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title: "Estatística e probabilidade"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 71
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/71-estatistica-e-probabilidade
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# Capítulo 71 — Estatística e probabilidade

Dados e acaso estão por toda parte: resultados esportivos, previsões do tempo, jogos. Este capítulo ensina a resumir uma série de números pela [média](#def-g9-statproba-indicators), pela [mediana](#def-g9-statproba-indicators) e pela [amplitude](#def-g9-statproba-indicators), e a calcular a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de experimentos aleatórios simples — inclusive os de duas etapas, tratados com diagramas de árvore. Os dois assuntos são desenvolvidos muito mais longe no volume do ensino médio desta série.

## 71.1 Resumir dados

**Definição 71.1 (Média, mediana, amplitude).**

Para uma série de $N$ números:

- a *média* é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) de todos os valores dividida por $N$ ;
- a *mediana* é um valor que reparte a série ordenada em duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) do mesmo tamanho: para $N$ [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , o valor central; para $N$ par, o ponto médio dos dois valores centrais;
- a *amplitude* é o maior valor menos o menor.

**Exemplo 71.2.**

Notas de um aluno: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$.

1. [Média](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
2. [Mediana](#def-g9-statproba-indicators) : ordene a série: $8, 9, 11, 12, 15$ ; o valor central (o 3º) é $11$ .
3. [Amplitude](#def-g9-statproba-indicators) : $15 - 8 = 7$ .

Com uma sexta nota, $17$: ordenada, $8, 9, 11, 12, 15, 17$, a [mediana](#def-g9-statproba-indicators) passa a ser o ponto médio de $11$ e $12$, isto é, $11.5$, e a [média](#def-g9-statproba-indicators) passa a $\frac{72}{6} = 12$.

**Exemplo 71.3 (Média ponderada).**

Os números de calçado vendidos num dia:

| número | $38$ | $39$ | $40$ | $41$ | $42$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| quantidade | $3$ | $7$ | $6$ | $3$ | $1$ |

O número médio é

$$
\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42}
{3 + 7 + 6 + 3 + 1}
= \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20}
= \frac{792}{20} = 39.6 .
$$

**Observação 71.4.**

A [média](#def-g9-statproba-indicators) e a [mediana](#def-g9-statproba-indicators) podem diferir bastante. Na série $10, 10, 10, 10, 60$, a [média](#def-g9-statproba-indicators) é $20$ (puxada para cima pelo valor $60$), enquanto a [mediana](#def-g9-statproba-indicators) é $10$. Pergunte sempre qual indicador representa melhor a situação.

## 71.2 Probabilidade

**Definição 71.5 (Probabilidade).**

Um experimento aleatório tem vários *resultados* possíveis; um *evento* é um conjunto de resultados. Cada resultado recebe uma *probabilidade*: um número entre $0$ e $1$, com todas as probabilidades dos resultados somando $1$; a probabilidade $\P(A)$ de um evento $A$ é a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) das probabilidades dos resultados dele. Quando todos os $n$ resultados são igualmente prováveis,

$$
\P(A) = \frac{\text{número de resultados favoráveis}}{n}.
$$

**Exemplo 71.6.**

Uma roleta é dividida em $8$ setores iguais: $3$ vermelhos, $3$ azuis, $2$ verdes. Cada setor tem [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) $\frac18$, então

$$
\P(\text{vermelho}) = \frac38, \qquad
\P(\text{verde}) = \frac28 = \frac14, \qquad
\P(\text{não verde}) = 1 - \frac14 = \frac34 .
$$

**Proposição 71.7 (Complementar).**

Para todo evento $A$, o *evento contrário* $\bar A$ (“$A$ não ocorre”) satisfaz

$$
\P(\bar A) = 1 - \P(A).
$$

**Demonstração.** Todo resultado está em exatamente um entre $A$ e $\bar A$, então $\P(A) + \P(\bar A)$ [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de todos os resultados, o que dá $1$. ∎

## 71.3 Experimentos de duas etapas

**Método 71.8 (Diagramas de árvore).**

Para um experimento em duas etapas:

1. trace um galho por resultado da primeira etapa e depois continue cada galho com os resultados da segunda etapa, escrevendo cada [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) no galho dela;
2. multiplique as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) ao longo de um caminho para obter a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) desse caminho;
3. some as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de todos os caminhos que formam um evento.

