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title: "O teorema de Tales"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales
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# Capítulo 68 — O teorema de Tales

Como se mede a altura de uma [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) sem escalá-la? Tales de Mileto comparou a sombra dela com a sombra de uma vara. O teorema dele — as [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) cortam [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) em pedaços [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/67-funcoes-lineares-e-afins#def-g9-linfunc-linear) — é o coração matemático das maquetes, dos mapas e das ampliações, e um dos teoremas mais antigos a ter nome próprio.

## 68.1 O teorema

**Teorema 68.1 (Tales).**

Sejam duas retas que se encontram num ponto $A$. Tome $M$ sobre a primeira reta e $N$ sobre a segunda, com $B$ mais adiante na primeira e $C$ mais adiante na segunda. Se as retas $(MN)$ e $(BC)$ são *[paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)*, então os triângulos $AMN$ e $ABC$ têm lados [proporcionais](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/67-funcoes-lineares-e-afins#def-g9-linfunc-linear):

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![As duas configurações de Tales: triângulos encaixados (à esquerda) e a “borboleta”, em que M e N ficam do outro lado de A (à direita). Nas duas, (MN) (BC) e as três razões são iguais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![As duas configurações de Tales: triângulos encaixados (à esquerda) e a “borboleta”, em que M e N ficam do outro lado de A (à direita). Nas duas, (MN) (BC) e as três razões são iguais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*As duas configurações de Tales: triângulos encaixados (à esquerda) e a “borboleta”, em que $M$ e $N$ ficam do outro lado de $A$ (à direita). Nas duas, $(MN) \parallel (BC)$ e as três razões são iguais.*

**Método 68.2 (Calcular um comprimento com Tales).**

1. Identifique o ponto $A$ em que as duas retas se cruzam e as duas [retas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) ; nomeie os dois triângulos;
2. escreva as três razões iguais, sempre “triângulo pequeno sobre triângulo grande”;
3. guarde a igualdade das duas razões que envolvem os três comprimentos conhecidos e o desconhecido;
4. resolva a proporção obtida multiplicando em cruz.

**Exemplo 68.3.**

Na configuração da esquerda, acima, suponha $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 2.4$ e $MN = 3.3$, e vamos calcular $AC$ e $BC$. Tales dá

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{isto é,}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$, multiplicando em cruz: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$, então $AC = 4$. De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$: $3 \times BC = 16.5$, então $BC = 5.5$.

**Exemplo 68.4 (Tales na vida real).**

Uma vara vertical de $1$ m de altura projeta uma sombra de $1.5$ m, enquanto uma árvore projeta uma sombra de $12$ m no mesmo instante. Os raios de sol são paralelos, então o triângulo da vara com a sombra dela e o da árvore com a sombra dela estão em configuração de Tales:

$$
\frac{\text{altura da árvore}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{então a árvore tem } 8 \text{ m de altura.}
$$

## 68.2 A recíproca

**Teorema 68.5 (Recíproca de Tales).**

Com os pontos posicionados como no [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) ($M$ sobre $(AB)$, $N$ sobre $(AC)$, na mesma ordem nas duas retas): se

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

então as retas $(MN)$ e $(BC)$ são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 68.6 (Demonstrar ou refutar o paralelismo).**

1. Calcule separadamente as duas razões $\dfrac{AM}{AB}$ e $\dfrac{AN}{AC}$ (como frações, não como [arredondamentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-rounding) );
2. se elas forem iguais *e* os pontos estiverem na mesma ordem nas duas retas, as retas são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) (recíproca de Tales);
3. se forem diferentes, as retas *não* são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) — porque, se fossem, o teorema de Tales obrigaria as razões a serem iguais.

**Exemplo 68.7.**

Na reta 1, $AM = 4$ e $AB = 10$; na reta 2, $AN = 6$ e $AC = 15$. Então

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

razões iguais, mesma ordem: $(MN) \parallel (BC)$.

Com $AC = 14$ em vez disso: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$, então as retas não são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp).

