---
title: "حساب المثلثات: دائرة الوحدة"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle
---

# الفصل 14 — حساب المثلثات: دائرة الوحدة

يبدأ حساب المثلثات في المثلثات القائمة، لكن موطنه الحقيقي هو *دائرة الوحدة*، حيث يصير [جيب التمام](#def-g11-trigo-cossin) [والجيب](#def-g11-trigo-cossin) دالتين [لعدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) كيفي. يركّب هذا الفصل [الراديان](#def-g11-trigo-radian)، ولفّ المستقيم الحقيقي حول الدائرة، والقيم المضبوطة الواجب حفظها، و التناظرات التي تولّد كل المتطابقات الكلاسيكية. أما دراسة $\cos$ و $\sin$ دالتين — تغيرات ومشتقات — فتجري في [الفصل 24](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#ch-g12-trigo).

## 14.1 الراديان واللفّ

**تعريف 14.1 (الراديان).**

لتكن $\mathcal C$ الدائرة التي نصف قطرها $1$ ومركزها المبدأ $O$، ولتكن $I(1, 0)$. قياس زاوية مركزية في $\mathcal C$ بوحدة *الراديان* هو طول القوس الذي تقطعه على $\mathcal C$. وبما أن محيط الدائرة الكاملة $2\pi$:

$$
360^\circ = 2\pi \text{ راد},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ راد},
\qquad
1 \text{ راد} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**طريقة 14.2 (التحويل).**

الدرجات والراديانات متناسبة: اضرب في $\frac{\pi}{180}$ للانتقال من الدرجات إلى الراديانات، وفي $\frac{180}{\pi}$ في الاتجاه الآخر. فمثلًا $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$، و $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**تعريف 14.3 (لفّ المستقيم على الدائرة).**

نرفق بكل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $t$ النقطة $M(t)$ من $\mathcal C$ التي نبلغها بالسير مسافة $\abs t$ على الدائرة انطلاقًا من $I$، في الاتجاه المباشر إذا كان $t \geq 0$، وفي الاتجاه المعاكس إذا كان $t < 0$. وبما أن المحيط $2\pi$، يبلغ العددان $t$ و $t + 2k\pi$ (حيث $k \in \Z$) النقطة نفسها: $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**مثال 14.4.**

$M(0) = I$؛ و $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$، وهي أعلى نقطة في الدائرة؛ و $M(\pi) = (-1, 0)$؛ و $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$؛ و $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} +
2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 جيب التمام والجيب

**تعريف 14.5 (جيب التمام والجيب).**

من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $t$، يكون *جيب التمام* و *الجيب* للعدد $t$ هما إحداثيَي النقطة $M(t)$ من دائرة الوحدة:

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![دائرة الوحدة: العدد الحقيقي t، ملفوفًا في الاتجاه المباشر انطلاقًا من I، يحط عند النقطة M(t) التي تعرّف إحداثياها t و t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*دائرة الوحدة: [العدد الحقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $t$، ملفوفًا في الاتجاه المباشر انطلاقًا من $I$، يحط عند النقطة $M(t)$ التي *تعرّف* إحداثياها $\cos t$ و $\sin t$.*

**قضية 14.6 (الخواص الأولى).**

من أجل كل $t \in \R$ و $k \in \Z$:

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**برهان.** تقع $M(t)$ على دائرة الوحدة، إذن يقع إحداثياها بين $-1$ و $1$، وهما يحققان [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة $x^2 + y^2 = 1$، وهي المتطابقة $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. أما الدورية فتعيد صياغة $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([التعريف 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**مثال 14.7.**

إذا كان $\sin t = \frac35$ و $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (الربع الثاني)، فإن $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$، إذن $\cos t = \pm\frac45$؛ وفي الربع الثاني تكون [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) سالبة، ومنه $\cos t = -\frac45$.

والقيم الواجب حفظها عن ظهر قلب:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**ملاحظة 14.8.**

وسيلة للحفظ: تُقرأ الجيوب $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$، وجيوب التمام هي القائمة نفسها معكوسة.

## 14.3 الزوايا المرتبطة

**قضية 14.9 (الزوايا المرتبطة).**

من أجل كل $t \in \R$:

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**برهان.** يعبّر كل سطر عن تناظر من تناظرات الدائرة.

فالنقطة $M(-t)$ هي نظيرة $M(t)$ بالنسبة إلى المحور $x$: [فالفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) لا تتغير، [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) يغيّر إشارته.

