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title: "Sólidos e volumes"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/70-solidos-e-volumes
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# Capítulo 70 — Sólidos e volumes

A geometria do espaço começa com uma pequena família de [sólidos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) — [prismas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism), [cilindros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism), [pirâmides](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def), [cones](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def), esferas — e duas perguntas: quanto eles comportam ([volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume)) e o que se vê quando são fatiados (seções)? O capítulo se fecha com um fato de grande importância prática: mudar a escala de um [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) por $k$ multiplica o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dele por $k^3$.

## 70.1 Os sólidos clássicos e os volumes deles

**Teorema 70.1 (Fórmulas de volume).**

Escreva $B$ para a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base e $h$ para a altura (a distância entre a base e a [face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) oposta ou o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo).

| [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) | [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) |
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| [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism), [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def), [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

Para um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) e um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$, a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base é $B = \pi r^2$; a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da superfície da esfera é $4\pi r^2$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Os sólidos deste capítulo. Em cada um, o volume envolve uma área de base e uma altura — menos na esfera, que só precisa do raio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-3e49d799ddf4.svg)

*Os [sólidos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) deste capítulo. Em cada um, o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) envolve uma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de base e uma altura — menos na esfera, que só precisa do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes).*

**Exemplo 70.2.**

Uma lata cilíndrica tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e altura $10$ cm:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503
\text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.
$$

Um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de mesma base e mesma altura comporta um terço disso: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$. Uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$.

**Exemplo 70.3 (Uma pirâmide passo a passo).**

Uma [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) tem base quadrada de lado $6$ m e altura $5$ m.

1. [Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
2. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Atenção às unidades: se o lado fosse dado em cm e a altura em m, um dos dois teria de ser convertido antes.

## 70.2 Seções por planos

**Proposição 70.4 (Seções dos sólidos clássicos).**

Cortar um [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) por um plano produz uma figura plana, a *seção transversal* dele:

- um [prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) ou [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) cortado *paralelamente à base* dá uma cópia da base, em qualquer altura;
- uma [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) ou um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) cortado paralelamente à base dá uma *redução* da base: à distância $d$ do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) do topo, o [fator de escala](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#def-g9-thales-scaling) é $k = \frac{d}{h}$ ;
- uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ cortada por um plano à distância $d < r$ do centro dá um círculo de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$ (pelo teorema de Pitágoras).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![À esquerda: cortar um cone paralelamente à base, à distância d do vértice, dá um disco reduzido pelo fator k = dh. À direita: um plano à distância d do centro de uma esfera a corta num círculo de raio √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-8ea023b3b7a2.svg)

*À esquerda: cortar um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) paralelamente à base, à distância $d$ do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), dá um disco reduzido pelo fator $k = \frac dh$. À direita: um plano à distância $d$ do centro de uma esfera a corta num círculo de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**Exemplo 70.5.**

Um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da base $6$ e altura $9$. A seção por um plano paralelo à base, à distância $3$ do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), é um disco reduzido pelo fator $k = \frac39 = \frac13$: o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) dele é $6 \times \frac13 = 2$.

Uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ é cortada por um plano à distância $3$ do centro dela: a seção é um círculo de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 Mudar a escala de sólidos

**Teorema 70.6 (Efeito de uma mudança de escala sobre comprimentos, áreas e volumes).**

Quando um [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) é ampliado ou reduzido pelo fator de escala $k > 0$:

- todos os comprimentos são multiplicados por $k$ ;
- todas as [áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) são multiplicadas por $k^2$ ;
- todos os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) são multiplicados por $k^3$ .

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 70.7.**

Um carrinho de coleção na escala $\frac{1}{18}$: os comprimentos são os do carro de verdade multiplicados por $k = \frac{1}{18}$, a superfície pintada é multiplicada por $k^2 = \frac{1}{324}$, e o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume), por $k^3 = \frac{1}{5832}$.