## 68.3 Ampliação e redução

**Definição 68.8 (Mudar a escala de uma figura).**

Ampliar ou reduzir uma figura pelo *fator de escala* $k > 0$ é multiplicar *todos* os comprimentos dela por $k$: uma *ampliação* quando $k > 1$, uma *redução* quando $k < 1$. Na configuração de Tales, o triângulo $AMN$ é a redução de $ABC$ pelo fator $k = \frac{AM}{AB}$.

**Proposição 68.9 (Efeito sobre ângulos e áreas).**

Mudar a escala pelo fator $k$ preserva os ângulos e a forma das figuras, multiplica todo comprimento por $k$ e multiplica toda *[área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area)* por $k^2$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Dobrar os comprimentos (k = 2) multiplica a área por k2 = 4: quatro cópias do retângulo pequeno ladrilham o grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-d00eeb2bf80f.svg)

*Dobrar os comprimentos ($k = 2$) multiplica a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) por $k^2 = 4$: quatro cópias do retângulo pequeno ladrilham o grande.*

**Exemplo 68.10.**

Uma foto de $10 \times 15$ cm é ampliada com fator de escala $k = 3$: a cópia mede $30 \times 45$ cm. A [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) dela passa de $150$ cm$^2$ para $150 \times 9 = 1350$ cm$^2$ — $9$ vezes maior, e não $3$.

## 68.4 Exercícios

**Exercício 68.1 ★.**

As retas $(MN)$ e $(BC)$ são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), com $M$ sobre $[AB]$ e $N$ sobre $[AC]$; $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $BC = 9$. Calcule $AC$ e $MN$.

**Solução de Exercício 68.1.**

Tales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, isto é, $\dfrac26 = \dfrac13$. Então $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ dá $AC = 9$, e $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ dá $MN = 3$.

**Exercício 68.2 ★.**

Mesma configuração: $AM = 5$, $MB = 3$ (atenção: $MB$, e não $AB$!), $AN = 4$. Calcule $AC$.

**Solução de Exercício 68.2.**

Primeiro ache $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$. Depois, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ dá $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$, então $5 \times AC = 32$ e $AC = 6.4$.

**Exercício 68.3 ★.**

Numa configuração borboleta, $A$ está entre $M$ e $B$ e entre $N$ e $C$, com $(MN) \parallel (BC)$; $AM = 3$, $AB = 7.5$, $AN = 2$, $MN = 2.6$. Calcule $AC$ e $BC$.

**Solução de Exercício 68.3.**

A borboleta funciona exatamente como a configuração encaixada: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, isto é, $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$. Então $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ dá $AC = 5$, e $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ dá $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$.

**Exercício 68.4 ★.**

$M$ está sobre $[AB]$ com $AM = 6$, $AB = 8$; $N$ está sobre $[AC]$ com $AN = 9$, $AC = 12$. As retas $(MN)$ e $(BC)$ são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)?

**Solução de Exercício 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ e $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$: razões iguais, pontos na mesma ordem, então $(MN) \parallel (BC)$ pela recíproca de Tales.

**Exercício 68.5 ★★.**

Como acima, com $AM = 4$, $AB = 6$, $AN = 5$, $AC = 8$. As retas $(MN)$ e $(BC)$ são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp)? Justifique com cuidado.

**Solução de Exercício 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ e $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$. Conferindo com [denominador](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) comum: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ e $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$: as razões diferem. Se as retas fossem [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp), o teorema de Tales obrigaria as razões a serem iguais — então $(MN)$ e $(BC)$ *não* são [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp).

**Exercício 68.6 ★★.**

Uma pessoa de $1.8$ m de altura está a $2$ m da base de um poste de iluminação; a sombra dela mede $3$ m. Trace a configuração de Tales formada pelo poste, pela pessoa e pela ponta da sombra, e calcule a altura do poste.

**Solução de Exercício 68.6.**

Seja $S$ a ponta da sombra, $P$ o alto da cabeça da pessoa e $L$ o alto do poste. A pessoa ($1.8$ m à distância $3$ m de $S$) e o poste (altura $h$ à distância $3 + 2 = 5$ m de $S$) são dois [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) verticais paralelos cortados pelo raio de luz $(SL)$: Tales a partir do ponto $S$ dá

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{então}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.
$$

**Exercício 68.7 ★★.**

Um mapa tem escala $1 : 25\,000$ (os comprimentos no mapa são os comprimentos reais multiplicados por $k = \frac{1}{25000}$).