والنقطة $M(\pi - t)$ هي نظيرة $M(t)$ بالنسبة إلى المحور $y$: فالسير إلى الوراء من $\pi$ بمقدار $t$ يحط في مقابل (أفقيًا) السير إلى الأمام من $0$ بمقدار $t$. [فالفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) تغيّر إشارتها، [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) لا يتغير.

والنقطة $M(\pi + t)$ تقابل $M(t)$ قطريًا (نصف دورة): فيغيّر الإحداثيان إشارتيهما.

والنقطة $M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ هي نظيرة $M(t)$ بالنسبة إلى المستقيم القطري $y = x$، الذي يبدّل الإحداثيين. ∎

![النقط المرتبطة الأربع: M(-t) تقابل M(t) بالنسبة إلى المحور x، و M(π - t) بالنسبة إلى المحور y، و M(π + t) تقابلها قطريًا. وكل متطابقة في تُقرأ على هذا الرسم.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*النقط المرتبطة الأربع: $M(-t)$ تقابل $M(t)$ بالنسبة إلى المحور $x$، و $M(\pi - t)$ بالنسبة إلى المحور $y$، و $M(\pi + t)$ تقابلها قطريًا. وكل متطابقة في [القضية 14.9](#prop-g11-trigo-associated) تُقرأ على هذا الرسم.*

**مثال 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right)
= -\cos\frac\pi3 = -\frac12$، و $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. وجدول القيم الخمس، موسَّعًا بالتناظرات، يغطي الدائرة كلها.

## 14.4 حل المعادلات المثلثية

**مبرهنة 14.11 (المعادلتان cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa و sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

من أجل عددين حقيقيين $t$ و $a$:

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{أو}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{أو}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**برهان.** تتساوى فاصلتا نقطتين من دائرة الوحدة بالضبط عندما تكونان متساويتين أو نظيرتين إحداهما للأخرى بالنسبة إلى المحور $x$؛ وحسب [القضية 14.9](#prop-g11-trigo-associated)، نظيرة $M(a)$ هي $M(-a)$. إذن $\cos t = \cos a$ يعني $M(t) = M(a)$ أو $M(t) = M(-a)$، أي $t = \pm a$ إلى حد مضاعف للعدد $2\pi$. وبالمثل، تساوي الترتيبين يعني تساوي النقطتين أو تناظرهما بالنسبة إلى المحور $y$، ونظيرة $M(a)$ هي $M(\pi - a)$. ∎

**طريقة 14.12 (حل cos⁡t=c\cos t = ccost=c على فترة).**

1. أوجد زاوية *واحدة* $a$ تحقق $\cos a = c$ ، من جدول القيم المعروفة.
2. اكتب الحلول العامة $t = \pm a + 2k\pi$ ( [المبرهنة 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. اختر [الأعداد الصحيحة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $k$ التي تحط داخل [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) المطلوبة، واذكر الحلول.

وافعل الشيء نفسه من أجل $\sin t = c$ مع $t = a + 2k\pi$ أو $t = \pi - a + 2k\pi$.

**مثال 14.13.**

حل $\cos t = \frac12$ على $\intoc{-\pi}{\pi}$. أحد حلول $\cos a = \frac12$ هو $a = \frac{\pi}{3}$. والحلول العامة هي $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ و $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. وداخل $\intoc{-\pi}{\pi}$، لا يسهم سوى $k = 0$: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

وحل $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ على $\intco{0}{2\pi}$. إحدى الزوايا هي $a = -\frac\pi4$؛ والحلول هي $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ و $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. وفي $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{4}$ (من $k = 1$) و $t = \frac{5\pi}{4}$.

![حل t = 1/2: يقطع المستقيم الشاقولي x = 1/2 (بالبرتقالي) دائرة الوحدة في نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى المحور x — ومن هنا عائلتا الحلول t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*حل $\cos t = \frac12$: يقطع المستقيم الشاقولي $x = \frac12$ (بالبرتقالي) دائرة الوحدة في نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى المحور $x$ — ومن هنا عائلتا الحلول $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 تمارين

**تمرين 14.1 ★.**

حوّل إلى [الراديان](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ$ و $45^\circ$ و $120^\circ$ و $270^\circ$. وحوّل إلى الدرجات: $\frac{\pi}{5}$ و $\frac{5\pi}{6}$ و $\frac{7\pi}{4}$ و $\frac{2\pi}{9}$.

