---
title: "الأعداد ومجموعات الأعداد"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 1
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers
---

# الفصل 1 — الأعداد ومجموعات الأعداد

تبدأ الرياضيات بالأعداد، وليست الأعداد كلها من نوع واحد: أعداد العدّ، والأعداد السالبة، والكسور، وأعداد مثل $\sqrt 2$ أو $\pi$ لا يقدر أي كسر على التعبير عنها. يرتّب هذا الفصل تلك الأعداد في عائلات متداخلة، ويقدّم الفترات لوصف أجزاء من مستقيم الأعداد، ويستعمل [القيمة المطلقة](#def-g10-numbers-abs) لقياس المسافات بين الأعداد.

## 1.1 عائلات الأعداد

**تعريف 1.1 (مجموعات الأعداد).**

- $\N$ هي مجموعة *الأعداد الطبيعية* : $0, 1, 2, 3, \dots$
- $\Z$ هي مجموعة *الأعداد الصحيحة* : $\dots, -2, -1,  0, 1, 2, \dots$
- $\Q$ هي مجموعة *الأعداد الناطقة* : كل الخارجات $\frac{p}{q}$ حيث $p \in \Z$ ، $q \in \N$ ، $q \neq 0$ .
- $\R$ هي مجموعة *الأعداد الحقيقية* : كل الأعداد التي يمكن وضعها على مستقيم الأعداد.

**ترميز 1.2.**

يُقرأ الرمز $\in$ “ينتمي إلى”: $3 \in \N$، $-5 \in \Z$، $\frac23 \in \Q$. ويُقرأ الرمز $\subset$ “محتواة في”: كل [عدد طبيعي](#def-g10-numbers-sets) [عدد صحيح](#def-g10-numbers-sets)، وكل [عدد صحيح](#def-g10-numbers-sets) [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) (مثلًا $-5 = \frac{-5}{1}$)، وكل [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets)، إذن

$$
\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .
$$

وتُبطل الشرطة المائلة الرمز: $\frac12 \notin \Z$.

![عائلات الأعداد المتداخلة: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. تحوي كل حلقة أعدادًا لا تنتمي إلى الحلقات الأصغر منها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-ec3c7dd471c4.svg)

*عائلات الأعداد المتداخلة: $\N \subset \Z \subset \Q \subset
\R$. تحوي كل حلقة أعدادًا لا تنتمي إلى الحلقات الأصغر منها.*

**مثال 1.3.**

لنضع بضعة أعداد في أصغر عائلة تحتويها.

- $\frac{28}{4} = 7$ ، إذن $\frac{28}{4} \in \N$ رغم أنه مكتوب على صورة كسر: اختزل دائمًا قبل كل شيء.
- $-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) لكنه ليس عددًا صحيحًا.
- $0.333\dots$ (الرقم $3$ يتكرر بلا انقطاع) يساوي $\frac13$ ، وهو [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) .
- $\sqrt 2$ و $\pi$ عددان حقيقيان غير ناطقين، كما سنرى بعد قليل في حالة $\sqrt 2$ ؛ وتُسمّى هذه الأعداد *صمّاء* .

**مبرهنة 1.4 (العدد 2\sqrt 22​ أصمّ).**

العدد $\sqrt 2$ ليس ناطقًا: ما من كسر لعددين صحيحين مربعه $2$.

**برهان.** نبرهن بالخلف، على خطوات صغيرة.

1. لنفترض أن $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ حيث $p$ و $q$ عددان صحيحان موجبان، والكسر مختزل تمامًا، أي أن $p$ و $q$ ليسا زوجيين معًا.
2. بتربيع الطرفين نجد $2 = \frac{p^2}{q^2}$ ، أي $p^2 = 2q^2$ . إذن $p^2$ زوجي.
3. لو كان $p$ فرديًا، وليكن $p = 2k+1$ ، لكان $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ فرديًا. وبما أن $p^2$ زوجي، فإن $p$ زوجي بالضرورة: $p = 2k$ من أجل [عدد صحيح](#def-g10-numbers-sets) $k$ .
4. بالتعويض: $(2k)^2 = 2q^2$ ، إذن $4k^2 = 2q^2$ ، إذن $q^2 = 2k^2$ . وبالحجة نفسها المستعملة في الخطوة 3، فإن $q$ زوجي.
5. صار $p$ و $q$ زوجيين معًا، وهذا يناقض الخطوة 1. إذن الافتراض مستحيل: $\sqrt 2$ عدد أصمّ.

