---
title: "الدوال والتغيرات"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations
---

# الفصل 11 — الدوال والتغيرات

ينظّم هذا الفصل ما ينبغي معرفته عن الدوال قبل حساب التفاضل: العائلة الصغيرة من *[الدوال المرجعية](#def-g11-func-reference)* التي يجب حفظ منحنياتها عن ظهر قلب، والمعنى الدقيق لكون [الدالة](#def-g11-func-function) *[متزايدة](#def-g11-func-monotone)* أو *[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)*، وكيف تتصرف التغيرات عند تركيب الدوال.

## 11.1 الدوال والمنحنيات

**تعريف 11.1 (الدالة ومجموعة التعريف والمنحنى).**

*الدالة* $f$ ترفق بكل عدد $x$ من مجموعة $D \subseteq \R$ (وهي *مجموعة تعريفها*) عددًا واحدًا بالضبط هو $f(x)$. و*منحنيها* (أو تمثيلها البياني) هو مجموعة النقط $\bigl(x, f(x)\bigr)$ من أجل $x \in D$.

**مثال 11.2.**

تستلزم العبارة $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ أن يكون $x + 2 \geq 0$ (من أجل [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) التربيعي) و $x \neq 1$ (لأن المقام غير معدوم): إذن [مجموعة التعريف](#def-g11-func-function) هي $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 الدوال المرجعية

يجب أن تصير الدوال الخمس التالية ومنحنياتها ردود فعل.

**تعريف 11.3 (الدوال المرجعية).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (مربع)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (تكعيب)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

ومجموعات تعريفها هي $\R$ و $\R$ و $\intco{0}{+\infty}$ و $\R \setminus \{0\}$ و $\R$ على [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system). [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $x \mapsto \frac1x$ هو *قطع زائد*.

![المنحنيات المرجعية الخمسة: القطع المكافئ x2 والتكعيب x3 (إلى اليسار)؛ و √ x و x والقطع الزائد 1x (إلى اليمين).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![المنحنيات المرجعية الخمسة: القطع المكافئ x2 والتكعيب x3 (إلى اليسار)؛ و √ x و x والقطع الزائد 1x (إلى اليمين).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*المنحنيات المرجعية الخمسة: [القطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $x^2$ والتكعيب $x^3$ (إلى اليسار)؛ و $\sqrt x$ و $\abs x$ [والقطع الزائد](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (إلى اليمين).*

## 11.3 التغيرات على فترة

**تعريف 11.4 (متزايدة، متناقصة).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$. تكون [الدالة](#def-g11-func-function) $f$ *متزايدة* على $I$ إذا حفظت [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system):

$$
\text{من أجل كل } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

وتكون *[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* إذا قلبت [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ($u < v \implies f(u) \geq
f(v)$). ومع المتراجحات التامة في الطرف الأيمن، تكون $f$ متزايدة *تمامًا* (على [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا). [والدالة](#def-g11-func-function) المتزايدة أو [المتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $I$ تُسمّى *رتيبة* على $I$.

**طريقة 11.5 (البرهان على تغير انطلاقًا من التعريف).**

خذ عددين كيفيين $u < v$ من [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)، وحدّد إشارة الفرق $f(v) - f(u)$، وذلك عادةً عن طريق *تحليله إلى عوامل*. وإذا كانت الإشارة ثابتة على [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)، فاستنتج.

**قضية 11.6 (تغيرات الدوال المرجعية).**

1. $x^2$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ [ومتزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\R$ .
3. $\sqrt x$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoo{-\infty}{0}$ وعلى $\intoo{0}{+\infty}$ (لكن *ليس* على اتحادهما).
5. $\abs x$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ و [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ .

**برهان.** ليكن $u < v$. نحلّل $f(v) - f(u)$ إلى عوامل في كل حالة.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. فعلى $\intco{0}{+\infty}$: يكون $v - u > 0$ و $v + u > 0$ (لأن $v > u \geq 0$)، إذن $v^2 > u^2$. وعلى $\intoc{-\infty}{0}$: يكون $v + u < 0$، إذن $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$، والعامل الثاني يساوي $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ إلا إذا كان $u = v = 0$. ومنه $v^3 > u^3$ كلما $v > u$.

