---
title: "الاحتمالات والمتغيرات العشوائية"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables
---

# الفصل 18 — الاحتمالات والمتغيرات العشوائية

تنمذج الاحتمالات التجارب التي تكون نتيجتها غير مؤكدة: رمية نرد، وسحب ورقة لعب، ولعبة تُلعب. ويرسي هذا الفصل المفردات على المجموعات المنتهية، ثم يقدّم البطل المركزي في نظرية الاحتمالات كلها: *[المتغير العشوائي](#def-g11-prob-rv)* و*أمله الرياضي*. وتُراجَع هذه المفاهيم وتُعمَّق في [الفصل 33](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#ch-g12-randvar)، وتليها الاحتمالات الشرطية في [الفصل 32](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#ch-g12-condprob).

## 18.1 الاحتمال على مجموعة منتهية

**تعريف 18.1 (النموذج الاحتمالي).**

تُنمذَج تجربة ذات عدد منته من الإمكانيات بواسطة *مجموعة الإمكانيات* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (وهي مجموعة النتائج الممكنة) مع *[احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution)* $\P$ يرفق بكل إمكانية $\omega_i$ عددًا $p_i \geq 0$، حيث $p_1 + \dots + p_n = 1$. و*الحادثة* هي جزء $A \subseteq \Omega$، و

$$
\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .
$$

وعندما تكون كل الإمكانيات متساوية [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ($p_i = \frac1n$: وهو *نموذج التساوي في الاحتمال*)،

$$
\P(A) = \frac{\text{عدد الإمكانيات في } A}
{\text{عدد الإمكانيات في } \Omega}.
$$

**مثال 18.2.**

ارمِ حجري نرد يمكن تمييزهما: فإن $\Omega$ هي مجموعة الأزواج المرتبة $(i, j)$ البالغ عددها $36$ حيث $1 \leq i, j \leq 6$، وكلها متساوية [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution). [والحادثة](#def-g11-prob-model) $S$ = “المجموع يساوي $7$” تحوي $6$ أزواج، هي $(1,6)$ و $(2,5)$ و $(3,4)$ و $(4,3)$ و $(5,2)$ و $(6,1)$، إذن $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$. أما [الحادثة](#def-g11-prob-model) “المجموع يساوي $12$” فتحوي الزوج $(6,6)$ وحده: فاحتمالها $\frac{1}{36}$. واختيار [مجموعة الإمكانيات](#def-g11-prob-model) *المناسبة* — أزواجًا مرتبة لا غير مرتبة — هو ما يجعل [نموذج التساوي في الاحتمال](#def-g11-prob-model) قابلًا للتطبيق.

**قضية 18.3 (قواعد الاحتمال).**

من أجل حادثتين $A, B \subseteq \Omega$:

$$
\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
$$

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
$$

حيث $\bar A$ هي *[متممة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-operations)* $A$ (أي كل الإمكانيات التي ليست في $A$). وخاصة، يكون $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ عندما تكون $A$ و $B$ *[متنافيتين](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \emptyset$).

**برهان.** لا تحوي [الحادثة](#def-g11-prob-model) الخالية أي إمكانية (فمجموع خالٍ)، أما $\Omega$ فتحويها كلها (فالمجموع الكلي $1$). وكل إمكانية تنتمي إلى واحدة بالضبط من $A$ و $\bar A$، إذن $\P(A) + \P(\bar A) = 1$. وأما [الاتحاد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion): فجمع المقادير $p_i$ على $A$ ثم على $B$ يعدّ إمكانيات $A \cap B$ مرتين؛ وطرح $\P(A \cap B)$ يصحّح هذا العدّ المزدوج. ∎

**مثال 18.4.**

في قسم، يدرس $60\%$ الموسيقى ($M$)، ويمارس $45\%$ رياضة ($S$)، ويجمع $25\%$ بينهما. فنسبة من يفعل واحدًا على الأقل هي $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$، إذن $20\%$ لا يفعلون أيًا منهما ([المتممة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-operations)).