∎

**ملاحظة 1.5.**

[الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) هي بالضبط الأعداد التي يتوقف تمثيلها العشري (مثل $\frac72 = 3.5$) أو ينتهي إلى تكرار المقطع نفسه بلا انقطاع (مثل $\frac13 = 0.333\dots$ أو $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$). أما الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) مثل $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ فأرقامها العشرية لا تستقر أبدًا على نمط متكرر. ونقبل هذا التوصيف في هذا المستوى.

## 1.2 مستقيم الأعداد والفترات

تملأ [الأعداد الحقيقية](#def-g10-numbers-sets) مستقيمًا: باختيار مبدأ $0$ ووحدة للطول، يقابل كل [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) نقطة واحدة بالضبط.

**تعريف 1.6 (الفترة).**

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين حيث $a < b$. *الفترة* هي مجموعة كل [الأعداد الحقيقية](#def-g10-numbers-sets) المحصورة بين طرفين. تدل العلامة المربعة على أن الطرف مُدرَج، وتدل العلامة الهلالية على أنه مستبعَد:

| الترميز | الوصف |
| --- | --- |
| $\intcc{a}{b}$ | $a \leq x \leq b$ (الطرفان مُدرَجان) |
| $\intoo{a}{b}$ | $a < x < b$ (الطرفان مستبعَدان) |
| $\intco{a}{b}$ | $a \leq x < b$ |
| $\intoc{a}{b}$ | $a < x \leq b$ |
| $\intco{a}{+\infty}$ | $x \geq a$ |
| $\intoo{-\infty}{b}$ | $x < b$ |

الرمزان $-\infty$ و $+\infty$ (“ما لا نهاية”) ليسا عددين، بل هما طريقة للقول إن الفترة تمضي بلا حد؛ والعلامة المجاورة لهما هلالية دائمًا. والمستقيم كله $\R$ هو الفترة $\intoo{-\infty}{+\infty}$.

![الفترات على مستقيم الأعداد: نقطة مملوءة للطرف المُدرَج، ونقطة مجوّفة للطرف المستبعَد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-cfc1de785072.svg)

*الفترات على مستقيم الأعداد: نقطة مملوءة للطرف المُدرَج، ونقطة مجوّفة للطرف المستبعَد.*

**تعريف 1.7 (التقاطع والاتحاد).**

لتكن $I$ و $J$ مجموعتين من [الأعداد الحقيقية](#def-g10-numbers-sets). *التقاطع* $I \cap J$ (“$I$ و $J$”) هو مجموعة الأعداد التي تنتمي إليهما معًا؛ و*الاتحاد* $I \cup J$ (“$I$ أو $J$”) هو مجموعة الأعداد التي تنتمي إلى إحداهما على الأقل.

**مثال 1.8.**

لنأخذ $I = \intcc{-1}{3}$ و $J = \intoo{1}{5}$. ارسمهما على المستقيم نفسه: يتداخلان بين $1$ و $3$. إذن

$$
I \cap J = \intoc{1}{3},
\qquad
I \cup J = \intco{-1}{5}.
$$

لاحظ العلامات: $1 \notin J$ إذن $1 \notin I \cap J$، لكن $3 \in I$ و $3 \in J$، إذن $3 \in I \cap J$.

**طريقة 1.9 (العمل بالفترات).**

لإيجاد [تقاطع](#def-g10-numbers-interunion) فترتين أو اتحادهما:

1. ارسم مستقيم الأعداد وعلّم الأطراف الأربعة؛
2. ظلّل [الفترة](#def-g10-numbers-interval) الأولى فوق المستقيم والثانية تحته؛
3. [التقاطع](#def-g10-numbers-interunion) حيث يتراكب التظليلان، [والاتحاد](#def-g10-numbers-interunion) حيث يوجد تظليل واحد على الأقل؛
4. حدّد كل علامة باختبار ما إذا كان الطرف نفسه ينتمي إلى المجموعتين معًا ( [التقاطع](#def-g10-numbers-interunion) ) أو إلى إحداهما على الأقل ( [الاتحاد](#def-g10-numbers-interunion) ).

## 1.3 القيمة المطلقة والمسافة

**تعريف 1.10 (القيمة المطلقة).**

*القيمة المطلقة* [لعدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) $x$ هي

$$
\abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{إذا كان } x \geq 0, \\
-x & \text{إذا كان } x < 0.
\end{cases}
$$

مثلًا $\abs{7} = 7$ و $\abs{-4} = 4$. وفي كل الحالات $\abs{x} \geq 0$.

**قضية 1.11 (المسافة على المستقيم).**

من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$، المسافة بين النقطتين $a$ و $b$ على مستقيم الأعداد هي $\abs{b - a}$. وبوجه خاص، $\abs{x}$ هي المسافة من $x$ إلى $0$.

