---
title: "الاشتقاق: مدخل أول"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course
---

# الفصل 12 — الاشتقاق: مدخل أول

بأي سرعة تتغير [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function)؟ الجواب عند نقطة واحدة هو *[المشتقة](#def-g11-deriv-derivative)*، وهي أنفع عدد مفرد في الرياضيات التطبيقية كلها. يبني هذا الفصل [المشتقة](#def-g11-deriv-derivative) انطلاقًا من معدلات التغير المتوسطة، ويحسبها من أجل [الدوال المرجعية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference)، ويستعمل إشارتها لقراءة تغيرات [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function). وكل ما هنا يُوسَّع ويُعمَّق في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv).

## 12.1 معدل التغير المتوسط

**تعريف 12.1 (معدل التغير المتوسط).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$، وليكن $a \neq b$ فيها. *معدل التغير المتوسط* [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ بين $a$ و $b$ هو

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

وهو [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) *القاطع* المار بالنقطتين $\bigl(a, f(a)\bigr)$ و $\bigl(b, f(b)\bigr)$ من [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph).

**مثال 12.2.**

تقطع سيارة $140$ كم بين الساعة 2 والساعة 4 بعد الظهر: فسرعتها المتوسطة $\frac{140}{2} = 70$ كم/سا. أما عداد السرعة فيعرض سرعة *لحظية* في كل لحظة — وذلك بالضبط هو المفهوم الذي تضبطه [المشتقة](#def-g11-deriv-derivative).

## 12.2 المشتقة عند نقطة

**تعريف 12.3 (المشتقة عند نقطة).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تحوي $a$. ومن أجل $h \neq 0$، كوّن [معدل التغير المتوسط](#def-g11-deriv-rate) بين $a$ و $a + h$:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

فإذا اقترب $r(h)$ من عدد ثابت وحيد كلما اقترب $h$ من $0$ بأي قدر، قلنا إن $f$ *قابلة للاشتقاق عند $a$*؛ وهذا العدد هو *مشتقة $f$ عند $a$*، ويُكتب $f'(a)$:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**مثال 12.4.**

لتكن $f(x) = x^2$ و $a = 1$. من أجل $h \neq 0$:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

وكلما اقترب $h$ من $0$ اقترب هذا من $2$: إذن [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x^2$ قابلة للاشتقاق عند $1$ و $f'(1) = 2$. ولاحظ الاستراتيجية: *بسّط الخارج حتى لا يعود $h$ يظهر في مقام*، ثم اجعل $h \to 0$.

**مثال 12.5 (نقطة غير قابلة للاشتقاق).**

لتكن $f(x) = \abs{x}$ و $a = 0$. عندئذٍ $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$، وهو يساوي $1$ من أجل $h > 0$ و $-1$ من أجل $h < 0$: فلا يُقترب من عدد وحيد، و $\abs x$ ليست قابلة للاشتقاق عند $0$. ولمنحنيها *زاوية* هناك.

## 12.3 المماس

**تعريف 12.6 (المماس).**

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$، فإن *المماس* [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) عند النقطة $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ هو المستقيم المار بالنقطة $A$ الذي ميله $f'(a)$. ومعادلته

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

[والمماس](#def-g11-deriv-tangent) هو الوضع الحدي للقواطع المارة بالنقطة $A$: فكلما $h \to 0$، انزلقت النقطة الثانية $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) نحو $A$، واقترب [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) [القاطع](#def-g11-deriv-rate) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ من $f'(a)$.