## 18.2 المتغيرات العشوائية

**تعريف 18.5 (المتغير العشوائي وتوزيعه).**

*المتغير العشوائي* على $\Omega$ هو [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $X$ ترفق بكل إمكانية عددًا. و*توزيعه* هو جدول قيمه الممكنة $x_1, \dots, x_k$ مع احتمالاتها

$$
\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr),
\qquad
\sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .
$$

**مثال 18.6.**

لعبة: ادفع $2$ أورو، وارمِ حجر نرد غير مغشوش، وخذ القيمة الظاهرة إن كانت $5$ على الأقل، ولا شيء فيما عدا ذلك. وليكن $G$ هو *الربح* (المقبوض ناقص المدفوع). فالإمكانيات $1, 2, 3, 4$ تعطي $G = -2$؛ والإمكانية $5$ تعطي $G = 3$؛ والإمكانية $6$ تعطي $G = 4$. [وتوزيع](#def-g11-prob-rv) $G$:

| $g$ | $-2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G = g)$ | $\dfrac46$ | $\dfrac16$ | $\dfrac16$ |

**طريقة 18.7 (بناء جدول التوزيع).**

اسرد القيم الممكنة للمتغير $X$؛ ومن أجل كل قيمة، اجمع الإمكانيات التي تنتجها واجمع احتمالاتها؛ ثم تحقق من أن سطر الاحتمالات مجموعه $1$.

## 18.3 الأمل الرياضي

**تعريف 18.8 (الأمل الرياضي).**

*الأمل الرياضي* (أو [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)) للمتغير $X$ هو [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) قيمه مرجَّحة باحتمالاتها:

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .
$$

**ملاحظة 18.9.**

$\E(X)$ هو ما سيكون عليه [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) عدد ضخم من التكرارات المستقلة للتجربة — والصياغة الدقيقة لهذه العبارة هي قانون الأعداد الكبيرة، المبرهَن عليه في [الفصل 34](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers#ch-g12-sums). ولاحِظ التشابه الشكلي مع [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) [سلسلة إحصائية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) بالتواترات ([التعريف 17.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean)): فالاحتمالات تلعب دور التواترات النسبية $\frac{n_i}{n}$.

**مثال 18.10.**

من أجل لعبة [المثال 18.6](#ex-g11-prob-game):

$$
\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4
= \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .
$$

فاللاعب يخسر وسطيًا نحو $17$ سنتًا في كل لعبة: فاللعبة غير مواتية. وتُسمّى اللعبة *عادلة* عندما يكون الربح المأمول $0$.

**قضية 18.11 (الخطية).**

من أجل كل عددين حقيقيين $a, b$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .
$$

**برهان.** يأخذ المتغير $aX + b$ القيمة $a x_i + b$ [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\P(X = x_i)$، إذن

$$
\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b)
= a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X =
x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .
$$

∎

## 18.4 التباين والانحراف المعياري

**تعريف 18.12 (التباين).**

يقيس *تباين* المتغير $X$ تبدد قيمه حول [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) $m = \E(X)$:

$$
\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr)
= \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**قضية 18.13 (الصيغة المختصرة).**

$$
\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

**برهان.** انشر $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ داخل المجموع:

$$
\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2
- 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i)
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,
$$

وهذا هو $\E(X^2) - m^2$. وهذه هي صيغة المتغيرات العشوائية للمتطابقة المبرهَن عليها من أجل السلاسل في [القضية 17.7](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#prop-g11-stat-shortcut). ∎

**قضية 18.14 (التحويل التآلفي).**

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ و $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$.