**برهان.** إذا كان $b \geq a$، فالمسافة من $a$ إلى $b$ هي $b - a \geq 0$، وهي تساوي $\abs{b-a}$. وإذا كان $b < a$، فالمسافة هي $a - b = -(b - a) > 0$، وهي مرة أخرى $\abs{b - a}$ حسب تعريف [القيمة المطلقة](#def-g10-numbers-abs). ∎

**قضية 1.12 (القيمة المطلقة والفترات).**

ليكن $a$ عددًا حقيقيًا و $r > 0$. عندئذٍ

$$
\abs{x - a} \leq r
\quad\text{إذا وفقط إذا}\quad
x \in \intcc{a - r}{a + r}.
$$

**برهان.** تعني $\abs{x-a} \leq r$ أن المسافة من $x$ إلى $a$ لا تتجاوز $r$، أي أن $x$ لا يبعد عن $a$ بأكثر من $r$ في أي من الجهتين. والأعداد التي تحقق ذلك هي بالضبط الأعداد المحصورة بين $a - r$ و $a + r$، مع إدراج الطرفين. ∎

![تصف المتراجحة |x - a| ≤ r فترة الأعداد التي تبعد عن a بمسافة لا تتجاوز r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-fd741c75d5ad.svg)

*تصف المتراجحة $\abs{x - a} \leq r$ [فترة](#def-g10-numbers-interval) الأعداد التي تبعد عن $a$ بمسافة لا تتجاوز $r$.*

**مثال 1.13.**

حل $\abs{x - 3} \leq 2$. الحلول هي الأعداد التي تبعد عن $3$ بمسافة لا تتجاوز $2$: [الفترة](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1}{5}$. وبالعكس، [الفترة](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{-1}{7}$ مركزها $\frac{-1+7}{2} = 3$ ونصف قطرها $\frac{7-(-1)}{2} = 4$، إذن توصف بالمتراجحة $\abs{x - 3} \leq 4$.

## 1.4 التقريبات

الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify)، بل ومعظم الكسور أيضًا، لا يمكن كتابتها بالضبط بعدد منتهٍ من الأرقام العشرية، لذلك نقرّبها عمليًا.

**تعريف 1.14 (التقريب بدقة معطاة).**

يكون العدد $d$ *تقريبًا* للعدد $x$ بدقة $10^{-n}$ إذا كان $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$. ويعطي بترُ التمثيل العشري بعد الرقم ذي الرتبة $n$ أو تدويرُه عنده تقريبين من هذا النوع.

**مثال 1.15.**

انطلاقًا من $\pi = 3.14159\,26\dots$: البتر $3.141$ والتدوير $3.142$ تقريبان للعدد $\pi$ بدقة $10^{-3}$. ويبعد التدوير بأقل من $\frac12 \times 10^{-3}$، أما البتر فلا يضمن سوى $10^{-3}$. وكتابة $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ *تحصر* $\pi$ بين طرفين عشريين.

## 1.5 تمارين

**تمرين 1.1 ★.**

أعطِ لكل عدد أصغرَ المجموعات $\N$، $\Z$، $\Q$، $\R$ التي ينتمي إليها:

$$
\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad
\sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .
$$

**حل التمرين 1.1.**

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$. $-7 \in \Z$. $\frac{22}{7} \in \Q$ (ليس عددًا صحيحًا: $22 = 7 \times 3 + 1$). $\sqrt 9 = 3 \in \N$. $\sqrt{10} \in \R$ (أصمّ، لأن $10$ ليس مربع [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) — ونقبل ذلك هنا، على منوال [المبرهنة 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2)). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$. $0 \in \N$.

**تمرين 1.2 ★.**

اكتب كل عبارة بترميز الفترات، ثم ارسمها على مستقيم الأعداد: (أ) $-2 \leq x < 5$؛ (ب) $x > 3$؛ (ج) $x \leq -1$؛ (د) المسافة من $x$ إلى $2$ لا تتجاوز $3$.

**حل التمرين 1.2.**

(أ) $\intco{-2}{5}$: نقطة مملوءة عند $-2$، ونقطة مجوّفة عند $5$. (ب) $\intoo{3}{+\infty}$: نقطة مجوّفة عند $3$، وتظليل نحو اليمين. (ج) $\intoc{-\infty}{-1}$: تظليل من اليسار حتى نقطة مملوءة عند $-1$. (د) “المسافة من $x$ إلى $2$ لا تتجاوز $3$” تعني $\abs{x - 2} \leq 3$، أي $x \in \intcc{-1}{5}$: نقطتان مملوءتان عند $-1$ و $5$.

