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title: "Pirâmides e cones"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones
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# Capítulo 62 — Pirâmides e cones

Depois dos [prismas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) e dos [cilindros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) do [Capítulo 53](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#ch-g7-areas) — [sólidos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de seção constante — vêm os [sólidos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que terminam em ponta: as [pirâmides](#def-g8-solids-def) e os [cones](#def-g8-solids-def). A fórmula do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) deles carrega um famoso fator $\frac13$, que este capítulo torna plausível e usa; o estudo dos [sólidos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) continua com as esferas e as seções no [Capítulo 70](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/70-solidos-e-volumes#ch-g9-solids).

## 62.1 Descrever pirâmides e cones

**Definição 62.1 (Pirâmide, cone).**

- Uma *pirâmide* tem um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) como *base* e um ponto, o *[vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo* , ligado a cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) da base por [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) triangulares. A *altura* dela é a distância do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo até o plano da base.
- Um *cone* é a mesma construção sobre um disco: um disco de base, um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo e uma superfície lateral curva.

Uma pirâmide é *regular* quando a base dela é um [polígono](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular (quadrado, [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) …) e o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo fica na vertical, acima do centro da base.

![Uma pirâmide de base quadrada e um cone: uma base poligonal ou circular, um vértice do topo e a altura medida perpendicularmente à base.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-f10a19836ed4.svg)

*Uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada e um [cone](#def-g8-solids-def): uma base poligonal ou circular, um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo e a altura medida perpendicularmente à base.*

**Exemplo 62.2 (Contar faces, arestas e vértices).**

Uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada tem $5$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ($1$ quadrado $+ 4$ triângulos), $8$ arestas e $5$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). Com uma base de $n$ lados: $n + 1$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), $2n$ arestas, $n + 1$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). Confira o padrãozinho de Euler: [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $+$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $=$ arestas $+ 2$.

## 62.2 Volume

**Teorema 62.3 (Volume de uma pirâmide ou de um cone).**

Para uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) ou um [cone](#def-g8-solids-def) de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $B$ e altura $h$:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— um terço do [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) ou do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) de mesma base e mesma altura. Para um [cone](#def-g8-solids-def) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da base $r$: $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 62.4 (Por que um terço?).**

Encha de água uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) oca e despeje o conteúdo no [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) de mesma base e mesma altura: são precisos exatamente três enchimentos. Melhor ainda: um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) pode ser cortado em três [pirâmides](#def-g8-solids-def) idênticas, cada uma com uma [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) como base e um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) como [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo (tente visualizar!). Uma demonstração geral usa a integração, uma ferramenta do volume do ensino médio.

**Exemplo 62.5.**

Uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) tem base quadrada de lado $5$ cm e altura $9$ cm:

1. [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Uma casquinha de sorvete de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm e altura $10$ cm:

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**Exemplo 62.6 (Cuidado com a altura).**

Num [cone](#def-g8-solids-def), não confunda a altura $h$ (do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo até o centro da base, perpendicular) com a *geratriz* $s$ (do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo até a borda). As duas se ligam por Pitágoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct)) no [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) vértice–centro–borda:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

Um [cone](#def-g8-solids-def) com $r = 3$ e $s = 5$ tem, portanto, altura $h = \sqrt{25 - 9} = 4$, e [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**Método 62.7 (Problemas de volume).**

1. Identifique o [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ( [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) / [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [pirâmide](#def-g8-solids-def) / [cone](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ );
2. calcule primeiro a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $B$ , como um passo separado;
3. confira que a altura é perpendicular à base (use Pitágoras se a geratriz for dada);
4. multiplique, mantenha as unidades coerentes e converta no fim, se precisar ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

## 62.3 Planificações

**Exemplo 62.8 (Planificação de uma pirâmide).**

Desdobrar uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) regular de base quadrada a achata na *[planificação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-net)* dela: a base quadrada com quatro [triângulos isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) idênticos presos aos lados. Os lados iguais desses triângulos são as *arestas laterais* da [pirâmide](#def-g8-solids-def) — o comprimento deles não é nem $h$ nem a altura de uma [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), então marque tudo com cuidado antes de cortar o papelão.

![A planificação de uma pirâmide de base quadrada: dobre os quatro triângulos para cima até as pontas se encontrarem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-da4b2a2f34de.svg)

*A [planificação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-net) de uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada: dobre os quatro triângulos para cima até as pontas se encontrarem.*

## 62.4 Exercícios

**Exercício 62.1 ★.**

Quantas [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), arestas e [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) tem uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base triangular (um *tetraedro*)? E uma de base hexagonal?

**Solução de Exercício 62.1.**

Tetraedro: $4$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), $6$ arestas, $4$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). Base hexagonal: $7$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), $12$ arestas, $7$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**Exercício 62.2 ★.**

Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $36$ cm$^2$ e altura $10$ cm; e o de uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base retangular $6 \times 4$ cm e altura $7.5$ cm.