**برهان.** حسب الخطية، ينحرف $aX + b$ عن أمله الرياضي $a m + b$ بمقدار $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$: فكل انحراف يُضرب في $a$، ومنه كل انحراف مربع يُضرب في $a^2$، وكذلك متوسطها المرجَّح. وقد اختفى الانسحاب $b$ — فانسحاب متغير لا يغيّر تبدده. ∎

**مثال 18.15.**

من أجل لعبة [المثال 18.6](#ex-g11-prob-game): $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16
= \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$، إذن

$$
\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2
= \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad
\sigma(G) \approx 2.6 .
$$

فخسارة $0.17$ في كل لعبة وسطيًا تأتي مع تأرجحات حجمها النموذجي $2.6$ أورو — [فالأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) بلا [انحراف معياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) لا يروي إلا نصف الحكاية.

![توزيع الربح G في ، وأمله الرياضي (G) = -1/6 (بالمتقطع): وهو نقطة توازن الكتل الاحتمالية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-prob/fig-10cbaf11787d.svg)

*[توزيع](#def-g11-prob-rv) الربح $G$ في [المثال 18.6](#ex-g11-prob-game)، وأمله الرياضي $\E(G) = -\frac16$ (بالمتقطع): وهو نقطة توازن الكتل الاحتمالية.*

## 18.5 تمارين

**تمرين 18.1 ★.**

تُسحب ورقة من رزمة عادية فيها $52$ ورقة. احسب [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) سحب: قلبًا؛ ملكًا؛ قلبًا أو ملكًا؛ لا قلبًا ولا ملكًا.

**حل التمرين 18.1.**

[نموذج التساوي في الاحتمال](#def-g11-prob-model) على $52$ ورقة. القلوب: $\frac{13}{52} = \frac14$. الملوك: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. قلب أو ملك: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (فملك القلوب يُعدّ مرة واحدة). ولا هذا ولا ذاك: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.

**تمرين 18.2 ★.**

يُرمى حجرا نرد غير مغشوشين ويُسجَّل مجموعهما $S$. وباستعمال نموذج $36$ إمكانية في [المثال 18.2](#ex-g11-prob-twodice)، احسب $\P(S = 6)$ و $\P(S \geq 10)$ و $\P(S \text{ زوجي})$.

**حل التمرين 18.2.**

$S = 6$: الأزواج $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$، إذن $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$.

$S \geq 10$: ثلاثة أزواج من أجل $10$، واثنان من أجل $11$، وواحد من أجل $12$: $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$.

$S$ زوجي: المجاميع $2, 4, 6, 8, 10, 12$ لها $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ زوجًا: [فالاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{36} = \frac12$.

**تمرين 18.3 ★.**

[متغير عشوائي](#def-g11-prob-rv) [توزيعه](#def-g11-prob-rv)

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(X=x)$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.4$ | $p$ |

أوجد $p$، ثم احسب $\E(X)$.

**حل التمرين 18.3.**

مجموع الاحتمالات $1$: $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$. ثم

$$
\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5
= -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .
$$

**تمرين 18.4 ★.**

يحقق $X$ العلاقتين $\E(X) = 3$ و $\V(X) = 4$. أعطِ [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) [والتباين](#def-g11-prob-variance) [والانحراف المعياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) للمتغير $Y = 2X - 5$.

**حل التمرين 18.4.**

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$؛ $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$؛ $\sigma(Y) = 4$.

**تمرين 18.5 ★★.**

عجلة حظ فيها $10$ قطاعات متساوية: $5$ منها تُظهر $0$ أورو، و $3$ تُظهر $2$ أورو، و $2$ تُظهر $5$ أورو. وتكلفة اللعب $2$ أورو. أعطِ [توزيع](#def-g11-prob-rv) الربح $G$ (المكسب ناقص الرهان)، واحسب $\E(G)$، ثم قرّر هل اللعبة مواتية.

**حل التمرين 18.5.**

المكاسب هي $0$ و $2$ و $5$ أورو باحتمالات $0.5$ و $0.3$ و $0.2$؛ وبطرح الرهان البالغ $2$ أورو، يأخذ $G$ القيم $-2, 0, 3$:

| $g$ | $-2$ | $0$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $0.5$ | $0.3$ | $0.2$ |

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$: فاللاعب يخسر $40$ سنتًا في اللعبة الواحدة وسطيًا — أي لعبة غير مواتية.