![ميل القاطع المار بالنقطتين A و B = (a+h, f(a+h) ) هو f(a+h)-f(a)/h. وكلما انزلقت B نحو A، مال القاطع ليصير المماس، الذي ميله f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-8df3d5604daa.svg)

*[ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) [القاطع](#def-g11-deriv-rate) المار بالنقطتين $A$ و $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ هو $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. وكلما انزلقت $B$ نحو $A$، مال [القاطع](#def-g11-deriv-rate) ليصير [المماس](#def-g11-deriv-tangent)، الذي ميله $f'(a)$.*

**مثال 12.7.**

من أجل $f(x) = x^2$ عند $a = 1$: لدينا $f(1) = 1$ و $f'(1) = 2$ ([المثال 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint))، إذن [المماس](#def-g11-deriv-tangent) هو

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

وهو المستقيم $d_2$ الذي وُجد بالجبر الخالص في [التمرين 10.11](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#exo-g11-quad-11).

## 12.4 مشتقات الدوال المرجعية

**قضية 12.8.**

على مجموعات قابلية اشتقاقها:

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

وبوجه أعم، $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ من أجل كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$.

**برهان.** يتبع كل برهان استراتيجية [المثال 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint): بسّط المعدل، ثم اجعل $h \to 0$. ثبّت $a$ في [مجموعة التعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function).

*الثابتة والمطابقة.* $\frac{c - c}{h} = 0$ و $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ من أجل كل $h$: فالنهايتان $0$ و $1$.

*المربع.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*التكعيب.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$، إذن المعدل هو $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$.

*المقلوب.* من أجل $a \neq 0$ و $h$ صغير بما يكفي ليكون $a + h \neq 0$:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*[الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) التربيعي.* من أجل $a > 0$، اضرب في المرافق:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*القوة العامة.* يستمر النمط $2a$، $3a^2$: فبنشر $(a+h)^n$، تحمل كل الحدود بعد $a^n + n\,a^{n-1}h$ العامل $h^2$، إذن يؤول المعدل إلى $n\,a^{n-1}$. (ويُعطى برهان كامل بالتراجع في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv).) ∎

## 12.5 قواعد الاشتقاق

**مبرهنة 12.9 (العمليات).**

لتكن $u$ و $v$ قابلتين للاشتقاق على $I$ وليكن $\lambda \in \R$. عندئذٍ تكون $u + v$ و $\lambda u$ و $uv$ قابلة للاشتقاق على $I$، وكذلك $\frac{u}{v}$ حيثما $v \neq 0$، ولدينا

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**برهان القواعد الثلاث الأولى.** ثبّت $a \in I$ واختصر $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ و $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*المجموع.* معدل $u + v$ هو $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*الضرب في عدد.* معدل $\lambda u$ هو $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*الجداء.* أضف واطرح الحد المختلط $u(a+h)\,v(a)$:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

وكلما $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$، و $\frac{\Delta u}{h} \to
u'(a)$، و $u(a+h) \to u(a)$ (فمعدلها له نهاية، إذن $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). ومنه يؤول المعدل إلى $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

أما قاعدة الخارج فتُبرهن على المنوال نفسه؛ و*نقبلها في هذا المستوى*، ويُبرهن عليها في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv). ∎

**مثال 12.10.**

*كثير حدود.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*خارج قسمة.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: بوضع $u = 2x + 1$ و $v = x^2
+ 1$،

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*جداء.* $k(x) = x\sqrt x$ من أجل $x > 0$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 إشارة المشتقة والتغيرات

**مبرهنة 12.11 (المشتقة والتغيرات).**

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. إذا كان $f' \geq 0$ على $I$ ، فإن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $I$ .
2. وإذا كان $f' \leq 0$ على $I$ ، فإن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $I$ .
3. وإذا كان $f' > 0$ على $I$ (عدا، ربما، عند عدد منته من النقط التي تنعدم عندها)، فإن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) تمامًا على $I$ .

