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title: "Funções lineares e afins"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 67
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/67-funcoes-lineares-e-afins
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# Capítulo 67 — Funções lineares e afins

“Três quilogramas custam três vezes o que custa um”: isso é [proporcionalidade](#def-g9-linfunc-linear), o jeito mais simples de duas grandezas se relacionarem. As [funções lineares](#def-g9-linfunc-linear) são a [proporcionalidade](#def-g9-linfunc-linear) na linguagem das funções; as [funções afins](#def-g9-linfunc-affine) acrescentam uma quantia inicial fixa. Os gráficos delas são retas, e ler essas retas é a habilidade que este capítulo constrói.

## 67.1 Proporcionalidade e funções lineares

**Definição 67.1 (Função linear).**

Uma *função linear* multiplica todo número por um número fixo $a$:

$$
f(x) = a x .
$$

O número $a$ é o *coeficiente* de $f$. Duas grandezas são *proporcionais* exatamente quando uma é função linear da outra.

**Exemplo 67.2.**

Se as maçãs custam $3$ por quilograma, o preço de $x$ quilogramas é $f(x) = 3x$: comprar o dobro custa o dobro, e o preço de $2.5$ kg é $f(2.5) = 7.5$.

Reciprocamente, se uma [função linear](#def-g9-linfunc-linear) satisfaz $f(4) = 10$, então $a = \frac{10}{4} = 2.5$ e $f(x) = 2.5x$: *um único valor determina uma [função linear](#def-g9-linfunc-linear) por completo.*

**Proposição 67.3 (Gráfico de uma função linear).**

O gráfico de $f(x) = ax$ é uma reta *que passa pela origem*. Reciprocamente, toda reta não vertical que passa pela origem é o gráfico de uma [função linear](#def-g9-linfunc-linear).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Duas funções lineares: os dois gráficos passam pela origem; o coeficiente a é a altura alcançada em x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-08e8aadc66eb.svg)

*Duas [funções lineares](#def-g9-linfunc-linear): os dois gráficos passam pela origem; o coeficiente $a$ é a altura alcançada em $x = 1$.*

## 67.2 Funções afins

**Definição 67.4 (Função afim).**

Uma *função afim* tem a forma

$$
f(x) = a x + b ,
$$

em que $a$ e $b$ são números fixos. As [funções lineares](#def-g9-linfunc-linear) são o caso particular $b = 0$; as funções constantes, o caso $a = 0$.

**Exemplo 67.5.**

Uma academia cobra uma taxa de matrícula de $20$ e depois $5$ por visita: o custo total de $x$ visitas é $f(x) = 5x + 20$. O custo *não* é proporcional ao número de visitas ($10$ visitas não custam o dobro de $5$), mas cada visita a mais acrescenta a mesma quantia, $5$.

**Proposição 67.6 (Gráfico de uma função afim).**

O gráfico de $f(x) = ax + b$ é uma reta:

- $b = f(0)$ é o *coeficiente linear* : a reta cruza o eixo vertical em $(0, b)$ ;
- $a$ é o *coeficiente angular* : andar uma unidade para a direita sobe $a$ unidades (desce, se $a < 0$ ); a função é crescente quando $a > 0$ e decrescente quando $a < 0$ ;
- para quaisquer duas entradas $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

**Demonstração do último ponto.** $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$; divida por $v - u$. O resto é admitido neste nível (o volume do ensino médio dá um tratamento completo das retas e das [equações](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) delas). ∎

![Ler y = ax + b no gráfico: a reta cruza o eixo vertical na altura b e sobe a a cada passo de uma unidade para a direita (aqui, a = 1, b = 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-01bf255d3837.svg)

*Ler $y = ax + b$ no gráfico: a reta cruza o eixo vertical na altura $b$ e sobe $a$ a cada passo de uma unidade para a direita (aqui, $a = 1$, $b = 1$).*

**Método 67.7 (Achar uma função afim a partir de dois valores).**

Dados $f(u)$ e $f(v)$ com $u \neq v$:

1. calcule o [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
2. substitua um dos dois valores conhecidos em $f(x) = ax + b$ para achar $b$ ;
3. confira com o outro valor.

