---
title: "الإحصاء الوصفي"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics
---

# الفصل 17 — الإحصاء الوصفي

يضغط الإحصاء قائمة من الأعداد في بضعة ملخصات ذات معنى: أين تستقر المعطيات ([المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)، [والوسيط](#def-g11-stat-median))، وكم هي متبددة (الربيعيات، [والتباين](#def-g11-stat-variance)، [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance)). ويشتغل هذا الفصل كله على مثال واحد متواصل. وتظهر الملخصات نفسها من جديد مع المتغيرات العشوائية في [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob)، وقوانينها الاحتمالية في [الفصل 34](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers#ch-g12-sums).

وفي الفصل كله، معطياتنا المتواصلة هي علامات (من $20$) قسم فيه $12$ تلميذًا:

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 المتوسط والوسيط

**تعريف 17.1 (المتوسط).**

*المتوسط الحسابي* للقيم $x_1, x_2, \dots, x_n$ هو

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

وإذا ظهرت القيمة $x_i$ [بتواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) $n_i$ (حيث $n_1 + \dots + n_k = n$)، فإن $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$.

**تعريف 17.2 (الوسيط).**

*الوسيط* لسلسلة مرتَّبة هو قيمة تقسمها نصفين: فنصف القيم على الأقل $\leq$ منها، ونصفها على الأقل $\geq$ منها. وعمليًا، رتّب القيم $n$؛ فإذا كان $n$ فرديًا، فالوسيط هو القيمة الوسطى؛ وإذا كان $n$ زوجيًا، فخذ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) القيمتين الوسطيين.

**مثال 17.3.**

في معطياتنا المتواصلة، المجموع هو $144$، إذن $\bar x = \frac{144}{12} =
12$. والقيمتان الوسطيان (رقم $6$ ورقم $7$ في القائمة المرتَّبة) كلتاهما $12$، [فالوسيط](#def-g11-stat-median) هو $12$ أيضًا. وليس من الضروري أن يتطابق [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [والوسيط](#def-g11-stat-median): [فالوسيط](#def-g11-stat-median) يتجاهل *كم تبعد* القيم المتطرفة، أما [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) فلا. واستبدال $20$ بالعلامة العليا $17$ ينقل [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) إلى $12.25$ لكنه يترك [الوسيط](#def-g11-stat-median) عند $12$.

## 17.2 الربيعيات

**تعريف 17.4 (الربيعيات والمدى الربيعي).**

*الربيعي الأول* $Q_1$ هو أصغر قيمة يكون عندها ربع المعطيات على الأقل $\leq Q_1$؛ و*الربيعي الثالث* $Q_3$ هو أصغر قيمة يكون عندها ثلاثة أرباع المعطيات على الأقل $\leq Q_3$. و*المدى الربيعي* هو $Q_3 - Q_1$: أي عرض النصف المركزي من المعطيات.

**مثال 17.5.**

$n = 12$: الربع هو $3$، إذن $Q_1$ هي القيمة المرتَّبة رقم $3$: $Q_1 = 10$. وثلاثة الأرباع هي $9$، إذن $Q_3$ هي القيمة رقم $9$: $Q_3 = 13$. [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) هو $3$: فالنصف المركزي من القسم يقع ضمن $3$ علامات.

![المعطيات المتواصلة على شكل مخطط نقطي، ومتوسطها (بالأحمر)، والملخص الخماسي فوقه (بالبرتقالي): الأصغر، و Q_1، والوسيط، و Q_3، والأكبر. ويحوي الصندوق النصف المركزي من المعطيات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-630a3a5ec08f.svg)

*المعطيات المتواصلة على شكل مخطط نقطي، ومتوسطها (بالأحمر)، والملخص الخماسي فوقه (بالبرتقالي): الأصغر، و $Q_1$، [والوسيط](#def-g11-stat-median)، و $Q_3$، والأكبر. ويحوي الصندوق النصف المركزي من المعطيات.*

## 17.3 التباين والانحراف المعياري

**تعريف 17.6 (التباين والانحراف المعياري).**

*تباين* السلسلة هو [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) مربعات الانحرافات عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

و*الانحراف المعياري* هو $\sigma = \sqrt{V}$، ويُعبَّر عنه بوحدة المعطيات نفسها.