**Exemplo 71.9.**

Um saco tem $2$ fichas vermelhas e $3$ pretas. Tire uma ficha, anote a cor, *devolva-a* e tire de novo. Cada retirada dá vermelha com [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) $\frac25$ e preta com [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) $\frac35$.

![A árvore das duas retiradas com reposição: multiplique ao longo dos galhos e confira que os quatro caminhos somam 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-statproba/fig-19cc948a33eb.svg)

*A árvore das duas retiradas com reposição: multiplique ao longo dos galhos e confira que os quatro caminhos somam $1$.*

[Probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de duas fichas da mesma cor: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$. [Probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de pelo menos uma vermelha: $1 - \P(\text{PP}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

**Observação 71.10 (As frequências se aproximam das probabilidades).**

Lançar um dado honesto $6000$ vezes dá *cerca de* $1000$ seis — não exatamente. À medida que o número de repetições cresce, as frequências observadas ficam cada vez mais próximas das [probabilidades](#def-g9-statproba-probability): é isso que faz da [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) a ferramenta certa para modelar experimentos repetidos (uma história desenvolvida no volume do ensino médio desta série).

## 71.4 Exercícios

**Exercício 71.1 ★.**

Calcule a [média](#def-g9-statproba-indicators), a [mediana](#def-g9-statproba-indicators) e a [amplitude](#def-g9-statproba-indicators) da série $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$.

**Solução de Exercício 71.1.**

[Média](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} =
12$.

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): ordenada, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$; o valor central (o $4$º) é $12$.

[Amplitude](#def-g9-statproba-indicators): $17 - 9 = 8$.

**Exercício 71.2 ★.**

As temperaturas ao meio-dia ao longo de uma semana foram $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (graus). Calcule a [média](#def-g9-statproba-indicators) (ao décimo) e a [mediana](#def-g9-statproba-indicators).

**Solução de Exercício 71.2.**

[Média](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7}
\approx 21.1$ graus.

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): ordenada, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$; o $4$º valor é $21$ graus.

**Exercício 71.3 ★.**

O número de gols marcados por um time em $10$ partidas:

| gols | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| partidas | $2$ | $4$ | $3$ | $1$ |

Calcule o número médio de gols por partida e a [mediana](#def-g9-statproba-indicators).

**Solução de Exercício 71.3.**

[Média](#def-g9-statproba-indicators):

$$
\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10}
= \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3
\text{ gol por partida.}
$$

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): a série ordenada é $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$; o $5$º e o $6$º valores são os dois $1$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $1$.

**Exercício 71.4 ★.**

Um dado honesto é lançado uma vez. Calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de: “sair um $3$”; “sair um [número par](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd)”; “sair pelo menos $3$”; “não sair $6$”.

**Solução de Exercício 71.4.**

$\P(3) = \frac16$. $\P(\text{par}) = \frac36 = \frac12$. $\P(\text{pelo menos } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$. $\P(\text{não } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$.

**Exercício 71.5 ★.**

Uma caixa contém $12$ bolas: $5$ brancas, $4$ vermelhas e $3$ verdes; uma bola é sorteada. Calcule $\P(\text{branca})$, $\P(\text{vermelha ou verde})$ e $\P(\text{não branca})$. O que você percebe sobre as duas últimas?

**Solução de Exercício 71.5.**

$\P(\text{branca}) = \frac{5}{12}$.

$\P(\text{vermelha ou verde}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

$\P(\text{não branca}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.

As duas últimas são iguais: “não branca” *é* o evento “vermelha ou verde”.

**Exercício 71.6 ★★.**

Uma moeda é lançada e depois um dado honesto é lançado. Trace a árvore (ou conte os resultados) e calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de sair cara *e* um $6$; e depois a de sair cara *ou* um $6$ (ou os dois).

**Solução de Exercício 71.6.**

Os $12$ resultados ([face](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) da moeda, valor do dado) são igualmente prováveis.