1. Dois povoados distam $6.8$ cm um do outro no mapa. Qual é a distância real, em km?
2. Uma floresta tem [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de $8$ cm $^2$ no mapa. Qual é a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real dela, em km $^2$ ?

**Solução de Exercício 68.7.**

*1.* Distância real: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

*2.* As [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) mudam pelo fator $k^2$: [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) real $= 8 \times 25\,000^2$ cm$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm$^2$ $= 5 \times 10^9$ cm$^2$. Como $1$ km$^2 = 10^{10}$ cm$^2$, isso dá $0.5$ km$^2$.

**Exercício 68.8 ★★.**

O triângulo $ABC$ tem $AB = 12$, $AC = 15$, $BC = 18$. O ponto $M$ sobre $[AB]$ satisfaz $AM = 8$, e a reta que passa por $M$ paralelamente a $(BC)$ corta $[AC]$ em $N$.

1. Calcule $AN$ e $MN$ .
2. Qual é o [fator de escala](#def-g9-thales-scaling) de $ABC$ para $AMN$ ? Compare os [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) dos dois triângulos.

**Solução de Exercício 68.8.**

*1.* A razão é $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$. Tales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ e $MN = \frac23 \times 18 = 12$.

*2.* O [fator de escala](#def-g9-thales-scaling) é $k = \frac23$. [Perímetros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter): $ABC$ tem $12 + 15 + 18 = 45$, e $AMN$ tem $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$: o [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-perimeter) também muda pelo fator $k$, como todo comprimento.

**Exercício 68.9 ★★★.**

Seja $ABCD$ um trapézio com $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$ e $CD = 6$, cujas diagonais $[AC]$ e $[BD]$ se encontram em $O$. Usando Tales na configuração borboleta em torno de $O$, calcule a razão $\dfrac{OA}{OC}$ e mostre que $O$ corta as duas diagonais na mesma razão.

**Solução de Exercício 68.9.**

Em torno de $O$, as retas $(AC)$ e $(BD)$ se cruzam, e $(AB) \parallel (CD)$: configuração borboleta com os triângulos $OAB$ e $OCD$. Tales dá

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

Então $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$, e a igualdade $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ diz precisamente que $O$ corta as duas diagonais na mesma razão.

## 68.5 Problema: a régua sem marcação, a câmara escura e as três médias de um trapézio

**Problema 68.1.**

Problema de fim de semana — Tales em ação: dividir um segmento qualquer em partes iguais, medir o Sol com uma caixa de sapatos e um trapézio em que as três médias famosas se encontram

O teorema de Tales é a matemática dos *raios*: raios de sol, raios de luz por um furinho, feixes de retas que saem de um [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). Este problema o usa de três maneiras — como ferramenta de construção (dividir um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de comprimento *qualquer*, até mesmo $\sqrt2$, em partes perfeitamente iguais), como instrumento de medida (o [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) do Sol, com uma caixa de sapatos e uma moeda) e como lupa sobre o trapézio do [Exercício 68.9](#exo-g9-thales-9), em que as médias aritmética, geométrica e harmônica desta série aparecem todas numa figura só.

**Parte I — Dividir com uma régua sem marcação.**

1. Trace um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm. Para cortá-lo em três partes iguais com compasso e régua sem marcação: trace uma semirreta qualquer a partir de $A$ (que não passe por $B$ ); marque nela três aberturas iguais de compasso, obtendo os pontos $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; ligue $P_3$ a $B$ ; trace as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) a $(P_3 B)$ que passam por $P_1$ e por $P_2$ . Execute a construção e marque onde as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) cortam $[AB]$ .
2. Justifique com o [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) que os dois pontos marcados cortam $[AB]$ exatamente nos terços dele.
3. Adapte o método para dividir um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) em $5$ partes iguais e depois para construir $\frac35$ de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) dado.
4. Construa o ponto $M$ de $[AB]$ com $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (isto é, $M$ a $\frac25$ do caminho a partir de $A$ ). Quantos passos iguais na semirreta, e que ponto se liga a $B$ ?
5. Por que essa construção é melhor do que medir com uma régua graduada? Considere um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) de comprimento $\sqrt2$ (a diagonal de um quadrado de lado $1$ , irracional pelo [Problema 65.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas#pb-g9-sqrt-1) ): o que a medição daria, e o que Tales dá?