**تمرين 18.6 ★★.**

كيس فيه $3$ كرات حمراء و $2$ زرقاء؛ وتُسحب كرتان *بدون* إرجاع. وليكن $X$ عدد الكرات الحمراء المسحوبة. ابنِ [توزيع](#def-g11-prob-rv) $X$ (بسرد $20$ سحبة مرتبة، أو باستعمال [شجرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#met-g10-proba-tree))، ثم احسب $\E(X)$.

**حل التمرين 18.6.**

بالسحب المرتب: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (حمراء ثم حمراء)؛ و $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (زرقاء ثم زرقاء)؛ ومنه $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$. ثم

$$
\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10}
= \frac{12}{10} = 1.2 ,
$$

وهذا متسق مع الحدس: إذ $\frac35$ من السحبتين حمراء وسطيًا.

**تمرين 18.7 ★★.**

من أجل عجلة [التمرين 18.5](#exo-g11-prob-5)، احسب $\V(G)$ و $\sigma(G)$.

**حل التمرين 18.7.**

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$، إذن حسب الصيغة المختصرة $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ و $\sigma(G) \approx 1.9$ أورو.

**تمرين 18.8 ★★.**

تبيع شركة تأمين عقدًا بمبلغ $80$ أورو. وباحتمال $0.05$ يطالب الزبون بمبلغ $1000$ أورو، وباحتمال $0.01$ يطالب الزبون بمبلغ $5000$ أورو، ولا شيء فيما عدا ذلك. وليكن $B$ ربح الشركة من عقد واحد. أعطِ [توزيع](#def-g11-prob-rv) $B$، واحسب $\E(B)$، ثم فسّر.

**حل التمرين 18.8.**

الربح هو $80$ ناقص المطالبة:

| $b$ | $80$ | $-920$ | $-4920$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(B=b)$ | $0.94$ | $0.05$ | $0.01$ |

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$: فبهذا السعر *تخسر* الشركة $20$ أورو من كل عقد وسطيًا. فالقسط أدنى مما تقتضيه الأخطار المغطاة (وكان عليه أن يتجاوز $100$ أورو ليكون الربح المأمول موجبًا).

**تمرين 18.9 ★★.**

سؤال متعدد الخيارات له $4$ أجوبة، واحد منها صحيح. والجواب الصحيح يُعطي $+1$؛ وللتثبيط عن التخمين، يُعطي الجواب الخاطئ $x < 0$. ويجيب تلميذ عشوائيًا. فمن أجل أي قيمة للعدد $x$ يكون أمل نتيجة التلميذ معدومًا؟

**حل التمرين 18.9.**

النتيجة العشوائية هي $+1$ [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ و $x$ [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac34$:

$$
\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .
$$

ومع العقوبة $-\frac13$، لا يجلب التخمين العشوائي شيئًا وسطيًا.

**تمرين 18.10 ★★.**

تُرمى قطعتا نقد غير مغشوشتين. وتقترح آن: “إذا تطابقت القطعتان، أدفع لك $1$ أورو؛ وإذا اختلفتا، تدفع لي $1$ أورو.” احسب الربح المأمول لكل لاعب. فهل اللعبة عادلة؟ والسؤال نفسه بثلاث قطع، حيث تدفع آن $2$ أورو إذا تطابقت الثلاث.

**حل التمرين 18.10.**

قطعتان: تتطابقان (صورة صورة أو ظهر ظهر) [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac24 \times 2 =
\frac12$. وربح اللاعب هو $+1$ أو $-1$ باحتمالين متساويين: [فالأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) $0$ لكلا اللاعبين — إذن اللعبة عادلة.

