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title: "Aritmética: divisores e números primos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 64
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos
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# Capítulo 64 — Aritmética: divisores e números primos

A aritmética estuda os números inteiros e o modo como eles se dividem uns aos outros. As personagens centrais dela são os [números primos](#def-g9-arith-prime), os tijolos com que todo inteiro é montado por multiplicação. O capítulo termina com o [máximo divisor comum](#def-g9-arith-gcd), a ferramenta certa para simplificar frações de uma vez por todas. Essa história continua, muito mais longe, no volume do ensino médio e além.

## 64.1 Divisores e múltiplos

**Definição 64.1 (Divisor, múltiplo).**

Sejam $a$ e $b$ números inteiros positivos. Dizemos que $b$ *divide* $a$ (ou que $b$ é um divisor de $a$, ou que $a$ é um *múltiplo* de $b$) quando $a = b \times k$ para algum inteiro $k$ — isto é, quando a divisão de $a$ por $b$ deixa [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$.

**Exemplo 64.2.**

Os [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $24$ são $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — eles vêm em pares cujo [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é $24$: $(1,24)$, $(2,12)$, $(3,8)$, $(4,6)$. Os [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $7$ são $7, 14, 21, 28, \dots$

**Proposição 64.3 (Critérios de divisibilidade).**

Um número inteiro é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible):

- por $2$ quando o último algarismo dele é par ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
- por $5$ quando o último algarismo é $0$ ou $5$ ;
- por $10$ quando o último algarismo é $0$ ;
- por $3$ (resp. $9$ ) quando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $3$ (resp. $9$ );
- por $4$ quando os dois últimos algarismos formam um número [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $4$ .

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 64.4.**

$7\,215$ termina em $5$: [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $5$. A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos dele é $7 + 2 + 1 + 5 = 15$, [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $3$, mas não por $9$: então $7\,215$ é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $3$ e não por $9$. De fato, $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$.

## 64.2 Números primos

**Definição 64.5 (Número primo).**

Um *número primo* é um inteiro $\geq 2$ cujos únicos [divisores](#def-g9-arith-divisor) são $1$ e ele mesmo. Os primos abaixo de $30$ são

$$
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .
$$

O número $1$ *não* é primo (por convenção), e um inteiro $\geq 2$ que não é primo se diz *composto*.

**Teorema 64.6 (Decomposição em fatores primos).**

Todo número inteiro $\geq 2$ é um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de [números primos](#def-g9-arith-prime), e essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 64.7 (Decompor um inteiro).**

Divida pelo menor primo possível, repetidamente, até chegar a $1$:

1. tente $2$ enquanto o número for par;
2. depois tente $3$ , depois $5$ , depois $7$ … (só primos);
3. pare quando o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) for $1$ ; reúna os fatores com os [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) .

Basta testar os primos $p$ com $p^2$ não maior que o número atual: se nenhum o [divide](#def-g9-arith-divisor), o próprio número é primo.

**Exemplo 64.8.**

Decomponha $360$, uma divisão de cada vez:

$$
360 = 2 \times 180, \quad
180 = 2 \times 90, \quad
90 = 2 \times 45, \quad
45 = 3 \times 15, \quad
15 = 3 \times 5,
$$

então

$$
360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2
\times 5 .
$$

![A árvore de fatores de 360: cada passo separa o menor fator primo (em vermelho). Lendo as folhas vermelhas e o 5 final: 360 = 23 × 32 × 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-arith/fig-aae7345aa9ba.svg)

*A árvore de fatores de $360$: cada passo separa o menor fator primo (em vermelho). Lendo as folhas vermelhas e o $5$ final: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.*

**Teorema 64.9 (Euclides).**

Existem infinitos [números primos](#def-g9-arith-prime).

