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title: "Trigonometria no triângulo retângulo"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 69
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/69-trigonometria-no-triangulo-retangulo
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# Capítulo 69 — Trigonometria no triângulo retângulo

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), assim que se conhece um ângulo agudo, a *forma* do triângulo fica fixa — só o tamanho dele pode variar. As razões entre os lados dependem, portanto, apenas do ângulo: essas razões são o [cosseno](#def-g9-trig-ratios), o [seno](#def-g9-trig-ratios) e a [tangente](#def-g9-trig-ratios). Junto com o teorema de Pitágoras, elas permitem calcular todos os lados e todos os ângulos de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) a partir de pouquíssima informação.

## 69.1 O teorema de Pitágoras, de novo

**Teorema 69.1 (Pitágoras).**

Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$, o quadrado da hipotenusa é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos quadrados dos dois catetos:

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 .
$$

Reciprocamente, se $BC^2 = AB^2 + AC^2$ num triângulo, então o triângulo é retângulo em $A$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 69.2.**

Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem catetos $AB = 5$ e $AC = 12$. Então

$$
BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169,
\qquad\text{então}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .
$$

Para achar um *cateto*: se $BC = 10$ e $AB = 6$, então $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$, então $AC = 8$.

## 69.2 Cosseno, seno, tangente

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), em relação a um ângulo agudo $\theta$, os três lados têm nomes: a *hipotenusa* (oposta ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle), o lado mais longo), o cateto *oposto* a $\theta$ e o cateto *adjacente* a $\theta$ (o cateto que toca $\theta$).

**Definição 69.3 (Razões trigonométricas).**

Para um ângulo agudo $\theta$ de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles):

$$
\cos\theta = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},
\qquad
\sin\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},
\qquad
\tan\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} .
$$

Essas razões dependem apenas de $\theta$, e não do tamanho do triângulo (todos os [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) com o mesmo ângulo agudo são mudanças de escala uns dos outros, por Tales).

![Os três lados vistos do ângulo = B: a hipotenusa (BC), o cateto adjacente (BA), o cateto oposto (AC).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-bf9821695ab3.svg)

*Os três lados vistos do ângulo $\theta = \widehat B$: a hipotenusa $[BC]$, o cateto adjacente $[BA]$, o cateto oposto $[AC]$.*

**Proposição 69.4 (Primeiras propriedades).**

Para todo ângulo agudo $\theta$:

1. $0 < \cos\theta < 1$ e $0 < \sin\theta < 1$ (um cateto é mais curto que a hipotenusa);
2. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
3. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

**Demonstração.** Escreva $a$ para o cateto adjacente, $o$ para o cateto oposto e $h$ para a hipotenusa de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) com ângulo $\theta$.

1. $0 < a < h$ e $0 < o < h$, então as duas razões ficam estritamente entre $0$ e $1$.

2. Por Pitágoras, $a^2 + o^2 = h^2$. Divida tudo por $h^2$:

$$
\cos^2\theta + \sin^2\theta
= \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2}
= \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .
$$

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa
= \tan\theta$. ∎

**Método 69.5 (Achar um lado).**

Para calcular um lado desconhecido quando se conhecem um lado e um ângulo agudo:

1. marque o ângulo conhecido e nomeie os três lados (hipotenusa, oposto, adjacente) *a partir desse ângulo* ;
2. escolha a razão ( [cosseno](#def-g9-trig-ratios) , [seno](#def-g9-trig-ratios) ou [tangente](#def-g9-trig-ratios) ) que envolve o lado conhecido e o lado procurado;
3. escreva a [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) e resolva-a;
4. confira o bom senso: a hipotenusa tem de sair como o lado mais longo.

**Exemplo 69.6.**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), a hipotenusa mede $8$ e um ângulo é $35^\circ$; calcule o cateto oposto a ele. A razão que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o [seno](#def-g9-trig-ratios):

$$
\sin 35^\circ = \frac{\text{oposto}}{8}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{oposto} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .
$$

Para o cateto adjacente, use o [cosseno](#def-g9-trig-ratios): $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$. Confira com Pitágoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$.

**Método 69.7 (Achar um ângulo).**

Quando se conhecem dois lados, calcule a razão que eles formam, identifique-a como [cosseno](#def-g9-trig-ratios), [seno](#def-g9-trig-ratios) ou [tangente](#def-g9-trig-ratios) do ângulo desconhecido e aplique a função inversa da calculadora ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$) a essa razão.