**برهان.** الحدس واضح — [فالمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الذي تشير كل مماساته إلى أعلى لا بد أن يتسلق — لكن البرهان الصارم يحتاج إلى مبرهنة القيمة المتوسطة. والنتيجة *نقبلها في هذا المستوى*؛ انظر [المبرهنة 22.7](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#thm-g12-deriv-variations). ∎

**قضية 12.12 (القيم الحدية).**

إذا تغيّرت إشارة $f'$ عند $a$ من $+$ إلى $-$، كان [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية عند $a$؛ وإذا تغيّرت من $-$ إلى $+$، كانت لها [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية. وعند نقطة كهذه يكون $f'(a) = 0$ و [المماس](#def-g11-deriv-tangent) أفقيًا.

**برهان.** إذا كان $f' \geq 0$ على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تنتهي عند $a$ و $f' \leq 0$ على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تبدأ عند $a$، فإن $f$ تتزايد حتى $f(a)$ وتتناقص بعدها ([المبرهنة 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): أي أن $f(a)$ أكبر ما يكون في الجوار. وبما أن إشارة $f'$ تتغير عند $a$ وهي معرَّفة هناك، فإن $f'(a) = 0$. ∎

**طريقة 12.13 (دراسة دالة).**

1. احسب $f'(x)$ وبسّطه — ويُفضَّل أن يكون على صورة محلَّلة إلى عوامل.
2. حدّد إشارة $f'(x)$ على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) (وإذا كان $f'$ تربيعيًا، استعمل [المبرهنة 10.11](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-sign) ).
3. سجّل النتائج في *جدول تغيرات* : سطر لإشارة $f'$ ، وسطر من الأسهم من أجل $f$ ، مع قيم $f$ عند نقط الانعطاف.
4. استنتج: القيم الحدية، وعدد حلول $f(x) = k$ ، والمتراجحات.

**مثال 12.14.**

ادرس $f(x) = x^3 - 3x + 1$ على $\R$. أولًا، $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: وهو مقدار تربيعي جذراه $-1$ و $1$، وهو موجب خارجهما. إذن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $\intoc{-\infty}{-1}$، [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intcc{-1}{1}$، [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $\intco{1}{+\infty}$، ولها [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ [وقيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![منحنى f(x) = x3 - 3x + 1 (): مماسان أفقيان (بالبرتقالي) عند القيمة العظمى المحلية (-1, 3) والقيمة الصغرى المحلية (1, -1)، حيث تتغير إشارة f'.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*[منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([المثال 12.14](#ex-g11-deriv-study)): مماسان أفقيان (بالبرتقالي) عند [القيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) المحلية $(-1, 3)$ [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) المحلية $(1, -1)$، حيث تتغير إشارة $f'$.*

**مثال 12.15 (الاستمثال).**

يُصنع صندوق مفتوح من صفيحة $12 \times 12$ سم بقطع مربع ضلعه $x$ من كل زاوية ثم الطي. وحجمه $V(x) = x(12 - 2x)^2$ من أجل $0 < x < 6$. وبالنشر، $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$، إذن

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

وعلى $\intoo{0}{6}$ يكون العامل $x - 6$ سالبًا، إذن يحمل $V'(x)$ إشارة $-(x-2)$: فهو موجب قبل $2$ وسالب بعدها. إذن يكون الحجم أعظميًا من أجل $x = 2$ سم، فيعطي $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ سم$^3$.

## 12.7 تمارين

**تمرين 12.1 ★.**

مستعملًا التعريف (معدل التغير، ثم $h \to 0$)، احسب $f'(2)$ من أجل $f(x) = x^2$، ثم $g'(1)$ من أجل $g(x) = x^2 + 3x$.

**حل التمرين 12.1.**

من أجل $f(x) = x^2$ عند $a = 2$:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

إذن $f'(2) = 4$. ومن أجل $g(x) = x^2 + 3x$ عند $a = 1$: لدينا $g(1) = 4$ و

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

إذن $g'(1) = 5$.

**تمرين 12.2 ★.**

اشتق:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**حل التمرين 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (على $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (قاعدة الجداء).