**Demonstração.** Suponha que houvesse apenas uma quantidade finita deles, digamos $p_1, p_2, \dots, p_k$, e considere

$$
N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .
$$

Dividir $N$ por qualquer $p_i$ deixa [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $1$, então nenhum $p_i$ divide $N$. Mas $N \geq 2$ tem pelo menos um [divisor](#def-g9-arith-divisor) primo ([Teorema 64.6](#thm-g9-arith-factorization)) — um primo que não está na nossa lista. Contradição: nenhuma lista finita pode conter todos os primos. ∎

## 64.3 O máximo divisor comum

**Definição 64.10 (MDC).**

O *máximo divisor comum* de dois números inteiros positivos $a$ e $b$, escrito $\gcd(a, b)$, é o maior inteiro que [divide](#def-g9-arith-divisor) os dois. Quando $\gcd(a, b) = 1$, os inteiros são ditos *primos entre si*: não têm [divisor](#def-g9-arith-divisor) comum além de $1$.

**Exemplo 64.11.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $18$: $1, 2, 3, 6, 9, 18$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $24$: $1, 2, 3, 4,
6, 8, 12, 24$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) comuns: $1, 2, 3, 6$; então $\gcd(18, 24) = 6$. Os inteiros $15$ e $28$ são [primos entre si](#def-g9-arith-gcd).

**Proposição 64.12 (MDC pelas decomposições).**

O MDC de dois inteiros é o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) dos primos que aparecem nas *duas* decomposições, cada um tomado com o *menor* dos dois [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 64.13.**

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ e $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Primos comuns: $2$ ([expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) $3$ e $2$: fica $2$) e $3$ ([expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) $2$ e $1$: fica $1$). Então

$$
\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .
$$

**Teorema 64.14 (Algoritmo de Euclides).**

Se $a = bq + r$ é a divisão de $a$ por $b$ com [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $r$, então

$$
\gcd(a, b) = \gcd(b, r).
$$

Repetindo as divisões até o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) ser $0$, o MDC de $a$ e $b$ é o *último [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) não nulo*.

**Demonstração.** De $a = bq + r$: todo inteiro que [divide](#def-g9-arith-divisor) $b$ e $r$ [divide](#def-g9-arith-divisor) $bq + r = a$; e de $r = a - bq$: todo inteiro que [divide](#def-g9-arith-divisor) $a$ e $b$ [divide](#def-g9-arith-divisor) $r$. Então os pares $(a, b)$ e $(b, r)$ têm exatamente os mesmos [divisores](#def-g9-arith-divisor) comuns — em particular, o mesmo maior deles. Como os [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) diminuem estritamente, o algoritmo termina, e $\gcd(x, 0) = x$ entrega o último [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) não nulo. ∎

**Exemplo 64.15.**

Calcule $\gcd(1071, 462)$:

$$
\begin{align*}
1071 &= 462 \times 2 + 147, \\
462 &= 147 \times 3 + 21, \\
147 &= 21 \times 7 + 0 .
\end{align*}
$$

O último [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) não nulo é $21$: $\gcd(1071, 462) = 21$.

**Método 64.16 (Simplificar uma fração completamente).**

Para escrever $\dfrac ab$ na forma mais simples:

1. calcule $d = \gcd(a, b)$ , por exemplo pelo algoritmo de Euclides;
2. divida [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) por $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
3. a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) obtida é *irredutível* : o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dela são [primos entre si](#def-g9-arith-gcd) .

**Exemplo 64.17.**

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} =
\dfrac{22}{51}$, e $\gcd(22, 51) = 1$: irredutível.

## 64.4 Exercícios

**Exercício 64.1 ★.**

Liste todos os [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $36$, de $45$ e de $17$.

**Solução de Exercício 64.1.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $36$: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $45$: $1, 3, 5, 9, 15, 45$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $17$: apenas $1$ e $17$ ($17$ é primo).

**Exercício 64.2 ★.**

Usando os critérios de divisibilidade, determine se $2\,346$ é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $2$, por $3$, por $4$, por $5$, por $9$.

**Solução de Exercício 64.2.**

$2\,346$ termina em $6$: [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $2$, não por $5$. [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $2 + 3 + 4 + 6 = 15$: [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $3$, não por $9$. Os dois últimos algarismos formam $46$, e $46 = 4 \times 11 + 2$ não é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $4$: $2\,346$ não é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $4$.