ثلاث قطع: تتطابق كلها (ثلاث صور أو ثلاثة أظهر) [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac{2}{8} =
\frac14$. ويقبض اللاعب $2$ [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ ويدفع $1$ [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac34$: $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$. فاللعبة تحابي آن بمقدار $25$ سنتًا في الجولة؛ وكانت ستصير عادلة لو دفعت $3$ أورو عند التطابق الثلاثي.

**تمرين 18.11 ★★★.**

يانصيب يبيع $1000$ تذكرة بسعر $5$ أورو للواحدة. وتربح تذكرة واحدة $2000$ أورو، وتربح خمس تذاكر $200$ أورو، وتربح عشرون تذكرة $25$ أورو.

1. أعطِ [توزيع](#def-g11-prob-rv) مدخول المنظّم الإجمالي ناقص الجوائز، [وتوزيع](#def-g11-prob-rv) ربح لاعب واحد $G$ .
2. احسب $\E(G)$ وإجمالي الربح المأمول للمنظّم. وتحقق من اتساق الجوابين.

**حل التمرين 18.11.**

*1.* يقبض المنظّم $1000 \times 5 = 5000$ أورو ويدفع $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ أورو في المجموع: فربحه هو المقدار *الثابت* $1500$ (ولا عشوائية فيه متى بيعت كل التذاكر). وأما ربح لاعب واحد $G$ (الجائزة ناقص التذكرة البالغة $5$ أورو):

| $g$ | $1995$ | $195$ | $20$ | $-5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $\dfrac{1}{1000}$ | $\dfrac{5}{1000}$ | $\dfrac{20}{1000}$ | $\dfrac{974}{1000}$ |

*2.*

$$
\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000}
= \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .
$$

فكل لاعب يتوقع أن يخسر $1.50$ أورو؛ وعلى $1000$ لاعب يكون ذلك $1500$ أورو — وهو ربح المنظّم بالضبط. فالدفاتر متوازنة: إذ ما يخسره اللاعبون وسطيًا هو بالضبط ما يجمعه المنظّم.

## 18.6 مسألة: اللعبة التي لم تُكمَل

**مسألة 18.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — باسكال وفيرما والقسمة العادلة لرهان مقطوع: مولد الأمل الرياضي، وسحر الخطية، وما لا يراه الأمل الرياضي

في سنة 1654 طرح الفارس دو ميري — وهو المقامر نفسه الذي فتحت رهاناته على النرد المسألة الاحتمالية في الكتاب السابق — على بليز باسكال سؤالًا أعمق: لاعبان متساويا المهارة يجب أن يوقفا سلسلتهما عند النتيجة $5$ إلى $3$، وستة انتصارات تأخذ الرهان البالغ $64$ بستولًا. *فكيف يُقسَم الرهان قسمة عادلة؟* والرسائل المتبادلة بين باسكال وفيرما جوابًا عنه أسّست المفهوم الذي هو قلب هذا الفصل: [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) ([التعريف 18.8](#def-g11-prob-expectation)). وستعيد استخراج جوابهما بالطريقتين، ثم تلقى حيلة الخطية البارعة وبقعة [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) العمياء الوحيدة.

**الجزء الأول — التمكّن من [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation).**

1. ارمِ حجر نرد غير مغشوش؛ وربحك هو (الوجه $- 3$ ) أورو. ابنِ جدول [توزيع](#def-g11-prob-rv) الربح $G$ ( [الطريقة 18.7](#met-g11-prob-table) ) واحسب $\E(G)$ .
2. احسب $V(G)$ بالصيغة المختصرة ( [القضية 18.13](#prop-g11-prob-konig) ) ثم $\sigma(G)$ (برقمين عشريين).
3. بلا أي جدول جديد، أعطِ $\E(2G - 1)$ و $V(2G - 1)$ ( [القضية 18.14](#prop-g11-prob-affine) ).
4. كشك يتقاضى $m$ أورو مقابل رمي حجري نرد ويدفع لك المجموع بالأورو. فما السعر *العادل* $m$ ؟ والكشك يتقاضى $8$ : فما خسارتك المأمولة في اللعبة الواحدة؟
5. حاسوب محمول قيمته $800$ أورو له [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $5\,\%$ في التلف كل سنة. احسب قسط التأمين العادل، وربح المؤمِّن المأمول من العقد الواحد إذا تقاضى $60$ أورو.