**حل التمرين 14.1.**

إلى [الراديان](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ و $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ و $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ و $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

وإلى الدرجات: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ و $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ و $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ و $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**تمرين 14.2 ★.**

علّم على دائرة الوحدة النقط $M(t)$ من أجل

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

بعد ردّ كل قيمة إلى قيمة في $\intoc{-\pi}{\pi}$ بترديد $2\pi$.

**حل التمرين 14.2.**

القيمتان $\frac{2\pi}{3}$ و $-\frac{\pi}{4}$ موجودتان أصلًا في $\intoc{-\pi}{\pi}$: في الربع الثاني والربع الرابع على [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system).

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$: في الربع الثاني، قريبًا من المحور $x$ السالب.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$: أعلى نقطة في الدائرة، $(0, 1)$.

**تمرين 14.3 ★.**

مستعملًا الجدول [والزوايا المرتبطة](#prop-g11-trigo-associated)، أعطِ القيم المضبوطة للمقادير

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**حل التمرين 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right)
= -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right)
= \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right)
= -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right)
= \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$.

**تمرين 14.4 ★.**

علمًا أن $\cos t = \frac{5}{13}$ حيث $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$، احسب $\sin t$ بالضبط.

**حل التمرين 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$، إذن $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. وعلى $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (الربع الرابع) يكون [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) سالبًا: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**تمرين 14.5 ★★.**

بسّط، من أجل أي [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $x$:

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**حل التمرين 14.5.**

مستعملين [القضية 14.9](#prop-g11-trigo-associated):

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**تمرين 14.6 ★★.**

حل على $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**حل التمرين 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$: أحد الحلول $\frac\pi6$، إذن $t = \pm\frac\pi6$ (فالانسحابات بمقدار $2k\pi$ تخرج من [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$: $t = \frac\pi6$ أو $t = \pi - \frac\pi6 =
\frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$: النقطة الوحيدة ذات [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $-1$ هي $M(\pi)$، إذن $t = \pi$.

**تمرين 14.7 ★★.**

حل على $\intco{0}{2\pi}$:

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**حل التمرين 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$: انطلاقًا من $a = -\frac\pi3$، تكون العائلتان $-\frac\pi3 + 2k\pi$ و $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$؛ وفي $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{4\pi}{3}$ و $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$: $t = \frac\pi2$ و $t = \frac{3\pi}{2}$.

و $2\sin t + 1 = 0$ يعني $\sin t = -\frac12$: انطلاقًا من $a = -\frac\pi6$، في $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{6}$ و $t = \frac{11\pi}{6}$.

**تمرين 14.8 ★★.**

حل على $\R$ [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$. (استعمل [المبرهنة 14.11](#thm-g11-trigo-equations) مع $a = t$، وناقش عائلتَي الحلول.)

**حل التمرين 14.8.**

حسب [المبرهنة 14.11](#thm-g11-trigo-equations)، تعني $\cos 2t = \cos t$ أن $2t = t + 2k\pi$ أو $2t = -t + 2k\pi$، أي $t = 2k\pi$ أو $t = \frac{2k\pi}{3}$ (حيث $k \in \Z$). والعائلة الأولى محتواة في الثانية (بأخذ $k$ من مضاعفات $3$)، إذن مجموعة الحلول هي

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

— أي، على الدائرة، النقط الثلاث $M(0)$ و $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ و $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**تمرين 14.9 ★★.**

بيّن أنه من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $x$،

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**حل التمرين 14.9.**

[بنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) المربعين واستعمال $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**تمرين 14.10 ★★.**

تتدحرج عجلة نصف قطرها $30$ سم دون انزلاق. بأي زاوية ([بالراديان](#def-g11-trigo-radian) ثم بالدرجات) تدور عندما تتقدم الدراجة $1.5$ م؟ وكم تتقدم الدراجة خلال دورة كاملة للعجلة؟

**حل التمرين 14.10.**

التدحرج دون انزلاق يعني أن طول القوس يساوي المسافة المقطوعة: فيعطي $r\theta = 150$ سم أن $\theta = \frac{150}{30} = 5$ راد $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx
286.5^\circ$. وتقدّم الدورة الكاملة الدراجةَ بمقدار المحيط $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ سم، أي نحو $1.88$ م.