*3.* من أجل $0 \leq u < v$: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* من أجل $0 < u < v$: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ لأن $u - v < 0$ و $uv > 0$؛ والحساب نفسه من أجل $u < v < 0$. أما على [الاتحاد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) فيسقط الادعاء: إذ $-1 < 1$ لكن $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$.

*5.* على $\intco{0}{+\infty}$ يكون $\abs x = x$ متزايدًا تمامًا؛ وعلى $\intoc{-\infty}{0}$ يكون $\abs x = -x$ متناقصًا تمامًا. ∎

**ملاحظة 11.7.**

النقطة 4 فخّ كلاسيكي: فعبارة “[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoo{-\infty}{0}$ وعلى $\intoo{0}{+\infty}$” *ليست* كعبارة “[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\R \setminus \{0\}$”. فالتغيرات لا معنى لها إلا على الفترات.

**مثال 11.8 (المقارنة دون حساب).**

بما أن $\sqrt x$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا، فإن $\sqrt{7} < \sqrt{8}$؛ وبما أن $x^2$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$، فإن $(-3)^2 > (-2)^2$. فالرتابة تحوّل مقارنة الصور إلى مقارنة السوابق.

## 11.4 دوال جديدة من دوال قديمة

**قضية 11.9 (التحويلات).**

لتكن $u$ [دالة](#def-g11-func-function) معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ وليكن $k \in \R$.

1. [للدالة](#def-g11-func-function) $u + k$ تغيرات $u$ *نفسها* على $I$ ؛ ومنحنيها [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $u$ منسحبًا شاقوليًا بمقدار $k$ .
2. ومن أجل $\lambda > 0$ ، [للدالة](#def-g11-func-function) $\lambda u$ تغيرات $u$ نفسها؛ ومن أجل $\lambda < 0$ تنقلب التغيرات.
3. وإذا كان $u \geq 0$ على $I$ ، فللدالة $\sqrt u$ تغيرات $u$ نفسها.
4. وإذا كان $u \neq 0$ وكانت إشارة $u$ ثابتة على $I$ ، فللدالة $\frac1u$ تغيرات *معاكسة* لتغيرات $u$ .

**برهان.** ليكن $u < v$ في $I$ (وبتسامح في الترميز، نقارن قيمتَي $x$ حيث $u < v$؛ ونكتب $s = u(x_1)$ و $t = u(x_2)$ لصورتَي $x_1 < x_2$).

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: فالفرق بين الصورتين لم يتغير، إذن لم تتغير إشارته.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: فتُحفظ الإشارة إذا كان $\lambda > 0$، وتنقلب إذا كان $\lambda < 0$.

*3.* إذا كانت $u$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) و $x_1 < x_2$، فإن $0 \leq s \leq t$، و بما أن $\sqrt{}$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) ([القضية 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) نجد $\sqrt s \leq \sqrt t$. والحجة نفسها في حالة التناقص.

*4.* إذا كانت $u$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone)، و $0 < s \leq t$ (أو $s \leq t < 0$)، فإن $\frac1s \geq \frac1t$ لأن $x \mapsto \frac1x$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على كل جهة من جهتَي $0$: فينقلب [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system). ∎

**مثال 11.10.**

ادرس $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ على $\R$. [الدالة](#def-g11-func-function) الداخلية $u(x) = x^2 + 1$ موجبة، [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoc{-\infty}{0}$ و [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intco{0}{+\infty}$ (وهي مربع منسحب). وحسب النقطة 3، تكون [للدالة](#def-g11-func-function) $f$ التغيرات نفسها: [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) ثم [متزايدة](#def-g11-func-monotone)، وقيمتها الصغرى $f(0) = 1$.