**الجزء الثاني — قسمة الرهان.** النتيجة $5$–$3$، والأول الذي يبلغ $6$ يربح الرهان البالغ $64$ بستولًا، والجولات رميات نقد عادلة.

6. جوابان خاطئان مغريان: القسمة $5 : 3$ (بالتناسب مع الجولات المربوحة)، أو إعطاء كل شيء للمتصدر. قل في جملة واحدة لكل منهما ما وجه الظلم فيه.
7. طريقة فيرما: يحتاج اللاعب A إلى انتصار $1$ إضافي، ويحتاج B إلى $3$ ؛ فتخيّل أنهما يلعبان $3$ جولات إضافية بالضبط مهما كان. اسرد $8$ إمكانيات متساوية [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ، وحدّد من يربح السلسلة في كل منها، واستنتج القسمة العادلة للرهان البالغ $64$ بستولًا.
8. النقطة الدقيقة التي كان على فيرما الدفاع عنها: قد تتوقف اللعبة الحقيقية بعد جولة واحدة — فلماذا يكون مشروعًا مع ذلك أن نستدل على $3$ جولات خيالية كاملة؟
9. طريقة باسكال، بالرجوع من النهاية: احسب حصة A العادلة عند النتائج (الافتراضية) $5$ – $5$ ، ثم $5$ – $4$ ، ثم $5$ – $3$ ، وفي كل مرة بأخذ [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) المستقبلين المتساويي [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) . وقارن بالسؤال 7.
10. السؤال نفسه عند النتيجة $4$ – $3$ : كم جولة خيالية، وأي الإمكانيات تعطي B السلسلة، وما هي القسمة العادلة؟
11. صُغ المبدأ المشترك بين الطريقتين — القيمة العادلة لمستقبل غير مؤكد هي *أمله الرياضي* — وسمِّ صناعتين حديثتين تقومان عليه بالكامل (السؤال 5 يبيّن إحداهما).
12. تحقق من السلامة من أجل كل نتيجة: فسّر، بخطية [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) ( [القضية 18.11](#prop-g11-prob-linearity) )، لماذا يجب أن يكون مجموع حصتي اللاعبين العادلتين دائمًا هو الرهان البالغ $64$ بستولًا بالضبط.

**الجزء الثالث — حيلة الخطية البارعة.**

13. استعد $\E(\text{مجموع حجري نرد}) = 7$ في سطر واحد بالخطية ( [القضية 18.11](#prop-g11-prob-linearity) )، بلا جدول من $36$ خانة. أما *[تباين](#def-g11-prob-variance)* المجموع، فالقاعدة $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ تقتضي استقلال حجري النرد (وهو مقبول): فاحسبه.
14. حفلة القبعات: يرمي $n$ ضيفًا قبعاتهم في كومة ويأخذ كل منهم واحدة عشوائيًا. وليكن $X$ عدد الضيوف الذين يستعيدون قبعتهم. فمن أجل ضيف واحد ثابت، ما [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) أن يستعيد قبعته هو؟ وبجمع هذه الفرص، وعددها $n$ ، (بالخطية!) احسب $\E(X)$ . ويجب أن يفاجئك الجواب: فهو لا يتعلق بالعدد $n$ .
15. تحقق من $\E(X) = 1$ بالقوة الغاشمة من أجل $n = 2$ و $n = 3$ (اسرد توزيعات القبعات المتساوية [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ، وعددها $2$ ثم $6$ ، وخذ [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الأعداد).
16. استعادات الضيوف بعيدة كل البعد عن الاستقلال (فإذا استعاد $n - 1$ ضيفًا قبعاتهم، فلا بد أن يستعيد الأخير قبعته أيضًا). فأين بالضبط *لم* يقتضِ حساب السؤال 14 الاستقلال؟ صُغ القوة الخارقة للخطية.