**Exemplo 69.8.**

Uma escada de $5$ m de comprimento se apoia numa parede, com o pé a $1.4$ m da parede. O ângulo $\theta$ entre a escada e o chão satisfaz

$$
\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28,
\qquad\text{então}\quad
\theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .
$$

![O problema da escada: o cateto adjacente (1.4 m) e a hipotenusa (5 m) são conhecidos, então o cosseno dá o ângulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-6daa11ccbd02.svg)

*O problema da escada: o cateto adjacente ($1.4$ m) e a hipotenusa ($5$ m) são conhecidos, então o [cosseno](#def-g9-trig-ratios) dá o ângulo.*

**Exemplo 69.9 (Ângulos especiais).**

Dois triângulos dão valores exatos. A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um quadrado de lado 1 (um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles)) tem hipotenusa $\sqrt2$ e ângulos de $45^\circ$:

$$
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},
\qquad \tan 45^\circ = 1 .
$$

A [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado 1 dá os ângulos $30^\circ$ e $60^\circ$:

$$
\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12,
\qquad
\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.
$$

## 69.3 Exercícios

**Exercício 69.1 ★.**

Um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tem catetos $9$ e $12$. Calcule a hipotenusa dele. Outro tem hipotenusa $17$ e um cateto $8$: calcule o outro cateto.

**Solução de Exercício 69.1.**

Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Outro cateto: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

**Exercício 69.2 ★.**

Um triângulo tem lados $7$, $24$ e $25$. Ele é retângulo? Mesma pergunta para os lados $5$, $6$ e $8$.

**Solução de Exercício 69.2.**

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$: sim, é retângulo (recíproca de Pitágoras), com o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) oposto ao lado $25$.

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$: não é retângulo.

**Exercício 69.3 ★.**

Num triângulo $DEF$ retângulo em $D$, com o ângulo em $E$ chamado $\theta$: que lado é a hipotenusa? Que lado é o oposto a $\theta$? Escreva $\cos\theta$, $\sin\theta$ e $\tan\theta$ como razões entre os lados $DE$, $DF$, $EF$.

**Solução de Exercício 69.3.**

A hipotenusa é $[EF]$ (oposta ao [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) em $D$). O cateto oposto a $\theta = \widehat E$ é $[DF]$; o cateto adjacente é $[DE]$. Logo,

$$
\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad
\sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad
\tan\theta = \frac{DF}{DE}.
$$

**Exercício 69.4 ★.**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), a hipotenusa mede $10$ e um ângulo agudo é $28^\circ$. Calcule os dois catetos (arredonde ao décimo; $\cos 28^\circ \approx 0.883$, $\sin 28^\circ \approx 0.469$).

**Solução de Exercício 69.4.**

Cateto oposto: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$. Cateto adjacente: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$. (Conferindo: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$.)

**Exercício 69.5 ★.**

Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles), o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ mede $6$ e o cateto oposto mede $4.5$. Calcule $\tan\theta$ e depois $\theta$ (arredonde ao grau; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$).

**Solução de Exercício 69.5.**

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$, então $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$.

**Exercício 69.6 ★★.**

Um drone voa a uma altitude de $120$ m. De um observador no chão, ele é visto sob um ângulo de elevação de $32^\circ$. A que distância horizontal do observador o drone está ($\tan 32^\circ \approx 0.625$)?

**Solução de Exercício 69.6.**

No [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) formado pelo observador, pelo ponto do chão logo abaixo do drone e pelo drone: a altitude de $120$ m é o cateto oposto ao ângulo de elevação, e a distância horizontal $d$ é o cateto adjacente. Então

$$
\tan 32^\circ = \frac{120}{d},
\qquad
d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192
\text{ m}.
$$

**Exercício 69.7 ★★.**

Uma rampa de acesso precisa subir $1.2$ m com um ângulo de no máximo $5^\circ$ em relação à horizontal. Que comprimento mínimo, ao longo da inclinação, a rampa precisa ter ($\sin 5^\circ \approx 0.0872$)? Arredonde para cima, ao décimo de metro.

**Solução de Exercício 69.7.**

A subida ($1.2$ m) é o cateto oposto ao ângulo; o comprimento $L$ da rampa é a hipotenusa:

$$
\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L},
\qquad
L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8
\text{ m}.
$$

A rampa precisa ter pelo menos $13.8$ m de comprimento.

**Exercício 69.8 ★★.**

Usando a [Proposição 69.4](#prop-g9-trig-properties): um ângulo agudo $\theta$ satisfaz $\cos\theta = 0.6$. Calcule $\sin\theta$ sem achar $\theta$ e depois $\tan\theta$.

**Solução de Exercício 69.8.**

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, e $\sin\theta > 0$ para um ângulo agudo, então $\sin\theta = 0.8$. Daí, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} =
\dfrac43$.

**Exercício 69.9 ★★★.**

Justifique os valores exatos do [Exemplo 69.9](#ex-g9-trig-special): no [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $1$, calcule a hipotenusa; no [triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$, calcule a altura e deduza o [cosseno](#def-g9-trig-ratios) e o [seno](#def-g9-trig-ratios) de $30^\circ$ e de $60^\circ$.

