---
title: "المتتاليات: مدخل أول"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 13
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course
---

# الفصل 13 — المتتاليات: مدخل أول

[المتتالية](#def-g11-seq-sequence) قائمة أعداد تنتجها قاعدة: الأرصدة المتعاقبة لحساب توفير، أو أحجام مجتمع سنة بعد سنة. يدرس هذا الفصل العائلتين المهيمنتين على التطبيقات — المتتاليات *[الحسابية](#def-g11-seq-arithmetic)* التي تنمو بخطوات متساوية، و المتتاليات *[الهندسية](#def-g11-seq-geometric)* التي تنمو بنسب متساوية. أما النظرية الصارمة للنهايات فتُطوَّر في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#ch-g12-seq).

## 13.1 تعريف متتالية

**تعريف 13.1 (المتتالية).**

*المتتالية* $(u_n)$ ترفق بكل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 0$ (أو $n \geq 1$) عددًا حقيقيًا $u_n$، هو *حدها ذو [الدليل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) $n$*. ويمكن إعطاء متتالية

- *صراحةً* ، بعبارة تعطي $u_n$ بدلالة $n$ : مثلًا $u_n = n^2 + 1$ ؛
- أو *بالتراجع* ، بحدها الأول وقاعدة للانتقال من كل حد إلى الذي يليه: مثلًا $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

**مثال 13.2.**

من أجل $u_n = n^2 + 1$: نجد $u_0 = 1$ و $u_1 = 2$ و $u_2 = 5$ و $u_{10} = 101$ مباشرةً. ومن أجل $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$: نجد $u_1 = 5$ و $u_2 = 9$ و $u_3 = 17$ — فكل حد يحتاج إلى سابقه؛ وبلوغ $u_{10}$ يستلزم عشر خطوات (أو عبارة عامة، انظر [التمرين 13.11](#exo-g11-seq-11)).

## 13.2 المتتاليات الحسابية

**تعريف 13.3 (المتتالية الحسابية).**

تكون [متتالية](#def-g11-seq-sequence) *حسابية* ذات *أساس* $d$ إذا كان كل حد يُنتَج من الحد السابق بإضافة $d$:

$$
u_{n+1} = u_n + d \quad \text{من أجل كل } n.
$$

وبصورة مكافئة: الفرق $u_{n+1} - u_n$ ثابت ويساوي $d$.

**مبرهنة 13.4 (الحد العام).**

إذا كانت $(u_n)$ [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) حدها الأول $u_0$ وأساسها $d$، فإن

$$
u_n = u_0 + n\,d \quad \text{من أجل كل } n \geq 0,
\qquad\text{وبوجه أعم } u_n = u_p + (n - p)\,d .
$$

**برهان.** للانتقال من $u_0$ إلى $u_n$، تُطبَّق القاعدة “أضف $d$” $n$ مرة: فخطوة واحدة تعطي $u_1 = u_0 + d$، وخطوتان تعطيان $u_2 = u_0 + 2d$، وبعد $n$ خطوة يكون كل تطبيق قد أسهم بمقدار $d$ واحد، إذن $u_n = u_0 + nd$. (وتُجعل عبارة “وهكذا” صارمة بالتراجع في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#ch-g12-seq).) وتنتج الصيغة العامة بعدّ الخطوات $n - p$ من $u_p$ إلى $u_n$. ∎

**مبرهنة 13.5 (مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية).**

من أجل كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$:

$$
1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
$$

وبوجه أعم، يساوي مجموع حدود [متتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) متعاقبة

$$
(\text{عدد الحدود}) \times
\frac{\text{الحد الأول} + \text{الحد الأخير}}{2}.
$$

**برهان.** اكتب المجموع $S$ مرتين، والثانية [بترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) معكوس، ثم اجمع عمودًا عمودًا:

$$
\begin{array}{ccccccccc}
S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\
S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\
\hline
2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1)
\end{array}
$$

فهناك $n$ عمودًا، ومجموع كل عمود $n + 1$، إذن $2S = n(n+1)$. ومن أجل [متتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) عامة ينجح الاقتران نفسه: الأول $+$ الأخير $=$ الثاني $+$ ما قبل الأخير $= \dots$، لأن التقدم خطوة إلى الأمام عند الطرف الأيسر ($+d$) يعوّضه التراجع خطوة عند الطرف الأيمن ($-d$). ∎

**مثال 13.6.**

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$. ومجموع الأعداد [الفردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) $1 + 3 + \dots + 99$ ($50$ حدًّا) هو $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$.