**الجزء الرابع — ما لا يراه [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation).**

17. بطاقتا حظ ثمن كل منهما $5$ أورو: البطاقة A تربح $10$ أورو [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac12$ ؛ والبطاقة B تربح $1\,000$ أورو [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.005$ . تحقق من أن للربحين [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) نفسه، ثم احسب التباينين. فأي بطاقة يشتريها الناس فعلًا، وماذا يشترون؟
18. لعبة سان بطرسبورغ: ارمِ قطعة نقد حتى أول ظهر؛ فإذا ظهر أول ظهر في الرمية $n$ تقبض $2^n$ أورو. احسب إسهام كل $n$ في [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) ، ثم [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) نفسه. فهل تدفع $1\,000$ أورو للعب مرة واحدة؟ وماذا يعلّمنا هذا التصادم عن [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) ؟
19. التأمين من جهة الزبون: أن تدفع $20$ أورو، أو أن تواجه خطرًا قدره $1\,\%$ في خسارة $1\,000$ ؟ قارن بين الأملين الرياضيين، وفسّر لماذا يبقى شراء التأمين عقلانيًا (فما الذي لا تستطيع أسرة واحدة أن “تأخذ متوسطه”)؟
20. الخاتمة — سيرة [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) ، جملة واحدة لكل فصل منها: وُلد سنة 1654 ليقسم رهانًا؛ وقوته الخارقة، الخطية، التي تجمع الآمال الرياضية دون أن تسأل عن الاستقلال (القبعات)؛ وبقعته العمياء، الخطر، الذي يقيسه [التباين](#def-g11-prob-variance) (البطاقات، وسان بطرسبورغ، والتأمين)؛ وتتويجه في السنة المقبلة، حين يفسّر قانون الأعداد الكبيرة بالضبط لماذا يربح بيت اللعب دائمًا.

**حل المسألة 18.1.**

**1.** يأخذ $G$ القيم $-2, -1, 0, 1, 2, 3$، كل منها [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac16$: $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 +
3}{6} = \frac12$ أورو.

**2.** $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} =
\frac{19}{6}$؛ $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12}
\approx 2.92$؛ $\sigma(G) \approx 1.71$.

**3.** $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$؛ $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$.

**4.** $\E(\text{مجموع}) = 7$: فالسعر العادل $7$ أورو. وعند $8$، تكون الخسارة المأمولة $1$ أورو في اللعبة الواحدة.

**5.** القسط العادل: $0.05 \times 800 = 40$ أورو. وبتقاضي $60$: يكون الربح المأمول $20$ أورو من العقد الواحد.

**6.** القسمة $5:3$ تكافئ *الماضي* — لكن الرهان ملك لمن يربح *المستقبل*، وقد يربح B بعد. وإعطاء كل شيء إلى A يعامل فوزًا محتملًا معاملة المؤكد — ففرصة B الصغيرة تساوي شيئًا.

**7.** الجولات التي تُلعب: $3$؛ والإمكانيات (فوز A/فوز B في كل جولة): AAA و AAB و ABA و ABB و BAA و BAB و BBA و BBB. ولا يأخذ اللاعب B السلسلة إلا بالفوز بالثلاث كلها: أي BBB وحدها. ويربح A السلسلة في $7$ من $8$ حالات: فالقسمة العادلة $64 \times \frac78 = 56$ بستولًا للاعب A و $8$ للاعب B.

**8.** لعب الجولات الزائدة العديمة الجدوى لا يغيّر انتصار أحد: فمتى نالت A فوزها السادس، صارت الجولات اللاحقة مراسم. لكن تثبيت الأفق عند $3$ جولات بالضبط يجعل الإمكانيات $8$ كلها متساوية [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) — فالعدّ الأمين يحتاج إلى حكايات متساوية الطول، وحشوها لا يكلّف شيئًا.

