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title: "Álgebra e equações"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/66-algebra-e-equacoes
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# Capítulo 66 — Álgebra e equações

As letras representam números, e calcular com letras demonstra fatos sobre *todos* os números de uma vez. Este capítulo treina [desenvolver](#def-g9-algebra-expand) e fatorar — inclusive os três [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis que vão acompanhar você por toda a matemática — e resolve [equações](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) do primeiro grau, [equações-produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) e desigualdades simples, sempre um passo justificado de cada vez.

## 66.1 Desenvolver

**Definição 66.1 (Desenvolvimento).**

*Desenvolver* é transformar um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) numa [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def), usando a distributividade:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Exemplo 66.2.**

Cada termo do primeiro parêntese multiplica cada termo do segundo:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

Os sinais viajam junto com os termos:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**Teorema 66.3 (Os três produtos notáveis).**

Para todos os números $a$ e $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Demonstração.** Desenvolva cada lado esquerdo. No primeiro: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. No segundo, troque $b$ por $-b$ no primeiro. No terceiro: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (os termos cruzados se cancelam). ∎

![O produto notável (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, visto como áreas: o quadrado grande de lado a+b é feito de dois quadrados e dois retângulos iguais. Esquecer o “2ab” é esquecer os dois retângulos!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, visto como [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area): o quadrado grande de lado $a+b$ é feito de dois quadrados e dois retângulos iguais. Esquecer o “$2ab$” é esquecer os dois retângulos!*

**Exemplo 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

Cálculo mental: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, e $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 Fatorar

**Método 66.5 (Fatorar).**

Para fatorar uma expressão, tente, nesta ordem:

1. *fator comum* : $ka + kb = k(a + b)$ , em que o próprio $k$ pode ser um parêntese;
2. *[diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de quadrados* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *quadrado perfeito* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (e, com $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Confira sempre desenvolvendo o resultado.

**Exemplo 66.6.**

*Fator comum:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*Parêntese comum:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[Diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de quadrados:* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, e

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

Cada fator ainda tem um fator comum: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 Equações

**Método 66.7 (Equações do primeiro grau).**

Para resolver uma [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) como $5x - 3 = 2x + 9$:

1. junte os termos em $x$ de um lado e os números do outro, somando a mesma quantidade aos dois lados;
2. reduza cada lado;
3. divida os dois lados pelo coeficiente de $x$ ;
4. confira a solução na [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) original.

**Exemplo 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(some $3 - 2x$ aos dois lados)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(divida por 3).}
\end{align*}
$$

Conferindo: $5 \times 4 - 3 = 17$ e $2 \times 4 + 9 = 17$. A solução é $4$.

Com parênteses, desenvolva primeiro: $3(x - 2) = x + 8$ vira $3x - 6 = x + 8$, então $2x = 14$ e $x = 7$.

**Teorema 66.9 (Regra do produto nulo).**

Um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) é nulo se, e somente se, pelo menos um fator é nulo:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .
$$

**Demonstração.** Se um fator é nulo, o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) claramente é. Reciprocamente, se $A B = 0$ com $A \neq 0$, dividir os dois lados por $A$ dá $B = 0$. ∎

**Exemplo 66.10.**

Resolva $(x - 3)(2x + 10) = 0$: ou $x - 3 = 0$, ou $2x + 10 = 0$, então as soluções são $3$ e $-5$.

Resolva $x^2 - 49 = 0$: fatore primeiro, $(x-7)(x+7) = 0$, soluções $7$ e $-7$.

Resolva $x^2 = 3x$: nunca divida por $x$! Passe tudo para um lado e fatore: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, soluções $0$ e $3$.

## 66.4 Desigualdades

**Proposição 66.11 (Regras das desigualdades).**

Uma desigualdade se conserva quando se [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) o mesmo número aos dois lados e quando se multiplicam os dois lados pelo mesmo número *positivo*. Multiplicar os dois lados por um número *negativo* inverte o sinal da desigualdade.

