---
title: "المتجهات والمستقيمات في المستوي"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane
---

# الفصل 15 — المتجهات والمستقيمات في المستوي

تشفّر المتجهات الانتقالات؛ والمستقيمات مساراتها. والأداة الجديدة الأساسية في هذا الفصل هي *[المحدد](#def-g11-vect-det)*، وهو عدد مفرد يقرر هل [متجهتان مستقيميتان](#def-g11-vect-collinear) — ومن هناك ينتج معادلات المستقيمات ويحسم مسائل الاستقامة والتوازي بالحساب الخالص. وتمتد الأفكار نفسها إلى الفضاء في [الفصل 31](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/31-vectors-lines-and-planes-in-space#ch-g12-space).

## 15.1 المتجهات: تذكير

**تعريف 15.1 (المتجهة والإحداثيات).**

تمثّل *المتجهة* $\vec u$ انتقالًا: فكل الأسهم ذات الاتجاه والجهة والطول نفسها تمثّل المتجهة نفسها. وفي [نظام إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)، تسجّل $\vec u\,(x, y)$ الانتقال ($x$ أفقيًا و $y$ شاقوليًا)؛ ومن أجل النقطتين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$،

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

وتُجمع المتجهات إحداثيًا إحداثيًا، وللمتجهة $\lambda\vec u$ [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$.

**قضية 15.2 (المنتصف).**

[لمنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) القطعة $[AB]$، وليكن $M$، [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**برهان.** تتميز $M$ بالعلاقة $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$: وإحداثيًا إحداثيًا، $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$، إذن $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$، و بالمثل من أجل $y_M$. ∎

## 15.2 الاستقامية والمحدد

**تعريف 15.3 (المتجهتان المستقيميتان).**

تكون متجهتان *مستقيميتين* إذا كانت إحداهما مضاعفًا سلّميًا للأخرى: $\vec v = \lambda \vec u$ من أجل $\lambda \in \R$ ما (أو $\vec u = \vec 0$). وهندسيًا: لهما الاتجاه نفسه، أو إحداهما معدومة.

**تعريف 15.4 (المحدد).**

*محدد* المتجهتين $\vec u\,(x, y)$ و $\vec v\,(x', y')$ هو

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**مبرهنة 15.5 (محك الاستقامية).**

تكون المتجهتان $\vec u$ و $\vec v$ [مستقيميتين](#def-g11-vect-collinear) إذا وفقط إذا كان $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**برهان.** ($\Rightarrow$) إذا كانت $\vec v = \lambda\vec u$، فإن $x' = \lambda x$ و $y' = \lambda y$، إذن $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$؛ وإذا كانت $\vec u = \vec 0$، [فالمحدد](#def-g11-vect-det) معدوم بداهةً.

($\Leftarrow$) لنفترض أن $xy' - x'y = 0$ و $\vec u \neq \vec 0$، وليكن مثلًا $x \neq 0$ (والحالة $y \neq 0$ متناظرة). ضع $\lambda = \frac{x'}{x}$. عندئذٍ $x' = \lambda x$ بالإنشاء، وتعطي العلاقة $xy' = x'y = \lambda x y$، بعد القسمة على $x \neq 0$، أن $y' = \lambda y$. ومنه $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**مثال 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ و $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$، إذن مستقيميتان (وفعلًا $\vec v = -2\vec u$). و $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$، فليستا [مستقيميتين](#def-g11-vect-collinear).

**طريقة 15.7 (استقامة ثلاث نقط).**

تكون $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ [مستقيميتين](#def-g11-vect-collinear): فاحسب المتجهتين وتحقق من $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$.

## 15.3 المعادلات الديكارتية للمستقيمات

**تعريف 15.8 (متجهة التوجيه).**

*متجهة التوجيه* لمستقيم $d$ هي أي [متجهة](#def-g11-vect-vector) غير معدومة $\vec u$ تكون $\vect{AB}$ مستقيمية مع $\vec u$ من أجل كل نقطتين $A, B$ من $d$.

**مبرهنة 15.9 (المعادلة الديكارتية).**

للمستقيم ذي [متجهة التوجيه](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) على الصورة

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

وبالعكس، تصف كل [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) كهذه مستقيمًا [متجهة](#def-g11-vect-vector) توجيهه $\vec u\,(-b, a)$.