**تمرين 14.11 ★★★.**

حل على $\intoc{-\pi}{\pi}$ المتراجحة $\cos t \leq \frac12$. (ارسم دائرة الوحدة، وعلّم المنطقة التي تكون فيها [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) لا تتجاوز $\frac12$، واقرأ [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) قيم $t$.)

**حل التمرين 14.11.**

على دائرة الوحدة، النقطتان اللتان فاصلتهما $\frac12$ بالضبط هما $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. والنقط التي [فاصلتها](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) *لا تتجاوز* $\frac12$ تشكّل القوس الواقع يسار المستقيم الشاقولي $x = \frac12$، المقطوع عندما يسير $t$ من $\frac\pi3$ إلى $\pi$، أو من $-\pi$ إلى $-\frac\pi3$. ومنه، على $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(والطرفان $\pm\frac\pi3$ مُدرَجان لأن المتراجحة واسعة.)

## 14.6 مسألة: العجلة الدوارة والمدّ

**مسألة 14.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الراديان مسافةً مدحرجة، ودائرة الوحدة ساعةً رئيسية لكل ظاهرة دورية

تحملك عجلة دوارة حول دائرة؛ ويحمل المدّ ماء الميناء صعودًا وهبوطًا على الدائرة الرياضية نفسها. فكل ظاهرة دورية — العجلات، والمدّ، والصوت، والفصول — تقرأ جدولها على دائرة وحدة هذا الفصل ([التعريف 14.5](#def-g11-trigo-cossin))، وتخبر معادلات [الطريقة 14.12](#met-g11-trigo-solve) بالأوقات بالضبط. تحوّل هذه المسألة، وتلفّ، وتنمذج، وتحل — وتحسم في الطريق لماذا يقيس الرياضيون الزوايا [بالراديان](#def-g11-trigo-radian).

**الجزء الأول — [الراديان](#def-g11-trigo-radian)، المسافة المدحرجة.**

1. حوّل إلى [الراديان](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ و $135^\circ$ و $300^\circ$ ؛ وإلى الدرجات: $\frac{3\pi}{4}$ و $\frac{5\pi}{6}$ ( [الطريقة 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. جوهر [الراديان](#def-g11-trigo-radian) : القوس ذو الزاوية $t$ ( [بالراديان](#def-g11-trigo-radian) ) على دائرة نصف قطرها $r$ طوله بالضبط $r\,t$ . فأي قوس تقطعه زاوية قدرها $2$ [راديان](#def-g11-trigo-radian) على دائرة نصف قطرها $3$ م؟ (فلا $\pi$ في أي مكان — وهذا هو المقصود.)
3. تتدحرج عجلة نصف قطرها $30$ سم مسافة $1$ كم دون انزلاق. فبكم *راديانًا* دارت، وكم دورة كاملة يمثّل ذلك؟
4. علّم على دائرة الوحدة واحسب بالضبط: $\cos\frac{2\pi}{3}$ و $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ و $\cos\frac{19\pi}{6}$ (ورُدّ بترديد $2\pi$ أولًا؛ [القضية 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. زاوية $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ تحقق $\sin t = \frac35$ . مستعملًا $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ والربع، أوجد $\cos t$ و $\tan t$ .

**الجزء الثاني — العجلة الدوارة.** لعجلة عملاقة نصف قطر $60$ م، ومحورها على ارتفاع $65$ م عن الأرض، وتدور دورة كاملة كل $30$ دقيقة. تصعد عند أخفض نقطة في اللحظة $t = 0$ (بالدقائق)، فيخضع ارتفاعك للعلاقة

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. برّر العبارة: تحقق من الزاوية المقطوعة بعد $t$ دقيقة، ومن الارتفاع عند $t = 0$ ، وفسّر إشارة الطرح.
7. احسب ارتفاعك عند $t = 7.5$ و $t = 15$ و $t = 20$ دقيقة (بقيم مضبوطة).
8. في أي لحظة تكون *لأول مرة* على ارتفاع $95$ م؟ (حل $h(t) = 95$ مستعملًا [الطريقة 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. خلال أي [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) زمنية من الجولة تكون على ارتفاع $95$ م على الأقل — وكم يدوم ذلك إجمالًا؟ (قارن [التمرين 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. أين يتغير الارتفاع *أسرع* ما يكون؟ قارن الصعود خلال الدقيقة الأولى ( $h(1) - h(0)$ ) بالصعود بين الدقيقتين $7$ و $8$ ، وصُغ الملاحظة (أما الأداة التي تجعلها مضبوطة — [مشتقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-derivative) الجيبية — فتصل في السنة الأخيرة).
11. دور المهندس: صمّم عبارة ارتفاع عجلة ارتفاعها الأعظمي $40$ م، وارتفاعها الأصغري $4$ م، ودورها $12$ دقيقة، والصعود من الأسفل عند $t = 0$ .