**Demonstração.** Se $a \leq b$, então $b - a \geq 0$. Somando $c$: $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$, então $a + c \leq b + c$. Multiplicando por $c > 0$: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, então $ac \leq bc$. Multiplicando por $c < 0$: $(b-a)c \leq 0$, então $ac \geq bc$: a ordem se inverte. ∎

**Exemplo 66.12.**

Resolva $7 - 2x < 15$:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(subtraia 7)} \\
x &> -4 && \text{(divida por $-2$: inverta o sinal).}
\end{align*}
$$

As soluções são todos os números maiores que $-4$: numa reta numérica, uma bolinha vazada em $-4$ e o traço para a direita.

![As soluções de 7 - 2x < 15: todos os x > -4 (bolinha vazada: o próprio -4 não é solução).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*As soluções de $7 - 2x < 15$: todos os $x > -4$ (bolinha vazada: o próprio $-4$ não é solução).*

## 66.5 Exercícios

**Exercício 66.1 ★.**

Desenvolva e reduza:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**Solução de Exercício 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**Exercício 66.2 ★.**

Desenvolva usando os [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notáveis:

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**Solução de Exercício 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**Exercício 66.3 ★.**

Calcule de cabeça, usando um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável: $101^2$; $59^2$ (escreva $59 = 60 - 1$); $53 \times 47$.

**Solução de Exercício 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**Exercício 66.4 ★.**

Fatore:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**Solução de Exercício 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**Exercício 66.5 ★.**

Resolva, escrevendo cada passo:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**Solução de Exercício 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$, então $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$, então $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$, então $2x = 16$ e $x = 8$.

**Exercício 66.6 ★★.**

Resolva usando a regra do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) nulo:

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**Solução de Exercício 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ ou $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ ou $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$: a solução única $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$, então $x = 0$ ou $x = 8$.

**Exercício 66.7 ★★.**

Fatore $E = (3x + 2)^2 - 25$ e depois resolva $E = 0$.

**Solução de Exercício 66.7.**

[Diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de quadrados com $a = 3x + 2$ e $b = 5$:

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

Regra do [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) nulo: $3x + 7 = 0$ dá $x = -\frac73$, e $3x - 3 = 0$ dá $x = 1$.

**Exercício 66.8 ★★.**

Resolva as desigualdades e represente as soluções numa reta numérica:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**Solução de Exercício 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$, então $x \geq 4$ (bolinha cheia em $4$, traço para a direita).

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$, e dividir por $-2$ inverte o sinal: $x < 2$ (bolinha vazada em $2$, traço para a esquerda).

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$, então $3x \leq -9$, logo $x \leq -3$ (bolinha cheia em $-3$, traço para a esquerda).

**Exercício 66.9 ★★.**

Penso num número, multiplico por $3$, somo $7$ e obtenho o mesmo resultado que se tivesse multiplicado por $5$ e subtraído $9$. Qual é o meu número? (Monte uma [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) e resolva.)

**Solução de Exercício 66.9.**

Seja $x$ o número: $3x + 7 = 5x - 9$. Então $16 = 2x$, logo $x = 8$. Conferindo: $3 \times 8 + 7 = 31$ e $5 \times 8 - 9 = 31$.

**Exercício 66.10 ★★★.**

Seja $n$ um número inteiro.

1. Desenvolva $(n + 1)(n - 1)$ e deduza que o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) dos dois vizinhos de $n$ é sempre $n^2 - 1$ (por exemplo, $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
2. Mostre que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de três inteiros consecutivos é sempre múltipla de $3$ .

**Solução de Exercício 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável). Os vizinhos de $n$ são $n - 1$ e $n + 1$, então o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) deles é $n^2 - 1$: por exemplo, $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* Três inteiros consecutivos podem ser escritos $n - 1$, $n$, $n + 1$. A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) deles é

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

[múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $3$ (três vezes o do meio).