![التحويلات في العمل: انسحاب x2 إلى أعلى بمقدار 1 (بالأحمر) يحفظ تغيراتها؛ وأخذ الجذر التربيعي (بالبرتقالي) يحفظها من جديد، كما في .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*التحويلات في العمل: انسحاب $x^2$ إلى أعلى بمقدار $1$ (بالأحمر) يحفظ تغيراتها؛ وأخذ [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) التربيعي (بالبرتقالي) يحفظها من جديد، كما في [المثال 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 الدوال الزوجية والفردية

**تعريف 11.11 (الزوجية).**

لتكن $f$ معرَّفة على [مجموعة تعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $D$ متناظرة بالنسبة إلى $0$ (أي أن $-x \in D$ كلما $x \in D$). تكون [الدالة](#def-g11-func-function) $f$ *زوجية* إذا كان $f(-x) = f(x)$ من أجل كل $x \in D$، وتكون *فردية* إذا كان $f(-x) = -f(x)$ من أجل كل $x \in D$.

**قضية 11.12 (المعنى الهندسي).**

[منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [الدالة الزوجية](#def-g11-func-parity) متناظر بالنسبة إلى المحور $y$؛ [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [الدالة الفردية](#def-g11-func-parity) متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

**برهان.** إذا كانت $f$ [زوجية](#def-g11-func-parity) وكانت $(x, y)$ على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) (أي $y = f(x)$)، فإن $f(-x) = f(x) = y$: فالنقطة المقابلة $(-x, y)$ تقع على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) أيضًا. وإذا كانت $f$ [فردية](#def-g11-func-parity)، فإن $f(-x) = -y$: فالنقطة $(-x, -y)$، وهي نظيرة $(x,y)$ بالنسبة إلى المبدأ، تقع على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph). ∎

**مثال 11.13.**

الدالتان $x^2$ و $\abs x$ زوجيتان؛ والدالتان $x^3$ و $\frac1x$ فرديتان؛ [والدالة](#def-g11-func-function) $f(x) = x^2 + x$ ليست [زوجية](#def-g11-func-parity) ولا [فردية](#def-g11-func-parity): إذ $f(-1) = 0$ بينما $f(1) = 2$، إذن $f(-1) \neq \pm f(1)$. [والزوجية](#def-g11-func-parity) تنصّف العمل: [فالدالة الزوجية](#def-g11-func-parity) أو [الفردية](#def-g11-func-parity) لا تحتاج إلى دراسة إلا على $\intco{0}{+\infty}$.

## 11.6 تمارين

**تمرين 11.1 ★.**

أعطِ [مجموعة تعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) كل [دالة](#def-g11-func-function):

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**حل التمرين 11.1.**

$f$: يلزم $3 - x \geq 0$، [فمجموعة التعريف](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$: يلزم $x^2 - 4 \neq 0$، أي $x \neq \pm 2$: [فمجموعة التعريف](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$: يلزم $x \geq 0$ و $x \neq 5$: [فمجموعة التعريف](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**تمرين 11.2 ★.**

مستعملًا تغيرات [الدوال المرجعية](#def-g11-func-reference)، قارن دون آلة حاسبة:

$$
\sqrt{11} \text{ و } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ و } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ و } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ و } (-0.99)^3 .
$$

**حل التمرين 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ لأن $\sqrt{}$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) و $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ لأن $x^2$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoc{-\infty}{0}$ و $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ لأن $\frac1x$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoo{0}{+\infty}$ و $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ لأن $x^3$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) و $-1.01 < -0.99$.

**تمرين 11.3 ★.**

حدّد هل كل [دالة زوجية](#def-g11-func-parity) أم [فردية](#def-g11-func-parity) أم لا هذه ولا تلك:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**حل التمرين 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [زوجية](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [فردية](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ و $h(-1) = 1 - 1 = 0$، إذن $h(-1)$ لا يساوي $h(1)$ ولا $-h(1)$: فليست [زوجية](#def-g11-func-parity) ولا [فردية](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [فردية](#def-g11-func-parity).

**تمرين 11.4 ★.**

[لدالة](#def-g11-func-function) $f$ سلوك التغير التالي: [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intcc{-3}{1}$ من $f(-3) = -2$ إلى $f(1) = 4$، ثم [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intcc{1}{5}$ نزولًا إلى $f(5) = 0$. كم حلًّا [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ على $\intcc{-3}{5}$؟ وللمعادلة $f(x) = 5$؟

**حل التمرين 11.4.**

اقرأ [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table). على $\intcc{-3}{1}$ تتسلق $f$ من $-2$ إلى $4$ وتعبر القيمة $1$ مرة واحدة بالضبط؛ وعلى $\intcc{1}{5}$ تهبط من $4$ إلى $0$ وتعبر $1$ مرة أخرى: إذن [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ حلان. [والقيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) [للدالة](#def-g11-func-function) $f$ هي $f(1) = 4 < 5$، إذن ليس [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 5$ حل.

