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title: "Frações e potências"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias
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# Capítulo 63 — Frações e potências

Frações e [potências](#def-g9-fractions-power) são as ferramentas do dia a dia do cálculo: repartir quantidades, comparar proporções, escrever números muito grandes ou muito pequenos. Este capítulo consolida as regras de cálculo com elas — com cada passo intermediário escrito — e apresenta a [notação científica](#def-g9-fractions-scientific).

## 63.1 Calcular com frações

**Definição 63.1 (Fração).**

Uma *fração* $\dfrac ab$ (com $b \neq 0$) é o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de $a$ por $b$. Duas frações são iguais quando uma é obtida da outra multiplicando (ou dividindo) [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) pelo mesmo número não nulo:

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**Exemplo 63.2.**

Simplifique $\dfrac{42}{56}$ passo a passo:

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(No [Capítulo 64](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#ch-g9-arith), o máximo [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) comum fará isso num passo só.)

**Método 63.3 (Somar e subtrair frações).**

1. Coloque as duas frações sobre um *[denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum* (um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) comum dos dois [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) );
2. some ou subtraia os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) , mantendo o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) ;
3. simplifique o resultado, se der.

**Exemplo 63.4.**

Calcule $\dfrac56 + \dfrac34$. Um [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum de $6$ e $4$ é $12$:

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

Calcule $2 - \dfrac37$. Escreva $2$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) de [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $7$:

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![Por que um denominador comum: cortar os dois inteiros em 12 quadrinhos iguais torna as frações comparáveis e somáveis — juntas, 10 + 9 = 19 doze avos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-963ee1fec6ca.svg)

*Por que um [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum: cortar os dois inteiros em $12$ quadrinhos iguais torna as frações comparáveis e somáveis — juntas, $10 + 9 = 19$ doze avos.*

**Método 63.5 (Multiplicar e dividir frações).**

1. Para multiplicar, multiplique os [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) entre si e os [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) entre si: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (simplifique *antes* de multiplicar sempre que puder);
2. para dividir, multiplique pelo [inverso](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes#def-g8-fractions-inverse) do [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**Exemplo 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

onde simplificamos pelo fator comum $7$ e depois por $5$. E uma divisão:

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 Potências

**Definição 63.7 (Potência).**

Para um número real $a$ e um número inteiro positivo $n$, a *potência* $a^n$ é o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de $n$ fatores iguais a $a$:

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fatores}} .
$$

Por convenção, $a^0 = 1$ (para $a \neq 0$), e os [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) negativos indicam [inversos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/55-fracoes-as-quatro-operacoes#def-g8-fractions-inverse):

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**Exemplo 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$; $(-3)^2 = 9$, mas $-3^2 = -(3^2) = -9$ (o [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) age antes do sinal de menos); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$; $5^1 = 5$ e $5^0 = 1$.

**Teorema 63.9 (Regras dos expoentes).**

Para todos os $a$, $b$ não nulos e todos os inteiros $m$, $n$:

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**Demonstração.** Para [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) positivos, conte os fatores. Na primeira regra: $a^m \times a^n$ são $m$ fatores $a$ seguidos de $n$ fatores $a$, no total $m + n$ fatores. Na terceira: $\left(a^m\right)^n$ repete $n$ vezes um bloco de $m$ fatores, dando $mn$ fatores. As outras duas regras são parecidas; a extensão aos [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) e negativos se confere a partir de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (e faz da convenção $a^0 = 1$ a única escolha coerente, já que $a^n \times a^0$ tem de ser $a^{n+0} = a^n$). ∎

**Exemplo 63.10.**

Simplifique passo a passo:

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

E com duas letras: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 Potências de dez e notação científica

**Proposição 63.11 (Potências de dez).**

Para um número inteiro positivo $n$: $10^n$ se escreve “$1$ seguido de $n$ [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero)”, e $10^{-n} = 0.0\dots01$, com o $1$ na $n$-ésima casa decimal. Multiplicar um [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places) por $10^n$ (resp. $10^{-n}$) desloca o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) dele $n$ casas para a direita (resp. para a esquerda).