**برهان.** ليمر $d$ بالنقطة $A(x_A, y_A)$ وليكن توجيهه $\vec u\,(-b, a)$. تقع النقطة $M(x, y)$ على $d$ بالضبط عندما تكون $\vect{AM}$ مستقيمية مع $\vec u$، أي ([المبرهنة 15.5](#thm-g11-vect-collinearity))

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

وهي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) على الصورة المعلنة مع $c = -(a x_A + b y_A)$. وبالعكس، فإن حلول $ax + by + c = 0$ مع، مثلًا، $b \neq 0$ هي النقط $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$: فطرح اثنتين منها يبيّن أن كل وتر مستقيمي مع $(-b, a)$، ويوجد حل دائمًا — فهو المستقيم المار به والموجَّه [بالمتجهة](#def-g11-vect-vector) $(-b, a)$. ∎

**طريقة 15.10 (المستقيم المار بنقطتين).**

لإيجاد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) المستقيم $(AB)$: احسب [متجهة التوجيه](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$؛ وطابقها مع $(-b, a)$، أي خذ $a = y_B - y_A$ و $b = -(x_B - x_A)$؛ ثم حدّد $c$ بتعويض [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $A$.

**مثال 15.11.**

المستقيم المار بالنقطتين $A(1, 2)$ و $B(4, 3)$: $\vect{AB}\,(3, 1)$، إذن $a = 1$ و $b = -3$، [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x - 3y + c = 0$. وبتعويض $A$: $1 - 6 + c = 0$، إذن $c = 5$. [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$. وتحقق بالنقطة $B$: $4 - 9 + 5 = 0$.

**ملاحظة 15.12.**

عندما $b \neq 0$، يمكن حل [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) بالنسبة إلى $y$: فتصير $y = mx + p$ حيث [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. والصورة الديكارتية $ax + by + c = 0$ أعم: فهي تغطي أيضًا المستقيمات الشاقولية ($b = 0$) التي لا [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) لها.

![المستقيم x - 3y + 5 = 0 في ، ومتجهة توجيهه u = AB (بالأحمر، وهي هنا مضروبة في 1/2)، والنقطتان المستعملتان لبناء المعادلة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*المستقيم $x - 3y + 5 = 0$ في [المثال 15.11](#ex-g11-vect-twopoints)، [ومتجهة](#def-g11-vect-vector) توجيهه $\vec u = \vect{AB}$ (بالأحمر، وهي هنا مضروبة في $\frac12$)، والنقطتان المستعملتان لبناء [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation).*

## 15.4 التمثيل الوسيطي

**تعريف 15.13 (التمثيل الوسيطي).**

المستقيم المار بالنقطة $A(x_A, y_A)$ وتوجيهه $\vec u\,(\alpha, \beta)$ هو مجموعة النقط

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

والعدد $t$ هو *[الوسيط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median)*: فكل قيمة له تنتج نقطة واحدة من المستقيم، كأننا نسير عليه بسرعة ثابتة $\vec u$.

**مثال 15.14.**

المستقيم في [المثال 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) هو أيضًا $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$: إذ $t = 0$ يعطي $A$، و $t = 1$ يعطي $B$. وبحذف $t$ (إذ $t = y - 2$، فيكون $x = 1 + 3(y-2)$) نستعيد $x - 3y + 5 = 0$.

## 15.5 الأوضاع النسبية لمستقيمين

**قضية 15.15 (متوازيان أم متقاطعان).**

يكون مستقيمان متجهتا توجيههما $\vec u$ و $\vec v$ متوازيين إذا وفقط إذا كان $\det(\vec u, \vec v) = 0$. وبصيغة المعادلات: يكون $d : ax + by + c =
0$ و $d' : a'x + b'y + c' = 0$ متوازيين إذا وفقط إذا كان $ab' - a'b = 0$. أما المستقيمان غير المتوازيين فيلتقيان في نقطة واحدة بالضبط.