**قضية 17.7 (الصيغة المختصرة).**

[التباين](#def-g11-stat-variance) هو [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المربعات ناقص مربع [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**برهان.** انشر كل انحراف مربع: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$. وبالجمع والقسمة على $n$:

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

والمتطابقة نفسها، من أجل المتغيرات العشوائية، هي [القضية 18.13](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#prop-g11-prob-konig). ∎

**مثال 17.8.**

في معطياتنا المتواصلة، الانحرافات عن $\bar x = 12$ هي $-4$ و $-3$ و $-2$ و $-2$ و $-1$ و $0$ و $0$ و $0$ و $1$ و $2$ و $4$ و $5$؛ ومجموع مربعاتها

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

ومنه

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ علامة}.
$$

وبعبارة تقريبية، تبتعد العلامة النموذجية نحو $2.6$ علامة عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean).

**قضية 17.9 (تغيير الوحدات).**

إذا حُوّلت كل قيمة بالعلاقة $y_i = a x_i + b$، فإن

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**برهان.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$. ثم $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$: فكل انحراف يُضرب في $a$ (وينمحي الانسحاب $b$)، إذن كل انحراف مربع يُضرب في $a^2$، وكذلك متوسطها. وبأخذ الجذور التربيعية نحصل على $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$. ∎

**مثال 17.10.**

درجات حرارة مسجَّلة بالدرجة السيلزية متوسطها $20$ وانحرافها المعياري $3$ تُحوَّل إلى الفهرنهايتية بالعلاقة $F = 1.8\,C + 32$: فيصير [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$، ويصير [الانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) $1.8 \times 3 = 5.4$. فانسحاب سلسلة لا يغيّر تبددها؛ أما ضربها في معامل فيضرب التبدد في المعامل نفسه.

**طريقة 17.11 (تلخيص السلاسل ومقارنتها).**

لمقارنة سلسلتين، ضع جنبًا إلى جنب: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) (أو [الوسيط](#def-g11-stat-median)) من أجل *الموضع*، [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) (أو [المدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles)) من أجل *التبدد*. والزوج ([الوسيط](#def-g11-stat-median)، [المدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles)) صامد أمام القيم المتطرفة؛ أما الزوج ([المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)، [الانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance)) فيستعمل كل قيمة ويغذّي نظرية الاحتمالات.

**مثال 17.12.**

راميان يرمي كل منهما $10$ سهام؛ [ومتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) نقاطهما $8.5$ لكليهما، لكن الانحرافين المعياريين $0.5$ و $2.1$. المستوى نفسه في [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) — لكن الرامي الأول أكثر انتظامًا بكثير.

## 17.4 تمارين

**تمرين 17.1 ★.**

احسب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [والوسيط](#def-g11-stat-median) والربيعيات [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) للسلسلة

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

**حل التمرين 17.1.**

$n = 8$، والمجموع $71$: [فالمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$. [والوسيط](#def-g11-stat-median): [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) القيمتين رقم $4$ ورقم $5$، أي $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$. والربيعيات: ربع $8$ هو $2$، إذن $Q_1$ هي القيمة رقم $2$، أي $7$؛ وثلاثة الأرباع هي $6$، إذن $Q_3$ هي القيمة رقم $6$، أي $10$. [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles): $10 - 7 = 3$.

**تمرين 17.2 ★.**

احسب [تباين](#def-g11-stat-variance) السلسلة وانحرافها المعياري $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ ([المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) أولًا، ثم الصيغة المختصرة في [القضية 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)).