**Parte II — A câmara escura de furinho.** Fure com um alfinete uma [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) de uma caixa fechada: na [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposta, aparece uma imagem do mundo de cabeça para baixo. Um ponto do objeto, o furinho e o ponto da imagem ficam alinhados — a luz viaja em linha reta — então o objeto (altura $H$, à distância $D$ na frente do furo) e a imagem dele (altura $h$, na parede do fundo, à profundidade $d$ atrás do furo) ficam na configuração borboleta de Tales.

6. Deduza a fórmula do furinho, $h = H \times \frac dD$ , de Tales na borboleta em torno do furo.
7. Uma árvore de $12$ m fica a $30$ m de uma caixa de sapatos de $20$ cm de profundidade. Que altura tem a imagem dela, e em que posição?
8. Aponte a caixa para o Sol: a $d = 1$ m atrás do furinho, a imagem do Sol é um disco de cerca de $9$ mm de [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) . Dada a distância do Sol, $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calcule o [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) dele em [notação científica](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-scientific) (a notação do [Problema 63.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#pb-g9-fractions-1) em ação). Compare com o valor verdadeiro, $1.39 \times 10^9$ m.
9. A Lua: [diâmetro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-circle) $3.5 \times 10^6$ m, distância $3.8 \times 10^8$ m. Calcule a razão $\frac{\text{diâmetro}}{\text{distância}}$ para a Lua e para o Sol. Que coincidência de sorte os dois números revelam — e que acontecimento espetacular ela torna possível?
10. Em uma ou duas frases: por que a imagem do furinho fica de cabeça para baixo, e por que alargar o furo deixa a imagem mais clara, porém mais borrada?

**Parte III — O trapézio das três médias.** $ABCD$ é o trapézio do [Exercício 68.9](#exo-g9-thales-9): $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, com as diagonais se cruzando em $O$ e $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$.

11. Treino de borboleta: duas retas se cruzam em $O$ com $(MN) \parallel (PQ)$ em posição de borboleta; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ e $OQ = 6$ . Calcule $PQ$ e $ON$ .
12. Explique como Tales, aplicado com razão $\frac12$ , contém o teorema dos pontos médios do [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#thm-g8-midpoints-direct) como caso particular.
13. Trace a paralela às bases que passa por $O$ ; ela encontra $[AD]$ em $E$ . Trabalhando no triângulo $ACD$ (note que $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), calcule $EO$ .
14. Pela conta espelhada no triângulo $BDC$, o pedaço $OF$ (com $F$ sobre $[BC]$) tem o mesmo comprimento. Conclua que $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ a paralela que passa pelo cruzamento das diagonais mede a *[média harmônica](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1)* das bases — a média da ida e volta do [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1), reaparecendo na geometria pura.
15. O grande final: calcule as três médias clássicas das bases $4$ e $6$ — aritmética $\frac{4+6}{2}$ , geométrica $\sqrt{4 \times 6}$ , harmônica $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — e ordene-as. Cada uma mora no trapézio: a média aritmética é a base média, que liga os pontos médios dos lados oblíquos ( [Problema 53.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#pb-g7-areas-1) ); a [média harmônica](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1) é o seu [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) $EF$ ; e a [média geométrica](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#pb-g8-cosine-1) é a paralela que corta o trapézio em dois trapézios *semelhantes* (confira o valor dela com a calculadora; a demonstração é um belo desafio extra). Onde a desigualdade entre as três foi demonstrada neste livro ( [Problema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#pb-g8-cosine-1) , [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1) )?