**Solução de Exercício 69.9.**

*[Triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles)* de catetos $1$: hipotenusa $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$; cada ângulo agudo é $45^\circ$, e

$$
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ,
\qquad
\tan 45^\circ = \frac11 = 1 .
$$

*[Triângulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles)* de lado $1$: a altura dele o divide em dois [triângulos retângulos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de hipotenusa $1$, base $\frac12$ e altura $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pitágoras). Os ângulos são $60^\circ$ (na base) e $30^\circ$ (no topo). Lendo as razões:

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\sin 30^\circ = \frac12 .
$$

## 69.4 Problema: medir o que não se alcança

**Problema 69.1.**

Problema de fim de semana — o método topográfico de duas estações para alturas inacessíveis, a inclinação das estradas, a distância até o horizonte e a corrida da tangente ao infinito

Trena nenhuma alcança o topo de uma montanha, o cume de uma torre do outro lado de um rio ou o horizonte no mar — mas um medidor de ângulos e as três razões deste capítulo alcançam. A peça central deste problema é o clássico *método de duas estações* dos topógrafos, que calcula uma altura sem jamais se aproximar da base dela; em volta dele: placas de estrada, escadas, degraus, a curvatura da Terra e um primeiro vislumbre de uma função que explode ao infinito.

**Parte I — Uma estação.** (Valores: $\tan 35^\circ \approx 0.700$, $\sin 35^\circ \approx 0.574$, $\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\tan 1^\circ \approx 0.0175$.)

1. De um ponto a $60$ m do pé de um farol, o topo é visto sob uma elevação de $35^\circ$ (medida a partir da horizontal, na altura dos olhos). Que altura o topo tem acima da altura dos olhos?
2. Uma placa de estrada anuncia uma inclinação de $12\,\%$ : a estrada sobe $12$ m a cada $100$ m percorridos na horizontal. Que ângulo a estrada faz com a horizontal? E que porcentagem de inclinação teria uma estrada de $45^\circ$ ?
3. Os dois ângulos agudos de um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) são complementares, e o cateto oposto a cada um é o cateto adjacente ao outro. Deduza as identidades do “co”: $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta,  \qquad  \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$$
4. Uma escada de $8$ m se apoia a $60^\circ$ do chão. Usando os valores exatos do [Exemplo 69.9](#ex-g9-trig-special) , dê a altura alcançada e a distância do pé até a parede — de forma exata e depois ao centímetro.
5. Verifique $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numericamente para $\theta = 35^\circ$ e de forma exata para $\theta = 60^\circ$ . Por que essa identidade ( [Proposição 69.4](#prop-g9-trig-properties) ) é um bom hábito para conferir o trabalho na calculadora?

**Parte II — Duas estações.** O cume de uma montanha está visível, e a base dela é inalcançável. De um ponto $A$, a elevação do cume é $30^\circ$; andando $200$ m em linha reta em direção à montanha, até $B$, a elevação passa a $40^\circ$. Escreva $h$ para a altura do cume acima da altura dos olhos e $x$ para a distância horizontal de $B$ até a vertical do cume. ($\tan 30^\circ \approx 0.577$, $\tan 40^\circ \approx 0.839$.)

6. Expresse $\tan 40^\circ$ e $\tan 30^\circ$ usando $h$ , $x$ e $x + 200$ : duas [equações](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def) para duas incógnitas.
7. De cada [equação](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/57-calculo-literal-e-equacoes#def-g8-equations-def), expresse a distância horizontal em função de $h$, subtraia e obtenha a fórmula das duas estações: $$h = \frac{200}  {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$$ Calcule $h$ arredondando à dezena de metros.
8. Calcule também $x$ e confira as suas duas respostas contra a visada de $30^\circ$ a partir de $A$ .
9. Em uma frase: por que o método das duas estações é indispensável — que única medida, impossível aqui, o método de uma estação da questão 1 teria exigido?
10. Uma torre é avistada a $30^\circ$ e a $60^\circ$ depois de andar $200$ m em direção a ela. Usando $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ e $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calcule a altura *exatamente* — a resposta é um [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/64-aritmetica-divisores-e-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $\sqrt3$ — e depois ao metro.