**تمرين 12.3 ★.**

أعطِ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) [المماس](#def-g11-deriv-tangent) [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f$ عند النقطة ذات [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $a$:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**حل التمرين 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$، $a = 2$: لدينا $f(2) = -2$ و $f'(x) = 2x - 3$ إذن $f'(2) = 1$؛ [والمماس](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$، $a = 1$: لدينا $f(1) = 1$ و $f'(1) = -1$؛ [والمماس](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$، $a = 4$: لدينا $f(4) = 2$ و $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} =
\frac14$؛ [والمماس](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**تمرين 12.4 ★.**

اشتق الخارجات:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**حل التمرين 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (قاعدة الخارج مع $u = 1$).

**تمرين 12.5 ★★.**

ادرس تغيرات $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ على $\R$ ([جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table)، والقيم الحدية المحلية).

**حل التمرين 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: موجب خارج $\intcc{1}{3}$، وسالب داخلها. إذن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $\intoc{-\infty}{1}$، [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intcc{1}{3}$، [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $\intco{3}{+\infty}$، ولها [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ و [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**تمرين 12.6 ★★.**

ادرس تغيرات $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ على $\intoo{-1}{+\infty}$.

**حل التمرين 12.6.**

على $\intoo{-1}{+\infty}$:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

ومن أجل $x > -1$ يكون $x + 3$ و $(x+1)^2$ موجبين، إذن يحمل $f'(x)$ إشارة $x - 1$: فتكون $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoc{-1}{1}$ [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) على $\intco{1}{+\infty}$، وقيمتها الصغرى $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**تمرين 12.7 ★★.**

لتكن $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. أوجد نقطة [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) التي يكون [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عندها أفقيًا.
2. أوجد النقطة أو النقط التي يكون [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عندها موازيًا للمستقيم $y = 2x + 1$ .

**حل التمرين 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* [المماس](#def-g11-deriv-tangent) الأفقي: $f'(x) = 0$ عند $x = 2$؛ والنقطة هي $(2, f(2)) = (2, 1)$ (وهي رأس [القطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola)).

*2.* التوازي مع $y = 2x + 1$ يعني [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2$: أي $2x - 4 = 2$، إذن $x = 3$، فتكون النقطة $(3, f(3)) = (3, 2)$.

**تمرين 12.8 ★★.**

تُبنى حظيرة مستطيلة مسنودة إلى جدار باستعمال $60$ م من السياج (ثلاثة أضلاع). عبّر عن المساحة بدلالة العرض $x$، واستعمل [المشتقة](#def-g11-deriv-derivative) لإيجاد بعدَي المساحة العظمى. (قارن بطريقة الرأس في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad).)

**حل التمرين 12.8.**

بعرض $x$ (وضلعان مسيَّجان) وطول $60 - 2x$: $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ على $\intoo{0}{30}$. عندئذٍ $A'(x) = 60 - 4x$، وهو موجب قبل $x = 15$ وسالب بعدها: إذن تكون المساحة أعظمية من أجل $x = 15$، فتعطي حظيرة $15 \times 30$ م مساحتها $450$ م$^2$. وتعطي صيغة الرأس $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad) الجواب نفسه دون حساب تفاضل.

**تمرين 12.9 ★★.**

بيّن أنه من أجل كل $x > 0$، $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$، بدراسة [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ على $\intoo{0}{+\infty}$.

**حل التمرين 12.9.**

لتكن $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ على $\intoo{0}{+\infty}$. عندئذٍ

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

وهو يحمل إشارة $\sqrt x - 1$: سالب على $\intoo{0}{1}$، وموجب على $\intoo{1}{+\infty}$. إذن تتناقص $f$ ثم تتزايد، وقيمتها الصغرى $f(1) = 1 - 1 = 0$. ومنه $f(x) \geq 0$ من أجل كل $x > 0$، أي $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط.