**Definição 63.12 (Notação científica).**

A *notação científica* de um [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-places) positivo é o único jeito de escrevê-lo como

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{com } 1 \leq a < 10 \text{ e } n \text{ inteiro.}
$$

**Exemplo 63.13.**

A distância da Terra ao Sol é de cerca de $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. O tamanho de uma molécula de água é de cerca de $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Para calcular com números assim, agrupe as partes decimais e as [potências](#def-g9-fractions-power) de dez:

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**Método 63.14 (Colocar um número em notação científica).**

1. Mova o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) para logo depois do primeiro algarismo não nulo; isso dá o fator $a$ , com $1 \leq a < 10$ ;
2. conte quantas casas o ponto andou: essa contagem é $n$ , positivo se o número original era $\geq 10$ , negativo se era $< 1$ ;
3. confira: $a \times 10^n$ tem de reproduzir o número original.

## 63.4 Exercícios

**Exercício 63.1 ★.**

Calcule e dê o resultado como [fração](#def-g9-fractions-fraction) totalmente simplificada:

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**Solução de Exercício 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**Exercício 63.2 ★.**

Calcule e simplifique:

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**Solução de Exercício 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (simplificando por $9$ e por $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (os $3$ e os $4$ se cancelam).

**Exercício 63.3 ★.**

Calcule:

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**Solução de Exercício 63.3.**

$2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$.

**Exercício 63.4 ★.**

Escreva como uma única [potência](#def-g9-fractions-power):

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**Solução de Exercício 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**Exercício 63.5 ★.**

Escreva em [notação científica](#def-g9-fractions-scientific): $45\,000$; $0.0072$; $302.5$; $0.000\,000\,9$; doze milhões.

**Solução de Exercício 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$; $302.5 = 3.025 \times 10^2$; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$; doze milhões $= 1.2 \times 10^7$.

**Exercício 63.6 ★★.**

Calcule, dando o resultado em [notação científica](#def-g9-fractions-scientific):

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**Solução de Exercício 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**Exercício 63.7 ★★.**

Um reservatório está com $\frac35$ da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units). Depois de receber $30$ litros, ele fica com $\frac34$. Qual é a [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) do reservatório? (Expresse primeiro a [fração](#def-g9-fractions-fraction) acrescentada.)

**Solução de Exercício 63.7.**

A água acrescentada representa $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} =
\dfrac{3}{20}$ do reservatório. Então $\frac{3}{20}$ da [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) são $30$ litros: $\frac{1}{20}$ são $10$ litros, e a [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) é de $200$ litros.

**Exercício 63.8 ★★.**

Alice come $\frac14$ de um bolo, depois Bento come $\frac13$ do que sobrou, e depois Carla come $\frac12$ do que ainda sobrou. Que [fração](#def-g9-fractions-fraction) do bolo resta no fim? (Calcule o que sobra depois de cada etapa.)

**Solução de Exercício 63.8.**

Depois de Alice, resta $1 - \frac14 = \frac34$ do bolo. Bento come $\frac13 \times \frac34 = \frac14$, deixando $\frac34 - \frac14 = \frac12$. Carla come [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) disso, $\frac14$, deixando $\frac14$ do bolo.

**Exercício 63.9 ★★.**

A luz percorre $3 \times 10^8$ metros por segundo. O Sol fica a cerca de $1.5 \times 10^{11}$ m de distância. Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar até nós? Dê a resposta em segundos (sem precisar de [notação científica](#def-g9-fractions-scientific)) e depois em minutos e segundos.

**Solução de Exercício 63.9.**

Tempo $= \dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ segundos, ou seja, $8$ minutos e $20$ segundos.

**Exercício 63.10 ★★★.**

Qual é maior, $2^{30}$ ou $3^{20}$? (Dica: escreva os dois como [potências](#def-g9-fractions-power) de [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) $10$ usando $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, e compare $2^3$ com $3^2$.)

**Solução de Exercício 63.10.**

Escreva os dois números como [potências](#def-g9-fractions-power) de [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) $10$:

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

Como $8 < 9$, multiplicando dez cópias de cada um: $8^{10} < 9^{10}$, então $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 Problema: o código secreto das dízimas periódicas

**Problema 63.1.**

Problema de fim de semana — toda fração tem uma escrita decimal que para ou se repete, toda dízima periódica é uma fração, e $0.999\ldots$ é exatamente $1$

Divida $3$ por $11$ e os algarismos entram numa cantoria: $0.272727\ldots$ para sempre. Divida $1$ por $4$ e os algarismos param secos: $0.25$. Este problema demonstra que esses são os dois únicos comportamentos possíveis de uma [fração](#def-g9-fractions-fraction) — e depois inverte a máquina: dada uma dízima periódica qualquer, ele reconstrói a [fração](#def-g9-fractions-fraction) escondida atrás dela. Pelo caminho, resolve de uma vez por todas a igualdade mais discutida da matemática escolar.