## 13.3 المتتاليات الهندسية

**تعريف 13.7 (المتتالية الهندسية).**

تكون [متتالية](#def-g11-seq-sequence) *هندسية* ذات *أساس هندسي* $q \neq 0$ إذا كان كل حد يُنتَج من الحد السابق بالضرب في $q$:

$$
u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{من أجل كل } n.
$$

وبصورة مكافئة، عندما لا ينعدم أي حد: تكون النسبة $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ثابتة وتساوي $q$.

**مبرهنة 13.8 (الحد العام).**

إذا كانت $(u_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) حدها الأول $u_0$ وأساسها $q$، فإن

$$
u_n = u_0\, q^n \quad \text{من أجل كل } n \geq 0,
\qquad\text{وبوجه أعم } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .
$$

**برهان.** عدّ الخطوات نفسه المستعمل في [المبرهنة 13.4](#thm-g11-seq-arithgeneral): فمن $u_0$ إلى $u_n$، تُطبَّق القاعدة “اضرب في $q$” $n$ مرة، فتسهم بالعامل $q^n$. ∎

**مبرهنة 13.9 (المجموع الهندسي).**

من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $q \neq 1$ وكل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 0$:

$$
1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.
$$

**برهان.** ليكن $S = 1 + q + \dots + q^n$. اضرب في $q$: $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. ثم اطرح:

$$
S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr)
- \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},
$$

لأن كل حد [وسيط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median) يظهر مرة في كل مجموع فيتلاشى. ومنه $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$، وبالقسمة على $1 - q \neq 0$ نحصل على الصيغة. ∎

**مثال 13.10.**

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 =
2047$: فمضاعفة حبات الأرز على مربعات رقعة شطرنج تغمر أي مخزن قبل المربع $64$ بكثير، حيث يكون المجموع $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$.

![الخطوات المتساوية في مواجهة النسب المتساوية: المتتالية الحسابية (u_n+1 = u_n + 0.9، بالأزرق) تتبع مستقيمًا، والمتتالية الهندسية (u_n+1 = 1.2\,u_n، بالأحمر) تتبع منحنى أسيًا يتجاوز نموها في النهاية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-seq/fig-3a87bf7f1a8e.svg)

*الخطوات المتساوية في مواجهة النسب المتساوية: [المتتالية الحسابية](#def-g11-seq-arithmetic) ($u_{n+1} = u_n + 0.9$، بالأزرق) تتبع مستقيمًا، [والمتتالية الهندسية](#def-g11-seq-geometric) ($u_{n+1} = 1.2\,u_n$، بالأحمر) تتبع [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) أسيًا يتجاوز نموها في النهاية.*

**طريقة 13.11 (التعرّف على نوع متتالية).**

احسب $u_{n+1} - u_n$ وبسّطه. فإذا كانت النتيجة ثابتًا $d$، كانت [المتتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic). وإلا فاحسب $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (والحدود غير معدومة) وبسّط: فثابت $q$ يعني أنها [هندسية](#def-g11-seq-geometric). وإذا لم يكن أي منهما ثابتًا، [فالمتتالية](#def-g11-seq-sequence) ليست من النوعين — ولا تستنتج أبدًا من الحدود الأولى وحدها.

**مثال 13.12.**

من أجل $u_n = 3 \times 5^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ من أجل كل $n$: فهي [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $5$. ومن أجل $u_n = n^2$: لدينا $u_1 - u_0 = 1$ لكن $u_2 - u_1 = 3$، و $\frac{u_1}{u_0}$ ليست معرَّفة أصلًا — فليست [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) ولا [هندسية](#def-g11-seq-geometric).