**تمرين 12.10 ★★.**

يجب أن تسع علبة أسطوانية $500$ سم$^3$. ومساحة سطحها (قرصان زائد الجانب) هي $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ حيث $\pi r^2 h = 500$. عبّر عن $S$ بدلالة $r$ وحده، وبيّن أن $S'(r) = 4\pi r -
\frac{1000}{r^2}$. واستنتج نصف القطر الذي يصغّر المساحة، على صورة عبارة مضبوطة.

**حل التمرين 12.10.**

من $\pi r^2 h = 500$ نجد $h = \frac{500}{\pi r^2}$، إذن

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

ولدينا $S'(r) = 0$ عندما $4\pi r^3 = 1000$، أي $r^3 = \frac{250}{\pi}$، إذن $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ سم). وبما أن $S'(r) =
\frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ سالب قبل هذه القيمة وموجب بعدها، فإنها [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema).

**تمرين 12.11 ★★★.**

كم مماسًا [للقطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ يمر بالنقطة الخارجية $P(1, -3)$؟ حدّد معادلاتها. (ليكن $a$ [فاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) نقطة التماس وعبّر عن كون [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $a$ يمر بالنقطة $P$.)

**حل التمرين 12.11.**

[المماس](#def-g11-deriv-tangent) [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $y = x^2$ عند النقطة ذات [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $a$ هو $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. وهو يمر بالنقطة $P(1, -3)$ عندما $-3 = 2a - a^2$، أي $a^2 - 2a - 3 = 0$، وجذراها $a = 3$ و $a = -1$ ($\Delta = 16$). إذن يوجد *مماسان* يمران بالنقطة $P$:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**تمرين 12.12 ★★★.**

لتكن $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (انظر [المثال 12.14](#ex-g11-deriv-study)). مستعملًا [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table)، حدّد عدد حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ بحسب قيمة [العدد الحقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $k$.

**حل التمرين 12.12.**

من [المثال 12.14](#ex-g11-deriv-study)، تتزايد $f$ حتى [القيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) المحلية $f(-1) = 3$، ثم تتناقص إلى [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) المحلية $f(1) = -1$، ثم تتزايد من جديد؛ ومن أجل $x$ الموجب الكبير (أو السالب الكبير)، يهيمن $x^3$ فتأخذ $f$ قيمًا كبيرة (أو صغيرة) بأي قدر. وبقراءة المستقيمات الأفقية $y = k$ على [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table):

- إذا كان $k > 3$ أو $k < -1$ : التقى المستقيم [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) مرة واحدة — أي حل واحد؛
- وإذا كان $k = 3$ أو $k = -1$ : لامس المستقيم نقطة انعطاف وقطع فرعًا آخر — أي حلان؛
- وإذا كان $-1 < k < 3$ : قطع المستقيم الفروع الثلاثة كلها — أي ثلاثة حلول.

## 12.8 مسألة: وظائف المماس الثلاث

**مسألة 12.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — برهان المرآة المكافئة، وآلة نيوتن لإيجاد الجذور، وأقوى عارضة في الجذع

ترسم [المشتقة](#def-g11-deriv-derivative) مماسات؛ ويبدو ذلك موهبة متواضعة. تبيّن هذه المسألة أن [المماس](#def-g11-deriv-tangent) يشغل ثلاث وظائف دفعة واحدة: فهو يبرهن على مبرهنة المصباح الأمامي المعلَّقة في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) (كل شعاع مواز لمحور [قطع مكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) ينعكس عبر [البؤرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1))، وهو يشغّل أسرع خوارزمية لحل المعادلات في الاستعمال الشائع — داخل كل حاسبة وكل شبكة عصبونية — وهو يجد أقوى عارضة مستطيلة يمكن أن يعطيها جذع مستدير.