**Exercício 64.3 ★.**

Dê a decomposição em fatores primos de $72$, $150$, $210$ e $121$.

**Solução de Exercício 64.3.**

$72 = 2^3 \times 3^2$; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$; $121 = 11^2$.

**Exercício 64.4 ★.**

$101$ é primo? E $91$? E $143$? Justifique usando a regra de parada do [Método 64.7](#met-g9-arith-factorization).

**Solução de Exercício 64.4.**

$101$: teste os primos $p$ com $p^2 \leq 101$, ou seja, $2, 3, 5, 7$. Nenhum [divide](#def-g9-arith-divisor) $101$ (é [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $2$, não termina em $0$ nem em $5$, $101 = 7 \times 14 + 3$): $101$ é primo.

$91 = 7 \times 13$: não é primo.

$143 = 11 \times 13$: não é primo.

**Exercício 64.5 ★.**

Calcule $\gcd(48, 60)$ de dois jeitos: listando os [divisores](#def-g9-arith-divisor) comuns e pelas decomposições em fatores primos.

**Solução de Exercício 64.5.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) comuns de $48$ e $60$: os [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $48$ são $1, 2, 3, 4,
6, 8, 12, 16, 24, 48$; os de $60$ são $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,
20, 30, 60$; os comuns são $1, 2, 3, 4, 6, 12$, então $\gcd(48,60) = 12$.

Pela decomposição: $48 = 2^4 \times 3$ e $60 = 2^2 \times 3 \times 5$; primos comuns com os menores [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def): $2^2 \times 3 = 12$.

**Exercício 64.6 ★★.**

Use o algoritmo de Euclides para calcular $\gcd(255, 154)$ e depois $\gcd(1053, 325)$. Escreva cada linha de divisão.

**Solução de Exercício 64.6.**

$\gcd(255, 154)$:

$$
\begin{align*}
255 &= 154 \times 1 + 101, \\
154 &= 101 \times 1 + 53, \\
101 &= 53 \times 1 + 48, \\
53 &= 48 \times 1 + 5, \\
48 &= 5 \times 9 + 3, \\
5 &= 3 \times 1 + 2, \\
3 &= 2 \times 1 + 1, \\
2 &= 1 \times 2 + 0 .
\end{align*}
$$

Último [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) não nulo: $\gcd(255, 154) = 1$ (eles são [primos entre si](#def-g9-arith-gcd)).

$\gcd(1053, 325)$:

$$
\begin{align*}
1053 &= 325 \times 3 + 78, \\
325 &= 78 \times 4 + 13, \\
78 &= 13 \times 6 + 0 .
\end{align*}
$$

$\gcd(1053, 325) = 13$.

**Exercício 64.7 ★★.**

Torne irredutível a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{588}{504}$. (Calcule o MDC pelo método que preferir e depois divida.)

**Solução de Exercício 64.7.**

Algoritmo de Euclides: $588 = 504 \times 1 + 84$; $504 = 84 \times 6 + 0$: $\gcd(588, 504) = 84$. Então

$$
\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},
$$

que é irredutível.

**Exercício 64.8 ★★.**

Uma florista tem $84$ rosas e $126$ tulipas e quer montar buquês idênticos, usando todas as flores, com a maior quantidade possível de buquês. Quantos buquês ela consegue montar, e o que cada um contém?

**Solução de Exercício 64.8.**

O número de buquês tem de dividir $84$ e $126$; o maior possível é $\gcd(84, 126)$. Decomposições: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$, $126 = 2 \times 3^2 \times 7$, então o MDC é $2 \times 3 \times 7 = 42$. Ela consegue montar $42$ buquês, cada um com $\frac{84}{42} = 2$ rosas e $\frac{126}{42} = 3$ tulipas.

**Exercício 64.9 ★★.**

Duas barcas saem do mesmo cais às 8:00. Uma parte a cada $24$ minutos, a outra a cada $36$ minutos. A que horas elas saem juntas pela próxima vez? (Procure o menor [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum de $24$ e $36$; as decomposições ajudam.)