**تمرين 11.5 ★★.**

مستعملًا [الطريقة 11.5](#met-g11-func-variation) (إشارة $f(v) - f(u)$)، برهن على أن $f(x) = x^2 - 4x$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{2}{+\infty}$.

**حل التمرين 11.5.**

ليكن $2 \leq u < v$. عندئذٍ

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

والعاملان موجبان: إذ $v - u > 0$، و $u + v > 2 + 2 = 4$ لأن $u \geq 2$ و $v > 2$. ومنه $f(v) > f(u)$: أي أن $f$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{2}{+\infty}$.

**تمرين 11.6 ★★.**

دون حساب أي مشتقة، أعطِ تغيرات

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ على } \intoc{-\infty}{5},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ على } \intco{0}{+\infty},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ على } \intco{0}{+\infty}.
$$

**حل التمرين 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ حيث $u(x) = 5 - x$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) وغير سالبة على $\intoc{-\infty}{5}$: إذن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) هناك ([القضية 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ حيث $u(x) = x^2 + 1$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) وموجبة على $\intco{0}{+\infty}$: إذن $g$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) هناك.

$h = 3 - 2\sqrt x$: [الدالة](#def-g11-func-function) $\sqrt x$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone)، والضرب في $-2 < 0$ يقلب، وإضافة $3$ لا تغيّر شيئًا: إذن $h$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intco{0}{+\infty}$.

**تمرين 11.7 ★★.**

لتكن $f(x) = (x-2)^2 - 3$ على $\R$.

1. أعطِ تغيرات $f$ وقيمتها الصغرى.
2. استنتج تغيرات $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ وقيمتها العظمى. (لاحظ أن $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**حل التمرين 11.7.**

*1.* [الدالة](#def-g11-func-function) $f$ على [الصورة النموذجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-canonical): [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoc{-\infty}{2}$، [ومتزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intco{2}{+\infty}$، وقيمتها الصغرى $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ حيث $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. و الانسحاب بمقدار $4$ يحفظ تغيرات $f$، و $u \geq 1 > 0$. وأخذ المقلوب يقلبها: إذن $g$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intoc{-\infty}{2}$ و [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intco{2}{+\infty}$، وقيمتها العظمى $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**تمرين 11.8 ★★.**

يمر [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة](#def-g11-func-function) $f$ بالنقط $(0, 1)$ و $(2, 3)$ و $(4, 1)$، [والدالة](#def-g11-func-function) $f$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intcc{0}{2}$ [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intcc{2}{4}$. ارسم [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) ممكنًا، ثم ارسم منحنيات $f + 2$ و $-f$ و $2f$.

**حل التمرين 11.8.**

يصلح أي [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) على هيئة تلّ يمر بالنقط الثلاث. عندئذٍ: يمر $f + 2$ بالنقط $(0,3)$ و $(2,5)$ و $(4,3)$، وله التغيرات نفسها (انسحاب شاقولي)؛ ويمر $-f$ بالنقط $(0,-1)$ و $(2,-3)$ و $(4,-1)$ مع تغيرات *منقلبة* (فالقمة تصير قاعًا)؛ ويمر $2f$ بالنقط $(0,2)$ و $(2,6)$ و $(4,2)$، وله التغيرات نفسها لكن مضخَّمة شاقوليًا.

**تمرين 11.9 ★★.**

بيّن أنه يمكن كتابة [الدالة](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ على الصورة $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$، واستنتج تغيراتها على $\intoo{-1}{+\infty}$.

**حل التمرين 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. وعلى $\intoo{-1}{+\infty}$، تكون $u(x) = x + 1$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) وموجبة، إذن $\frac1u$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)، و $-\frac1u$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone)، وإضافة $2$ لا تغيّر شيئًا: إذن $f$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intoo{-1}{+\infty}$.