**الجزء الأول — الطلاقة في المماسات.**

1. اشتق $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ و $g(x) = x^3 - 12x$ ( [المبرهنة 12.9](#thm-g11-deriv-rules) )؛ واستعد $\left(x^2  \right)'$ عند $x = 1$ انطلاقًا من التعريف (معدل التغير، ثم $h \to 0$ ).
2. أوجد [المماس](#def-g11-deriv-tangent) [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $y = x^3 - 12x$ عند $a = 2$ . ما الخاص فيه، وعلام يدل ذلك ( [القضية 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )؟
3. أرسِ [المماس](#def-g11-deriv-tangent) العام [للقطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ عند النقطة $(a, a^2)$: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. أين يقطع ذلك [المماس](#def-g11-deriv-tangent) المحور $y$ ؟ استنتج وصفة الرسّام: لرسم [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند نقطة $P$ ارتفاعها $h$ على [القطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) ، صِل $P$ بنقطة المحور الواقعة على عمق … تحت المبدأ. صُغها.
5. ابنِ [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) الكامل [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $g(x) = x^3 - 12x$ (إشارة $g'$ ، والقيم الحدية المحلية و قيمها، [الطريقة 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**الجزء الثاني — مبرهنة المرآة.** لتكن $P(a, a^2)$ نقطة من [القطع المكافئ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (وليكن $a \neq 0$)، ولتكن $F\left(0, \frac14\right)$ [البؤرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1)، ولتكن $T$ النقطة التي يقطع فيها [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $P$ المحور $y$ (السؤال 4). وتذكّر من [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) أن $PF = a^2 + \frac14$.

6. احسب المسافة $FT$ .
7. استنتج أن المثلث $FPT$ متساوي الساقين في $F$ . فأي زاويتين متساويتان إذن؟
8. الشعاع الوارد عبر $P$ ، الموازي للمحور، يوازي المستقيم $(TF)$ (فكلاهما شاقولي). ومستعملًا الزوايا المتبادلة، بيّن أن [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $P$ يصنع *زاويتين متساويتين* مع الشعاع الشاقولي الوارد و مع القطعة $[PF]$ .
9. الفيزياء: ينعكس الضوء عن [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) كما ينعكس عن مماسه، فيغادر بالزاوية نفسها التي وصل بها (قانون الانعكاس). استنتج *مبرهنة المرآة* : كل شعاع مواز للمحور ينعكس عبر [البؤرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) — وبعكس الزمن، تبعث لمبة عند [البؤرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) ضوءًا متوازيًا. فالطبق والمصباح الأمامي في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) صارا الآن مبرهنتين.
10. تحقق عدديًا من تساوي الساقين عند $a = 1$ : احسب $T$ و $FP$ و $FT$ .

**الجزء الثالث — آلة نيوتن.** لحل $f(x) = 0$، اقترح نيوتن: انطلق من تخمين $x_0$، واتبع [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $x_0$ نزولًا إلى المحور، واجعل [فاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) تقاطعه هي التخمين التالي.

11. استنتج صيغة الطريقة: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. شغّلها على $f(x) = x^2 - 2$ انطلاقًا من $x_0 = 1$: احسب $x_1$ و $x_2$ و $x_3$ على صورة كسور مضبوطة. أي متتالية عمرها ألفا سنة — وأي آلة من [المسألة 3.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) — أعدت بناءها للتوّ؟ برهن على المتطابقة وراء هذا التوافق: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x +  \frac2x\right).$$
13. حل $x^3 = 100$ (تجاوز خطتَي الادخار في [المسألة 4.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#pb-g10-reffunc-1) ): طبّق خطوتَي نيوتن على $f(x) = x^3 - 100$ انطلاقًا من $x_0 = 5$ (بأربعة أرقام عشرية)، و قارن بقيمة $\sqrt[3]{100}$ على الحاسبة.
14. التخريب: حاول إطلاق الطريقة على $f(x) = x^3 - 12x$ عند $x_0 = 2$ . ما الذي يسوء، و لماذا (السؤال 2)؟ صُغ التحذير العملي.
15. في السؤال 12 سارت الأرقام العشرية الصحيحة [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) $1 \to 3 \to 6$ . قارن بالتنصيف (أي تنصيف [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) في كل خطوة) وقل في جملة واحدة لماذا تعمل الحاسبات ومستقبلات التموضع العالمي وتدريب الشبكات العصبونية كلها على فكرة نيوتن.

