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title: "Raízes quadradas"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas
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# Capítulo 65 — Raízes quadradas

Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado $1$? O teorema de Pitágoras responde $\sqrt 2$, um número cujo quadrado é $2$ — e que, no fim das contas, não é uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction). Este capítulo define as [raízes quadradas](#def-g9-sqrt-def), estabelece as regras de cálculo com elas e ensina a simplificar expressões como $\sqrt{75}$.

## 65.1 Definição e primeiras propriedades

**Definição 65.1 (Raiz quadrada).**

Seja $a \geq 0$. A *raiz quadrada* de $a$, escrita $\sqrt a$, é o único número *não negativo* cujo quadrado é $a$:

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{e}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

Números negativos não têm raiz quadrada, já que todo quadrado é não negativo.

**Exemplo 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 0 = 0$, $\sqrt 1 = 1$, $\sqrt{2.25} = 1.5$. As primeiras [raízes quadradas](#def-g9-sqrt-def) a saber de cor são as dos *quadrados perfeitos*: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$.

![A diagonal de um quadrado de lado 1 tem comprimento √12 + 12 = √2 1.414, pelo teorema de Pitágoras (o o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*A diagonal de um quadrado de lado $1$ tem comprimento $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$, pelo teorema de Pitágoras (o [Capítulo 69](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/69-trigonometria-no-triangulo-retangulo#ch-g9-trig) o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem.*

**Proposição 65.3 (Raiz quadrada de um quadrado).**

Para todo número real $x$ (positivo ou não):

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{se } x \geq 0,\\
-x & \text{se } x < 0 .
\end{cases}
$$

**Demonstração.** O número $\abs{x}$ é não negativo e o quadrado dele é $x^2$ (um número e o oposto dele têm o mesmo quadrado). Sendo o único número não negativo de quadrado $x^2$, ele é $\sqrt{x^2}$. ∎

**Exemplo 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$: a [raiz quadrada](#def-g9-sqrt-def) “esquece” o sinal, não o restaura. Em particular, $\sqrt{x^2} = x$ é *errado* para $x$ negativo.

## 65.2 Produtos e quocientes de raízes quadradas

**Teorema 65.5 (Regras de multiplicação e divisão).**

Para todos os $a \geq 0$ e $b \geq 0$:

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{e, para } b > 0:\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**Demonstração.** O número $\sqrt a \times \sqrt b$ é não negativo ([produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de números não negativos), e o quadrado dele é

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

Pela unicidade do número não negativo de quadrado $ab$, ele é igual a $\sqrt{ab}$. A regra do [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) se demonstra do mesmo jeito. ∎

**Observação 65.6 (Não existe regra dessas para somas!).**

$\sqrt{a + b}$ *não* é $\sqrt a + \sqrt b$ em geral:

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{mas}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**Método 65.7 (Simplificar n\sqrt nn​).**

Para simplificar a [raiz quadrada](#def-g9-sqrt-def) de um inteiro:

1. encontre o maior quadrado perfeito que [divide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) $n$ (decomponha $n$ , se precisar);
2. separe com a regra do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) e extraia o quadrado: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
3. confira que nenhum quadrado perfeito [divide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) o que sobrou sob a raiz.

**Exemplo 65.8.**

Simplifique $\sqrt{75}$: como $75 = 25 \times 3$,

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

Simplifique $\sqrt{72}$: como $72 = 36 \times 2$, $\sqrt{72} = 6\sqrt2$. E um [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder): $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$.

**Exemplo 65.9 (Somar raízes quadradas).**

[Somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de [raízes quadradas](#def-g9-sqrt-def) só simplificam quando as raízes são *parecidas*. Calcule $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$, simplificando cada parcela primeiro:

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

então a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) é $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$.

**Exemplo 65.10 (Desenvolver com raízes quadradas).**

As identidades da álgebra se aplicam às [raízes quadradas](#def-g9-sqrt-def). Desenvolva $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ com $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

E com o terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) de dois números irracionais pode ser um inteiro.

## 65.3 A equação $x^2 = a$

**Teorema 65.11 (Resolver x2=ax^2 = ax2=a).**

1. Se $a > 0$ , a [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ tem exatamente duas soluções: $\sqrt a$ e $-\sqrt a$ ;
2. se $a = 0$ , a única solução é $0$ ;
3. se $a < 0$ , não há solução.