**Parte I — Da [fração](#def-g9-fractions-fraction) ao decimal.**

1. Calcule, pela divisão longa, as escritas decimais de $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ e $\frac{3}{11}$ . Quais param, quais se repetem, e com que bloco de repetição?
2. Explique por que a escrita decimal de *qualquer* [fração](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ tem de parar ou acabar se repetindo. (Na divisão longa por $b$ , que valores os [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) sucessivos podem tomar? O que acontece no instante em que um [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) aparece pela segunda vez?)
3. Leve a divisão de $1$ por $7$ longe o bastante para achar o bloco que se repete. Que comprimento ele tem, e como esse comprimento se compara com o limite prometido pela questão 2?
4. Algumas frações param porque o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) delas pode ser inflado até uma [potência](#def-g9-fractions-power) de dez: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Explique o critério e por que nenhum multiplicador inteiro consegue transformar $3$ , $6$ ou $11$ em $10$ , $100$ , $1000$ … (em que algarismo o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) terminaria?).
5. Sem dividir, separe $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ e $\frac{33}{50}$ entre “para” e “se repete” e depois dê a escrita decimal das duas que param.

**Parte II — Da dízima periódica de volta à [fração](#def-g9-fractions-fraction).**

6. O truque do deslocamento. Seja $x = 0.7777\ldots$ Calcule $10x$ , depois $10x - x$ , e deduza $x$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) . Confira dividindo.
7. Seja $x = 0.727272\ldots$ Que [potência](#def-g9-fractions-power) de dez desloca $x$ em exatamente um bloco de repetição? Use-a para escrever $x$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) irredutível.
8. Um caso misto: $x = 0.58333\ldots$ (só o $3$ se repete). Calcule $1000x - 100x$ e deduza $x$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) irredutível.
9. O famoso: aplique o truque do deslocamento a $x = 0.9999\ldots$ Que [fração](#def-g9-fractions-fraction) — que *número* — você encontra? Concilie o resultado com a sua intuição, lembrando o vizinho fantasma do [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#pb-g6-decimals-1) e o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) que encolhe do [Problema 39.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#pb-g6-fractions-1) : $0.999\ldots$ fica “logo abaixo” de $1$ ou é outro nome para $1$ ?
10. Converta $2.454545\ldots$ e $0.123123123\ldots$ em frações irredutíveis.

**Parte III — O dicionário completo.**

11. As questões 6 a 10 sugerem um dicionário: um bloco de $k$ algarismos que se repete a partir do [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) é igual a esse bloco sobre $k$ noves ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Use o dicionário para prever $0.037037\ldots$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) , simplifique — e admire-se: que [fração](#def-g9-fractions-fraction) surpreendentemente simples canta “ $037$ ”? Confira dividindo.
12. Combine o dicionário com um deslocamento: escreva $0.0272727\ldots$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) irredutível.
13. O número $0.101001000100001\ldots$ (um $1$ , depois um $0$ , depois um $1$ , depois dois $0$ , depois um $1$ , depois três $0$ , e assim por diante) nunca para. Ele é uma dízima periódica? O que a Parte I diz então sobre ele — pode ser uma [fração](#def-g9-fractions-fraction) ? (Você acaba de conhecer o seu primeiro número comprovadamente *irracional* ; o mais famoso deles é capturado no [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas#ch-g9-sqrt) .)
14. Aproximadamente quantos algarismos tem $2^{30}$ ? Use $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ e as regras dos [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) ( [Teorema 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) para escrever $2^{30}$ em [notação científica](#def-g9-fractions-scientific) (aproximada) e conclua. (Compare com o [Exercício 63.10](#exo-g9-fractions-10) .)
15. Final: escreva $0.20262026\ldots$ como [fração](#def-g9-fractions-fraction) e enuncie a moral de mão dupla do problema inteiro: que escritas decimais são frações, e que frações têm que escritas decimais?