Dobrar o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) de uma esfera ($k = 2$) multiplica o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela por $2^3 = 8$: confira na fórmula, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**Exemplo 70.8 (Tronco de cone).**

Um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de altura $9$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da base $6$ ([volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) é cortado à distância $3$ do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def), e o [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) pequeno acima do corte é retirado. O [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) pequeno é a redução pelo fator $k = \frac13$, então o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dele é $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. O [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) que resta (um *tronco de [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def)*) tem [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 Exercícios

**Exercício 70.1 ★.**

Calcule os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume): uma caixa ([prisma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) retangular) de dimensões $4 \times 5 \times 12$; um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ e altura $7$ (valor exato com $\pi$ e depois arredondado à unidade).

**Solução de Exercício 70.1.**

Caixa: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**Exercício 70.2 ★.**

Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $5$ e altura $12$ e o de uma [pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de base retangular $8 \times 3$ e altura $10$.

**Solução de Exercício 70.2.**

[Cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$.

[Pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def): [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $B = 8 \times 3 = 24$, então $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**Exercício 70.3 ★.**

Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) e a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da superfície de uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ (valores exatos com $\pi$).

**Solução de Exercício 70.3.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

[Área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da superfície: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**Exercício 70.4 ★.**

Uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $10$ é cortada por um plano à distância $8$ do centro dela. Qual é o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) do círculo da seção?

**Solução de Exercício 70.4.**

[Raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da seção: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

**Exercício 70.5 ★★.**

Um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da base $8$ e altura $12$. Um plano paralelo à base o corta à distância $9$ do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def). Calcule o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da seção e depois o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) pequeno acima do corte.

**Solução de Exercício 70.5.**

[Fator de escala](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/68-o-teorema-de-tales#def-g9-thales-scaling) do [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) inteiro para o pequeno: $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [Raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da seção: $8 \times \frac34 = 6$.

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) inteiro: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) pequeno: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$.

**Exercício 70.6 ★★.**

Um copo cilíndrico de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) interno $3$ cm contém água até a altura de $10$ cm. Uma bola de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm é totalmente submersa nele. De quanto sobe o nível da água? (O [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) acrescentado se espalha pela [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base do copo; dê a subida exata e depois arredonde ao milímetro.)

**Solução de Exercício 70.6.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) da bola: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$. Esse [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) se espalha pela [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$, então o nível sobe

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(uns $12$ mm).

**Exercício 70.7 ★★.**

Uma receita enche uma fôrma esférica de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm. Você só tem uma fôrma esférica de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Quantas fôrmas pequenas você consegue encher? (Responda sem calcular explicitamente nenhum dos dois [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume).)

**Solução de Exercício 70.7.**

A fôrma pequena é a redução da grande pelo fator $k = \frac36 = \frac12$, então o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do da grande: a receita enche $8$ fôrmas pequenas.

**Exercício 70.8 ★★.**

A Grande [Pirâmide](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de Gizé tem base quadrada de lado aproximadamente $230$ m e altura de cerca de $147$ m. Estime o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela e expresse-o em milhões de metros cúbicos.

**Solução de Exercício 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times
147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — cerca de $2.6$ milhões de metros cúbicos.

**Exercício 70.9 ★★★.**

Um funil em forma de [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def), de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm e altura $12$ cm, com o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) para baixo, é enchido de água até a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da *altura* (medida a partir do [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def)).

1. Que [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do funil fica cheia?
2. Se, em vez disso, ele for enchido com [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do *[volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume)* de água, mostre que a altura $d$ da água satisfaz $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ e dê $d$ ao milímetro ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**Solução de Exercício 70.9.**

*1.* A água forma um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) reduzido pelo fator $k = \frac12$ ([vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) para baixo, [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) da altura), então o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do funil: um oitavo, bem menos que a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half)!

*2.* A água até a altura $d$ forma um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) reduzido pelo fator $k = \frac{d}{12}$, de [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ vezes o do funil. [Metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) significa $k^3 = \frac12$, isto é, $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. Então $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, logo $d \approx 9.5$ cm: a segunda [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) ocupa apenas os $2.5$ cm de cima — a parte larga do [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) guarda quase toda a água.