Cara e um $6$: um resultado em $12$: $\frac{1}{12}$.

Cara ou um $6$: os resultados com cara ($6$ deles) mais o resultado (coroa, $6$): $7$ resultados, então $\frac{7}{12}$. Contando cada evento e subtraindo a sobreposição dá o mesmo: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.

**Exercício 71.7 ★★.**

No saco do [Exemplo 71.9](#ex-g9-statproba-tree) ($2$ vermelhas, $3$ pretas), as duas retiradas agora são feitas *sem* reposição. Trace a nova árvore (atenção: as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) do segundo nível mudam) e calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de tirar duas fichas pretas e depois a de tirar duas fichas de cores diferentes.

**Solução de Exercício 71.7.**

Primeira retirada: vermelha $\frac25$, preta $\frac35$. Segunda retirada, sem reposição: depois de uma vermelha, restam $1$ vermelha e $3$ pretas entre $4$; depois de uma preta, restam $2$ vermelhas e $2$ pretas entre $4$.

Duas pretas: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Cores diferentes (VP ou PV): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24
= \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$.

**Exercício 71.8 ★★.**

Depois de $9$ partidas, uma jogadora de basquete tem [média](#def-g9-statproba-indicators) de $14$ pontos por partida.

1. Quantos pontos ela marcou no total?
2. Quantos pontos ela precisa marcar na $10^{\text{a}}$ partida para ficar com [média](#def-g9-statproba-indicators) $15$ ?

**Solução de Exercício 71.8.**

*1.* $9 \times 14 = 126$ pontos.

*2.* Uma [média](#def-g9-statproba-indicators) de $15$ em $10$ partidas significa $150$ pontos no total: ela precisa marcar $150 - 126 = 24$ pontos.

**Exercício 71.9 ★★★.**

Um jogo: lance dois dados honestos; você ganha se os dois resultados forem iguais (“uma dupla”).

1. Calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de ganhar.
2. Você joga duas vezes (partidas independentes). Usando uma árvore, calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de ganhar pelo menos uma vez.

**Solução de Exercício 71.9.**

*1.* Entre os $36$ pares igualmente prováveis, as duplas são $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$: seis delas, então $\P(\text{dupla}) = \frac{6}{36} = \frac16$.

*2.* Duas partidas independentes: árvore com ganhar ($\frac16$) / perder ($\frac56$) em cada nível. [Probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de nunca ganhar: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$. Então

$$
\P(\text{pelo menos uma vitória}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31 .
$$

## 71.5 Problema: as apostas ruinosas do Cavaleiro

**Problema 71.1.**

Problema de fim de semana — a disputa de jogo de 1654 que criou a teoria das probabilidades e a coincidência de aniversários que engana toda sala de aula

Em 1654, um nobre jogador inveterado, o Cavaleiro de Méré, enriqueceu com uma aposta de dados e começou a perder em outra que acreditava ser equivalente. Perplexo, ele perguntou ao matemático Blaise Pascal; Pascal escreveu a Pierre de Fermat; e a troca de cartas entre eles fundou a teoria das [probabilidades](#def-g9-statproba-probability). Este problema encena de novo o caso inteiro com as ferramentas deste capítulo — resultados igualmente prováveis, árvores e a regra do complementar ([Proposição 71.7](#prop-g9-statproba-complement)) — e termina com a mais contraintuitiva de todas as coincidências.

**Parte I — Dados, contados com honestidade.**

1. Lance um dado honesto duas vezes. Usando uma árvore (ou uma tabela $6 \times 6$ ), calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de *nenhum* seis nos dois lançamentos e deduza a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de pelo menos um seis.
2. Um colega argumenta: “uma chance em seis por lançamento, duas vezes, então $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ”. Compare com a questão 1 e aponte os resultados exatos que a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dele conta duas vezes.
3. Lançando dois dados e somando: calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $7$ e de uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $2$ . Por que o $7$ é o preferido dos jogadores?
4. Disputa antiga: com dois dados, uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $9$ ou uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $10$ é mais provável? Conte os resultados e resolva a questão.
5. Generalize a questão 1: explique por que a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de pelo menos um seis em $n$ lançamentos é $$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$$ já que os galhos sem seis da árvore se multiplicam de nível em nível.