**Solução de Exercício 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

Base retangular: $B = 24$ cm$^2$, então $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$.

**Exercício 62.3 ★.**

Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de um [cone](#def-g8-solids-def) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm e altura $9$ cm (exato, com $\pi$, e depois arredondado ao cm$^3$).

**Solução de Exercício 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**Exercício 62.4 ★.**

Um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) e um [cone](#def-g8-solids-def) têm o mesmo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e a mesma altura $12$ cm. Calcule os dois [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume). Qual é a razão entre eles?

**Solução de Exercício 62.4.**

[Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$. [Cone](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$. Razão: o [cone](#def-g8-solids-def) é um terço do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism).

**Exercício 62.5 ★.**

Uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) tem [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $56$ cm$^3$ e altura $8$ cm. Qual é a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base dela? (Escreva a fórmula do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) e resolva.)

**Solução de Exercício 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, então $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$.

**Exercício 62.6 ★.**

Esboce a [planificação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-net) de um [cone](#def-g8-solids-def) (um disco para a base e um setor de um disco maior para a superfície lateral). Qual medida do [cone](#def-g8-solids-def) é o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) desse setor: a altura $h$ ou a geratriz $s$?

**Solução de Exercício 62.6.**

A superfície lateral se desenrola num setor de disco cujo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) é a *geratriz* $s$ (a distância do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo até a borda — esse [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) fica sobre a superfície), e não a altura $h$.

**Exercício 62.7 ★★.**

A [pirâmide](#def-g8-solids-def) do Louvre tem base quadrada de lado aproximadamente $35$ m e altura de cerca de $22$ m. Estime o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela, arredondando à centena de metros cúbicos.

**Solução de Exercício 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — cerca de $9\,000$ metros cúbicos.

**Exercício 62.8 ★★.**

Um [cone](#def-g8-solids-def) tem geratriz $13$ cm e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da base $5$ cm. Calcule a altura dele e depois o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) (exato, com $\pi$).

**Solução de Exercício 62.8.**

Altura: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$.

**Exercício 62.9 ★★.**

Uma taça cônica de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e altura $9$ cm é enchida até a borda e depois despejada num copo cilíndrico de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. Que altura o líquido alcança no [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism)?

**Solução de Exercício 62.9.**

O [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) é o mesmo, então o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cone](#def-g8-solids-def) é um terço do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) *para a mesma altura*: o líquido alcança $\frac{9}{3} = 3$ cm no [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism).

**Exercício 62.10 ★★.**

Uma ampulheta é feita de dois [cones](#def-g8-solids-def) idênticos ([raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, altura $4.5$ cm) unidos pelas pontas. Toda a areia enche exatamente um [cone](#def-g8-solids-def). Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de areia (exato e depois em cm$^3$ arredondado ao décimo) e a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) interno total da ampulheta que a areia ocupa.

**Solução de Exercício 62.10.**

Areia $=$ um [cone](#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ cm$^3$. A ampulheta comporta dois [cones](#def-g8-solids-def) desses, então a areia enche exatamente [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) interno total.

**Exercício 62.11 ★★★.**

Uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada de lado $6$ cm tem o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo diretamente acima de um canto da base, à altura $8$ cm.

1. A fórmula $V = \frac13 Bh$ continua valendo? (Continua — o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo não precisa ficar centrado. Calcule $V$ .)
2. Calcule o comprimento da aresta lateral mais longa, do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo até o canto oposto da base (dois passos de Pitágoras: primeiro a diagonal da base).

**Solução de Exercício 62.11.**

*1.* Sim: a fórmula $V = \frac13 Bh$ vale para qualquer posição do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo, desde que $h$ seja a distância perpendicular até o plano da base. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$.

*2.* Diagonal da base: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. A aresta lateral mais longa é a hipotenusa de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $6\sqrt2$ (no plano da base) e $8$ (vertical):

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 Problema: um cubo cortado em três pirâmides

**Problema 62.1.**

Problema de fim de semana — de onde vem o fator $\frac13$, e o que acontece com uma pirâmide cortada na metade da altura

A observação depois do [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) afirma que um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) pode ser cortado em três [pirâmides](#def-g8-solids-def) idênticas — “tente visualizar!”. Este problema visualiza isso com precisão, tira daí o famoso fator $\frac13$ de modo honesto, depois corta o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um segundo jeito, em *seis* [pirâmides](#def-g8-solids-def), e termina fatiando uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) na [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura dela — com um resultado que poucas pessoas acertam na primeira tentativa.

Em todo o problema, $ABCDEFGH$ é um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de lado $a$: base $ABCD$, [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de cima $EFGH$, com $E$ acima de $A$, $F$ acima de $B$, $G$ acima de $C$ e $H$ acima de $D$.