**حل التمرين 17.2.**

المجموع $40$، إذن $\bar x = 5$. ومجموع المربعات: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$. وبالصيغة المختصرة،

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**تمرين 17.3 ★.**

يُرمى حجر نرد $50$ مرة؛ وتُلخَّص النتائج بالتواترات:

| النتيجة | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

احسب [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) النتيجة [والوسيط](#def-g11-stat-median).

**حل التمرين 17.3.**

[المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean):

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[والوسيط](#def-g11-stat-median): التواترات المتراكمة هي $6, 15, 23, 33, \dots$، إذن النتيجتان المرتَّبتان رقم $25$ ورقم $26$ كلتاهما $4$: [فالوسيط](#def-g11-stat-median) هو $4$.

**تمرين 17.4 ★★.**

قسم فيه $15$ تلميذًا [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) علاماته $11.2$. وينضم تلميذ $16$ فينال $18$. فما [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) القسم الجديد؟

**حل التمرين 17.4.**

مجموع العلامات $15$ هو $15 \times 11.2 = 168$؛ ومع الوافد الجديد، $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$.

**تمرين 17.5 ★★.**

[متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) السلسلة $6, 8, x, 12, 14$ هو $10$. أوجد $x$، ثم احسب [الانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) للسلسلة المكتملة.

**حل التمرين 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ يعطي $40 + x = 50$، إذن $x = 10$. وانحرافات $6, 8, 10, 12, 14$ عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $10$ هي $-4, -2, 0, 2, 4$، ومجموع مربعاتها $40$: $V = \frac{40}{5} = 8$ و $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**تمرين 17.6 ★.**

علامات متوسطها $12.4$ وانحرافها المعياري $2.5$ تُحوَّل بالعلاقة $y = \frac{x}{2} + 4$. أعطِ [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الجديد [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) الجديد.

**حل التمرين 17.6.**

حسب [القضية 17.9](#prop-g11-stat-affine) مع $a = \frac12$ و $b = 4$: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الجديد $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$؛ [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) الجديد $\frac{2.5}{2} = 1.25$.

**تمرين 17.7 ★★.**

المجموعة A ($20$ قيمة) متوسطها $10$؛ والمجموعة B ($30$ قيمة) متوسطها $15$. احسب [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المجموعتين معًا ($50$ قيمة). فهل هو [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$؟ ولماذا لا؟

**حل التمرين 17.7.**

[متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المجموعتين معًا هو [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) *المرجَّح*

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

لا $12.5$: فالمجموعة B تسهم بعدد أكبر من القيم، فتجذب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المشترك نحو متوسطها.

**تمرين 17.8 ★★.**

خطا إنتاج يملآن أكياس سكر سعة $1$ kg. وتعطي العينات: الخط 1: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $1.002$ kg [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg؛ الخط 2: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $1.001$ kg [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg. فأي خط ينبغي أن يُعاير أولًا، ولماذا؟

**حل التمرين 17.8.**

كلا الخطين قريب من الهدف وسطيًا ($1.002$ و $1.001$ kg)، لكن [الانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) للخط 2 أكبر بثلاث مرات: فأكياسه تتفاوت أكثر بكثير، فينتج أكياسًا ناقصة وزائدة الملء بصورة أوضح. فالخط 2 هو الذي ينبغي أن يُعالَج أولًا — فالانتظام، لا [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) وحده، هو ما يحتاج إلى إصلاح.

**تمرين 17.9 ★★.**

سلسلة من $n = 10$ قيم فيها $\sum x_i = 70$ و $\sum x_i^2 = 540$. احسب متوسطها وتباينها وانحرافها المعياري.

**حل التمرين 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$؛ $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$؛ $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$.

**تمرين 17.10 ★★★.**

السلسلة $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ تحوي *قيمة شاذة*.

1. احسب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [والوسيط](#def-g11-stat-median) مع القيمة $23$ وبدونها.
2. احسب [المدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) مع $23$ وبدونها.
3. أي الملخصات صامد أمام القيمة الشاذة؟ واختم بتوصية.