**Exemplo 67.8.**

Ache a [função afim](#def-g9-linfunc-affine) com $f(2) = 7$ e $f(5) = 16$.

$$
a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,
$$

e depois $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ dá $b = 1$: $f(x) = 3x + 1$. Conferindo: $f(5) = 15 + 1 = 16$.

## 67.3 Porcentagens

**Proposição 67.9 (Variação percentual).**

Aumentar uma grandeza em $t\,\%$ a multiplica por $1 + \dfrac{t}{100}$; diminuí-la em $t\,\%$ a multiplica por $1 - \dfrac{t}{100}$. As variações percentuais são [funções lineares](#def-g9-linfunc-linear).

**Demonstração.** Aumentar $x$ em $t\,\%$ significa somar $\frac{t}{100}\,x$:

$$
x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .
$$

Mesma conta, com sinal de menos, para uma diminuição. ∎

**Exemplo 67.10.**

Um preço de $80$ aumenta $15\%$: preço novo $80 \times 1.15 = 92$. Um preço de $60$ diminui $30\%$: $60 \times 0.7 = 42$.

*Encadear variações multiplica os fatores.* Um aumento de $20\%$ seguido de uma redução de $20\%$ dá $1.2 \times 0.8 = 0.96$: uma *queda* de $4\%$ no total, e não uma volta ao ponto de partida!

## 67.4 Exercícios

**Exercício 67.1 ★.**

Entre estas funções, quais são lineares? Quais são afins? Quais não são nem uma coisa nem outra?

$$
f(x) = 4x, \qquad
g(x) = 3x - 5, \qquad
h(x) = x^2, \qquad
k(x) = -\tfrac x2, \qquad
m(x) = 7 .
$$

**Solução de Exercício 67.1.**

Lineares: $f$ e $k$ (da forma $ax$). Afins, mas não lineares: $g$ ([coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $3$, coeficiente linear $-5$) e $m$ (constante, [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $0$). Nem uma coisa nem outra: $h$, por causa do quadrado.

**Exercício 67.2 ★.**

Seja $f(x) = 2x - 3$. Calcule $f(0)$, $f(4)$, $f(-1)$ e ache o número $x$ tal que $f(x) = 9$.

**Solução de Exercício 67.2.**

$f(0) = -3$; $f(4) = 5$; $f(-1) = -5$. E $f(x) = 9$ significa $2x - 3 = 9$, então $2x = 12$ e $x = 6$.

**Exercício 67.3 ★.**

Uma [função linear](#def-g9-linfunc-linear) satisfaz $f(6) = 15$. Ache o coeficiente dela e depois calcule $f(10)$ e $f(-2)$.

**Solução de Exercício 67.3.**

$a = \frac{15}{6} = 2.5$, então $f(x) = 2.5x$. Daí, $f(10) = 25$ e $f(-2) = -5$.

**Exercício 67.4 ★.**

Trace no mesmo sistema de eixos os gráficos de $f(x) = 2x$, $g(x) = 2x + 3$ e $h(x) = -x + 4$. O que se pode dizer dos gráficos de $f$ e de $g$?

**Solução de Exercício 67.4.**

$f$ passa pela origem com [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $2$; $g$ tem o mesmo [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph), mas cruza o eixo vertical em $3$; $h$ desce a partir de $(0, 4)$ com [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $-1$. Os gráficos de $f$ e de $g$ são *[retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)* (mesmo [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph), coeficientes lineares diferentes).

**Exercício 67.5 ★.**

Ache a [função afim](#def-g9-linfunc-affine) tal que $f(1) = 5$ e $f(3) = 11$; e depois a função tal que $g(0) = 4$ e $g(2) = 0$.

**Solução de Exercício 67.5.**

Para $f$: [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$, e depois $5 = 3 \times 1 + b$ dá $b = 2$: $f(x) = 3x + 2$.

Para $g$: [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$, e $g(0) = 4$ já é o coeficiente linear: $g(x) = -2x + 4$.

**Exercício 67.6 ★★.**

Calcule: o preço depois de um aumento de $25\%$ sobre $120$; o preço depois de um desconto de $40\%$ sobre $65$; o preço original se um artigo custa $69$ depois de um desconto de $25\%$.