**Solução de Exercício 64.9.**

Precisamos do menor [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum. $24 = 2^3 \times 3$ e $36 = 2^2 \times 3^2$; tomando cada primo com o *maior* [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def): $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$. As barcas voltam a sair juntas $72$ minutos depois das 8:00, às 9:12.

**Exercício 64.10 ★★★.**

Seja $n$ um número inteiro positivo.

1. Mostre que $\gcd(n, n+1) = 1$ (inteiros consecutivos são sempre [primos entre si](#def-g9-arith-gcd) ).
2. Deduza que a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{n}{n+1}$ é sempre irredutível.

**Solução de Exercício 64.10.**

*1.* Todo [divisor](#def-g9-arith-divisor) comum $d$ de $n$ e $n+1$ [divide](#def-g9-arith-divisor) também a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) deles, $(n+1) - n = 1$, então $d = 1$: $\gcd(n, n+1) = 1$.

*2.* Uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) é irredutível exatamente quando o [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e o [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) dela são [primos entre si](#def-g9-arith-gcd), o que é o caso de $n$ e $n + 1$ pela parte 1.

## 64.5 Problema: jarros de água, cigarras e cem armários

**Problema 64.1.**

Problema de fim de semana — o MDC decide que quantidades dois jarros conseguem medir; os primos protegem as cigarras; e os armários que ficam abertos são os quadrados perfeitos

Três quebra-cabeças que parecem adivinhações e são, na verdade, aritmética: medir água com jarros sem marcação (o MDC disfarçado), ciclos de vida de insetos que evoluíram para [números primos](#def-g9-arith-prime) e um famoso corredor de cem armários cujo estado final é decidido pela contagem dos [divisores](#def-g9-arith-divisor). Tudo funciona com a maquinaria deste capítulo: divisibilidade, decomposição em fatores primos ([Teorema 64.6](#thm-g9-arith-factorization)) e algoritmo de Euclides ([Teorema 64.14](#thm-g9-arith-euclidalgo)).

**Parte I — Os jarros de água.** Você está diante de uma fonte com dois jarros sem marcação, de $5$ L e $3$ L. Movimentos permitidos: encher um jarro até a borda, esvaziar completamente um jarro, despejar um jarro no outro até a origem ficar vazia ou o destino ficar cheio.

1. Meça exatamente $1$ L. (Descreva a sua sequência de movimentos e o conteúdo dos dois jarros depois de cada um.)
2. Meça exatamente $4$ L — o quebra-cabeça de um famoso filme de ação. (Dá para fazer em seis movimentos.)
3. Que números inteiros de litros de $1$ a $8$ você consegue exibir (num jarro, ou repartidos entre os dois)? Complete a lista, reaproveitando as suas sequências.
4. Jarros novos: $6$ L e $4$ L. Tente medir $1$ L — e depois explique por que é impossível: verifique que cada um dos três movimentos permitidos mantém o conteúdo de todo jarro [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $2$ , então toda quantidade alcançável é par.
5. O argumento da questão 4 vale em geral: com jarros de $a$ e $b$ litros, toda quantidade alcançável é múltipla de $\gcd(a, b)$ . Calcule $\gcd(6, 4)$ e $\gcd(5, 3)$ e diga o que a lei prevê para cada par de jarros.

**Parte II — Euclides na fonte.**

6. Calcule com o algoritmo de Euclides: $\gcd(91, 65)$ e $\gcd(2\,026, 46)$ .
7. Explique, com as suas palavras, por que as quantidades que aparecem nos jarros são os [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de Euclides disfarçados: com jarros de $13$ L e $5$ L, encha repetidamente o jarro pequeno e despeje-o no grande (esvaziando o grande sempre que ele encher). Que quantidades novas aparecem primeiro — e compare com os [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) do algoritmo de Euclides para $(13, 5)$ .
8. Deduza a resposta de campeão: com jarros de $13$ e $5$ litros, dá para medir exatamente $1$ L? Justifique em uma linha, com a questão 5 e $\gcd(13, 5)$ .
9. Uma demonstraçãozinha de “ [primos entre si](#def-g9-arith-gcd) ” no estilo do [Exercício 64.10](#exo-g9-arith-10) : mostre que $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ para todo inteiro positivo $n$ . (O que um [divisor](#def-g9-arith-divisor) comum de $n$ e $2n + 1$ tem de dividir?)
10. Dois ônibus saem juntos do terminal às 7:00; um parte a cada $12$ minutos, o outro a cada $18$ . Liste os horários seguintes de partida de cada um e encontre o primeiro momento em que eles saem juntos de novo. Verifique nesse exemplo a lei bonita: (primeiro [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum) $\times$ MDC $=$ [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) dos dois números — e teste-a de novo com $5$ e $3$ .