**تمرين 1.3 ★.**

احسب $I \cap J$ و $I \cup J$ من أجل

$$
\text{(أ) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4};
\qquad
\text{(ب) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.
$$

**حل التمرين 1.3.**

(أ) تتراكب الفترتان بين $0$ و $2$: $I \cap J = \intcc{0}{2}$ (لأن $0 \in J$ و $2 \in I$، وكلاهما ينتمي إلى المجموعة الأخرى أيضًا)، و$I \cup J = \intco{-3}{4}$.

(ب) $I \cap J$ هي مجموعة الأعداد $x$ التي تحقق $-2 \leq x$ و $x < 1$: $\intco{-2}{1}$. [والاتحاد](#def-g10-numbers-interunion) يغطي كل شيء: $I \cup J = \R$.

**تمرين 1.4 ★.**

احسب دون آلة حاسبة:

$$
\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad
\abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.
$$

**حل التمرين 1.4.**

$\abs{-6} = 6$؛ $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$؛ $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$؛ $\sqrt 2 > 1$ إذن $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$؛ $1 - \sqrt2 < 0$ إذن $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ أيضًا (فللعدد ولمقابله [القيمة المطلقة](#def-g10-numbers-abs) نفسها).

**تمرين 1.5 ★.**

حل المعادلات والمتراجحات، وأعطِ مجموعات الحلول:

$$
\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad
\abs{x + 2} < 3 .
$$

(لاحظ أن $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ مسافة إلى $-2$.)

**حل التمرين 1.5.**

$\abs{x} = 5$: المسافة $5$ من $0$، إذن $x = 5$ أو $x = -5$.

$\abs{x - 1} = 3$: المسافة $3$ من $1$، إذن $x = 4$ أو $x = -2$.

$\abs{x - 4} \leq 1$: المسافة لا تتجاوز $1$ من $4$، إذن $x \in \intcc{3}{5}$.

$\abs{x + 2} < 3$: المسافة أصغر تمامًا من $3$ من $-2$، إذن $x \in \intoo{-5}{1}$.

**تمرين 1.6 ★★.**

صف كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) بمتراجحة على الصورة $\abs{x - a} \leq r$ أو $\abs{x - a} < r$:

$$
\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.
$$

**حل التمرين 1.6.**

توصف كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) بمركزها $a$ (منتصف الطرفين) وبنصف قطرها $r$ (نصف الطول).

$\intcc{2}{8}$: $a = 5$ و $r = 3$، إذن $\abs{x - 5} \leq 3$.

$\intoo{-5}{1}$: $a = -2$ و $r = 3$، والطرفان مفتوحان، إذن $\abs{x + 2} < 3$.

$\intcc{-7}{-3}$: $a = -5$ و $r = 2$، إذن $\abs{x + 5} \leq 2$.

**تمرين 1.7 ★★.**

بيّن أن $0.272727\dots$ (المقطع $27$ يتكرر بلا انقطاع) [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets). (إرشاد: سمّه $x$ واحسب $100x - x$.)

**حل التمرين 1.7.**

لنضع $x = 0.272727\dots$ عندئذٍ $100x = 27.2727\dots$، وبالطرح:

$$
100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,
$$

إذن $99x = 27$ و $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$، وهو خارج قسمة عددين صحيحين: أي أن $x$ ناطق.

**تمرين 1.8 ★★.**

صحيح أم خطأ؟ برّر كل إجابة بحجة أو بمثال مضاد.

1. مجموع عددين صحيحين [عدد صحيح](#def-g10-numbers-sets) .
2. خارج قسمة عددين صحيحين [عدد صحيح](#def-g10-numbers-sets) .
3. مجموع عددين ناطقين [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) .
4. مجموع [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) وعدد أصمّ عدد أصمّ.

**حل التمرين 1.8.**

*1. صحيح:* جمع عددين صحيحين (موجبين أو سالبين) يعطي دائمًا عددًا صحيحًا.

*2. خطأ:* $\frac{1}{2}$ خارج قسمة العددين الصحيحين $1$ و $2$ وليس عددًا صحيحًا.

*3. صحيح:* $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ هو من جديد خارج قسمة عددين صحيحين (بمقام غير معدوم).

*4. صحيح:* لنفترض أن $r$ ناطق و $t$ أصمّ وأن $r + t = s$ ناطق. عندئذٍ يكون $t = s - r$ فرقًا بين عددين ناطقين، أي ناطقًا (حسب 3، مطبقة على $-r$) — وهذا تناقض. إذن $r + t$ أصمّ.

**تمرين 1.9 ★★.**

باستعمال $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$، احصر الأعداد $2\sqrt2$ و $\sqrt2 + 3$ و $-\sqrt2$ بين طرفين عشريين.