**Solução de Problema 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (para); $\frac13 = 0.333\ldots$ (bloco $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (bloco $3$ depois do $8$); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (bloco $27$).

**2.** A cada passo da divisão por $b$, o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) é um dos $b$ valores $0, 1, \dots, b - 1$ ([Teorema 37.7](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#thm-g6-wholes-division)). Se aparecer um [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$, a divisão para. Caso contrário, depois de no máximo $b$ passos algum [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) tem de aparecer uma segunda vez — há mais passos do que [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) possíveis — e, a partir desse instante, a divisão repete exatamente a sequência de algarismos que produziu depois da primeira aparição: a escrita decimal entra em ciclo para sempre. Parar ou repetir: não existe um terceiro comportamento.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: o bloco $142857$ tem comprimento $6$. A questão 2 prometia uma repetição em no máximo $7$ passos — aqui, os [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ aparecem todos antes de o $1$ voltar: a cantoria mais longa possível para uma divisão por $7$.

**4.** $\frac ab$ para exatamente quando alguma $\frac{a \times k}{b \times k}$ tem [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $10$, $100$, $1000$ … — isto é, quando o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) pode ser multiplicado até virar uma [potência](#def-g9-fractions-power) de dez, como $4 \times 25 = 100$ ou $8 \times 125 = 1\,000$. Para $3$ e $6$ isso é impossível: uma [potência](#def-g9-fractions-power) de dez tem [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos igual a $1$, e todo [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$ tem [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos múltipla de $3$ — então nenhum [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$ (logo, nenhum de $6$) é jamais $10$, $100$, $1\,000$ … Para $11$: dividir $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ por $11$ deixa sempre um [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) ($10$, $1$, $10$, $1$ …), nunca $0$. Os [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) que alcançam uma [potência](#def-g9-fractions-power) de dez param; todos os outros se repetem.

**5.** $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, para: $\frac{225}{1000} = 0.225$. $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, para: $\frac{66}{100} = 0.66$. $\frac{5}{12}$: $12$ é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$, repete ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$, então $10x - x = 7$ (as caudas se cancelam perfeitamente), $9x = 7$ e $x = \frac79$. Conferindo pela divisão: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** O bloco tem dois algarismos, então desloque por $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, logo $99x = 72$ e $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ e $100x = 58.333\ldots$; subtraindo, $900x = 525$, então $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (dividindo por $75$). De fato, $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, então $9x = 9$ e $x = 1$. Não fica “logo abaixo” de $1$: $0.999\ldots$ *é* o número $1$, escrito com uma segunda fantasia. Todo número estritamente abaixo de $1$ deixa uma folga, e o [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#pb-g6-decimals-1) mostrou que uma folga sempre contém outros números — ao passo que nada cabe entre $0.999\ldots$ e $1$. Os noves sem fim são o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de chocolate do [Problema 39.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/39-fracoes-primeiros-passos#pb-g6-fractions-1) encolhido abaixo de qualquer quantidade positiva: não sobra nada.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11}
= \frac{27}{11}$. E $0.123123\ldots = \frac{123}{999} =
\frac{41}{333}$ (dividindo por $3$).

**11.** Pelo dicionário: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. Como $999 = 27 \times 37$, isso se simplifica em $\frac{1}{27}$: a [fração](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ canta “$037$”. Conferindo pela divisão: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots
= \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (dividindo por $9$).

**13.** Os blocos de [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) crescem sem parar, então nenhum bloco fixo pode se repetir para sempre: *não* é uma dízima periódica (e também nunca para). Pela Parte I, toda [fração](#def-g9-fractions-fraction) para ou se repete — então esse número não é [fração](#def-g9-fractions-fraction) nenhuma: é irracional, fabricado sob encomenda. A estrela da irracionalidade, $\sqrt2$, é desmascarada no [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas#ch-g9-sqrt).

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times
10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: um número pouco acima de $10^9$, logo com $10$ algarismos. (Exatamente: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, já irredutível ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ não compartilha fator nenhum com $2026 = 2 \times 1013$). O dicionário completo: *as frações são exatamente os decimais que param ou se repetem* — os [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) amigos das [potências](#def-g9-fractions-power) de dez param, todos os outros cantam um bloco; e, reciprocamente, toda cantoria, até o ano da sua formatura, é uma [fração](#def-g9-fractions-fraction) disfarçada.