**Demonstração.** Reescreva $x^2 = a$ como $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ quando $a \geq 0$ e fatore como [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de quadrados:

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

então $x = \sqrt a$ ou $x = -\sqrt a$ (as duas coincidem quando $a = 0$). Quando $a < 0$ não há solução, já que $x^2 \geq 0 > a$ para todo $x$. ∎

![Resolver x2 = 3 sobre a parábola y = x2: a reta horizontal y = 3 a corta nas duas abscissas ±√3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*Resolver $x^2 = 3$ sobre a parábola $y = x^2$: a reta horizontal $y = 3$ a corta nas duas abscissas $\pm\sqrt3$.*

**Exemplo 65.12.**

$x^2 = 16$: soluções $4$ e $-4$. $x^2 = 5$: soluções $\sqrt5$ e $-\sqrt5$ (valores exatos; $\sqrt5 \approx 2.236$). $x^2 = -9$: nenhuma solução. $3x^2 = 21$: divida por 3 primeiro, $x^2 = 7$, soluções $\pm\sqrt7$.

## 65.4 Exercícios

**Exercício 65.1 ★.**

Calcule sem calculadora:

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**Solução de Exercício 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (pois $0.3^2 = 0.09$); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**Exercício 65.2 ★.**

Simplifique:

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**Solução de Exercício 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**Exercício 65.3 ★.**

Calcule e simplifique:

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**Solução de Exercício 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} =
\sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$.

**Exercício 65.4 ★.**

Resolva: $x^2 = 36$; $x^2 = 11$; $x^2 + 4 = 0$; $2x^2 = 50$.

**Solução de Exercício 65.4.**

$x^2 = 36$: $x = 6$ ou $x = -6$.

$x^2 = 11$: $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$.

$x^2 + 4 = 0$ significa $x^2 = -4 < 0$: nenhuma solução.

$2x^2 = 50$: $x^2 = 25$, então $x = 5$ ou $x = -5$.

**Exercício 65.5 ★.**

Reduza a um único termo: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ e depois $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$.

**Solução de Exercício 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**Exercício 65.6 ★★.**

Desenvolva e simplifique:

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**Solução de Exercício 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5
+ 9 = 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**Exercício 65.7 ★★.**

Um campo quadrado tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $6400$ m$^2$. Qual é o comprimento do lado dele? E o da diagonal (valor exato e depois arredondado ao metro)?

**Solução de Exercício 65.7.**

Lado: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonal (Pitágoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

**Exercício 65.8 ★★.**

Mostre que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplique [numerador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) e [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) por $\sqrt2$). Use o mesmo truque para escrever $\dfrac{6}{\sqrt3}$ e $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sem [raiz quadrada](#def-g9-sqrt-def) no [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def).

**Solução de Exercício 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**Exercício 65.9 ★★.**

Verdadeiro ou falso? Justifique com uma demonstração ou um contraexemplo.

1. Para todos os $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
2. Para todos os $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
3. Para todo $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

**Solução de Exercício 65.9.**

*1. Verdadeiro*: é a regra do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) ([Teorema 65.5](#thm-g9-sqrt-rules)).

*2. Falso*: $\sqrt{9 + 16} = 5$, mas $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.

*3. Falso* para $x$ negativo: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$. O enunciado correto é $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.

*4. Verdadeiro*: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$.

**Exercício 65.10 ★★★.**

Seja $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$. Calcule $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ e deduza uma expressão mais simples de $x$. Mesma pergunta para $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (mire num quadrado da forma $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ e cuidado com o sinal).

**Solução de Exercício 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$. Então $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (um número não negativo, então a raiz apenas retira o quadrado).

Do mesmo modo, $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 =
9 - 4\sqrt5$, e $\sqrt5 - 2 > 0$, então $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (e não $2 - \sqrt5$, que é negativo!).

## 65.5 Problema: o número que não é uma fração

**Problema 65.1.**

Problema de fim de semana — a demonstração lendária de que $\sqrt2$ é irracional, os muitos parentes dele e a receita espantosamente boa de Heron para aproximá-lo

A diagonal de um quadrado de lado $1$ é um comprimento perfeitamente real — você a traçou no [Exemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) — e, mesmo assim, como os pitagóricos descobriram com horror há uns vinte e cinco séculos, *[fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) nenhuma* a mede. A lenda conta que a descoberta foi punida com afogamento. Este problema o conduz pela demonstração imortal (quatro questões e ela é sua para a vida toda), multiplica as vítimas e termina com a receita que os engenheiros usaram durante dois mil anos para domar o número indomável.