**Solução de Problema 68.1.**

**1.** A construção produz dois pontos sobre $[AB]$; chame-os de $M_1$ (vindo de $P_1$) e $M_2$ (vindo de $P_2$).

**2.** No triângulo $A P_3 B$, as [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp) a $(P_3 B)$ que passam por $P_1$ e por $P_2$ cortam os lados proporcionalmente ([Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct)):

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

O compasso fez $A P_1$, $P_1 P_2$, $P_2 P_3$ iguais, então as razões são exatamente terços — seja qual for o ângulo da semirreta e a abertura de compasso escolhida.

**3.** Para quintos: marque cinco aberturas iguais, ligue o quinto ponto a $B$ e trace quatro [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-perp). Para $\frac35$ de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects): mesma figura, e tome o ponto cortado pela paralela que passa por $P_3$: ele fica a $\frac{3}{5}$ de $[AB]$ a partir de $A$.

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ significa $AM = \frac25 AB$: cinco passos iguais na semirreta, ligue $P_5$ a $B$, e a paralela que passa por $P_2$ marca $M$.

**5.** Medir $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm só usa uma quantidade finita de casas decimais: qualquer “terço” medido é uma aproximação. A construção de Tales não lê número nenhum: ela entrega o ponto exato em $\frac{\sqrt2}{3}$ — partes iguais de um [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) que régua alguma consegue sequer exprimir ([Problema 65.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/65-raizes-quadradas#pb-g9-sqrt-1)).

**6.** O alto do objeto, o furo e a parte de baixo da imagem estão alinhados, e o mesmo vale para a base do objeto e o alto da imagem: duas retas que se cruzam no furo, com o objeto e a parede da imagem paralelos. Tales na borboleta:

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{então}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — de cabeça para baixo (os raios se cruzam no furo).

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Valor verdadeiro $1.39 \times 10^9$ m: uma caixa de sapatos mede o Sol com poucos por cento de erro.

**9.** Lua: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8} \approx
0.0092$. Sol: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx
0.0093$. As duas razões — os tamanhos aparentes no céu — são quase idênticas: a Lua consegue cobrir o Sol *exatamente*, borda a borda. Esse acaso cósmico é o eclipse solar total.

**10.** Todo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) precisa passar pelo único furo, então os [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) que vêm do alto do objeto seguem *para baixo* e os que vêm da base seguem *para cima*: a imagem fica invertida. Alargar o furo deixa passar um feixe inteiro de cópias levemente deslocadas da imagem, que se sobrepõem: mais clara, porém borrada.

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3} = 2.5$, então $PQ = 10$; e $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2.5}$, então $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$.

**12.** Se a paralela passa pelo ponto médio de um lado, a razão de Tales é $\frac12$, então ela corta o segundo lado *no ponto médio dele*, e o [segmento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo mede a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da base: precisamente o [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/59-pontos-medios-e-paralelas#thm-g8-midpoints-direct). Tales é o teorema dos pontos médios libertado da razão $\frac12$.

**13.** No triângulo $ACD$, a reta $(EO)$ é paralela à base $(CD)$, com $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} =
\frac25$. Tales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$, então $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$.

**14.** No triângulo $BDC$, do mesmo modo, $\frac{BO}{BD} = \frac25$ e $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$. Logo,

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

a [média harmônica](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1) das bases — a média das idas e voltas ([Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1)), desenhada num trapézio.

**15.** Aritmética: $5$; geométrica: $\sqrt{24} \approx 4.90$; harmônica: $4.8$. Ordem: $4.8 < 4.90\ldots < 5$, isto é, harmônica $<$ geométrica $<$ aritmética — com igualdade só para bases iguais. Na figura: a base média mede $5$, a paralela pelo cruzamento das diagonais mede $4.8$ e o corte de semelhança mede $\sqrt{24}$, todas empilhadas entre as bases nessa ordem. As desigualdades foram demonstradas no [Problema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/60-o-triangulo-retangulo-e-o-cosseno#pb-g8-cosine-1) (geométrica $\leq$ aritmética, pelo círculo e pela identidade) e no [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/61-proporcionalidade-velocidade-e-medias#pb-g8-speed-1) (harmônica $\leq$ aritmética); harmônica $\leq$ geométrica sai combinando as duas ($H \times A = G^2$, também demonstrado ali).