## 13.4 الرتابة

**تعريف 13.13 (المتتالية الرتيبة).**

تكون [المتتالية](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ *[متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone)* إذا كان $u_{n+1} \geq u_n$ من أجل كل $n$، و*[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* إذا كان $u_{n+1} \leq u_n$ من أجل كل $n$.

**طريقة 13.14 (دراسة الرتابة).**

ادرس إشارة $u_{n+1} - u_n$. ومن أجل المتتاليات ذات الحدود الموجبة، يمكن بدلًا من ذلك مقارنة $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ بالعدد $1$.

**مثال 13.15.**

تكون [المتتالية الحسابية](#def-g11-seq-arithmetic) [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) عندما $d \geq 0$ ($u_{n+1} - u_n = d$)، [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) عندما $d \leq 0$. وتكون [المتتالية الهندسية](#def-g11-seq-geometric) ذات $u_0 > 0$ و $q > 1$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone): $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$؛ وتكون [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) عندما $u_0 > 0$ و $0 < q < 1$.

## 13.5 السلوك على المدى الطويل، بصورة غير رسمية

ماذا يحدث للحد $u_n$ عندما يصير $n$ كبيرًا جدًّا؟ من أجل [متتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) أساسها $d > 0$، تتجاوز الحدود $u_0 + nd$ أي عدد ثابت في النهاية. ومن أجل [متتالية هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $0 < q < 1$، تنكمش الحدود $u_0 q^n$ نحو $0$: فالضرب المتكرر في $0.9$ مثلًا يفتّ أي قيمة انطلاق. ومن أجل $q > 1$ تنفجر الحدود، كما في [المثال 13.10](#ex-g11-seq-chessboard).

**ملاحظة 13.16.**

يمكن جعل هذه العبارات دقيقة تمامًا — “تبقى الحدود في النهاية ضمن أي مسافة معطاة من $0$” — والبرهان عليها. وتلك هي نظرية *النهايات*، وهي الموضوع الافتتاحي في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#ch-g12-seq).

## 13.6 تمارين

**تمرين 13.1 ★.**

من أجل كل [متتالية](#def-g11-seq-sequence)، احسب $u_1$ و $u_2$ و $u_3$:

$$
u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad
u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad
u_n = (-1)^n\,n .
$$

**حل التمرين 13.1.**

$u_n = \frac{n}{n+1}$: $u_1 = \frac12$ و $u_2 = \frac23$ و $u_3 = \frac34$.

$u_0 = 5$ و $u_{n+1} = 3u_n - 2$: $u_1 = 13$ و $u_2 = 37$ و $u_3 = 109$.

$u_n = (-1)^n n$: $u_1 = -1$ و $u_2 = 2$ و $u_3 = -3$.

**تمرين 13.2 ★.**

[المتتالية](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) حيث $u_0 = 7$ و $d = -3$. احسب $u_{10}$ و $u_{25}$. [والمتتالية](#def-g11-seq-sequence) $(v_n)$ [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) حيث $v_3 = 11$ و $v_8 = 26$. أوجد أساسها و $v_0$.

**حل التمرين 13.2.**

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ و $u_{25} = 7 - 75 = -68$.

ومن أجل $(v_n)$: يعطي $v_8 = v_3 + 5d$ أن $26 = 11 + 5d$، إذن $d = 3$؛ ثم $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$.

**تمرين 13.3 ★.**

[المتتالية](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) حيث $u_0 = 5$ و $q = 2$. احسب $u_8$. [والمتتالية](#def-g11-seq-sequence) $(v_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) ذات حدود موجبة، و $v_2 = 12$ و $v_4 = 48$. أوجد أساسها و $v_0$.

**حل التمرين 13.3.**

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$.