**حل التمرين 1.9.**

بضرب $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ في $2 > 0$: $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$.

وبإضافة $3$: $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$.

وبالضرب في $-1 < 0$ ينقلب اتجاه المتراجحتين: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$.

**تمرين 1.10 ★★★.**

كيّف برهان [المبرهنة 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2) لتبيّن أن $\sqrt 3$ عدد أصمّ. (استبدل كلمة “زوجي” بعبارة “مضاعف للعدد $3$”: تحقق أولًا من أنه إذا كان $p^2$ مضاعفًا للعدد $3$ فإن $p$ كذلك، بفحص بواقي قسمة $p$ على $3$، وهي $0$ و $1$ و $2$.)

**حل التمرين 1.10.**

لنبدأ بالواقعة المساعدة. اقسم $p$ على $3$: الباقي $0$ أو $1$ أو $2$، أي $p = 3k$ أو $p = 3k+1$ أو $p = 3k+2$. وبالتربيع:

$$
(3k)^2 = 3(3k^2), \quad
(3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad
(3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .
$$

والأول وحده مضاعف للعدد $3$: فإذا كان $p^2$ مضاعفًا للعدد $3$، فإن $p$ كذلك.

لنفترض الآن أن $\sqrt3 = \frac pq$ كسر مختزل تمامًا. بالتربيع نجد $p^2 = 3q^2$، إذن $p^2$ مضاعف للعدد $3$، إذن $p = 3k$. عندئذٍ $9k^2 = 3q^2$، إذن $q^2 = 3k^2$ ويكون $q$ مضاعفًا للعدد $3$ أيضًا — لكن الكسر $\frac pq$ ما كان إذن مختزلًا تمامًا: تناقض. إذن $\sqrt3$ عدد أصمّ.

## 1.6 مسألة: بين أي عددين

**مسألة 1.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تتشابك الأعداد الناطقة والصمّاء: كل فترة، مهما صغرت، تحوي عددًا لا نهائيًا من كل منهما، ولا يستطيع أي قياس أن يميّز بينهما

تبدو [الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) حشدًا (كل الكسور!) وتبدو الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) استثناءات نادرة ($\sqrt2$، $\pi$). تكشف هذه المسألة الصورة الحقيقية: العائلتان *تتشابكان* تشابكًا دقيقًا إلى حدّ أن كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) من مستقيم الأعداد، مهما كانت مجهرية، تحوي عددًا لا نهائيًا من كل منهما — مع نتائج غريبة، منها هذه: ما من قياس فيزيائي، مهما بلغت دقته، يستطيع أن يقرر أطولٌ ما ناطق أم لا.

**الجزء الأول — الممالك الأربع.**

1. عيّن لكل عدد أصغرَ المجموعات $\N$ ، $\Z$ ، $\Q$ ، $\R$ التي تحتويه ( [التعريف 1.1](#def-g10-numbers-sets) ): $-7$ ؛ $\frac{13}{4}$ ؛ $\sqrt{16}$ ؛ $0.121212\ldots$ (تذكّر مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق)؛ $\sqrt8$ ؛ $\pi$ (اقبل كونه أصمّ — فذلك لا يُبرهن إلا في الكتب الجامعية).
2. برهن على أن $\Q$ مستقرة بالجمع والضرب: إذا كان $x = \frac pq$ و $y = \frac rs$ عددين ناطقين، فاكتب $x + y$ و $xy$ على صورة كسر واحد.
3. استنتج بالخلف: (أ) مجموع [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) وعدد أصمّ عدد أصمّ؛ (ب) جداء [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) *غير معدوم* في عدد أصمّ عدد أصمّ.
4. بيّن أن مجموعة الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) ليست مستقرة *بأيٍّ* من العمليتين: أعطِ عددين أصمّين مجموعهما ناطق، وعددين آخرين جداؤهما ناطق.
5. حدّد موضع $\sqrt2 + \sqrt8$ و $\sqrt2 \times \sqrt8$ في الممالك الأربع (اختزل $\sqrt8$ أولًا، بطريقة الكتاب السابق).