**Solução de Exercício 67.6.**

Aumento de $25\%$: $120 \times 1.25 = 150$.

Desconto de $40\%$: $65 \times 0.6 = 39$.

Preço original $p$ com $p \times 0.75 = 69$: $p = \frac{69}{0.75} = 92$.

**Exercício 67.7 ★★.**

Um plano de celular A custa $10$ por mês mais $0.05$ por minuto de ligação; o plano B custa $25$ por mês com ligações ilimitadas.

1. Expresse o custo mensal do plano A como função do número $x$ de minutos.
2. A partir de quantos minutos por mês o plano B fica mais barato?

**Solução de Exercício 67.7.**

*1.* $f(x) = 0.05x + 10$.

*2.* O plano B fica mais barato quando $25 < 0.05x + 10$, isto é, $15 < 0.05x$, isto é, $x > 300$. A partir de $301$ minutos ($5$ horas) por mês, o plano B ganha.

**Exercício 67.8 ★★.**

Uma população de $2000$ bactérias aumenta $10\%$ a cada hora.

1. Quantas bactérias há depois de uma hora? E depois de duas horas?
2. Explique por que a resposta depois de duas horas não é $2400$ .

**Solução de Exercício 67.8.**

*1.* Depois de uma hora: $2000 \times 1.1 = 2200$. Depois de duas horas: $2200 \times 1.1 = 2420$.

*2.* O segundo aumento se aplica a $2200$, e não a $2000$: crescer $10\%$ duas vezes multiplica por $1.1^2 = 1.21$, um aumento de $21\%$, e não de $20\%$.

**Exercício 67.9 ★★.**

O gráfico de uma [função afim](#def-g9-linfunc-affine) passa pelos pontos $(2, 3)$ e $(6, 1)$.

1. Calcule o [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) dela. A função é crescente ou decrescente?
2. Dê a expressão dela e calcule a entrada para a qual a saída é $0$ .

**Solução de Exercício 67.9.**

*1.* [Coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} =
-0.5$: a função é decrescente.

*2.* $f(x) = -0.5x + b$ com $f(2) = 3$: $-1 + b = 3$, então $b = 4$ e $f(x) = -0.5x + 4$. Saída $0$: $-0.5x + 4 = 0$ dá $x = 8$.

**Exercício 67.10 ★★★.**

Uma loja primeiro aumenta um preço em $t\,\%$ e depois reduz o preço novo em $t\,\%$.

1. Mostre que o preço final é igual ao original multiplicado por $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
2. Deduza que o preço final é sempre *menor* que o original (para $0 < t \leq 100$ ) e ache a variação percentual total para $t = 10$ .

**Solução de Exercício 67.10.**

*1.* As duas variações multiplicam o preço por

$$
\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right)
= 1 - \frac{t^2}{10000}
$$

(terceiro [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) notável com $a = 1$, $b = \frac{t}{100}$).

*2.* Para $0 < t \leq 100$, $\frac{t^2}{10000} > 0$, então o fator é menor que $1$: o preço final fica abaixo do original. Para $t = 10$: fator $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$, ou seja, uma queda total de $1\%$.

## 67.5 Problema: os dois termômetros

**Problema 67.1.**

Problema de fim de semana — Celsius, Fahrenheit e as funções afins do dia a dia: uma temperatura marca o mesmo número nas duas escalas, e o coeficiente angular constante é a assinatura da retidão

Em algumas partes do mundo, ouve-se “$68$ graus” e se veste roupa leve; em outras, ouve-se o mesmo e se pega um casaco. Os dois termômetros do planeta estão ligados por uma [função afim](#def-g9-linfunc-affine) — e construí-la a partir de dois fatos é exatamente a habilidade do [Método 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine). Este problema constrói a conversão, encontra a temperatura misteriosa em que as duas escalas concordam, depois lê táxis, grilos e velas com os mesmos óculos e termina com o teste que reconhece a própria retidão.

**Parte I — Construir a conversão.** Dois fatos fixam a escala Fahrenheit: a água congela a $32\,^\circ$F e ferve a $212\,^\circ$F (a $0\,^\circ$C e $100\,^\circ$C).