ومن أجل $(v_n)$: يعطي $v_4 = v_2\, q^2$ أن $48 = 12 q^2$، إذن $q^2 = 4$ و $q = 2$ (فالحدود موجبة). عندئذٍ $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$.

**تمرين 13.4 ★.**

احسب

$$
1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad
4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad
1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .
$$

**حل التمرين 13.4.**

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$.

المجموع $4 + 7 + \dots + 61$ حسابي أساسه $d = 3$ و عدد حدوده $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$: فالمجموع $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$.

والمجموع $1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ هندسي أساسه $q = \frac12$ وعدد حدوده $11$: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right)
= \frac{2047}{1024}$.

**تمرين 13.5 ★.**

حدّد هل كل [متتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) أم [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أم لا هذه ولا تلك:

$$
u_n = 4n - 1; \qquad
v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad
w_n = n^2 + n .
$$

**حل التمرين 13.5.**

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$: [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) أساسها $d = 4$.

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n}
= \frac23$: [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $q = \frac23$.

$w_0 = 0$ و $w_1 = 2$ و $w_2 = 6$: فالفرقان $2$ و $4$ مختلفان، إذن ليست [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic)؛ و $\frac{w_1}{w_0}$ ليست معرَّفة أصلًا، والنسبتان $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$: فلا هذه ولا تلك.

**تمرين 13.6 ★★.**

في مسرح $20$ صفًّا: $16$ مقعدًا في الصف الأول، وفي كل صف مقعدان أكثر من الصف الذي قبله. كم مقعدًا في الصف الأخير؟ وفي المسرح كله؟

**حل التمرين 13.6.**

أحجام الصفوف [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic): الحد الأول $16$ [والأساس](#def-g11-seq-arithmetic) $2$. وفي الصف الأخير (العشرين) $16 + 19 \times 2 = 54$ مقعدًا. والمجموع $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ مقعدًا.

**تمرين 13.7 ★★.**

يتضاعف مجتمع من البكتيريا كل ساعة؛ وعند الظهر يوجد $500$ بكتيريا. فكم عددها في الساعة 8 مساءً؟ وبعد كم ساعة كاملة يتجاوز عددها المليون لأول مرة؟ (حل بتجريب قوى $2$ المتعاقبة.)

**حل التمرين 13.7.**

بعد $n$ ساعة يكون عدد المجتمع $500 \times 2^n$. وفي الساعة 8 مساءً، $n = 8$: $500 \times 256 = 128\,000$ بكتيريا. ونحتاج إلى $500 \times 2^n >
10^6$، أي $2^n > 2000$: وبما أن $2^{10} = 1024$ و $2^{11} = 2048$، يتجاوز العدد المليون لأول مرة بعد $11$ ساعة كاملة، أي في الساعة 11 مساءً.

**تمرين 13.8 ★★.**

كل شهر، يودع مدّخر $100$ يورو في حساب يدفع فائدة $0.2\%$ شهريًا على الرصيد القائم (وتُقيَّد الفائدة قبل الإيداع مباشرة). وليكن $c_n$ الرصيد بعد الإيداع $n$ مباشرة، فيكون $c_1 = 100$ و $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$. احسب $c_2$ و $c_3$، وفسّر لماذا لا تكون $(c_n)$ [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) ولا [هندسية](#def-g11-seq-geometric).

**حل التمرين 13.8.**

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ و $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$. والفرقان $c_2 - c_1 = 100.20$ و $c_3 - c_2 \approx 100.40$ غير متساويين، إذن $(c_n)$ ليست [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic)؛ والنسبتان $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ و $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ غير متساويتين أيضًا، إذن ليست [هندسية](#def-g11-seq-geometric). (وتُحل علاقات التراجع المختلطة من نوع “اضرب ثم أضف” كهذه بحيلة [المتتالية](#def-g11-seq-sequence) المساعدة في [التمرين 13.11](#exo-g11-seq-11).)

**تمرين 13.9 ★★.**

ادرس رتابة المتتاليتين

$$
u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad
v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),
$$

حيث $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. (ومن أجل $(v_n)$، قارن $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ بالعدد $1$.)