**الجزء الثاني — [الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) كثيفة.**

6. أوجد عددًا ناطقًا محصورًا تمامًا بين $3.47$ و $3.48$ ؛ ثم عددًا ثانيًا؛ ثم صف كيف تنتج منها ما شئت (تكبير مسألة نهاية الأسبوع عن انعدام العدد التالي في الكتاب السابق، وقد صار البرهان في المتناول).
7. المبرهنة العامة. ليكن $a < b$ عددين حقيقيين أيًّا كانا، فارقهما $g = b - a > 0$ . اختر $n$ بحيث $10^{-n} < g$ ، وانظر في مضاعفات $10^{-n}$ (الشبكة العشرية ذات الخطوة $10^{-n}$ ). فسّر لماذا تقع نقطة واحدة على الأقل من الشبكة بين $a$ و $b$ تمامًا، واستنتج: *كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) ذات طول موجب تحوي عددًا ناطقًا* .
8. ارفع الاستنتاج درجة: كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) كهذه تحوي *عددًا لا نهائيًا* من [الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) . (طبّق السؤال 7 مرة أخرى، داخل [فترة](#def-g10-numbers-interval) أصغر.)
9. والآن الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) : من أجل $a < b$ ، خذ عددًا ناطقًا $r$ داخلها تمامًا (السؤال 7)، وانظر في الأعداد $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . مستعينًا بالسؤال 3، بيّن أنها [صمّاء](#ex-g10-numbers-classify) ، وأنها تبقى في [الفترة](#def-g10-numbers-interval) من أجل $k$ كبير بما يكفي: *كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) تحوي أيضًا عددًا لا نهائيًا من الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify)* .
10. لغزان كلاسيكيان يُحسمان: هل يوجد أصغر [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) موجب؟ وهل يوجد [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) “يأتي مباشرة بعد $3$ ”؟ أجب عنهما بمبرهنة السؤال 7، وحيِّ الصيغة الطفولية للسؤال (مسألة نهاية الأسبوع عن انعدام العدد التالي في الكتاب السابق).

**الجزء الثالث — [القيمة المطلقة](#def-g10-numbers-abs)، هندسة $\R$.**

11. حل، وعبّر عن الحلول بفترات أو باتحادات ( [القضية 1.12](#prop-g10-numbers-absinterval) ): $\abs{x - 5} = 2$ ؛ $\abs{x - 5} < 2$ ؛ $\abs{x + 1} \geq 3$ .
12. يجب أن يُصنع مكبس بقطر $80$ مم ضمن سماحية $0.05$ مم. اكتب الشرط [بقيمة مطلقة](#def-g10-numbers-abs) ، ثم على صورة [فترة](#def-g10-numbers-interval) . مكبسان قياسهما $79.97$ و $80.06$ مم: ما الحكم فيهما؟
13. متراجحة المثلث على المستقيم: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . تحقق منها في حالتي $(a, b) = (3, -5)$ و $(-2, -7)$ ، وبرهن عليها حين يكون $a$ و $b$ من الإشارة نفسها وحين يكونان من إشارتين مختلفتين، وبيّن بالضبط متى تتحقق المساواة.
14. حل $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ بقراءتها مساواةً بين مسافتين على المستقيم. أي نقطة من مسألة نهاية الأسبوع عن المرآتين في الكتاب السابق حسبتَ للتوّ، ببعد واحد أقل؟
15. بسّط $\sqrt{x^2}$ — بحذر. اختبر صيغتك من أجل $x = 3$ و $x = -3$ ، ثم استعملها لحل $x^2 < 9$ [بقيمة مطلقة](#def-g10-numbers-abs) .

**الجزء الرابع — ما لا يستطيع أي قياس أن يحسمه.**

16. يقيس فيزيائي قضيبًا: $1.41421 \pm 0.00001$ م. هل يستطيع قياس كهذا — هذا القياس أو قياس أدق منه في المستقبل — أن *يبرهن* يومًا على أن طول القضيب أصمّ؟ أو على أنه ناطق؟ استعمل السؤالين 7 و 9 على [فترة](#def-g10-numbers-interval) السماحية، وفسّر لماذا لا يحسم كون العدد أصمّ إلا *البرهان* (كما في القطر، مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق).
17. بتور $\sqrt2$ ، وهي $1.4$ و $1.41$ و $1.414$ و $1.4142,\dots$ ، كلها أعداد ناطقة. ماذا تبيّن عن مدى التصاق $\Q$ بكل عدد أصمّ؟ صُغ الواقعة العامة.
18. حساب الفترات: قيمتان مقيستان $a = 2.5 \pm 0.1$ و $b = 1.2 \pm 0.1$ . احصر $a + b$ و $a \times b$ بين طرفين مؤكدين. أي العمليتين تُتلف الدقة أكثر؟
19. تقول قاعدة المهندسين إن أخطاء القياسات المستقلة “تتجمع” في المجاميع: عبّر بمتراجحة المثلث (السؤال 13) عن سبب كون خطأ $a + b$ لا يتجاوز مجموع الخطأين — فالمتراجحة هي قاعدة الهندسة التطبيقية.
20. الخاتمة، في فقرة قصيرة: اجمع صورة مستقيم الأعداد التي أرستها هذه المسألة وسابقاتها — لا وجود لعدد تالٍ (مسألة نهاية الأسبوع عن انعدام العدد التالي في الكتاب السابق)، [والأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) $=$ العشريات الدورية (مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق)، والعائلتان كثيفتان (السؤالان 8 و 9)، والقياس عاجز إلى الأبد (السؤال 16). واختم بالإشارة التي لا يستطيع هذا الفصل برهانها بعد: بمعنى دقيق، الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) *أكثر بكثير* من الناطقة — والكتب الجامعية تعدّ اللانهايات.