## 70.5 Problema: a lápide de Arquimedes

**Problema 70.1.**

Problema de fim de semana — a esfera é dois terços do cilindro dela (duas vezes), a pilha 1:2:3 e a lei do quadrado–cubo, que proíbe gigantes

Arquimedes demonstrou muitos teoremas, mas um o deixou tão orgulhoso que ele pediu que a *figura* correspondente fosse gravada no túmulo dele: uma esfera encaixada no [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) mais justo possível. Um século depois, o escritor romano Cícero, procurando entre os arbustos perto de Siracusa, reconheceu o túmulo “pela esfera e pelo [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism)”. Este problema recupera o que a gravura guarda — um duplo milagre de dois terços — e depois segue [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) e superfícies ([Teorema 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) até uma lei que governa gigantes, formigas e planetas que esfriam.

**Parte I — A gravura decifrada.** Uma esfera de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ fica exatamente dentro de um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism): mesmo [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes), altura $2r$.

1. Calcule o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) em função de $r$ .
2. Calcule a razão entre o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) da esfera e o do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) . Por que Arquimedes pode ter gostado do fato de a resposta não conter nem $\pi$ nem $r$ ?
3. Agora as superfícies: compare a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da superfície da esfera com a superfície *total* do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) (a parte lateral mais as duas tampas). Que razão aparece — de novo?
4. O espaço vazio entre a esfera e o [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) tem [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Mostre que essa sobra é exatamente igual ao [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) de *dois [cones](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def)* de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ e altura $r$ .
5. Uma bola de basquete de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $12$ cm é vendida na caixa cilíndrica mais justa possível. Calcule os dois [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) (arredondando à centena de cm $^3$ ) e a porcentagem da caixa que fica vazia.

**Parte II — Tigelas, fôrmas e luas.**

6. Uma tigela hemisférica tem [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm. Calcule a [capacidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/12-dinheiro-e-medidas#def-g2-measure-units) dela, em cm $^3$ e em litros (ao decilitro).
7. A pilha 1:2:3: um [cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) , uma meia esfera e um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) , todos de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm e altura $10$ cm. Calcule os três [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) e verifique a lendária proporção $1 : 2 : 3$ . (Arquimedes também teria apreciado esta.)
8. Uma esfera de chocolate de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm é derretida numa fôrma cilíndrica de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Que altura o chocolate alcança? ( [Fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) exata e depois ao milímetro.)
9. O [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) da Terra é de cerca de $6\,371$ km, e o da Lua, de cerca de $1\,737$ km. Calcule a razão entre os [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) e depois — com o [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — a razão entre os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) : quantas Luas caberiam dentro de uma Terra oca, em [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) ?
10. Do mesmo teorema: qual é a razão entre as *[áreas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de superfície* da Terra e da Lua? E, em geral, quando o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) de um balão dobra, o que acontece com o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) e com a superfície dele? Enuncie a *lei do quadrado–cubo* : quando uma forma cresce, os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) deixam as superfícies para trás.

**Parte III — A lei do quadrado–cubo governa o mundo.**

11. O argumento de Galileu contra os gigantes: imagine um ser humano ampliado por um fator $10$ , com as mesmas proporções. Por que fator o peso cresce (o peso acompanha o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) )? Por que fator cresce a [seção transversal](#prop-g9-solids-sections) dos ossos (uma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) )? Por que fator cresce, então, a *pressão* sobre cada centímetro quadrado de osso — e o que acontece com o gigante?
12. A mesma lei ao contrário explica as proezas das formigas: a força acompanha a [seção transversal](#prop-g9-solids-sections) do músculo (uma [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) ), e o peso acompanha o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) . Para um animal $100$ vezes menor em todas as direções, por que fatores o peso e a força encolhem, e por que fator melhora a razão entre força e peso?
13. O calor é produzido pelo [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) do corpo e perdido pela superfície dele. Mostre que, para uma esfera, a razão entre superfície e [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) é $\frac{3}{r}$ , e calcule-a para $r = 1$ e $r = 2$ . Quem esfria mais rápido, um camundongo ou um urso — e por que os bebês precisam de touca no inverno?
14. Duas laranjas esféricas, de [raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm e $5$ cm, são vendidas pelo mesmo preço. Calcule a razão entre os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) delas: quanto mais laranja a grande entrega pelo mesmo dinheiro?
15. Final: descreva com precisão o que a figura da lápide guarda — os dois “dois terços” das questões 2 e 3 — e responda a Cícero em uma frase: por que um matemático escolheria, entre todas as conquistas do gênio dele como engenheiro, uma esfera dentro de um [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) ?