**Parte I — A demonstração.**

1. Primeiro cerque-o: verifique que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ e depois que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , elevando os limites ao quadrado. Mais um algarismo: entre que números de três casas decimais $\sqrt2$ se encontra?
2. Agora suponha — para chegar a uma contradição — que $\sqrt2 = \frac ab$ para alguma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) *irredutível* ( [Método 64.16](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#met-g9-arith-simplify) ). Eleve os dois lados ao quadrado e mostre que $a^2 = 2 b^2$ . Qual é a paridade de $a^2$ ?
3. Os fatos de paridade do [Problema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#pb-g8-pythagoras-1) dizem: os [números ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) têm quadrados [ímpares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Deduza que $a$ é par, escreva $a = 2k$ , substitua — e mostre que $b$ também tem de ser par.
4. Onde está a contradição? Conclua e enuncie o teorema por inteiro: *$\sqrt2$ é irracional — não é [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de números inteiros* .
5. A demonstração se apoiou uma vez, discretamente, na palavra “irredutível”. Aponte o passo exato que desabaria sem ela e explique por que supor a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) irredutível era legítimo, para começo de conversa.

**Parte II — As vítimas se multiplicam.**

6. Um segundo estilo de demonstração, pelas decomposições em fatores primos ( [Teorema 64.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#thm-g9-arith-factorization) ): em $a^2 = 3b^2$ , compare a paridade do *[expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) do $3$* de cada lado ( [Problema 64.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#pb-g9-arith-1) : os quadrados carregam [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) pares). Conclua que $\sqrt3$ é irracional.
7. Rode o mesmo argumento dos [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) em $a^2 = n b^2$ para um número inteiro $n$ qualquer: para que $n$ ele produz uma contradição, e para quais ele falha? Enuncie o resultado completo: $\sqrt n$ é irracional exatamente quando …
8. Demonstre o lema do escudo: um racional não nulo vezes um irracional é irracional. (Suponha $r x = q$ com $r, q$ racionais, $r \neq 0$ , e isole $x$ .) Deduza que $2\sqrt2$ e $\frac{\sqrt2}{2}$ são irracionais.
9. Demonstre que $1 + \sqrt2$ é irracional. E depois a bonita: supondo que $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fosse racional, calcule $s^2$ , isole $\sqrt6$ e encontre a contradição.
10. Modere o entusiasmo: dê dois números irracionais cuja *[soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def)* é racional e dois cujo *[produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def)* é racional. (A irracionalidade não se conserva pelas operações — cada caso exige a própria demonstração.)

**Parte III — A receita de Heron.** Dois mil anos antes das calculadoras, Heron de Alexandria aproximava $\sqrt2$ assim: *chute $x$; troque o chute pela média de $x$ e $\frac2x$; repita.*

11. Parta do chute $x = 1$ e calcule os dois chutes seguintes como frações exatas.
12. Calcule o terceiro chute, de novo como [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) exata, e o valor decimal dele. Compare com a questão 1: quantas casas decimais de $\sqrt2$ já estão corretas?
13. A ideia por trás da receita: um retângulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $2$ com um lado $x$ tem o outro lado $\frac2x$ . Mostre que $\sqrt2$ fica sempre *entre* $x$ e $\frac2x$ (considere os dois casos $x^2 > 2$ e $x^2 < 2$ ), então tirar a média dos dois lados aperta o retângulo em direção ao quadrado.
14. Os chutes $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ escondem uma joia: calcule $3^2 - 2 \times 2^2$ , depois $17^2 - 2 \times 12^2$ , depois $577^2 - 2 \times 408^2$ . A Parte I demonstrou que $a^2 - 2b^2 = 0$ é impossível — quão perto do impossível chegam as frações de Heron?
15. Final, em duas frases: a diagonal do quadrado de lado $1$ existe no papel, [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) nenhuma a mede, e a escrita decimal dela nunca pode se repetir ( [Problema 63.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#pb-g9-fractions-1) ). Que tipo de “números novos” a reta numérica tem, portanto, de conter — e em que ponto desta série a história completa deles é contada?

**Solução de Problema 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$. Três casas decimais: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, então $1.414 < \sqrt2 < 1.415$.

**2.** Elevar $\sqrt2 = \frac ab$ ao quadrado dá $2 = \frac{a^2}{b^2}$, logo $a^2 = 2b^2$: o número $a^2$ é o dobro de um número inteiro — *par*.