**Parte I — Três [pirâmides](#def-g8-solids-def) com o mesmo [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def).**

1. O [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $G$ pertence a três [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) . Liste as três [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que *não* contêm $G$ e descreva as três [pirâmides](#def-g8-solids-def) obtidas tomando cada uma delas como base, sempre com o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $G$ no topo. Quantas [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) , arestas e [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) tem cada [pirâmide](#def-g8-solids-def) ( [Exemplo 62.2](#ex-g8-solids-count) )?
2. Explique por que girar o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de um terço de volta em torno da diagonal longa $(AG)$ deixa o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) inalterado, mas embaralha em ciclo as três bases da questão 1 — e por que as três [pirâmides](#def-g8-solids-def) são, portanto, cópias idênticas umas das outras.
3. Admitindo que as três [pirâmides](#def-g8-solids-def) preenchem o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) sem se sobrepor (um modelo de papelão é bem convincente), deduza o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de cada uma.
4. Confira isso com a fórmula do [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) : a [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base $ABCD$ e [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $G$ tem o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo diretamente acima de um *canto* da base dela, exatamente como no [Exercício 62.11](#exo-g8-solids-11) . Identifique a altura dela, aplique a fórmula e compare.
5. Para um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de lado $6$ cm, dê o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de cada uma das três [pirâmides](#def-g8-solids-def) — e explique o que essa decomposição tem a ver com a experiência de despejar água do capítulo (três enchimentos da [pirâmide](#def-g8-solids-def) para um [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) ).

**Parte II — Seis [pirâmides](#def-g8-solids-def) com o mesmo centro.** Agora seja $O$ o centro do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), e ligue $O$ aos quatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de cada uma das seis [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def).

6. Descreva as seis [pirâmides](#def-g8-solids-def) obtidas e explique por que elas são cópias idênticas umas das outras. Qual é a altura de cada uma?
7. Deduza, repartindo o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) , o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de cada uma das seis [pirâmides](#def-g8-solids-def) .
8. Recalcule esse [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) com a fórmula $V = \frac13 B h$ e verifique que as duas respostas concordam.
9. As duas decomposições confirmam o fator $\frac13$ para umas [pirâmides](#def-g8-solids-def) bem especiais. Explique por que elas ainda não *demonstram* o [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) para toda [pirâmide](#def-g8-solids-def) e todo [cone](#def-g8-solids-def) — e diga como o capítulo lida com essa lacuna: que enunciado é admitido, que experiência o apoia e em que volume da série ele é demonstrado com honestidade.
10. Um [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de lado $6$ cm é cortado nas seis [pirâmides](#def-g8-solids-def) do centro. Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de cada uma, pelos dois caminhos.

**Parte III — Cortar uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) na [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura.** $SABCD$ é uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) regular de base quadrada: lado da base $c$, altura $h$, [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $S$ acima do centro da base. Corte-a pelo plano que passa pelos *pontos médios* das quatro arestas laterais $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.

11. Aplique o teorema dos pontos médios ( [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#thm-g8-midpoints-direct) ) no triângulo $SAB$ : qual é a direção e qual é o comprimento do [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) que liga os pontos médios de $[SA]$ e $[SB]$ ? Deduza que o corte é um quadrado de lado $\frac{c}{2}$ , paralelo à base, à altura $\frac{h}{2}$ .
12. A peça acima do corte é ela mesma uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada. Dê o lado da base e a altura dela, e mostre que o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela é exatamente *um oitavo* do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) original $V$ .
13. Deduza o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) da peça de baixo (o *tronco* , a forma de uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) inacabada). Em que razão o corte na [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura reparte o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) ?
14. A [pirâmide](#def-g8-solids-def) do Louvre ( [Exercício 62.7](#exo-g8-solids-7) : lado da base $35$ m, altura $22$ m) é limpa em duas campanhas: primeiro o vidro acima da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura e depois o vidro abaixo dela. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#def-g6-fractions-def) do *[volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume)* fica abaixo da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura? Estime-a em metros cúbicos, arredondando à centena.
15. A moral geral: se *todas* as dimensões de uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) forem multiplicadas por $2$ , o que acontece com o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela? Por que fator o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) cresce quando cada dimensão é multiplicada por $k$ — e como isso explica, em uma linha, o “um oitavo” da questão 12?