**برهان.** التوازي يعني استقامية التوجيهين، وهذا هو [المبرهنة 15.5](#thm-g11-vect-collinearity)؛ ومع $\vec u\,(-b, a)$ و $\vec v\,(-b', a')$، يكون [المحدد](#def-g11-vect-det) $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. وإذا لم يكن المستقيمان متوازيين، فإن حل المعادلتين في آنٍ واحد (بالتعويض أو بالتركيب) يقود إلى حل وحيد: فالجملة تتصرف كجملة $2 \times 2$ ذات [محدد](#def-g11-vect-det) غير معدوم. ∎

**طريقة 15.16 (تقاطع مستقيمين).**

حل جملة المعادلتين: اعزل مجهولًا في إحدى المعادلتين وعوّضه في الأخرى، أو ركّب المعادلتين لحذف أحد المجهولين. وتحقق دائمًا من النقطة الناتجة في *كلتا* المعادلتين.

**مثال 15.17.**

[قاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-rate) $d: x - 3y + 5 = 0$ و $d': 2x + y - 4 = 0$. من $d'$: $y = 4 - 2x$. وبالتعويض في $d$:

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

ثم $y = 2$. إذن يلتقي المستقيمان في $(1, 2)$. وتحقق في $d$: $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 تمارين

**تمرين 15.1 ★.**

إذا أُعطيت $A(2, -1)$ و $B(5, 3)$ و $C(-1, 1)$، احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ و $\vect{AB} + \vect{AC}$ و $2\vect{AB} -
3\vect{AC}$، [ومنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$.

**حل التمرين 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$ و $\vect{AC}\,(-3, 2)$ و $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ و $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. [ومنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ هو $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**تمرين 15.2 ★.**

هل [المتجهتان مستقيميتان](#def-g11-vect-collinear)؟

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ و } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ و } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ و } \vec v\,(0, -8).
$$

**حل التمرين 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: مستقيميتان (وفعلًا $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: ليستا [مستقيميتين](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: مستقيميتان (فكلتاهما شاقولية).

**تمرين 15.3 ★.**

أوجد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ديكارتية للمستقيم المار بالنقطة $A(2, 1)$ وتوجيهه $\vec u\,(3, -1)$، ثم للمستقيم المار بالنقطتين $B(0, 4)$ و $C(2, 0)$.

**حل التمرين 15.3.**

بالمرور بالنقطة $A(2,1)$ والتوجيه $(3, -1)$: تعطي مطابقة $(-b, a) = (3, -1)$ أن $a = -1$ و $b = -3$، إذن $-x - 3y + c = 0$؛ وبتعويض $A$: $-2 - 3 + c =
0$، فيكون $c = 5$. وبالضرب في $-1$: $x + 3y - 5 = 0$.

وبالمرور بالنقطتين $B(0,4)$ و $C(2,0)$: $\vect{BC}\,(2, -4)$، إذن $a = -4$ و $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$؛ وبتعويض $B$: $-8 + c = 0$، فيكون $c = 8$. وبالتبسيط على $-2$: $2x + y - 4 = 0$. وتحقق بالنقطة $C$: $4 + 0 - 4 = 0$.

**تمرين 15.4 ★.**

من أجل المستقيم $d: 3x - 2y + 6 = 0$، أعطِ [متجهة توجيه](#def-g11-vect-direction)، و نقطتي [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) مع محورَي [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)، وقرّر هل تنتمي النقطتان $P(2, 6)$ و $Q(1, 4)$ إلى $d$.

**حل التمرين 15.4.**

[متجهة التوجيه](#def-g11-vect-direction) هي $(-b, a) = (2, 3)$. والتقاطعان: يعطي $x = 0$ أن $y = 3$، فالنقطة $(0, 3)$؛ ويعطي $y = 0$ أن $x = -2$، فالنقطة $(-2, 0)$. ومن أجل $P(2,6)$: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$، إذن $P \in d$. ومن أجل $Q(1,4)$: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$، إذن $Q \notin d$.

**تمرين 15.5 ★★.**

هل النقط $A(1, 2)$ و $B(4, 8)$ و $C(-2, -4)$ على استقامة واحدة؟ والسؤال نفسه من أجل $D(0, 1)$ و $E(2, 4)$ و $F(5, 9)$.

**حل التمرين 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ و $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$، إذن $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ و $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: فليست $D$ و $E$ و $F$ على استقامة واحدة.

