a fórmula de três pontas ($q = \frac ab$, $a = qb$, $b = \frac aq$) faz o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder).

## 61.3 Médias ponderadas

**Definição 61.7 (Média ponderada).**

Quando os valores $v_1, v_2, \dots$ vêm com quantidades (ou pesos) $n_1, n_2, \dots$, a *média ponderada* deles é

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

total dos valores, dividido pelo total dos pesos.

**Exemplo 61.8.**

Uma prova foi feita por dois grupos: grupo 1, $12$ alunos, média $11$; grupo 2, $18$ alunos, média $14$. Média da turma inteira:

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

*Não* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$: o grupo maior puxa a média para a média dele próprio — os pesos contam.

**Exemplo 61.9 (Velocidade média em dois trechos).**

Um ciclista pedala $30$ km a $30$ km/h e depois $30$ km a $15$ km/h. A [velocidade média](#def-g8-speed-def) do trajeto inteiro *não* é $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calcule pela definição:

1. tempos: $\frac{30}{30} = 1$ h e depois $\frac{30}{15} = 2$ h; total $3$ h;
2. distância total $60$ km, então $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

O trecho lento dura mais, então pesa mais — uma média de velocidades tem de ser ponderada pelo *tempo*.

## 61.4 Exercícios

**Exercício 61.1 ★.**

Calcule a [velocidade média](#def-g8-speed-def): $150$ km em $2$ h; $27$ km em $45$ min; $100$ m em $12.5$ s.

**Solução de Exercício 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

**Exercício 61.2 ★.**

Calcule a distância: $2$ h a $85$ km/h; $40$ min a $90$ km/h. Calcule o tempo: $315$ km a $90$ km/h (em h e min).

**Solução de Exercício 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

**Exercício 61.3 ★.**

Converta: $72$ km/h em m/s; $5$ m/s em km/h; $108$ km/h em m/s.

**Solução de Exercício 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

**Exercício 61.4 ★.**

Uma torneira entrega $15$ L/min. Quanto tempo leva para encher um reservatório de $600$ L? Quantos litros ela entrega em $2$ h $30$?

**Solução de Exercício 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

**Exercício 61.5 ★.**

Qual é a melhor compra: $1.2$ kg de maçãs por $3.30$ euros ou $0.8$ kg por $2.16$ euros? Compare os preços por quilograma.

**Solução de Exercício 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg contra $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg: a segunda oferta é (um pouquinho) a melhor compra.

**Exercício 61.6 ★.**

Uma turma de $25$ alunos tem média $12.4$ numa prova; outra turma, de $35$ alunos, tem média $10$. Calcule a média das duas turmas juntas.

**Solução de Exercício 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**Exercício 61.7 ★.**

O som viaja a cerca de $340$ m/s. Você vê um relâmpago e ouve o trovão $6$ segundos depois. A que distância o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) caiu (arredondando à centena de metros)?

**Solução de Exercício 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

**Exercício 61.8 ★★.**

Um caminhante anda $2$ h a $5$ km/h, descansa $30$ min e depois anda $1$ h $30$ a $4$ km/h. Calcule a distância total e a [velocidade média](#def-g8-speed-def) *incluindo o descanso* (distância total dividida pelo tempo total decorrido).

**Solução de Exercício 61.8.**

Distâncias: $2 \times 5 = 10$ km e depois $1.5 \times 4 = 6$ km: total $16$ km. Tempo decorrido: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. [Velocidade média](#def-g8-speed-def): $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

**Exercício 61.9 ★★.**

Notas com pesos: uma aluna tirou $15$ (peso $3$), $9$ (peso $2$) e $12$ (peso $1$). Calcule a [média ponderada](#def-g8-speed-average). Que média simples (sem pesos) ela teria, e por que as duas diferem?

**Solução de Exercício 61.9.**

Ponderada: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. Sem pesos: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. As duas diferem porque os pesos dão à nota $15$ o triplo da importância da nota $12$.

**Exercício 61.10 ★★.**

Um carro roda $120$ km a $80$ km/h e depois $120$ km a $120$ km/h.

1. Calcule a duração de cada trecho e depois a [velocidade média](#def-g8-speed-def) do trajeto inteiro.
2. Explique por que a resposta é menor que $100$ km/h, o ponto médio das duas velocidades.

**Solução de Exercício 61.10.**

*1.* Tempos: $\frac{120}{80} = 1.5$ h e $\frac{120}{120} = 1$ h. [Velocidade média](#def-g8-speed-def): $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

*2.* O carro passa *mais tempo* a $80$ km/h ($1.5$ h) do que a $120$ km/h ($1$ h): a velocidade baixa pesa mais na [média ponderada](#def-g8-speed-average) pelo tempo e a puxa para baixo do ponto médio $100$.