## 66.6 Problema: a álgebra dos algarismos

**Problema 66.1.**

Problema de fim de semana — por que os critérios de divisibilidade funcionam, o truque do 1089 desmascarado e um cálculo mental que parece feitiçaria

A escola ensinou *regras* a você (um número é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $9$ quando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos é); os mágicos fazem *truques* (todo mundo termina em $1089$); as feiras conhecem *atalhos* ($35^2 = 1225$, na hora). Tudo isso é o mesmo segredo: um número de algarismos $a$, $b$, $c$ é a expressão $100a + 10b + c$, e a álgebra deste capítulo ([Teorema 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [desenvolver](#def-g9-algebra-expand), fatorar) consegue desmontá-la. No fim deste problema, você terá demonstrado as regras, desmascarado o truque e aprendido a feitiçaria.

**Parte I — Os algarismos no microscópio.**

1. Um número de dois algarismos com dezena $a$ e unidade $b$ é $10a + b$ . Desenvolva e fatore a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre o número e o invertido dele, $(10a + b) - (10b + a)$ , e enuncie a descoberta. Confira em $72 - 27$ .
2. Demonstre o critério do nove para números de três algarismos: verifique a identidade $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$$ e explique por que ela mostra que um número e a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos dele deixam o *mesmo [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder)* na divisão por $9$ — então um é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $9$ exatamente quando o outro é ([Proposição 64.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#prop-g9-arith-rules), agora demonstrada).
3. Deduza o critério do três da mesma identidade, em uma frase.
4. A “prova dos nove”, a conferência dos contadores: para testar $47 \times 86 = 4\,042$ , troque cada número pela [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos dele: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , e $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; depois $4\,042 \to 10 \to 1$ : coerente. Explique por que um [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) correto tem de passar no teste (escreva $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ e desenvolva) e encontre um resultado errado que o teste não pega (por que algarismos trocados de lugar são invisíveis para ele?).
5. Demonstre o critério do onze para números de quatro algarismos: verifique $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ e use-o para decidir se $2\,926$ é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $11$.

**Parte II — O truque do 1089.** O truque: pense num número de três algarismos cujo primeiro e último algarismos difiram em pelo menos $2$; inverta-o; subtraia o menor do maior; inverta o resultado; some os dois últimos números. O mágico anuncia: *1089*.

6. Execute o truque com $742$ e com um número da sua escolha.
7. Seja o número de algarismos $a$ , $b$ , $c$ com $a > c$ . Fatore a primeira subtração, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , e liste todos os valores que ela pode tomar quando $a - c$ vai de $2$ a $9$ .
8. Cada um desses [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos#def-g5-division-multiple) de $99$ tem um padrão de algarismos marcante. Escrevendo $m = a - c$, verifique a identidade $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$$ e leia nela os três algarismos de $99m$.
9. Some $99m$ ao invertido dele, usando os algarismos da questão 8, e demonstre que o total é $1089$ — seja qual for $m$ . O truque morreu; viva a álgebra.
10. Por que o mágico exigiu que o primeiro e o último algarismos diferissem em pelo menos $2$ ? Examine os casos $a = c$ e $a - c = 1$ (em que a subtração dá $99$ , que precisa ser escrito $099$ para a inversão funcionar) e enuncie as letras miúdas que mantêm o truque honesto.

**Parte III — Feitiçaria de uso diário.**

11. O truque do aniversário: “multiplique o mês de nascimento por $5$ , some $7$ , dobre, some o dia de nascimento, subtraia $14$ ”. Mostre que o resultado é sempre $10m + d$ — mês e dia, legíveis de relance. (Teste em alguém.)
12. Você redesenha o truque assim: “multiplique o mês por $5$ , some $9$ , dobre, some o dia”. Que número o espectador tem de subtrair no fim, agora, para a mesma leitura mês–dia?
13. O truque do algarismo escondido: o espectador escolhe um número qualquer, subtrai dele a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos (a questão 2 diz que o resultado é sempre [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ — explique por quê, para um número de três algarismos), depois risca um algarismo *não nulo* e lê para você os algarismos restantes. Explique como você recupera o algarismo riscado e por que o $0$ teve de ser excluído.
14. Feitiçaria de feira: demonstre a identidade $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , enuncie a regra para elevar ao quadrado qualquer número terminado em $5$ e calcule $45^2$ , $85^2$ e $105^2$ de cabeça.
15. Final, estendendo o [Exercício 66.10](#exo-g9-algebra-10) : demonstre que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de cinco inteiros consecutivos é sempre múltipla de $5$ , mas que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de *quatro* inteiros consecutivos *nunca* é múltipla de $4$ . (Duas continhas — e uma moral sobre o que a álgebra faz com as palavras “sempre” e “nunca”.)