**الجزء الثالث — المدّ وتناظرات الدائرة.** في ميناء، يكون عمق الماء بالمتر، بعد $t$ ساعة من [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) الليل،

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. أعطِ العمقين الأعظمي والأصغري، واللحظتين اللتين يحدثان فيهما أول مرة، ودور المدّ.
13. تحتاج سفينة شحن إلى $8.5$ م من الماء. حل $d(t) \geq 8.5$ على $\intco{0}{12}$ : في أي نافذة يمكنها الدخول، وكم تدوم النافذة؟ ومتى تُفتح النافذة التالية؟
14. استنتج من جديد متطابقتين من متطابقات [الزوايا المرتبطة](#prop-g11-trigo-associated) انطلاقًا من تناظرات الدائرة مباشرة — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (المقابلة بالنسبة إلى المحور الشاقولي) و $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (نصف دورة) — وبيّن المتطابقة التكميلية $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. [الزوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) (بمفردات [المسألة 11.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#pb-g11-func-1) ): صنّف $\sin$ و $\cos$ و $t \mapsto \sin t + t^3$ [زوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) أو [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) ، مع براهين من سطر واحد انطلاقًا من الدائرة.
16. حل على $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (وهي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تربيعية متنكرة: حلّلها إلى عوامل كما في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) ، ثم اقرأ الدائرة.)

**الجزء الرابع — زاوية الرياضي.**

17. كم درجة يساوي [راديان](#def-g11-trigo-radian) واحد؟ ثم فخّ الحاسبة: أيهما أكبر، $\sin(1)$ (في نمط [الراديان](#def-g11-trigo-radian) ) أم $\sin(1^\circ)$ — وبأي معامل [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) ؟ وما المغزى بشأن ضبط الحاسبة؟
18. حل $\cos t = \sin t$ على $\intco{0}{2\pi}$ ، مستعملًا الدائرة (فأين تتساوى [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ؟).
19. من أجل الزوايا الصغيرة، يكاد القوس وجيبه يتطابقان: قارن $\sin(0.1)$ بالعدد $0.1$ (بخمسة أرقام عشرية)، و أعطِ الخطأ النسبي. وهذا “ [تقريب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) الزاوية الصغيرة” يوجّه السفن والنواسات؛ أما المبرهنة وراءه ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) فنجمة في فصل النهايات في السنة الأخيرة.
20. الخاتمة — دائرة الوحدة ساعةً رئيسية، جملة واحدة لكل بند: [الراديان](#def-g11-trigo-radian) يحوّل الزوايا إلى أعداد أمينة (فالقوس $=$ نصف القطر $\times$ الزاوية)؛ [وجيب التمام](#def-g11-trigo-cossin) [والجيب](#def-g11-trigo-cossin) هما ظل عقرب الساعة وارتفاعه؛ وتناظرات الدائرة هي المتطابقات؛ وحل $\cos t = c$ يقرأ الأوقات على الساعة؛ وكل ظاهرة دورية — عجلة، ومدّ، وصوت — هي هذه الساعة في ثوب.

**حل المسألة 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$؛ $135^\circ =
\frac{3\pi}{4}$؛ $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. و $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$؛ $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** الطول $r\,t = 3 \times 2 = 6$ م. [فالراديان](#def-g11-trigo-radian) يجعل طول القوس جداءً بسيطًا — أما الدرجات فتجرّ $\frac{\pi}{180}$ إلى كل صيغة.