**Exercício 61.11 ★★★.**

Dois povoados distam $18$ km um do outro. Ana sai do primeiro às $10{:}00$ andando a $5$ km/h em direção ao segundo; Bruno sai do segundo na mesma hora andando a $4$ km/h em direção ao primeiro. A que horas eles se encontram, e a que distância do povoado de Ana? (Juntos, eles fecham a distância a $5 + 4$ km/h.)

**Solução de Exercício 61.11.**

A distância de $18$ km se fecha a $5 + 4 = 9$ km/h: eles se encontram depois de $\frac{18}{9} = 2$ h, às $12{:}00$. Ana já andou então $2 \times 5 = 10$ km: eles se encontram a $10$ km do povoado de Ana (e a $8$ km do de Bruno — confere: $10 + 8 = 18$).

## 61.5 Problema: a média harmônica, ou por que a viagem de volta estraga a média

**Problema 61.1.**

Problema de fim de semana — a [velocidade média](#def-g8-speed-def) em distâncias iguais é $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, e ela nunca supera o ponto médio das velocidades

O [Exemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) e o [Exercício 61.10](#exo-g8-speed-10) terminaram os dois com a mesma surpresa: vá a uma velocidade, volte a outra, e a [velocidade média](#def-g8-speed-def) cai *abaixo* do ponto médio das duas. Este problema encontra a fórmula exata por trás da surpresa — um novo tipo de média, a *média harmônica* —, demonstra que a surpresa é um teorema e a leva ao extremo lógico: uma recuperação que nenhuma velocidade do mundo consegue.

**Parte I — A fórmula da ida e volta.** Um percurso cobre uma distância $d$ à velocidade $v_1$ e depois a mesma distância $d$ de novo à velocidade $v_2$ (todos números positivos).

1. Expresse as duas durações e depois a duração total como frações que envolvam $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
2. A [velocidade média](#def-g8-speed-def) do percurso inteiro é $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) de dois andares ([Exemplo 55.8](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes#ex-g8-fractions-complex)). Simplifique-a e demonstre: $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. Confira a fórmula nas duas contas citadas acima: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h ( [Exemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ), e $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h ( [Exercício 61.10](#exo-g8-speed-10) ).
4. A distância $d$ desapareceu da fórmula. O que isso significa, concretamente, para o ciclista?
5. Agora suponha que o percurso passe, em vez disso, o mesmo *tempo* $T$ a cada velocidade. Mostre que a [velocidade média](#def-g8-speed-def) é então $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , o ponto médio simples. Na linguagem da [Definição 61.7](#def-g8-speed-average) : por que grandeza uma média de velocidades tem sempre de ser ponderada, e o que muda entre os dois cenários?

**Parte II — Harmônica contra aritmética.** Para dois números positivos $v_1$, $v_2$, ponha

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(a \emph{média harmônica} deles),}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(a \emph{média aritmética} deles).}
$$

6. Calcule $H$ e $A$ para os pares $(30, 15)$ e $(80, 120)$ . Qual das duas médias ganha em cada caso?
7. Coloque $A - H$ sobre o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $2(v_1 + v_2)$, desenvolva o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) com os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1)) e demonstre: $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. Deduza o teorema por trás de todas as surpresas: para velocidades positivas, $H \leq A$ sempre, com igualdade exatamente quando $v_1 = v_2$ . Por que um quadrado no [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) resolve a questão?
9. Demonstre a identidade elegante $H \times A = v_1 \times v_2$ : as duas médias multiplicadas devolvem o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) original.
10. Um carro percorre $60$ km a $40$ km/h e $60$ km a $60$ km/h. Preveja a [velocidade média](#def-g8-speed-def) com a fórmula e depois confirme pelo caminho longo, com os tempos e a distância total.

**Parte III — A recuperação impossível.**

11. Uma ciclista entra numa prova de $30$ km esperando fazer uma média de $30$ km/h. Que tempo total a prova pode levar, no máximo? Ela pedala os primeiros $15$ km a $15$ km/h: quanto sobra desse orçamento de tempo?
12. Mostre que a média esperada ficou literalmente impossível: calcule a [velocidade média](#def-g8-speed-def) dela se pedalar a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) a $90$ km/h, e explique por que mesmo uma velocidade arbitrariamente enorme a deixa aquém dos $30$ km/h.
13. Ela baixa a meta para $20$ km/h. Que velocidade nos $15$ km seguintes alcança isso? Confira a resposta com a fórmula da [média harmônica](#pb-g8-speed-1) .
14. Sozinha, a torneira de água fria enche uma banheira em $20$ min; sozinha, a de água quente a enche em $30$ min. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) da banheira as duas torneiras juntas enchem por minuto, e quanto tempo elas levam? Compare a resposta com $H(20, 30)$ — o que você percebe?
15. Um avião voa a mesma rota de ida e de volta: $900$ km/h a favor do vento, $700$ km/h contra ele. Calcule a [velocidade média](#def-g8-speed-def) da ida e volta e explique numa frase por que um vento, sopre como soprar, sempre *alonga* uma ida e volta.