**تمرين 11.10 ★★.**

صحيح أم خطأ (برّر أو أعطِ مثالًا مضادًا):

1. مجموع دالتين متزايدتين على $I$ متزايد على $I$ .
2. جداء دالتين متزايدتين على $I$ متزايد على $I$ .
3. إذا كانت $f$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $I$ ، فإن $f^2$ ( $= f \times f$ ) [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $I$ .

**حل التمرين 11.10.**

*1. صحيح.* إذا كان $u < v$، فإن $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ هو مجموع عددين غير سالبين.

*2. خطأ.* $f(x) = g(x) = x$ متزايدتان على $\R$، لكن جداءهما $x^2$ ليس متزايدًا على $\R$ (فهو يتناقص على $\intoc{-\infty}{0}$). (وتصير العبارة صحيحة إذا كانت الدالتان غير سالبتين أيضًا.)

*3. خطأ.* المثال المضاد نفسه: [فالدالة](#def-g11-func-function) $f(x) = x$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\R$ لكن $f^2(x) = x^2$ ليست كذلك.

**تمرين 11.11 ★★★.**

لتكن $f(x) = x + \frac{1}{x}$ من أجل $x > 0$.

1. بيّن أنه من أجل $0 < u < v$ ، $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. استنتج أن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{0}{1}$ و [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{1}{+\infty}$ .
3. استنتج أن $x + \frac1x \geq 2$ من أجل كل $x > 0$ ، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط.

**حل التمرين 11.11.**

*1.* من أجل $0 < u < v$:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* دائمًا $v - u > 0$ و $uv > 0$. فإذا كان $0 < u < v \leq 1$، فإن $uv < 1$، إذن $uv - 1 < 0$ و $f(v) < f(u)$: أي أن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{0}{1}$. وإذا كان $1 \leq u < v$، فإن $uv > 1$ و $f(v) > f(u)$: أي أن $f$ [متزايدة](#def-g11-func-monotone) تمامًا على $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* تتناقص $f$ قبل $1$ وتتزايد بعده، إذن $f(x) \geq f(1) = 2$ من أجل كل $x > 0$، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ بالضبط. (وتعود هذه المتراجحة في صور كثيرة؛ قارن [المثال 10.3](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ex-g11-quad-canonical) ومتراجحات المماس في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv).)

## 11.7 مسألة: مصنع التناظر

**مسألة 11.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — كل دالة جزء زوجي زائد جزء فردي: قواعد الزوجية، ولعبة التحويلات، و قيم صغرى تُكسب دون حساب تفاضل

بعض الدوال متناظرة بالنسبة إلى مرآة، وبعضها متناظر بنصف دورة، ومعظمها لا هذا ولا ذاك — ومع ذلك تقول معجزة جبرية صغيرة إن *كل* [دالة](#def-g11-func-function) هي، بطريقة وحيدة، مجموع قطعة متناظرة بالمرآة وقطعة متناظرة بنصف دورة. تبرهن هذه المسألة على المعجزة، وتلعب لعبة التحويلات على المنحنيات المرجعية ([القضية 11.9](#prop-g11-func-transforms))، وتختم بتقنية تحليل الفرق إلى عوامل في [التمرين 11.11](#exo-g11-func-11)، التي تكسب مسائل التصغير قبل فصل كامل من وصول المشتقة.