**حل التمرين 17.10.**

*1.* مع $23$: المجموع $50$ [والمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $5$؛ [والوسيط](#def-g11-stat-median) هو [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) القيمتين رقم $5$ و رقم $6$ $= 3$. وبدون $23$: المجموع $27$ [والمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $3$؛ [والوسيط](#def-g11-stat-median) (الخامسة من بين 9 قيم) $= 3$.

*2.* مع $23$ ($n = 10$): $Q_1$ هي القيمة رقم $3$ (أي $2$)، و $Q_3$ هي رقم $8$ (أي $4$): [فالمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) $2$. وبدونها ($n = 9$): $Q_1$ هي القيمة رقم $3$ (أي $2$)، و $Q_3$ هي رقم $7$ (أي $4$): وهو $2$ أيضًا.

*3.* تجرّ القيمة الشاذة الوحيدة [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) من $3$ إلى $5$ لكنها تترك [الوسيط](#def-g11-stat-median) [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) دون تغيير: فهذان *صامدان*. وحين يُحتمل أن تحوي سلسلة قيمًا شاذة، فأعلن [الوسيط](#def-g11-stat-median) [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) لا [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance).

## 17.5 مسألة: الدرجة المعيارية، مسطرة كونية

**مسألة 17.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الانحرافات المعيارية تقارن التفاح بالبرتقال، ومتراجحة تشيبيشيف تحوّل $\sigma$ إلى ضمانة، والمتوسط يفوز بميداليته

هل $15/20$ في امتحان صعب أفضل من $13/20$ في امتحان سهل؟ وهل $23$ في قائمة من الأعداد الصغيرة صدفة أم قيمة شاذة؟ لا تقدر الأعداد الخام على الجواب — لكنها إذا قُسمت على [الانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) المناسب نطقت كلها بلغة واحدة، هي *[الدرجة المعيارية](#pb-g11-stat-1)*. وتتقن هذه المسألة آلة [التباين](#def-g11-stat-variance) ([التعريف 17.6](#def-g11-stat-variance) و [القضية 17.7](#prop-g11-stat-shortcut))، وتبني المسطرة الكونية، ثم تبرهن على المتراجحة اللافتة التي تحوّل $\sigma$ من عدد وصفي إلى ضمانة.

**الجزء الأول — ميكانيكا [التباين](#def-g11-stat-variance).**

1. من أجل السلسلة $4, 8, 6, 5, 2$ : احسب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) ، ثم [التباين](#def-g11-stat-variance) مباشرة من التعريف، ثم $\sigma$ .
2. أعد حساب [التباين](#def-g11-stat-variance) بالصيغة المختصرة ( [القضية 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) — [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المربعات ناقص مربع [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) — وتحقق من التوافق.
3. مع التواترات: علامات $8$ و $10$ و $14$ نالها $3$ و $5$ و $2$ تلاميذ. احسب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [والتباين](#def-g11-stat-variance) و $\sigma$ (برقمين عشريين).
4. درجات حرارة متوسطها $20$ و $\sigma = 3$ (بالدرجة السيلزية). أعطِ [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) و $\sigma$ بالفهرنهايتية ( $F = 1.8\,C + 32$ ؛ [القضية 17.9](#prop-g11-stat-affine) ).
5. برهن على القاعدتين المستعملتين للتو: إضافة ثابت $b$ إلى كل قيمة تنقل [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) بمقدار $b$ وتترك $\sigma$ دون تغيير؛ والضرب في $a$ يضرب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) في $a$ و $\sigma$ في $\abs a$ .

**الجزء الثاني — المسطرة الكونية.** *الدرجة المعيارية* لقيمة $x$ في سلسلة متوسطها $\bar x$ وانحرافها المعياري $\sigma$ هي $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$: أي عدد الانحرافات المعيارية التي تفصل $x$ عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean).