**Parte II — As duas apostas do Cavaleiro.**

6. Primeira aposta, paga a um para um: *pelo menos um seis em quatro lançamentos de um dado* . Calcule $\left(\frac56\right)^4$ como [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/63-fracoes-e-potencias#def-g9-fractions-fraction) e como decimal, e a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de vitória do Cavaleiro. A aposta era boa?
7. O raciocínio do próprio Cavaleiro era: “quatro lançamentos a $\frac16$ cada: $\frac46$ de chance”. Ele deu quase a resposta certa neste caso — mas leve-o até $7$ lançamentos: que absurdo ele produz, e que erro da questão 2 ele repete?
8. Segunda aposta, que ele acreditava equivalente por [proporcionalidade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/67-funcoes-lineares-e-afins#def-g9-linfunc-linear) (“ $24$ lançamentos a $\frac1{36}$ cada: de novo $\frac{24}{36} = \frac46$ ”): *pelo menos um seis duplo em $24$ lançamentos de dois dados* . Calcule a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) verdadeira de vitória, $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (com a calculadora). Por que o Cavaleiro foi lentamente à ruína?
9. Quantos lançamentos de dois dados teriam restaurado a vantagem dele? Teste $n = 25$ na calculadora e conclua.
10. Enuncie a moral em duas frases: o que há de errado, em geral, em multiplicar uma [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) pelo número de tentativas — e que ferramenta correta substitui essa tentação?

**Parte III — [Médias](#def-g9-statproba-indicators), [medianas](#def-g9-statproba-indicators), aniversários.**

11. Uma empresa pequena paga $2\,000$ euros por mês a nove funcionários e $20\,000$ ao diretor. Calcule o salário médio e o salário mediano ( [Definição 71.1](#def-g9-statproba-indicators) ). Que número o anúncio de emprego deveria citar, honestamente?
12. Construa uma lista de cinco notas de prova com [média](#def-g9-statproba-indicators) $12$ e [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $15$ . O que o par ( [média](#def-g9-statproba-indicators) abaixo da [mediana](#def-g9-statproba-indicators) ) diz sobre o formato das notas?
13. O problema dos aniversários: numa turma de $23$ alunos, qual é a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia? Monte o complementar (os $23$ aniversários todos diferentes): $$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times  \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$$ Calcule o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) dos três primeiros fatores, descreva como os fatores evoluem e — sabendo que o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) completo é cerca de $0.493$ — responda à pergunta. A maioria das pessoas espera “muito improvável”: o que a matemática diz?
14. A intuição consertada: quantos *pares* de alunos podem compartilhar um aniversário numa turma de $23$ (a contagem de apertos de mão do [Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/37-numeros-naturais#pb-g6-wholes-1) )? Explique numa frase por que é esse número, e não o $23$ em si, que produz a surpresa.
15. Final: descreva um experimento para conferir um dos dois resultados — a aposta de Méré com um dado de verdade ou o problema dos aniversários em várias turmas — e enuncie com cuidado o que você espera das frequências observadas à medida que o número de repetições cresce. (Essa expectativa tem nome, lei dos grandes números; a demonstração dela espera no volume do ensino médio.)

**Solução de Problema 71.1.**

**1.** Cada lançamento tem $5$ resultados sem seis entre $6$; a tabela $6 \times 6$ mostra $5 \times 5 = 25$ resultados sem seis entre $36$: $P(\text{nenhum seis}) = \frac{25}{36}$, então $P(\text{pelo menos um}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx
0.31$.

**2.** $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$. A [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) conta o resultado “seis e depois seis” uma vez em cada $\frac16$: uma vez a mais. [Probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de eventos que podem acontecer *juntos* não se somam simplesmente.

**3.** [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $7$: os seis resultados $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3),
(5,2), (6,1)$: $P = \frac{6}{36} = \frac16$. [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $2$: apenas $(1,1)$: $\frac{1}{36}$. O sete tem o maior número de maneiras de acontecer — o meio gordo da tabela das [somas](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def).