**Solução de Problema 61.1.**

**1.** Pela [Definição 61.1](#def-g8-speed-def), $t_1 = \frac{d}{v_1}$ e $t_2 = \frac{d}{v_2}$; o percurso inteiro dura $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ para uma distância de $2d$.

**2.** Coloque $d$ em evidência no [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e simplifique:

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

[Denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum lá dentro: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, e dividir é multiplicar pelo [inverso](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes#def-g8-fractions-inverse) ([Teorema 55.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes#thm-g8-fractions-div)):

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15}
= \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, como no [Exemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs); e $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200}
= 96$ km/h, como no [Exercício 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** A média depende apenas das duas velocidades, não de $d$: uma ida e volta de $1$ km e uma de $100$ km às mesmas duas velocidades têm exatamente a mesma [velocidade média](#def-g8-speed-def). (É por isso que a fórmula pôde ser conferida em percursos de comprimentos diferentes.)

**5.** Passando um tempo $T$ a cada velocidade, as distâncias são $v_1 T$ e $v_2 T$, então

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

Uma média de velocidades é sempre ponderada pelo *tempo* ([Definição 61.7](#def-g8-speed-average)). Com tempos iguais, as duas velocidades carregam pesos iguais: ponto médio simples. Com distâncias iguais, a velocidade mais lenta ocupa *mais* tempo, logo mais peso — e a média escorrega em direção a ela.

**6.** Para $(30, 15)$: $H = 20$ e $A = 22.5$. Para $(80, 120)$: $H = 96$ e $A = 100$. A média aritmética ganha das duas vezes.

**7.** Sobre o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum $2(v_1 + v_2)$:

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

e o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) se desenvolve com os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis do [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#pb-g8-equations-1):

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** Um quadrado nunca é negativo, e $2(v_1 + v_2)$ é positivo: então $A - H \geq 0$, isto é, $H \leq A$, para todo par de velocidades positivas. A igualdade exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$, ou seja, $v_1 = v_2$: no instante em que as duas velocidades diferem, a média da ida e volta cai estritamente abaixo do ponto médio — a surpresa é um teorema.

**9.** Multiplicando:

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

depois de cancelar o fator $2$ e o fator $v_1 + v_2$.

**10.** Pela fórmula: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}
{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Pelo caminho longo: $\frac{60}{40} = 1.5$ h e $\frac{60}{60} = 1$ h, então $120$ km em $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. As duas contas concordam.

**11.** Fazer média de $30$ km/h em $30$ km significa um tempo total de, no máximo, $\frac{30}{30} = 1$ h. Os primeiros $15$ km a $15$ km/h já levam $\frac{15}{15} = 1$ h: o orçamento de tempo *inteiro* foi gasto, com [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da prova ainda pela frente.

**12.** A $90$ km/h, a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) leva $\frac{15}{90} = \frac16$ h, então a prova leva $\frac76$ h e

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ km/h} < 30 .
$$

Qualquer que seja a velocidade da segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half), a duração dela é um número positivo, então o tempo total passa de $1$ h e a média fica estritamente abaixo de $30$ km/h. (Com a fórmula: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ obrigaria $30 v_2 = 450 + 30 v_2$, isto é, $0 = 450$ — nenhuma velocidade $v_2$ serve.)

**13.** Uma média de $20$ km/h permite $\frac{30}{20} = 1.5$ h; depois da primeira hora, restam $15$ km para $0.5$ h: ela precisa de $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Conferindo: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

**14.** Por minuto, as torneiras enchem $\frac{1}{20}$ e $\frac{1}{30}$ da banheira; juntas,

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

da banheira por minuto: a banheira enche em $12$ min. E $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: as duas torneiras juntas levam exatamente *[metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da [média harmônica](#pb-g8-speed-1)* dos tempos individuais — as vazões se somam, então estamos de novo em território de [média harmônica](#pb-g8-speed-1).

**15.** A distância é a mesma nos dois sentidos, então

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},
$$

abaixo dos $800$ km/h do ar parado. Numa frase: o avião passa *mais tempo* voando contra o vento do que a favor dele, então o trecho lento recebe o peso maior na [média ponderada](#def-g8-speed-average) pelo tempo — um vento só pode alongar uma ida e volta.