6. الامتحان A متوسطه $12$ و $\sigma = 2$ ؛ والامتحان B متوسطه $8$ و $\sigma = 4$ . نالت أليس $15$ في A، ونال بوب $13$ في B. احسب الدرجتين المعياريتين: فأداء من يقف أعلى فوق الجمهور؟
7. احسب الدرجات المعيارية الخمس لسلسلة السؤال 1، وتحقق من أن متوسطها $0$ وانحرافها المعياري $1$ . وفسّر انطلاقًا من السؤال 5 لماذا تنتج المعيرة *دائمًا* متوسطًا $0$ و $\sigma = 1$ .
8. اختبار استعداد متوسطه $100$ و $\sigma = 15$ . فما النتيجة الخام التي درجتها $z = 2$ ؟ وما [الدرجة المعيارية](#pb-g11-stat-1) للقيمة $76$ ؟
9. يسجّل طبيب أطفال وزن رضيع بالصيغة “ $z = -2.5$ ”. قل ما معنى ذلك، ولماذا يُتابَع النمو بالدرجات المعيارية لا بالكيلوغرامات كلما كبر الطفل.
10. القيمة الشاذة في [التمرين 17.10](#exo-g11-stat-10) (السلسلة $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): احسب [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) و $\sigma$ [والدرجة المعيارية](#pb-g11-stat-1) للقيمة $23$ . وعتبة الإنذار الكلاسيكية هي $\abs z \geq 3$ : فما الحكم؟
11. أعد حساب $\sigma$ *بدون* القيمة $23$ ، ثم [الدرجة المعيارية](#pb-g11-stat-1) التي كانت ستنالها $23$ في مواجهة [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المعطيات النظيفة و $\sigma$ الخاص بها. فماذا فعلت القيمة الشاذة بالمسطرة نفسها التي أُريد بها قياسها، وماذا يقترح [التمرين 17.10](#exo-g11-stat-10) مضادًا لذلك؟

**الجزء الثالث — ضمانة تشيبيشيف.**

12. برهن على متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف من أجل سلسلة: إذا حققت نسبة $p$ من القيم $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$، فإنه، بالاحتفاظ فقط بتلك الحدود في مجموع [التباين](#def-g11-stat-variance)، $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{ومنه}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. ماذا تضمن المتراجحة بخصوص نسبة أي سلسلة تتجاوز $2\sigma$ عن متوسطها؟ وما وراء $3\sigma$ ؟ تحقق من عبارة $2\sigma$ على سلسلة السؤال 1.
14. مصنع ينتج براغي متوسطها $50$ mm و $\sigma = 0.1$ mm. فماذا تضمن متراجحة تشيبيشيف بخصوص نسبة البراغي خارج $\intcc{49.7}{50.3}$ ؟ (والإنتاج الحقيقي أفضل من ذلك بكثير — إذ يحوّل [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجرس في السنة المقبلة هذا $\frac19$ الحذر إلى جزء من المئة.)
15. صندوقان يعطي كل منهما مردودًا $5\,\%$ في السنة وسطيًا، مع $\sigma = 2\,\%$ للصندوق A و $\sigma = 12\,\%$ للصندوق B. فماذا تقول متراجحة تشيبيشيف، من أجل كل صندوق، عن النسبة الشبيهة [بالاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) للسنوات ذات المردود دون $-19\,\%$ ؟ وما اسم $\sigma$ في المالية؟