**Solução de Problema 70.1.**

**1.** $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cil}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. O $\pi$ e o $r^3$ se cancelam: a proporção é *universal* — vale para uma bolinha de gude e para um planeta. Uma relação entre formas, e não entre números: exatamente o tipo de verdade que vale gravar na pedra.

**3.** Esfera: $4\pi r^2$. [Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism): lateral $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, mais duas tampas $2 \times \pi r^2$: total $6\pi r^2$. Razão: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — os mesmos dois terços, agora para superfícies. (E um bônus: a [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) da esfera é exatamente igual à [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) lateral do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism).)

**4.** Sobra: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$. Dois [cones](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def) de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $r$ e altura $r$: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$. Iguais.

**5.** Bola: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; caixa: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$. Vazio: um terço da caixa, cerca de $33\,\%$ — garantido pela questão 2, seja qual for o tamanho da bola.

**6.** Meia esfera: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000
\approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L.

**7.** [Cone](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/62-piramides-e-cones#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$. Meia esfera: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$. [Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$. Razões: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$, exatamente.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ dá $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, exatamente.

**9.** [Raios](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes): $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. Os [volumes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) mudam com o cubo ([Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$. Cabem umas cinquenta Luas na Terra.

**10.** As superfícies mudam com o quadrado: $3.67^2 \approx 13.5$. Dobrar o [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) de um balão multiplica o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) dele por $2^3 = 8$, mas a superfície por apenas $2^2 = 4$: à medida que as coisas crescem, o [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) (peso, conteúdo, calor produzido) deixa a superfície para trás (pele, material, calor perdido) — a lei do quadrado–cubo.

**11.** Peso: $\times 10^3 = 1\,000$. [Seção transversal](#prop-g9-solids-sections) dos ossos: $\times 10^2 = 100$. Pressão — peso por [área](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-area) de osso: $\times \frac{1000}{100} = 10$. Ossos construídos para a pressão humana recebem dez vezes mais: o esqueleto do gigante estala sob o próprio peso. Os gigantes são geometricamente impossíveis; os animais grandes precisam de ossos desproporcionalmente grossos (compare as pernas de um elefante com as de uma gazela).

**12.** Peso: $\div 100^3 = 10^6$. Força ([seção transversal](#prop-g9-solids-sections) do músculo): $\div 100^2 = 10^4$. Força por peso: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. A formiga que carrega cinquenta vezes o próprio peso não é uma superatleta — ela é apenas pequena; um ser humano encolhido ao tamanho de formiga faria o mesmo.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$: para $r = 1$ a razão é $3$, e para $r = 2$ ela é $1.5$ — reduzir o tamanho à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) dobra a superfície disponível por unidade de [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) produtor de calor. Os corpos pequenos perdem calor depressa: o camundongo precisa comer o tempo todo, o urso pode hibernar, e o bebê — esfera pequena, $\frac Sr$ grande — precisa da touca.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$: a laranja grande entrega quase o *dobro* de fruta pelo mesmo preço. Compre [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes).

**15.** A gravura diz: a esfera é $\frac23$ do [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/53-areas-e-volumes#def-g7-areas-prism) em [volume](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/43-perimetro-area-e-volume#def-g6-measure-volume) *e* $\frac23$ dele em superfície total — duas proporções exatas e universais ligando o [sólido](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) mais redondo ao mais simples. A resposta a Cícero: porque um teorema é o único monumento que nem exércitos nem séculos corroem — as máquinas de Arquimedes arderam com Siracusa, mas os dois terços continuam sendo exatamente dois terços.