**تمرين 15.6 ★★.**

حدّد نقطة [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) إن وُجدت:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ و }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ و }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**حل التمرين 15.6.**

الزوج الأول: بجمع المعادلتين، $(2x + y - 7) + (x - y + 1) =
3x - 6 = 0$، إذن $x = 2$، ثم $y = x + 1 = 3$: فيلتقيان في $(2, 3)$ (تحقق: $4 + 3 - 7 = 0$).

والزوج الثاني: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$، إذن المستقيمان متوازيان؛ وبضرب $e$ في $-2$ نجد $-2x + 4y - 6 = 0$، وهي تختلف عن $e'$ ($-6 \neq 1$): إذن متوازيان تمامًا، ولا [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion).

**تمرين 15.7 ★★.**

أعطِ تمثيلًا وسيطيًا للمستقيم $d: 2x - y + 3 = 0$، [ومعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ديكارتية للمستقيم $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**حل التمرين 15.7.**

من أجل $d: 2x - y + 3 = 0$: التوجيه $(-b, a) = (1, 2)$ والنقطة $(0, 3)$ تقع على $d$، إذن $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

ومن أجل المستقيم الوسيطي المار بالنقطة $(1, -3)$ وتوجيهه $(2, 1)$: $a = 1$ و $b = -2$، إذن $x - 2y + c = 0$؛ وبتعويض $(1, -3)$: $1 + 6 + c = 0$، فيكون $c = -7$. [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ (وتحقق عند $t = 1$، عند النقطة $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$).

**تمرين 15.8 ★★.**

أوجد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) المستقيم المار بالنقطة $P(1, -2)$ الموازي للمستقيم $d: 4x - 3y + 2 = 0$، وقيمة $m$ التي يكون من أجلها المستقيم $mx + 2y - 5 = 0$ موازيًا للمستقيم $d$.

**حل التمرين 15.8.**

للمستقيم الموازي القيمتان $(a, b)$ نفسهما: $4x - 3y + c = 0$؛ وبالمرور بالنقطة $P(1, -2)$: $4 + 6 + c = 0$، إذن $c = -10$ والمستقيم هو $4x - 3y - 10 = 0$.

ويستلزم توازي $mx + 2y - 5 = 0$ مع $d$ أن $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$، إذن $m = -\frac83$.

**تمرين 15.9 ★★.**

لتكن $A(-1, 0)$ و $B(3, 2)$ و $C(1, -4)$. أوجد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ديكارتية *[لمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)* المثلث $ABC$ الصادر من $C$ (وهو المستقيم الواصل بين $C$ [ومنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$).

**حل التمرين 15.9.**

[منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ هو $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right)
= (1, 1)$. [والمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) هو المستقيم $(CM)$ حيث $C(1, -4)$: ولكلتا النقطتين [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $1$، إذن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) هو المستقيم الشاقولي

$$
x - 1 = 0 .
$$

**تمرين 15.10 ★★.**

من أجل أي قيمة أو قيم [للوسيط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median) $m$ تكون المتجهتان $\vec u\,(m, 2)$ و $\vec v\,(3, m - 1)$ [مستقيميتين](#def-g11-vect-collinear)؟

**حل التمرين 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. وينعدم عندما $m^2 - m - 6 = 0$: $\Delta = 1 + 24 = 25$، وجذراها $m = \frac{1 \pm 5}{2}$، أي $m = 3$ أو $m = -2$.

**تمرين 15.11 ★★★.**

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع، ولتكن $I$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$، ولتكن $J$ النقطة المعرَّفة بالعلاقة $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. وبالعمل في [نظام الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) حيث $A(0,0)$ و $B(1,0)$ و $D(0,1)$ (فيكون $C(1,1)$):

1. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $I$ و $J$ .
2. بيّن أن $A$ و $J$ و $C$ على استقامة واحدة. (وواقعة لطيفة: يقطع المستقيم $(DI)$ القطر $(AC)$ على ثلث ارتفاعه.)

**حل التمرين 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. عندئذٍ $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ و $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$، إذن

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ و $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$، إذن $A$ و $J$ و $C$ على استقامة واحدة — وفي الواقع $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: أي أن المستقيم $(DI)$ يقطع القطر $(AC)$ عند ثلث طوله بالضبط انطلاقًا من $A$.

## 15.7 مسألة: مسارات التصادم والإحداثيات الذكية

**مسألة 15.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تقاطع المسارات ليس تصادمًا: أقرب اقتراب في البحر، ومبرهنات تُبرهن باختيار المعلم المناسب

يتقاطع مساران مستقيمان لسفينتين — فهل يجب أن تتصادم السفينتان؟ لا، إلا إذا بلغتا نقطة [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) *في اللحظة نفسها*: فالمسارات مجموعات نقط، والحركات وسيطية، وقد أغرق الخلط بينهما سفنًا حقيقية. تدير هذه المسألة خدمة صغيرة لحركة السفن على مستقيمات وسيطية ([التعريف 15.13](#def-g11-vect-parametric))، ثم تنتقل إلى الهندسة الخالصة مع القوة الخارقة الأخرى [للإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): *اختيارها* بذكاء، كما في [التمرين 15.11](#exo-g11-vect-11)، حتى تحسب المبرهنات الكلاسيكية نفسها بنفسها.

**الجزء الأول — المستقيم بثلاث طرائق.**

1. أعطِ تمثيلًا وسيطيًا للمستقيم المار بالنقطة $A(1, 2)$ وتوجيهه $\vec u(3, -1)$ ، ثم احذف [الوسيط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median) للحصول على [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ديكارتية.
2. من أجل المستقيم $2x - 5y + 3 = 0$ : اقرأ [متجهة توجيه](#def-g11-vect-direction) ( [المبرهنة 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) )، وأوجد نقطة واحدة، واكتب تمثيلًا وسيطيًا.
3. احسب نقطة [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) مستقيمَي السؤالين 1 و 2 ( [الطريقة 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. أكّد [بالمحدد](#def-g11-vect-det) ( [المبرهنة 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) أن هذين المستقيمين كان لا بد أن يتقاطعا؛ ثم بيّن أن $2x - 5y + 3 = 0$ و $-4x + 10y + 1 = 0$ متوازيان تمامًا.
5. هل $A(2, 1)$ و $B(5, 3)$ و $C(11, 7)$ على استقامة واحدة ( [الطريقة 15.7](#met-g11-vect-alignment) )؟

**الجزء الثاني — خدمة حركة السفن.** في اللحظة $t$ (بالساعات)، تكون السفينة $P$ في $(2t,\ 3 + t)$ وتكون السفينة $Q$ في $(10 - t,\ 2t - 1)$ (والمسافات بالأميال البحرية).

6. أوجد المعادلتين الديكارتيتين *للمسارين* ، واحسب أين يتقاطعان.
7. في أي لحظة تمر كل سفينة بنقطة [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) ؟ وهل تتصادم السفينتان؟ صُغ التحذير العام في جملة واحدة: [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) المسارات في مواجهة التقاء الحركات.
8. احسب مربع المسافة $D^2(t)$ بين السفينتين في اللحظة $t$ ، وردّه إلى مقدار تربيعي في $t$ . وفي أي لحظة تكون السفينتان أقرب ما تكونان، وكم يبلغ اقترابهما (بتقنية رأس القطع في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) )؟
9. تفرض الأنظمة فصلًا لا يقل عن [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) واحد. فهل يُنتهك؟ وإن كان كذلك، فحل $D^2(t) < 1$ وأعطِ مدة الانتهاك.
10. فسّر لماذا يكون $D^2(t)$ ، من أجل *أي* سفينتين على مسارين مستقيمين بسرعتين ثابتتين، [دالة تربيعية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-quadratic) في $t$ دائمًا — فيكون “أقرب نقطة اقتراب” دائمًا حساب رأس.
11. الاعتراض: يبدأ زورق دورية من المبدأ عند $t = 0$ بسرعة ثابتة $(a, b)$ ويجب أن يلتقي السفينة $P$ عند $t = 3$ بالضبط. احسب $(a, b)$ المطلوبة وسرعة زورق الدورية.

**الجزء الثالث — [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الذكية.** اعمل في معلم [التمرين 15.11](#exo-g11-vect-11): فيصير متوازي الأضلاع $ABCD$ هو $A(0,0)$ و $B(1,0)$ و $C(1,1)$ و $D(0,1)$؛ ولتكن $I$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ ولتكن $K$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[CD]$.

12. احسب [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ديكارتية للمستقيم $(DI)$ .
13. [قاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-rate) $(DI)$ مع القطر $(AC)$ : واستعد واقعة [التمرين 15.11](#exo-g11-vect-11) — أي أن نقطة القطع تقع بالضبط على ثلث ارتفاع القطر.
14. والآن المستقيم $(BK)$ : أوجد معادلته، وقاطعه مع $(AC)$ ، واستنتج المبرهنة الكلاسيكية الكاملة: *يقسم المستقيمان $(DI)$ و $(BK)$ القطر $(AC)$ ثلاثة أقسام متساوية* .
15. لماذا كان مشروعًا برهان المبرهنة في هذا المعلم الخاص وحده؟ (ما الذي يحفظه اختيار [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ، وما الذي تتضمنه العبارة؟) أجب في جملتين أو ثلاث.
16. وتثليث آخر للتمرن: لتكن $E$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ . أين يقطع المستقيم $(AE)$ القطر *الآخر* $(DB)$ ؟

**الجزء الرابع — أحاجي المواضع.**

17. هل المستقيمات الثلاثة $x + y = 4$ و $2x - y = 2$ و $x - 2y = -2$ متلاقية؟ ( [قاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-rate) اثنين واختبر الثالث.)
18. من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $m$ ، ليكن $d_m$ المستقيم $mx - y + 2 - 3m = 0$ . بيّن أن *كل* $d_m$ يمر [بنقطة ثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) واحدة. (اجمع الحدود التي فيها $m$ .)
19. في العائلة $(d_m)$ : أي عضو يوازي $y = 2x + 7$ ؟ وأيها يمر بالمبدأ؟
20. الخاتمة — أثواب المستقيم الثلاثة: الديكارتي (اختبارات الانتماء بتعويض واحد)، والمختزل ( [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) بنظرة)، والوسيطي (الحركة، والتوقيت، والاعتراض)؛ [والمحدد](#def-g11-vect-det) عرّافًا للتوازي؛ والمعلم المختار جيدًا مصنعًا للمبرهنات. جملة واحدة لكل بند.

**حل المسألة 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$ و $y = 2 - t$. ومن الثانية، $t = 2 - y$؛ وبالتعويض: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: [فالمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الديكارتية $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** من أجل $ax + by + c = 0$، [متجهة التوجيه](#def-g11-vect-direction) هي $(-b, a)$: أي هنا $(5, 2)$. ونقطة: يعطي $y = 1$ أن $x = 1$: أي $(1, 1)$. والتمثيل الوسيطي: $x = 1 + 5t$ و $y = 1 + 2t$.

**3.** من $x = 7 - 3y$ في $2x - 5y + 3 = 0$: $14 - 6y - 5y + 3 = 0$، إذن $y = \frac{17}{11}$ و $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: أي النقطة $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** التوجيهان $(5, 2)$ و $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: إذن متقاطعان، كما وجدنا. وفي الزوج الثاني: التوجيهان $(5, 2)$ و $(10, 4)$ لهما $\det = 0$ (فهما متوازيان)، وبمضاعفة $2x - 5y + 3 = 0$ نجد $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1
= 0$: إذن متوازيان تمامًا.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$ و $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: إذن على استقامة واحدة.

**6.** السفينة $P$: من $x = 2t$ و $y = 3 + t$: $y = 3 +
\frac x2$. والسفينة $Q$: من $x = 10 - t$ نجد $t = 10 - x$، إذن $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. [والتقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion): $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ يعطي $x = 6.4$ و $y = 6.2$: إذن يتقاطع المساران في $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** تمر $P$ هناك عندما $2t = 6.4$: أي $t = 3.2$ سا. وتمر $Q$ عندما $10 - t = 6.4$: أي $t = 3.6$ سا. أي بفارق أربع وعشرين دقيقة: فلا تصادم. والتحذير: تُظهر الخريطة *المسارات*؛ ولا تقول سوى الساعات الوسيطية هل تشغل حركتان النقطة نفسها في اللحظة نفسها.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 =
10t^2 - 68t + 116$: والرأس عند $t = \frac{68}{20} = 3.4$ سا، حيث $D^2 = 0.4$: فأقرب اقتراب $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) عند $t = 3.4$.