**الجزء الرابع — ميدالية [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)، وتحذير.**

16. ليكن $f(c)$ [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الانحرافات المربعة $(x_i - c)^2$ عن مركز كيفي $c$. برهن على المتطابقة $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ واستنتج: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) هو المصغِّر الوحيد [لمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الانحرافات المربعة — تلك ميداليته، وهي تقابل تصغير [الوسيط](#def-g11-stat-median) للانحرافات المطلقة في [المسألة 8.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#pb-g10-stats-1).
17. تحقق من المتطابقة على سلسلة السؤال 1 مع $c = 6$ : احسب $f(6)$ مباشرة ثم بالصيغة.
18. ملخصات واحدة ومعطيات مختلفة: تحقق من أن $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ و $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ تشتركان في [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) لا في [التباين](#def-g11-stat-variance) ؛ ثم أنشئ سلسلة على الصورة $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ لها بالضبط [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $P$ وتباينها — ومع ذلك بشكل خاص بها.
19. برهن على أن $\sigma = 0$ يفرض تساوي كل القيم. (ماذا يجب أن يكون كل حد من مجموع مربعات معدوم؟)
20. الخاتمة — سلّم الإحصائي، سطر واحد لكل درجة: المراكز ( [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) ، [الوسيط](#def-g11-stat-median) )، والتبددات ( $\sigma$ ، [المدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles) )، والمسطرة الكونية ( $z$ )، والضمانة (تشيبيشيف)، وتحذير السؤال 18: الملخصات تضغط، والضغط يُفقِد — [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجرس ينتظر في السنة المقبلة ليحوّل الدرجات المعيارية إلى احتمالات مضبوطة.

**حل المسألة 17.1.**

**1.** [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. ومربعات الانحرافات: $1, 9, 1, 0, 9$: [فالتباين](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$، إذن $\sigma = 2$.

**2.** [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المربعات: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$؛ ناقص $\bar x^2 = 25$: [فالتباين](#def-g11-stat-variance) $4$. الجواب نفسه بنصف العمل.

**3.** [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times
14}{10} = 10.2$؛ [والتباين](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 +
2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$؛ و $\sigma \approx 2.09$.

**4.** [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean): $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F؛ و $\sigma$: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — فالانسحاب $+32$ لا يبدّد شيئًا.

**5.** بإضافة $b$: يبقى كل انحراف $x_i + b - (\bar x + b)
= x_i - \bar x$ دون تغيير، فيبقى [التباين](#def-g11-stat-variance) كذلك. وبالضرب في $a$: تُضرب الانحرافات في $a$، ومربعاتها في $a^2$، [والتباين](#def-g11-stat-variance) في $a^2$، و $\sigma$ في $\sqrt{a^2} = \abs a$.

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$؛ $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$. فأليس تقف أعلى فوق جمهورها: إذ يتغلب $15$ في الامتحان الأصعب على $13$ في الأسهل.

**7.** الدرجات المعيارية $z$: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $0$، [والانحراف المعياري](#def-g11-stat-variance) $1$. وعمومًا، تطرح المعيرة $\bar x$ (فيصير [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $0$ ولا يمسّ $\sigma$) ثم تقسم على $\sigma$ (فيصير $\sigma$ الجديد مساويًا $1$): أي السؤال 5 مرتين.

**8.** $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$. و $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

**9.** الرضيع أدنى بمقدار $2.5$ انحرافًا معياريًا من [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) وزن *الرضّع في سنّه* — أي خفيف على نحو مقلق بالنسبة إلى فوجه. ولا يمكن مقارنة الكيلوغرامات الخام عبر الأعمار (فكل الرضّع يكتسبون وزنًا)؛ أما الدرجات المعيارية فتقيس كل طفل في مواجهة فئته العمرية، فمسطرة واحدة لكل الأعمار.

**10.** [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $5$؛ [ومتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المربعات $\frac{622}{10} = 62.2$، [والتباين](#def-g11-stat-variance) $37.2$، و $\sigma \approx 6.10$؛ و $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: أي دون عتبة الإنذار بقليل — فالاختبار يكاد لا يرفّ له جفن.

**11.** بدون $23$: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $3$، [والتباين](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$، و $\sigma \approx 1.15$؛ وفي مواجهة المسطرة النظيفة، تنال $23$ الدرجة $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$: وحش. فالقيمة الشاذة نفخت [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) و $\sigma$ معًا، فتموّهت — ولهذا يوصي [التمرين 17.10](#exo-g11-stat-10) بالملخصات الصامدة ([الوسيط](#def-g11-stat-median) [والمدى الربيعي](#def-g11-stat-quartiles)) كلما لاح خطر التلوث.