**الجزء الأول — الطلاقة في [الزوجية](#def-g11-func-parity).**

1. [زوجية](#def-g11-func-parity) أم [فردية](#def-g11-func-parity) أم لا هذه ولا تلك ( [التعريف 11.11](#def-g11-func-parity) )؟ برّر كل حالة: $x^4 - 3x^2$ ؛ $x^3 - x$ ؛ $x^2 + x$ ؛ $\abs x$ ؛ $\frac1x$ .
2. بيّن المعنى الهندسي لكل حكم ( [القضية 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): أي تناظر [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة زوجية](#def-g11-func-parity) ؟ ولمنحنى [دالة فردية](#def-g11-func-parity) ؟
3. تتضاعف [الزوجية](#def-g11-func-parity) كما تتضاعف الإشارات: برهن على أن جداء دالتين فرديتين زوجي، وأكمل جدول الضرب كله ( [زوجية](#def-g11-func-parity) $\times$ [زوجية](#def-g11-func-parity) ، [وزوجية](#def-g11-func-parity) $\times$ [فردية](#def-g11-func-parity) ، [وفردية](#def-g11-func-parity) $\times$ [فردية](#def-g11-func-parity) ).
4. نتائج سريعة: إذا كانت $f$ [فردية](#def-g11-func-parity) ومعرَّفة عند $0$ ، فما $f(0)$ ؟ وإذا كانت $f$ [زوجية](#def-g11-func-parity) و $f(3) = 7$ ، فما $f(-3)$ ؟ وبيّن أن [الدالة](#def-g11-func-function) الوحيدة [الزوجية](#def-g11-func-parity) [والفردية](#def-g11-func-parity) معًا هي [الدالة](#def-g11-func-function) المعدومة.
5. كم من [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة زوجية](#def-g11-func-parity) يكفي لتحديده كله؟ أعطِ [دالة](#def-g11-func-function) ليست [زوجية](#def-g11-func-parity) ولا [فردية](#def-g11-func-parity) ، و فسّر ما الذي يسقط.

**الجزء الثاني — مبرهنة التفكيك.** من أجل [دالة](#def-g11-func-function) $f$ معرَّفة على [مجموعة تعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) متناظرة بالنسبة إلى $0$، ضع

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. احسب $E$ و $O$ من أجل $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ ، و تحقق: $E$ [زوجية](#def-g11-func-parity) ، و $O$ [فردية](#def-g11-func-parity) ، و $E + O = f$ .
7. برهن على الصياغة العامة: من أجل أي $f$ ، تكون [الدالة](#def-g11-func-function) $E$ [زوجية](#def-g11-func-parity) و $O$ [فردية](#def-g11-func-parity) و $f = E + O$ — أي أن *كل [دالة](#def-g11-func-function) تنقسم إلى جزء زوجي وجزء فردي* .
8. برهن على وحدانية الانقسام: إذا كان $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ حيث $E_i$ [زوجية](#def-g11-func-parity) و $O_i$ [فردية](#def-g11-func-parity) ، فاستعمل السؤال 4 على $E_1 - E_2$ .
9. فكّك $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (من أجل $x \neq \pm 1$ ): ضع $E$ و $O$ على المقام المشترك $1 - x^2$ وبسّط.
10. نظرة إلى الأمام، في جملة لكل بند: سيكون الجزآن الزوجي والفردي من [الدالة](#def-g11-func-function) الأسية هما الدالتين التوأمين في السنة الأخيرة (جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي)؛ وتشغّل الغريزة نفسها — تقسيم كائن إلى قطع متناظرة ومعالجة كل قطعة بتناظرها — تحليلَ الصوت والإشارات في الكتب الجامعية. فلماذا يكون تقسيم كهذا *مفيدًا* بوجه عام؟

**الجزء الثالث — لعبة التحويلات.**

11. انطلاقًا من [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $x \mapsto x^2$ ، صف بدقة منحنيات $(x - 3)^2$ و $x^2 + 2$ و $(x - 3)^2 + 2$ و $-x^2$ و $2x^2$ ( [القضية 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. ردّ $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ إلى عبارة متقطعة على الفترات الثلاث التي يقطعها $-2$ و $2$ ، وصف منحنيها (وله قاع مسطح شهير).
13. أي التحويلات تحترم [الزوجية](#def-g11-func-parity) ؟ قرّر، مع برهان أو مثال مضاد: الانسحاب الأفقي $f(x - 3)$ ؛ والانسحاب الشاقولي $f(x) + 2$ ؛ والتمديد الشاقولي $2 f(x)$ (وكلها مطبقة على [دالة زوجية](#def-g11-func-parity) $f$ ).
14. حل $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ مستعملًا العبارة المتقطعة في السؤال 12.
15. الهندسة العكسية: [لقطع مكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) رأسه $(2, -3)$ ويمر بالنقطة $(0, 1)$ . أعد بناء معادلته على [الصورة النموذجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-canonical) .