**الجزء الرابع — أقوى عارضة.** تُنشر عارضة مستطيلة عرضها $w$ وعمقها $d$ من جذع مستدير قطره $30$ سم، إذن $w^2 + d^2 = 900$. وصلابة العارضة تتناسب مع $w d^2$ (فالعمق يُحسب مرتين: لأن الروافد تقف على حرفها!).

16. عبّر عن الصلابة بدلالة $w$ وحده: $S(w) = 900w - w^3$ ، وعلى أي [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) ؟
17. اشتق، وابنِ [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) ، وأوجد $w$ و $d$ الأمثلين (بقيم مضبوطة، ثم إلى المليمتر).
18. بيّن أن النسب المثلى تحقق $d = w\sqrt2$ — وهي نسبة النجارين القديمة. (وطُرفة إضافية: تقسيم قطر الجذع إلى ثلاثة أجزاء متساوية ورفع أعمدة إلى الدائرة ينشئ هذا المستطيل بالضبط.)
19. الاختيار الساذج هو العارضة *المربعة* ( $w = d$ ). احسب صلابتها وصلابة العارضة المثلى، وأعطِ ربح النجار بالنسبة المئوية.
20. الخاتمة — وظائف [المماس](#def-g11-deriv-tangent) الثلاث، جملة لكل وظيفة: الهندسة (مبرهنة المرآة)، والحساب العددي (آلة نيوتن)، والاستمثال (العارضة)، وكلها يشغّلها الكائن نفسه. وإشارة إلى الأمام: تضيف السنة الأخيرة التحدب — أي جهة [المماس](#def-g11-deriv-tangent) من [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) — لتصقل الثلاثة جميعًا.

**حل المسألة 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$؛ و $g'(x) = 3x^2 - 12$. وبالتعريف: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: أي أن [مشتقة](#def-g11-deriv-derivative) $x^2$ عند $1$ هي $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ و $g'(2) = 12 - 12 = 0$: إذن [المماس](#def-g11-deriv-tangent) هو المستقيم الأفقي $y = -16$. [والمماس](#def-g11-deriv-tangent) الأفقي يدل على نقطة حرجة — وهي هنا [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية، كما يؤكد [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) في السؤال 5.

**3.** [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2a$ عند $(a, a^2)$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** عند $x = 0$: يكون $y = -a^2$: أي أن [المماس](#def-g11-deriv-tangent) يقطع المحور على عمق $a^2$ تحت المبدأ — أي على البعد نفسه *تحت* الصفر الذي تعلوه فيه $P$. والوصفة: لرسم [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند نقطة ارتفاعها $h$، صِلها بنقطة المحور الواقعة على عمق $h$ تحت المبدأ. (فلا حاجة إلى [مشتقة](#def-g11-deriv-derivative) على لوح الرسم.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: موجب على $\intoo{-\infty}{-2}$، وسالب على $\intoo{-2}{2}$، وموجب بعدها. فتتزايد $g$ إلى [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $g(-2) = 16$، ثم تهبط إلى [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $g(2) = -16$، ثم تتزايد.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ و $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: إذن متساوي الساقين في $F$، فتكون زاويتا القاعدة متساويتين: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** الشعاع الوارد عند $P$ شاقولي، إذن يوازي المستقيم $(TF)$ (وهو المحور $y$). ويقطع [المماس](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ المتوازيين معًا، إذن تساوي الزاوية بين الشعاع [والمماس](#def-g11-deriv-tangent) الزاويةَ $\widehat{FTP}$ (زاويتان متبادلتان) — وهي تساوي $\widehat{FPT}$، أي الزاوية بين $[PF]$ [والمماس](#def-g11-deriv-tangent). إذن زاويتان متساويتان على جهتَي [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $P$.