1. Ache a [função afim](#def-g9-linfunc-affine) $F = f(C)$ que converte Celsius em Fahrenheit ( [Método 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine) com os valores $f(0) = 32$ e $f(100) = 212$ ).
2. Converta para Fahrenheit: um dia ameno de $20\,^\circ$ C; os $37\,^\circ$ C do corpo; um gélido $-10\,^\circ$ C.
3. Isole $C$ para construir a conversão de volta e use-a em $50\,^\circ$ F e em $98.6\,^\circ$ F.
4. $f$ é uma função *linear* ( [Definição 67.1](#def-g9-linfunc-linear) )? Teste os sinais reveladores: quanto vale $f(0)$ , e dobrar a leitura em Celsius dobra a em Fahrenheit? Conclua com a palavra certa ( [Definição 67.4](#def-g9-linfunc-affine) ).
5. A adivinhação clássica: existe uma temperatura que marca *o mesmo número* nas duas escalas? Resolva $f(x) = x$ e descreva o que a sua solução significa no gráfico de $f$ (que reta o gráfico cruza ali?).

**Parte II — [Funções afins](#def-g9-linfunc-affine) soltas na natureza.**

6. O táxi A cobra $3$ euros mais $1.50$ por km; o táxi B cobra $2$ euros por km, sem taxa fixa. Escreva as duas funções de preço e compare-as para uma corrida de $4$ km e uma de $8$ km.
7. Ache a distância de equilíbrio em que os dois táxis custam o mesmo e descreva a situação num gráfico (duas retas — o que acontece no ponto de cruzamento, antes dele e depois dele?).
8. Regra prática dos naturalistas: um grilo cricrila cerca de $N = 7T - 30$ vezes por minuto à temperatura $T\,^\circ$ C. Quantos cricrilos numa noite de $20\,^\circ$ C? Você conta $82$ cricrilos num minuto: que temperatura o grilo anuncia?
9. Um celular comprado por $600$ euros perde $15$ euros de valor por mês: escreva a função de valor $v(t)$ , ache quando o celular vale $240$ euros e quando o modelo diz que ele não vale mais nada. A fórmula ainda significa alguma coisa depois dessa data?
10. As variações percentuais são [funções lineares](#def-g9-linfunc-linear) : $+25\,\%$ é multiplicar por $1.25$ , e $-20\,\%$ , por $0.8$ ( [Proposição 67.9](#prop-g9-linfunc-percent) ). Componha as duas: o que um aumento de $+25\,\%$ seguido de um corte de $-20\,\%$ faz com um preço? Explique o milagrezinho e compare com o [Exercício 67.10](#exo-g9-linfunc-10) .

**Parte III — O [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) é tudo.**

11. Uma vela mede $20$ cm quando acesa e $17$ cm meia hora depois. Supondo derretimento afim, ache $h(t)$ (altura em cm, $t$ em minutos) e preveja quando a vela se apaga.
12. Dois ciclistas percorrem a mesma estrada: a distância do primeiro é $d_1(t) = 24t$ (km depois de $t$ horas), a do segundo é $d_2(t) = 10 + 18t$ . Quem partiu com vantagem, quem pedala mais rápido e em que instante e em que quilômetro o primeiro alcança o segundo?
13. Sejam $f(x) = 2x + 3$ e $g(x) = -0.5x + 7$ . Calcule $f(x) + g(x)$ e verifique que ela é afim de novo. Em geral, quais são o [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) e o coeficiente linear de uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) ?
14. Discuta completamente a [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) $mx + p = 0$ : quantas soluções quando $m \neq 0$ (e qual)? Quando $m = 0$ e $p \neq 0$ ? Quando $m = 0$ e $p = 0$ ? (Cada caso tem uma história gráfica: onde uma reta de [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $m$ cruza o eixo horizontal?)
15. O teste do alinhamento: os pontos $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ estão sobre uma mesma reta? E $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calcule as taxas de variação entre os pares e decida. Enuncie a moral: uma *taxa de variação constante* é a assinatura das [funções afins](#def-g9-linfunc-affine) — os gráficos curvos mudam de taxa, e medir *isso* é assunto do volume do ensino médio.