**Parte III — Até o horizonte e parede acima.**

11. A que distância fica o horizonte? De pé, com os olhos a $h$ metros acima de uma Terra esférica de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $R$ , a sua linha de visão roça a esfera: a linha de visão, o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) até o ponto de contato e o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) até os seus pés formam um [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) . Mostre, com Pitágoras ( [Teorema 69.1](#thm-g9-trig-pythagoras) ), que a distância $d$ até o horizonte satisfaz $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , e calcule $d$ para olhos a $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
12. Mesma pergunta do alto de uma torre de $324$ m. (Regra prática dos marinheiros: o horizonte em quilômetros é cerca de $3.6\sqrt{h}$ , com $h$ em metros — confira as suas duas respostas com ela.)
13. O seu polegar, de uns $2$ cm de largura, esticado à distância do braço, a uns $60$ cm do olho: que ângulo ele cobre? A Lua cheia cobre cerca de $0.5^\circ$ : que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) do seu polegar esconde a Lua inteira?
14. Escadas confortáveis têm degraus de $17$ cm de altura e $29$ cm de profundidade. Que ângulo elas sobem? Compare com os $30^\circ$ do [Exemplo 69.9](#ex-g9-trig-special) e com uma escada de sótão bem íngreme, a $60^\circ$ : que altura de degrau *ela* precisaria numa profundidade de $29$ cm?
15. A corrida da [tangente](#def-g9-trig-ratios) : calcule (com a calculadora) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . O que acontece quando o ângulo se aproxima de $90^\circ$ , e por quê (pense no cateto adjacente)? A parede é vertical, a razão não tem valor, e o gráfico dispara para o infinito — a sua primeira *assíntota* , uma criatura estudada de perto no volume do ensino médio.

**Solução de Problema 69.1.**

**1.** A altura acima da altura dos olhos é o cateto oposto a $35^\circ$, com cateto adjacente $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

**2.** $\tan\theta = 0.12$ dá $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — íngreme para uma estrada, e ainda assim um ângulo modesto. Uma estrada de $45^\circ$ tem $\tan 45^\circ = 1$: uma inclinação de $100\,\%$. (“Cem por cento” está longe da vertical — um mal-entendido predileto nas pistas de esqui.)

**3.** Num [triângulo retângulo](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/41-triangulos-e-quadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de ângulos agudos $\theta$ e $90^\circ - \theta$, o cateto oposto a um é adjacente ao outro, e a hipotenusa é comum. Então $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{o oposto a ele}}{h} =
\frac{\text{adjacente a }\theta}{h} = \cos\theta$, e, simetricamente, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$: o *co*sseno é o [seno](#def-g9-trig-ratios) do *co*mplemento.

**4.** Altura: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} =
4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pé: $8 \cos 60^\circ = 4$ m, exatamente.

**5.** $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (a menos do [arredondamento](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/38-numeros-decimais#def-g6-decimals-rounding)); e $\left(\frac12\right)^2 +
\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$. Qualquer par de valores que falhe na identidade denuncia uma leitura errada ou uma calculadora no modo errado — um detector de erros de graça.

**6.** $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ e $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$.

**7.** $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ e $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$; subtraindo, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} -
\frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$, de onde sai a fórmula. Números: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$, $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$, [diferença](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/3-subtracao-primeiros-passos#ex-g1-subtraction-difference) $0.540$: $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

**8.** $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839}
\approx 441$ m. Conferindo a partir de $A$: $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 =
\tan 30^\circ$: coerente.

**9.** O método de uma estação precisa da distância horizontal até o ponto *diretamente abaixo do cume* — impossível de medir através de um desfiladeiro ou dentro de uma montanha. O método de duas estações a troca por uma distância que você mesmo consegue percorrer a pé: os $200$ m entre os seus dois pontos de observação.

**10.** $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}}
= \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — o segundo andar da Torre Eiffel, medido com duas visadas e uma caminhada.

**11.** Linha de visão $d$, [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $R$ (até o ponto de contato, perpendicular à linha de visão) e $R + h$ (até o olho): Pitágoras dá $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$, então $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ($h$ é minúsculo diante de $R$). Olhos a $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8}
\approx 4\,800$ m — o horizonte no mar fica a menos de cinco quilômetros.

**12.** $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324}
\approx 64$ km. Regra dos marinheiros: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km e $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — as duas batem.

**13.** $\tan\theta = \frac{2}{60}$ dá $\theta \approx 1.9^\circ$. Os $0.5^\circ$ da Lua são cerca de um *quarto* de polegar: a Lua parece enorme e é escondida por uma unha — o olho é um transferidor ruim.

**14.** Escadas: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — escadas confortáveis sobem quase exatamente nos $30^\circ$ dos valores especiais. A $60^\circ$ numa profundidade de $29$ cm, o degrau teria $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm de altura: uma escada de mão, não uma escadaria.

**15.** $\tan 10^\circ \approx 0.18$; $\tan 45^\circ = 1$; $\tan 80^\circ \approx 5.7$; $\tan 89^\circ \approx 57.3$. Quando $\theta$ se aproxima de $90^\circ$, o cateto adjacente encolhe até sumir enquanto o cateto oposto se mantém: o [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) cresce além de qualquer limite. Em $90^\circ$, exatamente, não há triângulo nem valor — o gráfico da [tangente](#def-g9-trig-ratios) sobe por uma assíntota vertical, a primeira de muitas no volume do ensino médio.