**Parte III — Cigarras, [divisores](#def-g9-arith-divisor) e armários.**

11. Certas cigarras norte-americanas emergem apenas a cada $17$ anos; suponha que a população de um predador atinja o pico a cada $4$ anos. Se as duas coisas acontecem neste ano, em quantos anos uma emergência voltará a coincidir com um pico? Mesma pergunta se o ciclo das cigarras fosse de $16$ anos — com que frequência elas seriam massacradas? Explique numa frase por que a evolução empurrou o ciclo para um comprimento *primo* .
12. Usando a decomposição $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , conte os [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $360$ sem listá-los: um [divisor](#def-g9-arith-divisor) escolhe um [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) para o $2$ (quatro escolhas: $0, 1, 2, 3$ ), um para o $3$ e um para o $5$ . Quantos [divisores](#def-g9-arith-divisor) no total?
13. Mostre que, na decomposição de um quadrado perfeito $n = m^2$ , todo primo carrega um [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) *par* . Deduza, sem calcular raiz quadrada nenhuma, que $360$ não é um quadrado perfeito.
14. Emparelhe cada [divisor](#def-g9-arith-divisor) $d$ de $n$ com o parceiro $\frac{n}{d}$ dele (para $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). Quando um [divisor](#def-g9-arith-divisor) é o próprio parceiro? Deduza o critério: $n$ tem um número *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de [divisores](#def-g9-arith-divisor) exatamente quando $n$ é um quadrado perfeito. Confira em $36$ e em $360$ .
15. Os cem armários. Os armários $1$ a $100$ começam fechados. O aluno $1$ inverte o estado de todos os armários; o aluno $2$ inverte os armários $2, 4, 6, \dots$ ; o aluno $k$ inverte os [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $k$ ; e assim por diante, até o aluno $100$ . Explique que alunos tocam o armário $n$ , quantas vezes ele é invertido e — usando a questão 14 — exatamente que armários terminam abertos. Quantos ficam abertos?

**Solução de Problema 64.1.**

**1.** Encha o de $3$ e despeje-o no de $5$ (conteúdos: $0/3 \to 3$ no grande). Encha o de $3$ de novo e despeje no de $5$ até ele encher: o jarro grande só aceita mais $2$, deixando

$$
3 - 2 = 1 \text{ L no jarro pequeno.}
$$

Movimentos: encher o $3$; despejar $3 \to 5$; encher o $3$; despejar $3 \to 5$.

**2.** Encha o de $5$; despeje no de $3$ (sobram $2$ no grande); esvazie o de $3$; despeje os $2$ no de $3$; encha o de $5$; despeje no de $3$ até encher — ele aceita $1$, deixando $\mathbf{4}$ L no jarro grande. Seis movimentos.

**3.** Todos: $1$ (questão 1), $2$ (depois de dois movimentos da questão 2), $3$ e $5$ (enchimentos simples), $4$ (questão 2), $6 = 3 + 3$ (um jarro pequeno cheio mais $3$ despejados no grande), $7 = 5 + 2$, $8 = 5 + 3$ (os dois cheios). Toda quantidade inteira de $1$ a $8$ L é mensurável com o $5$ e o $3$.

**4.** Início: os dois jarros contêm $0$, [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $2$. Encher põe um conteúdo em $6$ ou $4$: par. Esvaziar põe em $0$: par. Despejar move água entre jarros cujos conteúdos eram pares, e a quantidade despejada é uma [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de [números pares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (o espaço que sobra, ou a quantidade disponível): todos os conteúdos permanecem pares para sempre. Um alvo [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) como $1$ L é inalcançável.