**حل المسألة 1.1.**

**1.** $-7 \in \Z$؛ $\frac{13}{4} \in \Q$؛ $\sqrt{16} = 4 \in \N$؛ $0.121212\ldots = \frac{12}{99} =
\frac{4}{33} \in \Q$ (مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق)؛ $\sqrt8 = 2\sqrt2$ عدد أصمّ: أصغر مجموعة تحتويه $\R$؛ $\pi$: $\R$.

**2.** $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ و $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$: خارجا قسمة عددين صحيحين بمقام غير معدوم — إذن ناطقان.

**3.** (أ) لو كان $r$ ناطقًا و $x$ أصمّ و $r + x = q$ ناطقًا، لكان $x = q - r$ فرقًا بين عددين ناطقين، أي ناطقًا (السؤال 2): تناقض. (ب) إذا كان $r \neq 0$ و $r x = q$ ناطقًا، فإن $x = \frac qr$ ناطق: تناقض.

**4.** العددان $\sqrt2$ و $-\sqrt2$ أصمّان ومجموعهما $0$؛ والعددان $\sqrt2$ و $\sqrt2$ جداؤهما $2$. نتائج ناطقة من مكوّنات [صمّاء](#ex-g10-numbers-classify): فالأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) لا تشكّل مملكة مستقرة.

**5.** $\sqrt8 = 2\sqrt2$، إذن $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$: أصمّ (السؤال 3ب، بمعامل $3$). و$\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$: جداء عددين أصمّين يحطّ في أصغر الممالك جميعًا.

**6.** $3.475$، ثم $3.471$ (أو $3.4701$ أو $3.47001$ …): إلحاق أرقام عشرية ينتج أعدادًا ناطقة جديدة بين العددين بلا نهاية.

**7.** تسير مضاعفات $10^{-n}$ على المستقيم بخطوة مقدارها $10^{-n} < g$. وأول مضاعف أكبر تمامًا من $a$ — وهو موجود، لأن المضاعفات تتجاوز $a$ في النهاية — يقع على بعد خطوة واحدة على الأكثر من $a$، أي قبل $a + g = b$: فهو محصور تمامًا بين $a$ و $b$. ونقطة الشبكة عدد عشري، أي [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets): فكل [فترة](#def-g10-numbers-interval) ذات طول موجب تحوي عددًا ناطقًا.

**8.** بين $a$ [والعدد الناطق](#def-g10-numbers-sets) $r_1$ الموجود في السؤال 7 يوجد (بالسؤال 7 مرة أخرى) [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) $r_2$؛ وبين $a$ و $r_2$ [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) $r_3$؛ وهكذا: عدد لا نهائي منها، كلها مختلفة، وكلها في [الفترة](#def-g10-numbers-interval) الأصلية.

**9.** $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ مجموع [عدد ناطق](#def-g10-numbers-sets) وعدد أصمّ (فالعدد $\frac{\sqrt2}{10^k}$ أصمّ حسب السؤال 3ب)، إذن هو أصمّ. وبما أن $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ ينكمش تحت أي حد، فإنه من أجل $k$ كبير بما يكفي يبقى $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ قبل $b$: أي عدد أصمّ داخل [الفترة](#def-g10-numbers-interval) — وبتغيير $k$ نحصل على عدد لا نهائي منها.

**10.** لا يوجد أصغر [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) موجب: لو كان $s > 0$ هو ذاك، لاحتوت [الفترة](#def-g10-numbers-interval) $(0, s)$ عددًا ناطقًا رغم ذلك (السؤال 7)، موجبًا وأصغر من $s$. ولا يوجد عدد يأتي مباشرة بعد $3$: فأي مرشح $c > 3$ يترك [الفترة](#def-g10-numbers-interval) $(3, c)$، وهي ليست خالية — إنها لعبة مسألة نهاية الأسبوع عن انعدام العدد التالي في الكتاب السابق، وقد صارت مبرهنة عن $\R$.