**حل التمرين 13.9.**

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$: سالب من أجل $n \leq 3$، وموجب من أجل $n \geq 4$. إذن تتناقص $(u_n)$ حتى $u_4 = 16 - 32 = -16$، ثم تتزايد: فهي ليست رتيبة.

وللمتتالية $(v_n)$ حدود موجبة و

$$
\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}
= \frac{3}{n+1},
$$

وهو $> 1$ من أجل $n \leq 1$، و $= 1$ من أجل $n = 2$، و $< 1$ من أجل $n \geq 3$: إذن تتزايد [المتتالية](#def-g11-seq-sequence) حتى $v_2 = v_3 = \frac92$، ثم تتناقص.

**تمرين 13.10 ★★.**

مجموع الحدود $n$ الأولى [لمتتالية حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) حدها الأول $u_0 = 3$ وأساسها $d = 4$ يساوي $903$. أوجد $n$. (كوّن [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تربيعية في $n$ واستعمل [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad).)

**حل التمرين 13.10.**

الحدود $n$ الأولى هي $u_0, \dots, u_{n-1}$، حيث $u_0 = 3$ و $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. ومجموعها

$$
n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,
$$

إذن $2n^2 + n - 903 = 0$. وهنا $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 =
7225 = 85^2$، و $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (ويُرفض [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) السالب). تحقق: $21 \times 43 = 903$.

**تمرين 13.11 ★★★.**

ليكن $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

1. احسب $u_1, u_2, u_3$ وخمّن عبارة للحد $u_n$ .
2. ليكن $v_n = u_n - 1$ . بيّن أن $(v_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) ، وأعطِ أساسها وحدها الأول.
3. استنتج عبارة صريحة للحد $u_n$ وتحقق من تخمينك.

**حل التمرين 13.11.**

*1.* $u_1 = 5$ و $u_2 = 9$ و $u_3 = 17$: فكل حد يزيد بواحد على $4, 8, 16$، مما يوحي بالعبارة $u_n = 2^{n+1} + 1$.

*2.* بوضع $v_n = u_n - 1$:

$$
v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,
$$

إذن $(v_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $2$ وحدها الأول $v_0 = u_0 - 1 = 2$.

*3.* ومنه $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ و $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$، وهذا يؤكد التخمين. (والعدد $1$ المطروح في $v_n$ هو [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) للعلاقة $x \mapsto 2x - 1$؛ وتعود الفكرة نفسها من أجل $u_{n+1} = au_n + b$ في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#ch-g12-seq).)

## 13.7 مسألة: برج براهما وأرانب فيبوناتشي

**مسألة 13.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — علاقتا تراجع أسطوريتان: البرج الذي ينهي العالم، والمتتالية التي تنمو مثل الذهب، والحيلة المساعدة التي تروّض القروض

تحكم متتاليتان فولكلور الرياضيات. إحداهما تعدّ حركات برج براهما — أربعة وستون قرصًا ذهبيًا يقول الأسطورة إن نقلها سينهي العالم. والأخرى تعدّ أرانب فيبوناتشي وتخبئ النسبة الذهبية. وليست أي منهما [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) ولا [هندسية](#def-g11-seq-geometric) — وكلتاهما تستسلم لأسلحة هذا الفصل: علاقات التراجع، والمجاميع [الهندسية](#def-g11-seq-geometric) ([المبرهنة 13.9](#thm-g11-seq-geomsum))، وحيلة [المتتالية](#def-g11-seq-sequence) المساعدة في [التمرين 13.11](#exo-g11-seq-11)، التي تحسب قرضك العقاري أيضًا.

**الجزء الأول — برج براهما.** الأحجية: $n$ قرصًا [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) الحجم مكدسة على الوتد أ؛ انقل الكومة كلها إلى الوتد ج، قرصًا واحدًا في كل مرة، دون وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر أبدًا (ويمكن للوتد ب أن يساعد). وليكن $h_n$ عدد الحركات الأصغري.