**3.** Se $a$ fosse [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $a^2$ seria [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([Problema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/58-o-teorema-de-pitagoras#pb-g8-pythagoras-1)); como $a^2$ é par, $a$ é par: $a = 2k$. Substituindo: $4k^2 = 2b^2$, então $b^2 = 2k^2$ é par e, pelo mesmo fato de paridade, $b$ é par.

**4.** $a$ e $b$ pares significa os dois divisíveis por $2$ — mas $\frac ab$ era irredutível, sem [divisor](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) comum nenhum. Contradição: a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) suposta não pode existir. *Teorema: $\sqrt2$ é irracional.*

**5.** A contradição mora inteirinha na palavra “irredutível”: sem ela, “$a$ e $b$ os dois pares” não contradiz coisa alguma. Supor a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) irredutível é legítimo porque toda [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) *tem* uma forma irredutível ([Método 64.16](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#met-g9-arith-simplify): divida pelo MDC) — se $\sqrt2$ fosse uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) qualquer, seria também uma [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) irredutível, e essa é impossível.

**6.** Nas decomposições em fatores primos, os quadrados carregam [expoentes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) pares ([Problema 64.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#pb-g9-arith-1)). Em $a^2 = 3b^2$, o [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) do $3$ é par à esquerda, mas [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) à direita (par, vindo de $b^2$, mais um). Nenhum número tem duas decomposições ([Teorema 64.6](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#thm-g9-arith-factorization)): contradição, e $\sqrt3$ é irracional.

**7.** Em $a^2 = n b^2$, o argumento encontra um primo de paridade de [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) contraditória exatamente quando algum primo aparece em $n$ com [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) *[ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Se todo [expoente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/56-potencias#def-g8-powers-def) de $n$ for par, $n$ é um quadrado perfeito ($n = m^2$, e $\sqrt n = m$ é inteiro). Resultado completo: $\sqrt n$ é irracional para todo inteiro $n$ que não é quadrado perfeito — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

**8.** De $r x = q$ com $r \neq 0$: $x = \frac qr$, um [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) de racionais, logo racional. Então, se $x$ é irracional, $r x$ não pode ser racional: $2\sqrt2$ e $\frac{\sqrt2}{2}$ são irracionais (multiplicadores $2$ e $\frac12$).

**9.** Se $1 + \sqrt2 = q$ fosse racional, $\sqrt2 = q - 1$ seria racional: contradição. Se $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fosse racional, então $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ também seria, dando $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ racional — mas $\sqrt6$ é irracional (questão 7). Logo, $\sqrt2 + \sqrt3$ é irracional.

**10.** [Somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def): $\sqrt2$ e $-\sqrt2$ (ou $\sqrt2$ e $1 - \sqrt2$) são irracionais cada um, com [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) racionais $0$ e $1$. [Produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def): $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. A irracionalidade pode evaporar nas operações — daí as demonstrações caso a caso.

**11.** A partir de $x = 1$: média de $1$ e $\frac21 = 2$: $x_1 = \frac32$. Depois, média de $\frac32$ e $\frac{2}{3/2} =
\frac43$: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$.

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right)
= \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} =
1.4142156\ldots$ Contra $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$: cinco casas decimais corretas depois de três passos — a receita mais ou menos dobra as casas corretas a cada rodada.

**13.** Se $x^2 > 2$ (chute grande demais), então $x > \sqrt2$ e $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: o lado companheiro é pequeno demais. Se $x^2 < 2$, as desigualdades se invertem. De um jeito ou de outro, $\sqrt2$ fica entre $x$ e $\frac2x$, então a média deles — o chute seguinte — está mais perto do que o pior dos dois lados: o retângulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) $2$ fica mais quadrado a cada passo.

**14.** $9 - 8 = 1$; $289 - 288 = 1$; $332\,929 - 332\,928 = 1$. Todo chute $\frac ab$ de Heron satisfaz $a^2 - 2b^2 = 1$: a Parte I demonstrou que acertar o $0$ é impossível, e essas frações erram o impossível por exatamente uma unidade — o mais perto que números inteiros conseguem chegar.

**15.** A reta numérica tem de conter números além das frações — comprimentos como $\sqrt2$, cujas escritas decimais correm para sempre sem se repetir: os *números reais*. A construção honesta deles é assunto do volume do ensino médio e, com todo o rigor, dos volumes de graduação.