**12.** في مجموع [التباين](#def-g11-stat-variance) $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$، احتفظ فقط بالحدود التي تحقق $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$: وعددها $pN$ حدًا، كل منها لا يقل عن $(k\sigma)^2$، إذن $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$: ثم اقسم على $k^2 \sigma^2$ (والتبدد غير معدوم): $p \leq \frac{1}{k^2}$.

**13.** وراء $2\sigma$: على الأكثر $\frac14 = 25\,\%$ من أي سلسلة كانت؛ ووراء $3\sigma$: على الأكثر $\frac19 \approx 11\,\%$. وفي معطيات السؤال 1: ما وراء $2\sigma = 4$ عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $5$ يعني $\leq 1$ أو $\geq 9$: ولا قيمة من القيم الخمس — $0\,\% \leq 25\,\%$، كما وُعد.

**14.** الخروج عن $\intcc{49.7}{50.3}$ يعني ما وراء $3\sigma$: أي على الأكثر $\frac19$ من الإنتاج، *مهما* كان شكل التوزيع — فمتراجحة تشيبيشيف لا تطلب سوى [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) و $\sigma$. أما الإنتاج ذو الشكل الجرسي فيتركز أفضل بكثير (نحو $0.3\,\%$ وراء $3\sigma$): وذلك هو القانون الطبيعي، في السنة المقبلة.

**15.** تقع $-19\,\%$ على بعد $24$ نقطة تحت [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $5$. الصندوق B: $24 = 2\sigma_B$: فتسمح متراجحة تشيبيشيف بما يصل إلى $\frac14$ من السنوات بهذا السوء. والصندوق A: $24 = 12\sigma_A$: أي على الأكثر $\frac{1}{144}$. [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) نفسه، والأخطار غير قابلة للمقارنة — و $\sigma$ هو ما تسميه المالية *الخطر* (أو التقلب).

**16.** انشر حول $\bar x$: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) +
(\bar x - c)^2$. وبأخذ [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean): يموت الحد الأوسط (لأن مجموع الانحرافات عن [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) معدوم)، فيبقى $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — وهو أصغري بالضبط عند $c = \bar x$، وأصغريته $\sigma^2$. [فالمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) هو مركز المربعات الصغرى، كما أن [الوسيط](#def-g11-stat-median) هو مركز القيم المطلقة الصغرى ([المسألة 8.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#pb-g10-stats-1)).

**17.** مباشرة: الانحرافات عن $6$ هي $-2, 2, 0, -1, -4$، ومربعاتها $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. وبالصيغة: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. فالتوافق حاصل.

**18.** لكليهما [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $7$؛ وأما التباينان: $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$؛ $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: فتبددان مختلفان وراء [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) واحد. ومن أجل $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$: يعطي [التباين](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ أن $a = \sqrt{20} \approx 4.47$: فالسلسلة $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ تحمل [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $P$ وتباينها بالضبط، بملمح مختلف تمامًا — فالملخصات تضغط، والضغط يُفقِد.

**19.** $\sigma^2 = 0$ يعني أن مجموع مربعات $(x_i - \bar x)^2$ ينعدم؛ والمربعات $\geq 0$، فالمجموع المعدوم يفرض انعدام كل حد: أي $x_i = \bar x$ من أجل كل $i$ — فكل القيم متساوية.

**20.** المراكز تقول أين تعيش المعطيات؛ والتبددات تقول بأي سعة؛ [والدرجة المعيارية](#pb-g11-stat-1) تمدّ مسطرة واحدة عبر كل السلاسل والامتحانات والأعمار والعملات؛ ومتراجحة تشيبيشيف تحوّل $\sigma$ إلى ضمانة غير مشروطة؛ والسؤال 18 يبقينا صادقين — فما من حفنة أعداد تحوي الحكاية كلها. وفي السنة المقبلة يشحذ [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجرس المسطرة فتصير احتمالات مضبوطة.