**3.** عدد الراديانات المقطوعة $= \frac{\text{المسافة}}
{\text{نصف القطر}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ راد؛ وبالقسمة على $2\pi$: نحو $530$ دورة كاملة.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$؛ و $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$؛ و $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$، إذن $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} =
-\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$؛ وفي الربع الثاني يكون [جيب التمام](#def-g11-trigo-cossin) سالبًا: $\cos t = -\frac45$، و $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** في $t$ دقيقة تدور العجلة $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. وعند $t = 0$: $h = 65 - 60 = 5$ م — وهي منصة الصعود في الأسفل (ارتفاع المحور ناقص نصف القطر). وإشارة الطرح تضعك *تحت* المحور عندما تكون الزاوية المقطوعة $0$.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ م (ارتفاع المحور)؛ و $h(15) = 65 + 60 = 125$ م (القمة)؛ و $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ م.

**8.** يعطي $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ أن $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$: فالحل الأول $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$، أي $t = 10$ دقائق.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ من أجل $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$، أي $t \in \intcc{10}{20}$: أي عشر دقائق من الجولة فوق $95$ م، متناظرة حول القمة عند $t = 15$.

**10.** الدقيقة الأولى:

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ م}.
$$

وبين الدقيقتين $7$ و $8$:

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ م}
$$

— أي نحو عشرة أضعاف. فالارتفاع يتغير أسرع ما يكون عند المرور بمستوى المحور ويتباطأ قرب الأسفل والقمة: فالجيبية شديدة الانحدار في وسطها، مسطحة عند طرفيها.

**11.** نصف القطر $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ م، والمحور عند $4 + 18 = 22$ م، والدور $12$ دقيقة: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [القيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ م عندما $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$: أول مرة عند $t = 3$ (الساعة 3 صباحًا)؛ [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $4$ م أول مرة عند $t = 9$؛ والدور $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ ساعة.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ من أجل $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$: $t \in \intcc{1}{5}$ — أي نافذة من أربع ساعات من الساعة 1 صباحًا إلى 5 صباحًا، تُفتح من جديد بعد دور واحد، $t \in \intcc{13}{17}$ (من 1 ظهرًا إلى 5 عصرًا).

**14.** المقابلة بالنسبة إلى المحور الشاقولي ترسل النقطة ذات الزاوية $t$ إلى النقطة ذات الزاوية $\pi - t$، محافظةً على [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): $\sin(\pi - t) = \sin t$. ونصف الدورة حول المركز يرسل $t$ إلى $\pi + t$، فيغيّر إشارتي الإحداثيين: $\cos(\pi + t) = -\cos t$. والمقابلة بالنسبة إلى القطر تبدّل [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — وهي “التمام” في الزوايا المتتامة.

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$: [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) (بتناظر منحنيها بنصف دورة)؛ و $\cos(-t) = \cos t$: [زوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) (بالمرآة). و $\sin t + t^3$ مجموع دالتين فرديتين: فهي [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity).

**16.** [بالتحليل إلى عوامل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand): $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$: [فالمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\sin t = 1$ تعطي $t = \frac\pi2$؛ و $\sin t = -\frac12$ يعطي $t = \frac{7\pi}{6}$ و $t = \frac{11\pi}{6}$. إذن ثلاثة حلول على الدائرة.

**17.** [الراديان](#def-g11-trigo-radian) الواحد $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. إذن $\sin(1) \approx 0.841$ بينما $\sin(1^\circ) \approx
0.0175$: أي بمعامل يقارب $50$. والمغزى: تحقق من ضوء النمط قبل الوثوق بأي عرض مثلثي.

**18.** تتساوى [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) على القطر: $t = \frac\pi4$ و $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ مقابل $0.1$: فالخطأ النسبي نحو $0.17\,\%$. فمن أجل الزوايا الصغيرة يعانق الوتر القوس — والنهاية في السنة الأخيرة $\frac{\sin t}{t} \to 1$ هي بالضبط هذه الملاحظة وقد صارت مبرهنة.

**20.** [الراديان](#def-g11-trigo-radian): الزاوية $=$ القوس على دائرة الوحدة، فتُحسب الزوايا كما تُحسب الأطوال. [وجيب التمام](#def-g11-trigo-cossin) [والجيب](#def-g11-trigo-cossin): إحداثيا عقرب الساعة — ظله على الأرض وارتفاعه على الجدار. وتناظرات الدائرة: كتالوغ المتطابقات كله، مقروءًا على المرايا وأنصاف الدورات. ومعادلات $\cos t = c$: جدول مواعيد الساعة، والدائرة تعرض كل الحلول دفعة واحدة. والأثواب: ارتدت العجلة $65 - 60\cos$، وارتدى المدّ $7 + 3\sin$ — الساعة نفسها والرياضيات نفسها.