**9.** بقانون الانعكاس، يغادر الشعاع الواصل شاقوليًا إلى $P$ على المستقيم الذي يصنع الزاوية المساوية في الجهة الأخرى — وهو، حسب السؤال 8، المستقيم $[PF]$: أي عبر [البؤرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1)، أيًّا كان $a$. وبعكس ذلك، يغادر الضوء المولود عند $F$ كل نقطة من المرآة موازيًا للمحور. فالأطباق تجمع، والمصابيح الأمامية تبعث: وقد بُرهن على ذلك.

**10.** من أجل $a = 1$: [المماس](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$، و $T(0, -1)$؛ و $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} =
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$؛ و $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: إذن متساوي الساقين، كما وُعد.

**11.** [المماس](#def-g11-deriv-tangent) عند $x_n$ هو $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$؛ وهو يقطع $y = 0$ حيث $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$؛ و $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$؛ و $x_3 = \frac{577}{408}$: أي تقريبات هيرون للعدد $\sqrt2$، وهي آلة [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) في [المسألة 3.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1). والمتطابقة: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — أي أن وصفة هيرون *هي* طريقة نيوتن مطبقة على $x^2 - 2$، قبل ألفي سنة.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3}
\approx 4.6667$؛ و $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33}
\approx 4.6417$. وعلى الحاسبة: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — أي أربعة أرقام عشرية صحيحة في خطوتين.

**14.** $f'(2) = 0$: [فالمماس](#def-g11-deriv-tangent) عند نقطة الانطلاق أفقي (السؤال 2) ولا يقطع المحور أبدًا — و الصيغة تقسم على صفر. والتحذير: ابدأ نيوتن بعيدًا عن النقط الحرجة (وبوجه أعم، قريبًا بما يكفي من [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) المطلوب).

**15.** يكسب التنصيف رقمًا ثنائيًا واحدًا في كل خطوة؛ أما نيوتن فيكاد *يضاعف* عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة ($1 \to 3 \to 6$ هنا). وعندما تكون كل خطوة مكلفة — ملايين الوسائط، والملاحة في الزمن الحقيقي — تتفوق المضاعفة على التقدم الزاحف، ولهذا يعمل [المماس](#def-g11-deriv-tangent) داخل كل هذا السيليكون.

**16.** $d^2 = 900 - w^2$، إذن $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$، من أجل $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ عند $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ سم (إذ $S' > 0$ قبلها، و $< 0$ بعدها: أي [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema)). عندئذٍ $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ سم.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$، إذن $d = w\sqrt2$: أي أن العمق يساوي العرض مضروبًا في $\sqrt2$ — وهي نسبة النجار (وإنشاء تقسيم القطر إلى أثلاث يعطيها بالفرجار، دون أي جبر في الورشة).

**19.** العارضة المربعة: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ سم، وصلابتها $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. والعارضة المثلى: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. والربح: نحو $8.9\,\%$ صلابة إضافية من الجذع نفسه — [فالمشتقة](#def-g11-deriv-derivative) تدفع ثمن المنشرة.

**20.** الهندسة: حوّلت زاويتا [المماس](#def-g11-deriv-tangent) المتساويتان مجسمًا مكافئًا إلى جامع للضوء. والحساب العددي: يحل الانزلاق على المماسات المعادلات بسرعة تضاعف الأرقام. والاستمثال: وجد انعدام [المشتقة](#def-g11-deriv-derivative) أقوى مستطيل في الجذع. كائن واحد وثلاث مهن — وسيخبرنا تحدب السنة الأخيرة، فوق ذلك، بأي جهة من كل [مماس](#def-g11-deriv-tangent) يقع [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph).