---
title: "الجداء السلّمي في المستوي"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/16-the-scalar-product-in-the-plane
---

# الفصل 16 — الجداء السلّمي في المستوي

يرفق [الجداء السلّمي](#def-g11-scal-dot) *عددًا* بكل زوج من المتجهات، وهذا العدد يرى الهندسة: فهو ينعدم بالضبط في حالة الاتجاهين المتعامدين، وهو يقيس الزوايا والأطوال. وهو المحرّك وراء قانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin)، ومعادلات الدوائر، وحسابات التعامد. أما الأداة نفسها في الفضاء فهي موضوع [الفصل 31](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/31-vectors-lines-and-planes-in-space#ch-g12-space).

## 16.1 التعريف والحسابات الأولى

**تعريف 16.1 (الجداء السلّمي).**

*الجداء السلّمي* للمتجهتين $\vec u$ و $\vec v$ هو العدد

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

حيث يرمز $\norm{\vec u}$ إلى طول (*المعيار*) [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec u$.

**مبرهنة 16.2 (أوجه الجداء السلّمي الأربعة).**

لتكن $\vec u\,(x, y)$ و $\vec v\,(x', y')$ متجهتين غير معدومتين، ولتكن $\theta$ الزاوية بينهما. عندئذٍ

1. *([بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ؛
2. *([بجيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ؛
3. *(بالإسقاط)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ ، حيث $\vec v'$ هي المسقط العمودي [للمتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec v$ على اتجاه $\vec u$ ؛ فإذا كانت $\vec u = \vect{OA}$ و $\vec v = \vect{OB}$ ، فإن $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ ، وهو جداء طولين جبريين، حيث $H$ هو المسقط العمودي للنقطة $B$ على المستقيم $(OA)$ ؛
4. *(بالمعايير)* الصيغة المعرِّفة في [التعريف 16.1](#def-g11-scal-dot) .

**برهان 1 و 2.** *1.* [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)، $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (فيثاغورس)، و $\vec u + \vec v$ إحداثياتها $(x + x', y + y')$، إذن

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

بعد [نشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) المربعات والاختصار.

*2.* اختر [نظام الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) بحيث تتجه $\vec u$ في الجهة الموجبة من المحور $x$: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ و $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([الفصل 14](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#ch-g11-trigo)). عندئذٍ تعطي الصيغة 1 $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. وتقرأ الصيغة 3 الحساب نفسه: فالمسقط العمودي [للمتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec v$ على المحور $x$ طوله الجبري $\norm{\vec v}\cos\theta =
\overline{OH}$. ∎

![منظر الإسقاط: u v = OA × OH، حيث H هو المسقط العمودي لطرف المتجهة v. والقطعة البرتقالية OH طولها الجبري v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*منظر الإسقاط: $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times
\overline{OH}$، حيث $H$ هو المسقط العمودي لطرف [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec v$. والقطعة البرتقالية $OH$ طولها الجبري $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**مثال 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ و $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. والمعياران هما $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ و $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$، إذن $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: فالزاوية أصغر قليلًا من $82^\circ$.

**قضية 16.4 (القواعد الجبرية).**

من أجل كل المتجهات وكل $\lambda \in \R$:

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**برهان.** كلها تنتج من الصيغة [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): فمثلًا $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. أما المتطابقة الأخيرة فتنشر $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ باستعمال القواعد الثلاث الأولى — [فالجداء السلّمي](#def-g11-scal-dot) يتصرف تمامًا كجداء عادي، فتنطبق المتطابقات الجبرية المعتادة على المتجهات. ∎

## 16.2 التعامد

**تعريف 16.5 (المتجهتان المتعامدتان).**

تكون متجهتان *متعامدتين*، ويُكتب $\vec u \perp \vec v$، إذا كان $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**ملاحظة 16.6.**

من أجل متجهتين غير معدومتين، تبيّن الصيغة 2 من [المبرهنة 16.2](#thm-g11-scal-faces) أن $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ الاتجاهين متعامدان. أما [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) المعدومة فمتعامدة مع كل شيء.

**مثال 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ و $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 =
0$: متعامدتان. وعمومًا، تكون $\vec u\,(a, b)$ متعامدة دائمًا مع $\vec v\,(-b, a)$ — وهو دوران بربع دورة.

## 16.3 قانون جيب التمام

**مبرهنة 16.8 (قانون جيب التمام).**

في مثلث $ABC$ أضلاعه $a = BC$ و $b = CA$ و $c = AB$ وزاويته $\widehat A$ عند الرأس $A$:

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**برهان.** اكتب $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ ثم انشر بواسطة [القضية 16.4](#prop-g11-scal-rules):

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

وحسب صيغة [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin)، $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**ملاحظة 16.9.**

عندما تكون $\widehat A$ قائمة، يكون $\cos\widehat A = 0$، فيؤول قانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) إلى مبرهنة فيثاغورس $a^2 = b^2 + c^2$: فهو فيثاغورس مع حد تصحيحي من أجل الزوايا غير القائمة.

![قانون جيب التمام: معرفة ضلعين b و c والزاوية المحصورة بينهما تحدّد الضلع الثالث a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*قانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin): معرفة ضلعين $b$ و $c$ والزاوية المحصورة بينهما تحدّد الضلع الثالث $a$.*

**مثال 16.10.**

ضلعان في مثلث قياسهما $b = 5$ و $c = 8$، ويحصران زاوية $\widehat A = \frac\pi3$. عندئذٍ

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

إذن $a = 7$.

## 16.4 تطبيقات: الدوائر والمستقيمات المتعامدة

**قضية 16.11 (الدائرة ذات قطر معلوم).**

تقع النقطة $M$ على الدائرة ذات القطر $[AB]$ إذا وفقط إذا كان

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**برهان.** إذا كانت $M \neq A, B$، فالشرط يقول إن الزاوية عند $M$ في المثلث $AMB$ قائمة، والنقط التي ترى قطعة تحت زاوية قائمة هي بالضبط نقط الدائرة ذات ذلك القطر. وإليك برهانًا مباشرًا: لتكن $O$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ وليكن $r = \frac{AB}{2}$. عندئذٍ $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ و $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$، إذن

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

وهذا ينعدم بالضبط عندما يكون $MO = r$، أي عندما تقع $M$ على الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $r$. ∎

**قضية 16.12 (المتجهة الناظمة لمستقيم).**

[المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ متعامدة مع كل [متجهة توجيه](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) للمستقيم $d : ax + by + c = 0$؛ ويقال إن $\vec n$ *متجهة ناظمة* للمستقيم $d$. ويكون مستقيمان متعامدين بالضبط عندما تكون متجهتاهما الناظمتان (أو متجهتا توجيههما) [متعامدتين](#def-g11-scal-orthogonal).

**برهان.** [متجهة توجيه](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) المستقيم $d$ هي $\vec u\,(-b, a)$ ([المبرهنة 15.9](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#thm-g11-vect-cartesian))، و $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**طريقة 16.13 (استعمال المتجهات الناظمة).**

- المستقيم المار بالنقطة $A$ وناظمته $\vec n\,(a,b)$ : اكتب $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ ، وهذا ينشر إلى $ax + by + c = 0$ مع $c$ تحدّده النقطة $A$ .
- تعامد $d: ax+by+c = 0$ و $d': a'x+b'y+c' = 0$ : تحقق من $aa' + bb' = 0$ .

**مثال 16.14.**

المستقيم المار بالنقطة $P(2, -1)$ والعمودي على $d : 3x - y + 4 = 0$: [متجهة توجيه](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) المستقيم $d$ هي $(1, 3)$، وهي تصلح [متجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) *ناظمة* للعمود. [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$ مع $2 - 3 + c = 0$، إذن $c = 1$: فالمستقيم هو $x + 3y + 1 = 0$.

**مثال 16.15 (معادلة دائرة).**

الدائرة التي مركزها $\Omega(1, 2)$ ونصف قطرها $3$ هي مجموعة النقط $M(x,y)$ التي تحقق $\Omega M^2 = 9$:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

وبالعكس، تُكتب $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$، بإكمال المربعات ([الفصل 10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad))، على الصورة $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$: وهي الدائرة نفسها.

## 16.5 تمارين

**تمرين 16.1 ★.**

احسب $\vec u \cdot \vec v$ من أجل

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**حل التمرين 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([متجهتان متعامدتان](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**تمرين 16.2 ★.**

$ABC$ مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $6$. احسب $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ و $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**حل التمرين 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

تصنع المتجهتان $\vect{AB}$ و $\vect{BC}$ زاوية قدرها $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (ضعهما بنفس المبدأ عند $B$)، إذن $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**تمرين 16.3 ★.**

من أجل أي قيمة للعدد $t$ تكون $\vec u\,(3, t)$ و $\vec v\,(t - 8, 1)$ [متعامدتين](#def-g11-scal-orthogonal)؟ ومن أجل أي قيمة أو قيم للعدد $t$ تكون $\vec u\,(t, 2)$ متعامدة مع نفسها ناقص $\vec v\,(4, 2)$، أي $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$؟

**حل التمرين 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ يعطي $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$، إذن $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$، وهذا ينعدم من أجل $t = 0$ أو $t = 4$.

**تمرين 16.4 ★.**

احسب الزاوية $\theta$ بين $\vec u\,(1, 2)$ و $\vec v\,(3, 1)$ (أعطِ $\cos\theta$ بالضبط، ثم $\theta$ مقرَّبة إلى أقرب درجة).

**حل التمرين 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$، و $\norm{\vec u} = \sqrt5$، و $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$، إذن

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

ومنه $\theta = 45^\circ$ بالضبط.

**تمرين 16.5 ★★.**

مثلث أضلاعه $b = 4$ و $c = 6$ والزاوية $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$ محصورة بينهما. احسب الضلع الثالث $a$. ثم، في مثلث أضلاعه $a = 7$ و $b = 5$ و $c = 4$، احسب $\cos\widehat A$ وقرّر هل $\widehat A$ حادة أم منفرجة.

**حل التمرين 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$، إذن $a = \sqrt{76} =
2\sqrt{19} \approx 8.7$.

أما في المثلث الثاني، فقانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) محلولًا بالنسبة إلى الزاوية يعطي

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

وهو سالب: إذن $\widehat A$ منفرجة.

**تمرين 16.6 ★★.**

لتكن $A(1, 1)$ و $B(5, -1)$ و $C(3, 5)$. احسب $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$؛ فهل الزاوية $\widehat A$ قائمة؟ ثم احسب أطوال الأضلاع الثلاثة وتحقق من جوابك بقانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin).

**حل التمرين 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ و $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$، إذن الزاوية عند $A$ قائمة. والأضلاع: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$، و $AC = \sqrt{4 + 16} =
\sqrt{20}$، و $\vect{BC}\,(-2, 6)$ يعطي $BC = \sqrt{40}$. وللتحقق من الاتساق: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$، وهو قانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) مع $\cos\widehat A = 0$ (فيثاغورس).

**تمرين 16.7 ★★.**

أعطِ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة التي مركزها $\Omega(-2, 3)$ ونصف قطرها $5$. ثم حدّد مركز ونصف قطر الدائرة

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**حل التمرين 16.7.**

الصورة بالمركز ونصف القطر: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

أما الدائرة الثانية فأكمل المربعات:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

المركز $(3, -1)$ ونصف القطر $4$.

**تمرين 16.8 ★★.**

لتكن $A(-3, 0)$ و $B(0, 2)$. باستعمال [القضية 16.11](#prop-g11-scal-diameter)، أوجد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة ذات القطر $[AB]$، وتحقق من أن المبدأ $O(0,0)$ يقع عليها.

**حل التمرين 16.8.**

تقع $M(x,y)$ على الدائرة عندما يكون $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ مع $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ و $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

وأما المبدأ: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$، إذن $O$ تقع على الدائرة — وهندسيًا، المتجهتان $\vect{OA}\,(-3,0)$ و $\vect{OB}\,(0,2)$ متعامدتان، فترى $O$ القطعة $[AB]$ تحت زاوية قائمة. (وبإكمال المربعات: المركز $\left(-\frac32, 1\right)$، ونصف القطر $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**تمرين 16.9 ★★.**

أوجد [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) المستقيم المار بالنقطة $P(1, 3)$ والعمودي على $d : 2x + y - 7 = 0$، [وإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) المسقط العمودي $H$ (وهو [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) المستقيمين). واستنتج المسافة من $P$ إلى $d$.

**حل التمرين 16.9.**

للعمود المار بالنقطة $P$ [متجهة توجيه](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) المستقيم $d$، أي $(-1, 2)$، متجهةً ناظمة: فمعادلته $-x + 2y + c = 0$؛ وبالمرور بالنقطة $P(1,3)$: $-1 + 6 + c = 0$، أي $c = -5$، فتكون $x - 2y + 5 = 0$.

[والتقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) مع $d$: من $2x + y = 7$ نجد $y = 7 - 2x$؛ وبالتعويض، $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$، إذن $x = \frac95$ و $y = \frac{17}5$: $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. ثم $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ و

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**تمرين 16.10 ★★.**

باستعمال $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ ونظيرتها من أجل $\vec u - \vec v$، برهن على *متطابقة متوازي الأضلاع*:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

ثم فسّرها في متوازي أضلاع (القطران في مقابل الأضلاع).

**حل التمرين 16.10.**

بجمع

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{و}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

تختصر الحدود المختلطة ويكون $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$. وفي متوازي أضلاع ضلعاه $\vec u$ و $\vec v$، يكون القطران $\vec u + \vec v$ و $\vec u - \vec v$: فمجموع مربعي القطرين يساوي مجموع مربعات الأضلاع الأربعة.

**تمرين 16.11 ★★★.**

لتكن $A$ و $B$ نقطتين حيث $AB = 4$، ولتكن $I$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$.

1. بيّن أنه من أجل كل نقطة $M$ : $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (أدخل $I$ : $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. استنتج مجموعة النقط $M$ التي تحقق $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**حل التمرين 16.11.**

*1.* بما أن $I$ هي [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint)، فإن $\vect{IB} = -\vect{IA}$ و $IA = 2$. ثم

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* يصير الشرط $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ هو $MI^2 = 16$، أي $MI = 4$: فالمجموعة هي الدائرة التي مركزها $I$ ونصف قطرها $4$.

## 16.6 مسألة: هديتان من الجداء السلّمي

**مسألة 16.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — صيغ الجمع تسقط من جداء سلّمي واحد، والمسافة إلى مستقيم من آخر، وتلاقي الارتفاعات الثلاثة هدية إضافية

يبدو [الجداء السلّمي](#def-g11-scal-dot) مجرد مسك دفاتر — اضرب، ثم اجمع — ومع ذلك فهو يسلّم، بلا مقابل [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx)، كنزين قاوما قرونًا من مطاردة الزوايا: *صيغ الجمع* في المثلثات (احسب $\cos 15^\circ$ بالضبط!) و *المسافة من نقطة إلى مستقيم* في كسر واحد نظيف. وهو يبرهن عند الوداع على أن ارتفاعات كل مثلث الثلاثة تمر بنقطة واحدة. وستُستدعى أوجه [المبرهنة 16.2](#thm-g11-scal-faces) الأربعة كلها إلى الخدمة.

**الجزء الأول — التمكّن.**

1. من أجل $\vec u(3, 4)$ و $\vec v(-1, 2)$ : احسب $\vec u \cdot \vec v$ ، والمعيارين، والزاوية بين المتجهتين (إلى عُشر الدرجة).
2. أوجد $k$ حتى تكون $(2, k)$ و $(3, -4)$ [متعامدتين](#def-g11-scal-orthogonal) ( [التعريف 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. الوجه الفيزيائي: يُجرّ زحّافة $10$ m بقوة $50$ N تصنع $60^\circ$ مع الأرض. احسب الشغل $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. قانون [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) ( [المبرهنة 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): ضلعان طولهما $5$ و $7$ يحصران زاوية $60^\circ$ ؛ أوجد الضلع الثالث بالضبط.
5. بالعكس: مثلث أضلاعه $4$ و $6$ و $8$ . احسب [جيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) تمام الزاوية المقابلة للضلع $8$ ، وصنّف الزاوية، وأعطها إلى عُشر الدرجة.

**الجزء الثاني — الهدية الأولى: صيغ الجمع.** لتكن $\vec u = (\cos a, \sin a)$ و $\vec v = (\cos b, \sin b)$: متجهتان واحديتان بزاويتين $a$ و $b$.

6. احسب $\vec u \cdot \vec v$ مرتين — مرة [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)، ومرة بالمعيارين والزاوية بين المتجهتين — واستنتج الصيغة الأم: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. عوّض $-b$ محل $b$ (وانتبه إلى [زوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) [وفردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) [الجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) !) لتحصل على $\cos(a + b)$ .
8. احصل على $\sin(a + b)$ من متطابقة التتام $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ مطبَّقة على $x = a + b$ .
9. القيم المضبوطة أخيرًا: احسب $\cos 15^\circ$ (على الصورة $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) و $\sin 75^\circ$ . وتحقق من كليهما عدديًا.
10. ضع $b = a$ لاستخراج صيغتي الزاوية المضاعفة: $\cos 2a$ (بصورها الثلاث) و $\sin 2a$ .
11. انطلاقًا من $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ ، احسب $\sin^2 15^\circ$ ، ثم $\sin 15^\circ$ على صورة [جذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) متداخل — وتحقق من أن مربعه يوافق القيمة $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ التي يعطيها منهج السؤال 9.

**الجزء الثالث — الهدية الثانية: المسافة إلى مستقيم.**

12. ليكن $d$ المستقيم $ax + by + c = 0$، ومتجهته الناظمة $\vec n(a, b)$ ([القضية 16.12](#prop-g11-scal-normal))، ولتكن $P(x_0, y_0)$ نقطة. وبأخذ أي نقطة $A$ من $d$، فسّر لماذا تكون المسافة من $P$ إلى $d$ هي $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$، واستنتج الصيغة $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ ثم احسب المسافة من $P(5, 6)$ إلى $3x + 4y - 12 = 0$.
13. اكتب [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة التي مركزها $(5, 6)$ وتمسّ ذلك المستقيم.
14. تحقق من الصيغة تحققًا مزدوجًا: احسب المسافة من المبدأ إلى $3x + 4y - 12 = 0$ ، ثم تأكد منها بحساب المسقط العمودي للمبدأ صراحةً.
15. المثلث $A(0,0)$ و $B(6,0)$ و $C(2,5)$ : احسب مساحته باستعمال القاعدة $[AB]$ ؛ ثم احسب المسافة من $B$ إلى المستقيم $(AC)$ وتحقق من أنها تعطي المساحة نفسها.
16. الدائرة التي مركزها $(2, 1)$ ونصف قطرها $2$ ، في مواجهة المستقيم $x + y - 6 = 0$ : احسب مسافة المركز إلى المستقيم وصنّف وضعهما النسبي ( [قاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-rate) ، [مماس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-tangent) ، منفصلان).

**الجزء الرابع — الهدية الإضافية: تلاقي الارتفاعات.**

17. عمّم [التمرين 16.11](#exo-g11-scal-11): من أجل أي نقطتين $A$ و $B$ منتصفهما $I$، برهن على $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{من أجل كل نقطة } M .$$
18. استنتج [القضية 16.11](#prop-g11-scal-diameter) في سطر واحد: مجموعة النقط $M$ التي تحقق $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ هي الدائرة ذات القطر $[AB]$ .
19. الارتفاعات: ليكن $H$ [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) الارتفاعين الصادرين من $A$ ومن $B$ في مثلث $ABC$ (أي $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ و $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). برهن على المتطابقة $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ — [بنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) كل شيء انطلاقًا من $H$ بعلاقة شال — ثم استنتج أن $H$ تقع أيضًا على الارتفاع الصادر من $C$: فالارتفاعات الثلاثة متلاقية (في *مركز التعامد*).
20. الخاتمة — أربعة أوجه، وثلاث جوائز. أي وجه من [المبرهنة 16.2](#thm-g11-scal-faces) حمل صيغ الجمع، وأيها حمل صيغة المسافة، وأيها حمل [مركز التعامد](#pb-g11-scal-1) — ولماذا يكون “احسب المقدار نفسه مرتين” شعار الفصل كله؟

**حل المسألة 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$؛ و $\norm{\vec u} = 5$، و $\norm{\vec v} = \sqrt5$؛ و $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}$: $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$: إذن $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ جولًا: فوحده المركّبة الموازية للحركة تشتغل.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: إذن $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4
\times 6} = -\frac14$: سالب، فالزاوية منفرجة: $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b +
\sin a \sin b$. وهندسيًا: متجهتان واحديتان، $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. وبمساواة الحسابين للعدد نفسه: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. و $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: القيمة نفسها.

**10.** $b = a$ في السؤالين 7 و 8: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (باستعمال $\cos^2 + \sin^2 = 1$)، و $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$، إذن $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. وبتربيع $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$: $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: العدد نفسه في ثوبين.

**12.** تتفكك $\vect{AP}$ إلى جزء موازٍ للمستقيم $d$ (لا تراه $\vec n$) وجزء عمودي على $d$، طوله هو المسافة المطلوبة؛ والضرب سلّميًا في [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) الناظمة الواحدية $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ يقتل الجزء الأول ويقيس الثاني. ومع $A$ على $d$: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$، ومنه الصيغة. مثال: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** نصف القطر $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** المسافة $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. وأما المسقط: فالعمود المار بالمبدأ هو $(3t, 4t)$؛ وعلى المستقيم: $9t + 16t = 12$، أي $t = \frac{12}{25}$: فالمسقط $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$، على مسافة $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. فالصيغة والحساب الصريح متفقان.

**15.** القاعدة $AB = 6$، والارتفاع $=$ المسافة من $C$ إلى $(AB)$ (وهو المحور $y = 0$): أي $5$؛ والمساحة $15$. والمستقيم $(AC)$: $5x - 2y = 0$، و $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$؛ ثم $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: المساحة نفسها، بأي من الارتفاعين.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}
{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: فالمستقيم يمر بعيدًا عن الدائرة — إذن منفصلان.

**17.** أدخل $I$: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$. ويموت الحد الأوسط ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$)، و $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ (متجهتان متعاكستان طولهما $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 =
\frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$: وهي الدائرة التي مركزها $I$ ونصف قطرها $\frac{AB}2$ — أي الدائرة ذات القطر $[AB]$.

**19.** [بنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) كل زوج انطلاقًا من $H$ ($\vect{BC} =
\vect{HC} - \vect{HB}$، وهكذا):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

يختصر كل شيء أزواجًا — فالمتطابقة صحيحة من أجل *أي* أربع نقط. وفي حالة $H$ التي عندنا، ينعدم الجداءان السلّميان الأولان بالفرض، إذن $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: أي أن $H$ تقع على الارتفاع الصادر من $C$. ثلاثة ارتفاعات، ونقطة واحدة.

**20.** جاءت صيغ الجمع من حساب [جداء سلّمي](#def-g11-scal-dot) واحد بالوجه *الإحداثي* وبوجه *المعيارين والزاوية*؛ وجاءت صيغة المسافة من وجه *الإسقاط*؛ وجاء [مركز التعامد](#pb-g11-scal-1) من وجه *الخطية الثنائية* (شال [والنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand)). احسب المقدار نفسه مرتين، وساوِ بين الحسابين، فتسقط مبرهنة — وهذه هي صنعة [الجداء السلّمي](#def-g11-scal-dot) كلها.