**الجزء الرابع — قيم صغرى دون حساب تفاضل.**

16. قابِل [التمرين 11.11](#exo-g11-func-11) من أجل $g(x) = x + \dfrac4x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ : بيّن أن $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ ، وحدّد [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) ، وأعطِ قيمتها.
17. طبّق: من بين كل المستطيلات ذات المساحة $16$ ، أيها له أصغر محيط؟ (اكتب $P = 2\left(x +  \frac{16}{x}\right)$ واستعمل آلة السؤال 16.) ويختم صديق قديم.
18. حدّد تغيرات $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ على $\R$ كلها، جامعًا بين حجة تركيب على $\intco{0}{+\infty}$ وحجة [زوجية](#def-g11-func-parity) من أجل الباقي.
19. أقرب نقطة: أوجد نقطة [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $y = \sqrt x$ الأقرب إلى $(3, 0)$ . (صغّر *مربع* المسافة — وهو مقدار تربيعي في $x$ — و فسّر لماذا يكون تصغير المربع مشروعًا.)
20. الخاتمة، وهي جولة في المصنع: المنحنيات المرجعية هي المادة الخام؛ والتحويلات هي الآلات؛ [والزوجية](#def-g11-func-parity) والتفكيك هما ضبط الجودة؛ وتحليل الفرق إلى عوامل هو منضدة القياس. جملة واحدة عن كل بند — وسمِّ الأداة القوية التي يقدمها الفصل التالي.

**حل المسألة 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [زوجية](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 -
3x^2$). و $x^3 - x$: [فردية](#def-g11-func-parity). و $x^2 + x$: لا هذه ولا تلك ($f(-1) = 0 \neq
f(1) = 2$ و $\neq -f(1)$). و $\abs x$: [زوجية](#def-g11-func-parity). و $\frac1x$: [فردية](#def-g11-func-parity).

**2.** [الزوجية](#def-g11-func-parity): [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) متناظر بالنسبة إلى المحور $y$ (مرآة). [والفردية](#def-g11-func-parity): متناظر بالنسبة إلى المبدأ (نصف دورة).

**3.** إذا كانت $f$ و $g$ فرديتين: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: أي [زوجية](#def-g11-func-parity). والجدول: [زوجية](#def-g11-func-parity) $\times$ [زوجية](#def-g11-func-parity) $=$ [زوجية](#def-g11-func-parity)؛ [وزوجية](#def-g11-func-parity) $\times$ [فردية](#def-g11-func-parity) $=$ [فردية](#def-g11-func-parity)؛ [وفردية](#def-g11-func-parity) $\times$ [فردية](#def-g11-func-parity) $=$ [زوجية](#def-g11-func-parity) — إنها قاعدة الإشارات بالزوجيات.

**4.** [الفردية](#def-g11-func-parity) عند $0$: $f(0) = -f(0)$، إذن $f(0) = 0$. [والزوجية](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$. [والزوجية](#def-g11-func-parity) [والفردية](#def-g11-func-parity) معًا: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ من أجل كل $x$، إذن $2f(x) = 0$: أي أن $f$ هي [الدالة](#def-g11-func-function) المعدومة.

**5.** النصف الأيمن ($x \geq 0$) يحدد [الدالة الزوجية](#def-g11-func-parity) تحديدًا كاملًا: فالنصف الأيسر صورته بالمرآة. أما ما ليس زوجيًا ولا فرديًا: فمثاله $x^2 + x$ (السؤال 1) — إذ يسقط تناظراه عند $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 +
1)}{2} = x^2 + 1$ ([زوجية](#def-g11-func-parity))، و $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) -
(-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([فردية](#def-g11-func-parity))؛ ومجموعهما $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [زوجية](#def-g11-func-parity). و $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [فردية](#def-g11-func-parity). و $E(x) + O(x) = f(x)$ بالجمع المباشر: فكل [دالة](#def-g11-func-function) تنقسم.

**8.** من $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$: $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. والطرف الأيسر زوجي والأيمن فردي — إذن هذه [الدالة زوجية](#def-g11-func-parity) [وفردية](#def-g11-func-parity) معًا، أي معدومة (السؤال 4): فيكون $E_1 = E_2$ و $O_1 = O_2$. إذن الانقسام وحيد.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$، و $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$. وتحقق: $E$ [زوجية](#def-g11-func-parity) و $O$ [فردية](#def-g11-func-parity)، و مجموعهما $\frac{1 + x}{1 - x^2} =
\frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$.