**9.** إذن مُنتهك: $0.63 < 1$. وتُقرأ $D^2(t) < 1$ $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$، وجذراها $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: فالسفينتان قريبتان أكثر من اللازم من $t \approx 3.16$ إلى $t \approx 3.64$ — أي نحو $29$ دقيقة من المخالفة. وعلى إحداهما أن تغيّر مسارها.

**10.** كل إحداثي لكل سفينة [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) *تآلفية* في $t$، إذن كل فرق بين إحداثيين تآلفي، و $D^2$ — وهو مجموع مربعَي دالتين تآلفيتين — مقدار تربيعي (معامل حده الأعلى غير سالب). فأقرب اقتراب يُقرأ دائمًا على رأس.

**11.** لقاء $P$ عند $t = 3$، أي عند $(6, 6)$: يعطي $(3a, 3b) = (6, 6)$ أن $(a, b) = (2, 2)$، والسرعة $\sqrt{8} \approx 2.8$ عقدة.

**12.** $D(0, 1)$ و $I\left(\frac12, 0\right)$: التوجيه $\left(\frac12, -1\right)$، أي $(1, -2)$: [فالمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** المستقيم $(AC)$: $y = x$. عندئذٍ $2x + x = 1$: أي $x = \frac13$: فالنقطة $\left(\frac13, \frac13\right)$، على ثلث الطريق من $A$ إلى $C$.

**14.** $B(1, 0)$ و $K\left(\frac12, 1\right)$: التوجيه $\left(-\frac12, 1\right)$، [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. ومع $y = x$: $x = \frac23$: فالنقطة $\left(\frac23, \frac23\right)$. إذن يقطع المستقيمان القطر $(AC)$ عند نقطتي تثليثه: وقد بُرهن على المبرهنة، بثلاثة أسطر من الحساب مرتين.

**15.** يُحمل أي متوازي أضلاع على مربع الوحدة باختيار $A$ مبدأً و $\vect{AB}$ و $\vect{AD}$ وحدتين للمحورين. ويحفظ هذا الاختيار كل ما تتحدث عنه المبرهنة — المنتصفات، والاستقامة، والنسب على مستقيم معطى (وكلها قابلة للتعبير بالمتجهات والسلّميات) — فبرهان العبارة في المربع يبرهن عليها من أجل كل متوازي أضلاع. (أما الأطوال والزوايا *فلا* تُنقل: فالمعلم يشوّهها.)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: والمستقيم $(AE)$: $y = \frac x2$. والقطر $(DB)$: من $(0,1)$ إلى $(1,0)$: $y = 1 - x$. [والتقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion): $\frac x2 = 1 - x$: أي $x = \frac23$: فالنقطة $\left(\frac23, \frac13\right)$ — وهي مرة أخرى نقطة تثليث، لكن للقطر الآخر. فمستقيمات المنتصفات تعشق الأثلاث.

**17.** الأولان: يعطي $x + y = 4$ و $2x - y = 2$ أن $3x = 6$: أي $(2, 2)$. والثالث: $2 - 4 = -2$: متحقق. إذن متلاقية في $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: ولكي تتحقق [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) من أجل *كل* $m$، خذ $x = 3$ و $y = 2$ — وفعلًا يحوي كل $d_m$ النقطة $(3, 2)$. إنها حزمة مستقيمات مارة بنقطة واحدة، مستقيم لكل [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** الموازي للمستقيم $y = 2x + 7$: [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$، فالمستقيم $2x - y - 4 = 0$. والمار بالمبدأ: $2 - 3m = 0$: أي $m = \frac23$.

**20.** الديكارتي: عوّض نقطة، فتُجاب مسألة الانتماء. والمختزل: [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) [والترتيب عند المبدأ](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) ظاهران، [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) فوري. والوسيطي: الساعة مدمجة فيه — فالتصادمات، وأقرب اقتراب، والاعتراض. [والمحدد](#def-g11-vect-det): ضربان متقاطعان، ويُحسم التوازي. والمعلم المختار: يصير متوازي الأضلاع مربع وحدة، وتصير مبرهنة تثليث كلاسيكية ثلاثة تقاطعات مستقيمات.