**11.** $\abs{x - 5} = 2$: $x = 3$ أو $x = 7$. $\abs{x - 5} < 2$: $x \in \intoo{3}{7}$. $\abs{x + 1} \geq 3$: المسافة إلى $-1$ لا تقل عن $3$: $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$.

**12.** $\abs{d - 80} \leq 0.05$، أي $d \in \intcc{79.95}{80.05}$. المكبس ذو القياس $79.97$ يُقبل؛ أما ذو القياس $80.06$ فيُرفض بفارق جزء من مئة من المليمتر.

**13.** في حالة $(3, -5)$: $\abs{-2} = 2 \leq 8$. وفي حالة $(-2, -7)$: $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$: مساواة. عند تساوي الإشارتين: $\abs{a + b}$ هو مجموع المسافتين، ويساوي $\abs a + \abs b$. وعند اختلاف الإشارتين: يرتدّ المسار على نفسه، فيكون $\abs{a + b}$ *فرق* المسافتين، وهو أصغر تمامًا من مجموعهما (إلا إذا كانت إحداهما $0$). وتتحقق المساواة بالضبط حين يكون $a$ و $b$ من الإشارة نفسها أو حين يكون أحدهما معدومًا.

**14.** الحلول هي النقط المتساوية البعد عن $2$ وعن $-4$: أي المنتصف، $x = -1$. إنه محور القطعة في مسألة نهاية الأسبوع عن المرآتين في الكتاب السابق، منهارًا إلى بعد واحد: نقطة وحيدة.

**15.** $\sqrt{x^2} = \abs{x}$، لا $x$: فمن أجل $x = -3$ يكون $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$. عندئذٍ تُقرأ $x^2 < 9$ $\sqrt{x^2} < 3$، أي $\abs x < 3$: $x \in \intoo{-3}{3}$.

**16.** لا يؤكد القياس سوى أن الطول يقع في [الفترة](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — وبالسؤالين 7 و 9 *تحوي تلك [الفترة](#def-g10-numbers-interval) عددًا لا نهائيًا من [الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) وعددًا لا نهائيًا من [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify)*. والأمر نفسه يصح مع كل سماحية مقبلة، مهما صغرت. فما من قياس يستطيع أن يفصل بين العائلتين؛ ولا يحسم ذلك إلا برهان عن الطول بالضبط — كالبرهان الخاص بقطر مربع الوحدة (مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق).

**17.** إنها تقترب من $\sqrt2$ بأخطاء أصغر من $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$: [فالأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) تلتصق بالعدد $\sqrt2$ في كل سلّم. والواقعة العامة: كل [عدد حقيقي](#def-g10-numbers-sets) تقترب منه [الأعداد الناطقة](#def-g10-numbers-sets) (بتوره العشرية) بأي قدر مطلوب — إنها الكثافة مرة أخرى، منظورًا إليها من جهة الهدف.

**18.** $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} =
\intcc{3.5}{3.9}$: ارتياب $\pm 0.2$؛ تُجمع الأخطاء. $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} =
\intcc{2.64}{3.38}$: ارتياب مقداره نحو $\pm 0.37$ حول $3$ — فالأخطاء النسبية تتجمع في الجداءات، ولذلك تتدهور الدقة أسرع.

**19.** اكتب القيمتين الحقيقيتين $a = 2.5 + e_1$ و $b = 1.2 + e_2$ حيث $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$. عندئذٍ يكون خطأ المجموع $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} +
\abs{e_2} \leq 0.2$: فقاعدة المهندس *هي* متراجحة المثلث في السؤال 13.

**20.** مستقيم الأعداد بلا ثقوب وبلا جيران: فبعد أي عدد، لا يوجد عدد “تالٍ” (السؤال 10). وتنقسم نقطه إلى أعداد ناطقة — وهي بالضبط الأعداد العشرية المتوقفة أو الدورية (مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق) — وأعداد [صمّاء](#ex-g10-numbers-classify)، والعائلتان متشابكتان تشابكًا وثيقًا إلى حدّ أن كل [فترة](#def-g10-numbers-interval) تحوي عددًا لا نهائيًا من كل منهما (السؤالان 8 و 9)، ولذلك لا يستطيع أي قياس، بل البرهان وحده، أن يميّز بينهما (السؤال 16). وتبقى المفاجأة الأخيرة وعدًا مؤجلًا: الأعداد [الصمّاء](#ex-g10-numbers-classify) أكثر عددًا من الناطقة — لا بالعدّ واحدًا واحدًا، بل بالمعنى الدقيق لمقارنة اللانهايات، وهي نظرية تُبنى في الكتب الجامعية.