**5.** $\gcd(6, 4) = 2$: só quantidades pares — confirmado pela questão 4. $\gcd(5, 3) = 1$: toda quantidade inteira é permitida pela lei, e a questão 3 realizou todas elas. O MDC é exatamente a unidade de medida dos jarros.

**6.** $91 = 1 \times 65 + 26$; $65 = 2 \times 26 + 13$; $26 = 2 \times 13 + 0$: $\gcd(91, 65) = 13$. E $2\,026 = 44 \times 46 + 2$; $46 = 23 \times 2 + 0$: $\gcd(2\,026, 46) = 2$.

**7.** Despejando o de $5$ no jarro de $13$ repetidamente: depois de dois enchimentos, o jarro grande contém $10$; o terceiro enchimento só cabe em $3$, deixando $5 - 3 = 2$ no jarro pequeno — o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de $13$ por $5$ era $3$, e as quantidades $3$ (espaço) e $2$ (sobra) são exatamente os números de Euclides ($13 = 2 \times 5 + 3$, $5 = 1 \times 3 + 2$). Continuando, aparece $3 - 2 = 1$: o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) seguinte do algoritmo. A fonte executa as divisões de Euclides com água.

**8.** $\gcd(13, 5) = 1$, então a lei da questão 5 permite toda quantidade inteira — e a cascata da questão 7 de fato produziu $1$ L. Sim.

**9.** Um [divisor](#def-g9-arith-divisor) comum de $n$ e $2n + 1$ [divide](#def-g9-arith-divisor) $2n + 1 - 2 \times n = 1$: ele tem de ser $1$. Logo, $\gcd(n, 2n+1) = 1$ sempre.

**10.** Ônibus A: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; ônibus B: 7:18, 7:36, 7:54 … Primeira partida em comum: 7:36, depois de $36$ minutos — o primeiro [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum de $12$ e $18$. Lei: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$. Para $5$ e $3$: primeiro [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum $15$, e $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$.

**11.** Com ciclo de $17$ anos: a próxima coincidência é o primeiro [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) comum de $17$ e $4$; como $\gcd(17, 4) = 1$, ele é $17 \times 4 = 68$ anos — as cigarras encontram o pico uma vez a cada quatro emergências. Com ciclo de $16$ anos: $16$ é [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $4$, então *toda* emergência cai num pico. Um comprimento de ciclo primo não compartilha fator nenhum com nenhum ciclo de predador mais curto, afastando ao máximo as coincidências: aritmética como camuflagem.

**12.** Quatro escolhas de [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) para o $2$, três para o $3$, duas para o $5$: $4 \times 3 \times 2 = 24$ [divisores](#def-g9-arith-divisor).

**13.** Se $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$, então $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$: todo [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) é dobrado, logo par. Em $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, os [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) do $2$ e do $5$ são [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd): $360$ não é um quadrado perfeito.

**14.** Um [divisor](#def-g9-arith-divisor) é o próprio parceiro exatamente quando $d = \frac nd$, isto é, $n = d^2$: só os quadrados têm um [divisor](#def-g9-arith-divisor) central assim. Para todos os outros $n$, os [divisores](#def-g9-arith-divisor) se repartem em pares, numa contagem par. Então: [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [divisores](#def-g9-arith-divisor) $\Leftrightarrow$ quadrado perfeito. Conferindo: $36$ tem os [divisores](#def-g9-arith-divisor) $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — nove deles, [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), e $36 = 6^2$; já $360$ tem $24$ (questão 12), [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), e não é quadrado (questão 13).

**15.** O armário $n$ é invertido uma vez por cada aluno $k$ cujo número [divide](#def-g9-arith-divisor) $n$: ao todo, tantas vezes quantos [divisores](#def-g9-arith-divisor) $n$ tem. Um armário termina *aberto* quando é invertido um [número ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de vezes — pela questão 14, exatamente quando $n$ é um quadrado perfeito. Armários abertos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — dez deles.