**Solução de Problema 67.1.**

**1.** [Coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$; coeficiente linear $f(0) = 32$. Logo,

$$
f(C) = 1.8\,C + 32 .
$$

**2.** $f(20) = 68\,^\circ$F (o famoso dia ameno); $f(37) = 98.6\,^\circ$F; $f(-10) = 14\,^\circ$F.

**3.** De $F = 1.8C + 32$: $C = \frac{F - 32}{1.8}$. Então $50\,^\circ$F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$C, e $98.6\,^\circ$F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$C.

**4.** $f(0) = 32 \neq 0$, e $f(20) = 68$ não é o dobro de $f(10) = 50$: não é linear. O gráfico é uma reta que não passa pela origem: $f$ é *afim*, e não linear.

**5.** $1.8x + 32 = x$ dá $0.8x = -32$, então $x = -40$: a quarenta abaixo de [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero), os dois termômetros marcam $-40$. No gráfico, a reta de $f$ cruza a reta diagonal $y = x$ exatamente ali.

**6.** $p_A(k) = 1.5k + 3$ e $p_B(k) = 2k$. Para $4$ km: $9$ euros contra $8$: B mais barato. Para $8$ km: $15$ contra $16$: A mais barato.

**7.** $1.5k + 3 = 2k$ dá $k = 6$: em seis quilômetros, os dois custam $12$ euros. Graficamente, a reta de B (pela origem, mais inclinada) começa abaixo da de A e a cruza em $(6, 12)$: B ganha nas corridas curtas, A ganha nas longas.

**8.** $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ cricrilos por minuto. De $82 = 7T - 30$: $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$C.

**9.** $v(t) = 600 - 15t$. Valendo $240$: $600 - 15t = 240$, $t = 24$ meses. Valendo $0$: $t = 40$ meses. Depois de $40$ meses, a fórmula fica negativa — mas o valor de um celular para em [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero): todo modelo afim tem um domínio em que faz sentido.

**10.** Compondo: $\times 1.25$ e depois $\times 0.8$ multiplica por $1.25 \times 0.8 = 1$: o preço volta exatamente ao ponto de partida. Nada de milagre: as porcentagens agem sobre referências diferentes (o corte se aplica ao preço já aumentado) e, aqui, os multiplicadores por acaso se cancelam — a história geral, com a perda embutida $1 - \frac{t^2}{10\,000}$, é o [Exercício 67.10](#exo-g9-linfunc-10).

**11.** [Coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm por minuto; $h(t) = 20 - 0.1t$. Ela se apaga em $h(t) = 0$: $t = 200$ minutos — três horas e vinte minutos de luz.

**12.** O segundo partiu $10$ km à frente (coeficiente linear); o primeiro é mais rápido ($24 > 18$ km/h). Alcance: $24t = 10 + 18t$ dá $6t = 10$, $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, no quilômetro $24 \times \frac53 = 40$.

**13.** $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$: afim, com [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph) igual à *[soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos [coeficientes angulares](#prop-g9-linfunc-affinegraph)* e coeficiente linear igual à [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos coeficientes lineares — fica claro ao juntar os termos semelhantes em $(mx + p) + (m'x + p')$.

**14.** Se $m \neq 0$: exatamente uma solução, $x = -\frac pm$ — uma reta não horizontal cruza o eixo uma vez. Se $m = 0$ e $p \neq 0$: nenhuma solução — uma reta horizontal acima ou abaixo do eixo nunca o toca. Se $m = 0$ e $p = 0$: todo $x$ é solução — a reta *é* o eixo.

**15.** Primeiro trio: taxas $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ e $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$: iguais, os pontos estão alinhados (sobre $y = 2x + 3$). Segundo trio: $\frac{9-5}{2} = 2$, mas $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$: não estão alinhados. As [funções afins](#def-g9-linfunc-affine) são exatamente aquelas de taxa de variação constante — um único número, o [coeficiente angular](#prop-g9-linfunc-affinegraph), conta a história inteira; nas curvas, a própria taxa muda de ponto para ponto, e persegui-la leva à derivada, no volume do ensino médio.