**Solução de Problema 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: a [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) entre um número de dois algarismos e o invertido dele é sempre múltipla de $9$. Conferindo: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, e $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** Desenvolvendo o lado direito: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$. Então o número é igual a um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ mais a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos dele: dividindo por $9$, os dois deixam o mesmo [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder). Em particular, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$ para um significa [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$ para o outro: o critério do nove, demonstrado.

**3.** $9(11a + b)$ também é [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $3$, então a mesma identidade mostra que o número e a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos deixam o mesmo [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) na divisão por $3$: o critério do três.

**4.** Escreva $47 = 9k + 2$ e $86 = 9l + 5$. Então

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) deixa o mesmo [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) que $2 \times 5 = 10$, ou seja, $1$. Um resultado correto tem, portanto, de deixar também [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $1$ — o que $4\,042$ deixa. Mas o teste só enxerga [restos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder): $4\,042$ e $4\,402$ (algarismos trocados de lugar) passam igualzinho, então passar não demonstra nada — falhar é que condena.

**5.** Desenvolvendo: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$. Então o número é [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $11$ exatamente quando a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) alternada $-a + b - c + d$ é. Para $2\,926$: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, [divisível](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#def-g6-wholes-divisible) por $11$: sim, $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$; $495 + 594 = 1\,089$. Qualquer exemplo válido também cai em $1\,089$.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. Para $a - c = 2, 3, \dots, 9$:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m
= 99m$. Então os três algarismos de $99m$ são $m - 1$, depois $9$, depois $10 - m$ (confira em $495$: $m = 5$ dá $4$, $9$, $5$).

**9.** O invertido de $99m$ tem algarismos $10 - m$, $9$, $m - 1$, então vale $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. Somando:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

independentemente de $m$. Seja qual for o número de partida, o mágico está seguro.

**10.** Se $a = c$, a subtração dá $0$ e o truque morre na hora. Se $a - c = 1$, ela dá $99$, que precisa ser tratado como a cadeia de três algarismos $099$ (invertida, $990$; $99 + 990 = 1\,089$: salvo!). As letras miúdas: [diferenças](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de $1$ só funcionam se o espectador escrever o resultado da subtração com três algarismos, [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) à esquerda incluído — exigir uma [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) de pelo menos $2$ evita a discussão.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$: as dezenas (e as centenas, de outubro a dezembro) mostram o mês; as unidades (e as dezenas), o dia.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: subtraia $18$.

**13.** Pela questão 2, $n - (\text{soma dos algarismos de } n) = 9(11a + b)$ para um $n$ de três algarismos: sempre [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ (identidades parecidas funcionam para qualquer quantidade de algarismos). Um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ tem [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos múltipla de $9$ (questão 2 de novo), então os algarismos que o espectador lê têm de ser completados até o [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ seguinte: o algarismo que falta é esse complemento. Ambiguidade: se os algarismos lidos já somam um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$, o algarismo riscado poderia ser $0$ ou $9$ — excluir o $0$ tira a dúvida.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$: escreva $t(t+1)$ e cole o $25$ atrás. $45^2$: $4 \times 5 = 20$, então $2\,025$. $85^2$: $8 \times 9 = 72$, então $7\,225$. $105^2$: $10 \times 11 = 110$, então $11\,025$.

**15.** Cinco consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$: [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $5$, sempre. Quatro consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$: [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $2$ na divisão por $4$, nunca [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor). A álgebra converte “parece funcionar” em *sempre*, e “não achei exemplo nenhum” em *nunca* — duas palavras que quantidade nenhuma de testes alcança ([Método 48.8](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/48-expressoes-literais#met-g7-literal-test)).