1. العب (بقطع نقدية) وسجّل $h_1$ و $h_2$ و $h_3$ .
2. فسّر الاستراتيجية وراء علاقة التراجع $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : ماذا يجب أن يحدث قبل تحرك القرص الأكبر وبعده؟
3. حل علاقة التراجع بحيلة [التمرين 13.11](#exo-g11-seq-11) : ضع $v_n = h_n + 1$ ، وبيّن أن $(v_n)$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) ، واستنتج $h_n = 2^n - 1$ .
4. لبرج الأسطورة $64$ قرصًا، وينقل الرهبان قرصًا واحدًا في الثانية. مستعملًا $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ ، قدّر زمن النقل بالسنوات (والسنة نحو $3 \times 10^7$ ثانية؛ قارن [المثال 13.10](#ex-g11-seq-chessboard) ، وهو المارد نفسه في قصة أخرى). فهل ينبغي أن نقلق؟
5. لماذا لا تستطيع أي استراتيجية أن تتفوق على $2^n - 1$ حركة؟ برهن على أن *أي* حل يخضع للمتراجحة $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : ماذا يجب أن يصح بشأن الأقراص $n$ العليا قبل تحرك القرص السفلي وبعده مباشرة؟

**الجزء الثاني — فيبوناتشي.** نعرّف $F_1 = F_2 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (فكل حد مجموع الحدين اللذين قبله — وهي قاعدة عدّ الأوزان في الكتاب السابق، مع اسمها الأوروبي الآن).

6. اذكر $F_1$ حتى $F_{12}$ .
7. بيّن أن $(F_n)$ ليست [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) ولا [هندسية](#def-g11-seq-geometric) ، لكنها [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) تمامًا ابتداءً من $n = 2$ ( [الطريقة 13.14](#met-g11-seq-monotonicity) وعلاقة التراجع).
8. برهن على متطابقة المجموع $$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$ بالتلسكوب: اكتب كل $F_k$ على صورة $F_{k+2} - F_{k+1}$ وراقب المجموع ينهار. وتحقق منها من أجل $n = 6$.
9. برهن على متطابقة المربعات $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ ، بالتلسكوب مع $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . وتحقق من أجل $n = 4$ . (وصورةً: مربعات أضلاعها $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ تبلّط مستطيلًا — وهو هيكل حلزون فيبوناتشي الشهير.)
10. تقول متطابقة كاسيني إن $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . تحقق منها من أجل $n = 4, 5, 6$ — وتعرّف على محرك حيلة المربع المتلاشي في مسألة المساحات في الكتاب السابق.
11. بيّن انطلاقًا من علاقة التراجع أن $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : [فمتتالية](#def-g11-seq-sequence) فيبوناتشي تتضاعف على الأقل كل خطوتين — أي أنها تنمو بسرعة لا تقل عن سرعة [متتالية هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $\sqrt2$ .
12. احسب النسب $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ من أجل $n = 3$ إلى $10$ (بثلاثة أرقام عشرية). وبقبول أنها تستقر على نهاية $L$ ، مرّر العلاقة $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ إلى النهاية وحل: أي عدد من [المسألة 2.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#pb-g10-algebra-1) تعبده الأرانب؟

**الجزء الثالث — الحيلة المساعدة، في المصرف.**

13. عمّم [التمرين 13.11](#exo-g11-seq-11) : من أجل $u_{n+1} = a\,u_n + b$ حيث $a \neq 1$ ، ضع $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (وهي [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) ). بيّن أن $v_n = u_n - \ell$ [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $a$ ، واستنتج $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
14. قرض: $10\,000$ يورو بفائدة $1\,\%$ شهريًا، يُسدَّد بمبلغ $300$ يورو شهريًا، فيخضع الدين للعلاقة $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . طبّق السؤال 13 ( [والنقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) أولًا!) للحصول على عبارة صريحة للحد $d_n$ .
15. بالحاسبة، أوجد أول شهر يُسدَّد فيه الدين كاملًا، والمبلغ الكلي المسدَّد. فكم كلّف الاقتراض نفسه؟
16. مدينة عدد سكانها $50\,000$ تنمو بنسبة $2\,\%$ سنويًا وتستقبل $1\,000$ وافد فوق ذلك: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . أعطِ العبارة الصريحة وعدد السكان بعد $10$ سنوات.