**Solução de Problema 62.1.**

**1.** $G$ pertence à [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de cima $EFGH$ e às duas [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) laterais $BCGF$ e $DCGH$. As três [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que *não* contêm $G$ são o fundo $ABCD$, a frente $ABFE$ e a [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) da esquerda $ADHE$ (todas compartilham o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $A$, o canto oposto a $G$). As três [pirâmides](#def-g8-solids-def) são $ABCDG$, $ABFEG$ e $ADHEG$: cada uma tem uma [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) quadrada do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) como base e o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) distante $G$ no topo. Cada uma é uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) de base quadrada: $5$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), $8$ arestas, $5$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) ([Exemplo 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** A diagonal longa $[AG]$ liga os dois únicos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que não pertencem a nenhuma das três bases. Uma rotação de um terço de volta em torno da reta $(AG)$ leva o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) nele mesmo (as três arestas que saem de $A$ — em direção a $B$, $D$, $E$ — são embaralhadas em ciclo, e o mesmo acontece com as três arestas que chegam a $G$). Ela leva a base $ABCD$ em $ADHE$, depois $ADHE$ em $ABFE$, e de volta: [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo fixo em $G$, bases em ciclo. Cada [pirâmide](#def-g8-solids-def) é assim levada na seguinte: as três são cópias idênticas.

**3.** Três peças idênticas que preenchem o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) repartem o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dele igualmente:

$$
V_{\text{pirâmide}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** A [pirâmide](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ tem base $ABCD$, de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $a^2$, e o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $G$ dela fica na vertical acima do canto $C$, à altura $CG = a$ (uma aresta vertical do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)). Como no [Exercício 62.11](#exo-g8-solids-11), a fórmula se aplica com a altura perpendicular $h = a$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

em acordo perfeito com a questão 3 — a decomposição e a fórmula se confirmam uma à outra.

**5.** Para $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ cada. A experiência de despejar água é essa decomposição em forma líquida: o [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) sobre a base $ABCD$ com altura $a$ é o próprio [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), e ele comporta exatamente três enchimentos da [pirâmide](#def-g8-solids-def) — e aqui os três enchimentos até se montam geometricamente no [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def).

**6.** Ligar o centro $O$ aos quatro cantos de cada [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) produz seis [pirâmides](#def-g8-solids-def), uma por [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): base quadrada, [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) $O$ no topo. O centro está igualmente posicionado em relação às seis [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) (qualquer rotação ou simetria do [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) fixa $O$ e permuta as [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)), então as seis [pirâmides](#def-g8-solids-def) são idênticas. A altura de cada uma é a distância de $O$ até uma [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do lado, $\frac{a}{2}$.

**7.** Seis peças idênticas repartem o [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def): $V = \frac{a^3}{6}$ cada.

**8.** Pela fórmula: [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $a^2$, altura $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

As duas respostas concordam.

**9.** As duas decomposições tratam de [pirâmides](#def-g8-solids-def) de proporções bem especiais, talhadas num [cubo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def); uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) esguia, uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) torta ou um [cone](#def-g8-solids-def) não podem ser montados assim (três [cones](#def-g8-solids-def) não enchem um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism)). É por isso que o [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) é *admitido* neste nível: as decomposições e a experiência de despejar água tornam o $\frac13$ inteiramente crível, e a demonstração geral honesta — a integração — é dada no volume do ensino médio.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; e, pela fórmula, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Concordam.

**11.** No triângulo $SAB$, os pontos médios dos lados $[SA]$ e $[SB]$ são ligados por um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo a $(AB)$ e de comprimento $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ ([Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#thm-g8-midpoints-direct)). O mesmo vale em cada [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) lateral, então os quatro pontos médios formam um quadrado de lado $\frac c2$, com os lados paralelos aos da base. Sobre a reta vertical que passa pelo [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo, o corte passa pelo ponto médio da altura (teorema dos pontos médios de novo, num triângulo que passa por $S$, pelo centro da base e por um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) da base): o plano de corte fica à altura $\frac h2$.

**12.** A peça de cima é uma [pirâmide](#def-g8-solids-def) regular de base quadrada de lado $\frac c2$ e altura $\frac h2$ (a base dela é o corte, e o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo é $S$). O [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela é

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

um oitavo do original — e não a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half).

**13.** O tronco fica com o resto: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. O corte na [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura reparte o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) na razão $1 : 7$ — a laje de baixo, de aparência modesta, guarda sete vezes o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) da ponta de cima.

**14.** Abaixo da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura fica $\frac78$ do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume). Com $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ m$^3$ ([Exercício 62.7](#exo-g8-solids-7)):

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

arredondando à centena — a campanha da “[metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de baixo” limpa quase oito vezes o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de vidro da outra.

**15.** Dobrar todas as dimensões multiplica a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base por $2^2 = 4$ e a altura por $2$, logo o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) por $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Ampliar por $k$ multiplica as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) por $k^2$ e mais um comprimento por $k$: os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) crescem pelo fator $k^3$. A peça de cima da questão 12 é uma cópia reduzida da [pirâmide](#def-g8-solids-def) inteira com $k = \frac12$, então o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do total — a explicação em uma linha.