**4.** [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — quatro resultados, $\frac{4}{36}$. [Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — três, $\frac{3}{36}$. O nove é mais provável: quem decide é a contagem dos resultados, e não o número de “maneiras de escrever” a [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) com [faces](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/35-cubos-e-blocos-retangulares#def-g5-solids-def) sem ordem.

**5.** Cada nível da árvore multiplica a [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) de não sair seis por $\frac56$, independentemente do que veio antes: depois de $n$ lançamentos, $P(\text{nenhum seis}) = \left(\frac56\right)^n$, e a regra do complementar dá a fórmula.

**6.** $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$, então o Cavaleiro ganhava com [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) $1 - 0.482 = 0.518$ — uma vantagem discreta e constante de quase $2\,\%$ por partida: uma aposta excelente, que pagou as carruagens dele.

**7.** Com $7$ lançamentos, a regra dele dá $\frac76$ — uma [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) maior que $1$, um disparate. É a contagem dobrada da questão 2, acumulada: os sucessos dos lançamentos se sobrepõem, e somar as chances deles conta as sobreposições várias e várias vezes.

**8.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 =
0.491$: abaixo da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half). Apostando um para um num evento de $49.1\,\%$, o Cavaleiro perdia cerca de $2$ partidas em cada $100$, em [média](#def-g9-statproba-indicators) — lentamente, misteriosamente (para ele) e sem escapatória.

**9.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 =
0.506$: com $25$ lançamentos, a aposta fica favorável. Um único lançamento separava o Cavaleiro do lucro.

**10.** Multiplicar uma [probabilidade](#def-g9-statproba-probability) pelo número de tentativas conta várias vezes os sucessos que se sobrepõem e acaba produzindo respostas impossíveis, acima de $1$. O caminho correto passa sempre pelo complementar: encadeie as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de fracasso por multiplicação e depois subtraia de $1$.

**11.** [Média](#def-g9-statproba-indicators): $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} =
\frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euros. [Mediana](#def-g9-statproba-indicators): os salários centrais são os dois $2\,000$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $2\,000$ euros. O anúncio deveria citar a [mediana](#def-g9-statproba-indicators) — nove dos dez trabalhadores nunca veem nada parecido com $3\,800$; a [média](#def-g9-statproba-indicators) é puxada para cima por um único valor extremo (o [Exemplo 71.3](#ex-g9-statproba-weighted) já avisava sobre os pesos).

**12.** Por exemplo, $2, 8, 15, 17, 18$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $15$ (valor central), [média](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{60}{5} = 12$. Uma [média](#def-g9-statproba-indicators) abaixo da [mediana](#def-g9-statproba-indicators) denuncia uma cauda de notas *baixas* puxando a [média](#def-g9-statproba-indicators) para baixo, enquanto a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de cima se mantém alta.

**13.** Três primeiros fatores: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$. Cada aluno novo precisa desviar de mais uma data ocupada, então os fatores encolhem: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ para o $23$º. O [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) completo cai para cerca de $0.493$ — então

$$
P(\text{pelo menos um aniversário em comum}) \approx 0.507 :
$$

mais que meio a meio, numa turma de apenas $23$. A intuição diz “$23$ pessoas, $365$ dias, sem chance”; a matemática diz “jogue uma moeda”.

**14.** $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ pares. Cada par é uma nova oportunidade de coincidência, e $253$ oportunidades a $\frac{1}{365}$ cada já não são pouca coisa: a surpresa se dissolve assim que se contam pares, e não pessoas.

**15.** Protocolo de exemplo: lançar um dado em blocos de quatro, registrando se cada bloco mostra um seis, ao longo de $100$ blocos; ou recolher as listas de aniversários de muitas turmas de cerca de $23$ alunos e registrar a proporção com coincidência. A frequência observada vai oscilar, mas, à medida que o número de repetições cresce, ela deve se acomodar cada vez mais perto das [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) calculadas ($0.518$; $0.507$) — as frequências convergem para as [probabilidades](#def-g9-statproba-probability): a lei dos grandes números, enunciada aqui como expectativa e demonstrada no volume do ensino médio.