**الجزء الرابع — العائلتان الملكيتان.**

17. احسب $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ ( [المبرهنة 13.5](#thm-g11-seq-intsum) — وهو مجموع غاوس الصغير في الكتاب السابق، رسميًا الآن)، و $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ ( [المبرهنة 13.9](#thm-g11-seq-geomsum) ).
18. احسب مجموع [المتتالية الحسابية](#def-g11-seq-arithmetic) $7, 12, 17, \dots, 502$ (وكم عدد حدودها؟).
19. خطة ادخار: $100$ يورو تُودَع كل شهر، وتربح $0.5\,\%$ شهريًا؛ وبعد الإيداع $n$ يكون الرصيد $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . احسب الرصيد بعد $5$ سنوات ( $n = 60$ ).
20. الخاتمة — عدة مروّض المتتاليات: الوصف الصريح في مواجهة الوصف بالتراجع؛ والعائلتان الملكيتان و صيغتا مجموعهما؛ [والمتتالية](#def-g11-seq-sequence) المساعدة التي تحوّل علاقات التراجع التآلفية إلى [هندسية](#def-g11-seq-geometric) ؛ وفيبوناتشي، وهو أول المواطنين خارج العائلتين، مروَّضًا اليوم بالمتطابقات ومنتظرًا المصفوفات (في السنة الأخيرة) والنهايات لأسره الكامل. جملة واحدة لكل بند.

**حل المسألة 13.1.**

**1.** $h_1 = 1$ و $h_2 = 3$ و $h_3 = 7$.

**2.** لتحريك القرص الأكبر، يجب أولًا أن تهاجر الأقراص $n$ التي فوقه إلى الوتد الاحتياطي ($h_n$ حركة)؛ ثم يعبر القرص الكبير (حركة واحدة)؛ ثم يجب أن تعود الأقراص $n$ لتصعد فوقه ($h_n$ حركة): $h_{n+1} = 2h_n + 1$.

**3.** $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$: [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $2$ مع $v_1 = 2$، إذن $v_n = 2^n$ و $h_n = 2^n - 1$.

**4.** $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ ثانية؛ وبالقسمة على $3 \times 10^7$ ثانية في السنة: نحو $6 \times 10^{11}$ سنة — أي ستمئة مليار سنة، أي أربعين ضعف عمر الكون. فيمكن للرهبان أن يأخذوا استراحات قهوة.

**5.** في أي حل مشروع، انظر في أول حركة للقرص السفلي: ففي تلك اللحظة يجب أن تجلس الأقراص $n$ الأخرى كلها على الوتد الوحيد المتبقي (وذلك يستلزم $h_n$ حركة على الأقل)، وبعد آخر حركة للقرص السفلي يجب أن تعود كلها فوقه ($h_n$ حركة أخرى على الأقل): إذن يحتاج أي حل إلى $2h_n + 1$ حركة على الأقل. فعلاقة التراجع أرضية كما هي سقف: أي أن $2^n - 1$ أمثلي.

**6.** $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$.

**7.** ليست [حسابية](#def-g11-seq-arithmetic) (إذ $2 - 1 = 1$ لكن $3 - 2 = 1$ و $5 - 3 = 2$: فالفروق تتغير)؛ وليست [هندسية](#def-g11-seq-geometric) (إذ $\frac21 = 2$ لكن $\frac32 = 1.5$). وهي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone): فمن أجل $n \geq 2$، $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$.

**8.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$، إذن

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots +
(F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

ومن أجل $n = 6$: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$.