**10.** لأن كل قطعة تخضع لتناظر، يكفي نصف العمل (ونصف المعطيات) لكل منهما: فتحل على جهة واحدة، ثم تعكس على الأخرى — كما أن عمليات كثيرة (التكامل، و المتسلسلات، وتحليل الإشارات) تعالج القطع المتناظرة على نحو أبسط بكثير من الدوال الخام.

**11.** $(x-3)^2$: منسحبة $3$ نحو اليمين. و $x^2 + 2$: منسحبة $2$ نحو الأعلى. و $(x-3)^2 + 2$: الأمران معًا. و $-x^2$: مقلوبة رأسًا على عقب. و $2x^2$: ممدَّدة شاقوليًا بمعامل $2$ (فالوعاء أضيق).

**12.** من أجل $x \geq 2$: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. ومن أجل $-2 \leq x \leq 2$: $(2 - x) + (x + 2) = 4$. ومن أجل $x \leq -2$: $-2x$. فينزل [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [بميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $-2$، ويسير مسطحًا على الارتفاع $4$ بين $-2$ و $2$، ثم يتسلق [بميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2$: أي واد ذو أرضية مسطحة.

**13.** الانسحاب الشاقولي: تبقى $f(x) + 2$ [زوجية](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). والتمديد الشاقولي: تبقى $2f(x)$ [زوجية](#def-g11-func-parity). أما الانسحاب الأفقي: فإن $(x - 3)^2$ ليست [زوجية](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): إذ يهدم الانزلاق الجانبي المرآة.

**14.** على الأرضية المسطحة تكون القيمة $4 \neq 6$. ومن أجل $x \geq 2$: $2x = 6$ فيكون $x = 3$. ومن أجل $x \leq -2$: $-2x = 6$ فيكون $x = -3$. إذن الحلول: $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ حيث $f(0) = 4a - 3 = 1$: فيكون $a = 1$، إذن $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: سالب من أجل $u < v$ مع $uv < 4$، وموجب مع $uv > 4$: إذن [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoc{0}{2}$، [ومتزايدة](#def-g11-func-monotone) على $\intco{2}{+\infty}$؛ [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) عند $x = 2$، وقيمتها $g(2) = 4$.

**17.** الضلعان $x$ و $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$، ويُصغَّر (بآلة السؤال 16 مع $4 \to 16$، ونقطة الانعطاف $\sqrt{16} = 4$) عند $x = 4$: أي *المربع* $4 \times 4$، ومحيطه $16$ — وهو جواب ديدو، مبرهنًا عليه الآن من أجل كل طول ضلع حقيقي.

**18.** على $\intco{0}{+\infty}$: تتزايد $x \mapsto x^2 + 1$، وتتزايد $\sqrt{\phantom{x}}$، إذن تتزايد [الدالة](#def-g11-func-function) المركبة. و $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: أي أن $h$ [زوجية](#def-g11-func-parity)، فتتناقص بالتناظر المرآتي على $\intoc{-\infty}{0}$. [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** مربع المسافة من النقطة $(x, \sqrt x)$ إلى $(3, 0)$: $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$، وهو أصغري عند $x = \frac52$: فأقرب نقطة $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$، والمسافة $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. وتصغير $d^2$ مشروع لأن التربيع متزايد تمامًا على الأعداد الموجبة: فتبلغ $d$ و $d^2$ قاعهما في الموضع نفسه.

**20.** المادة الخام: المنحنيات المرجعية، محفوظة عن ظهر قلب. والآلات: الانسحابات والقلوب والتمديدات التي تركّب منحنيات جديدة من قديمة. وضبط الجودة: [الزوجية](#def-g11-func-parity) والانقسام إلى زوجي وفردي، وهما ينصّفان كل دراسة. ومنضدة القياس: تحليل $f(v) - f(u)$ إلى عوامل، وهو يقرأ التغيرات والقيم الصغرى مباشرة. أما الأداة القوية في الفصل التالي فهي *المشتقة*، التي تقرؤها بنظرة.