**9.** $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} -
F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$؛ والجمع يتلسكب إلى $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (مع $F_0 = 0$): إذن مجموع المربعات هو $F_n F_{n+1}$. ومن أجل $n = 4$: $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 =
3 \times 5$.

**10.** $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$؛ و $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$؛ و $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$: أي $\pm 1$ بالتناوب. وهذا الفرق بمقدار واحد بين $F_{n+1} F_{n-1}$ و $F_n^2$ هو بالضبط وحدة المربع المكسوبة أو المفقودة عند الساحر: فتقطيع مربع $F_n \times F_n$ إلى قطع يُعاد تركيبها مستطيلًا $F_{n+1} \times F_{n-1}$ لا بد أن يخلق وحدة أو يبتلعها — إنها الشظية.

**11.** $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ ([فالمتتالية](#def-g11-seq-sequence) [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone)): أي مضاعفة على الأقل كل دليلين — فالنمو لا يقل عن نمو [متتالية هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $\sqrt2$ لكل دليل.

**12.** $1.5$؛ $1.667$؛ $1.6$؛ $1.625$؛ $1.615$؛ $1.619$؛ $1.618$؛ $1.618$. وإذا كان $r_n \to L$: فمن $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$، وبالقسمة على $F_{n+1}$: $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$، إذن $L = 1 + \frac1L$، أي $L^2 = L + 1$: ومنه $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$، وهي النسبة الذهبية في [المسألة 2.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#pb-g10-algebra-1). فالأرانب تتكاثر بالذهب.

**13.** $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$؛ وبما أن $\ell = a\ell + b$، فإن هذا يساوي $a(u_n - \ell) = a v_n$: أي [هندسية](#def-g11-seq-geometric) أساسها $a$. ومنه $v_n = a^n v_0$ و $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$.

**14.** [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1): يعطي $\ell = 1.01\ell - 300$ أن $\ell = 30\,000$. إذن $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000
= 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$.

**15.** يستلزم $d_n \leq 0$ أن $1.01^n \geq 1.5$: $1.01^{40} \approx 1.489$، و $1.01^{41} \approx 1.504$: إذن الدفعة $41$ تسدد الدين (وهي أصغر قليلًا من $300$). والمبلغ الكلي المسدَّد: أقل بقليل من $41 \times 300 = 12\,300$ يورو — أي أن اقتراض $10\,000$ كلّف نحو $2\,300$ يورو من الفوائد.

**16.** [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} =
-50\,000$، إذن $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$. وبعد $10$ سنوات: $1.02^{10} \approx 1.219$: أي $p_{10} \approx 71\,900$ نسمة.

**17.** $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$؛ و $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$.

**18.** من $7$ إلى $502$ بخطوة $5$: $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ حدًّا؛ والمجموع $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$.

**19.** الرصيد $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}
{1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx
6\,977$ يورو — منها $6\,000$ مودعة ونحو $977$ مربوحة: فالمجاميع [الهندسية](#def-g11-seq-geometric) هي لغة المصرف الأم.

**20.** تجيب العبارات الصريحة عن “ما $u_{1000}$” فورًا؛ أما علاقات التراجع فتصف كيف تتطور الجمل فعلًا — والفن هو تحويل الثانية إلى الأولى. فالمتتاليات [الحسابية](#def-g11-seq-arithmetic) تجمع، [والهندسية](#def-g11-seq-geometric) تضرب، ولكل عائلة صيغة مجموع (اقتران غاوس؛ وحيلة المضاعفة). و حيلة [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) [والمتتالية](#def-g11-seq-sequence) المساعدة تحوّل كل علاقة تراجع تآلفية إلى [هندسية](#def-g11-seq-geometric) — فسقطت القروض والمجتمعات و البرج أمامها. أما فيبوناتشي فلا يخضع لأي من العائلتين، ومع ذلك أمسكت المتطابقات التلسكوبية بمجاميعه ومربعاته؛ أما صورته الكاملة (عبارة مضبوطة، والنهاية الذهبية) فتنتظر أدوات أقوى.