**9.** عند $5$–$5$: جولة [فاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) واحدة، أي $32$ لكل منهما. وعند $5$–$4$: تنال A $\frac{64 + 32}{2} = 48$. وعند $5$–$3$: تقود الجولة التالية إلى $64$ (إذا ربحتها A) أو إلى الوضع $5$–$4$ الذي يساوي $48$: فحصة A $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — أي $56 : 8$ عند فيرما، مستخرجة من جديد بالسير إلى الوراء.

**10.** تحتاج A إلى $2$، ويحتاج B إلى $3$: فتُلعب $4$ جولات خيالية ($16$ إمكانية). ويأخذ B السلسلة عند $3$ أو $4$ انتصارات: أي $4 + 1 = 5$ إمكانيات. والقسمة: $B$: $64 \times \frac{5}{16} = 20$؛ $A$: $44$.

**11.** القيمة الحالية العادلة لمردود مستقبلي غير مؤكد هي أمله الرياضي — أي [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) ما قد يأتي مرجَّحًا بالاحتمالات. والتأمين (السؤال 5) والمالية (تسعير المردودات غير المؤكدة) هما هذه الجملة وقد صارت صناعتين؛ وكذلك دور القمار، من الجهة الأخرى من الطاولة.

**12.** ينتهي الرهان دائمًا في مكان ما: فالحصتان متغيران عشوائيان مجموعهما الثابت $64$، إذن بالخطية $\E_A + \E_B = 64$ — فالحصص العادلة تستنفد الرهان، عند كل نتيجة.

**13.** بالخطية: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$، بلا جدول — وهذا صحيح حتى لو كان حجرا النرد ملتصقين. [وتباين](#def-g11-prob-variance) حجر واحد: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$؛ ومن أجل حجرين مستقلين $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

**14.** يستعيد كل ضيف ثابت قبعته [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ (فقبعته واحدة من بين $n$). وبالجمع على الضيوف $n$: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — أي ضيف محظوظ واحد وسطيًا، سواء أكانت في الحفلة قبعتان أم ألفان.

**15.** $n = 2$: التوزيعان: كلاهما صحيح ($X = 2$) أو متبادلان ($X = 0$): أي $\E = 1$. و $n = 3$: تعطي التوزيعات الستة $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$: $\E = \frac{6}{6} = 1$.

**16.** جمع الحساب الآمال الرياضية للمؤشرات $n$ [الفردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) (“الضيف $i$ نال قبعته”)، و الخطية تجمع الآمال الرياضية *بلا شروط* — فالتبعية تخرّب جداءً أو تباينًا، لكنها لا تخرّب أبدًا مجموع آمال رياضية. تلك هي القوة الخارقة للخطية: فلا تُسأل أسئلة عن الاستقلال.

**17.** الربحان: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ و $0.005 \times 1000 - 5 = 0$. والتباينان (للربح): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$؛ B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$: أي $\sigma_A = 5$، و $\sigma_B \approx 70.5$. والناس يشترون B: فما يشترونه ليس [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) (المعدوم في كليهما) بل *التبدد* — أي فرصة صغيرة في ذيل أيمن يغيّر الحياة.

**18.** أول ظهر عند الرمية $n$ احتماله $2^{-n}$ ويدفع $2^n$: فكل $n$ يسهم بمقدار $2^{-n} \times 2^n = 1$ في [الأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation)، الذي يساوي إذن $1 + 1 + 1 + \dots$: أي لا نهائي. ومع ذلك لا يدفع عاقل $1\,000$ للعب مرة واحدة: فباحتمال $\frac{15}{16}$ يكون المدفوع $16$ على الأكثر. [فالأمل الرياضي](#def-g11-prob-expectation) يلخّص [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل للرهانات *القابلة للتكرار*؛ أما لعبة مرة واحدة في العمر ذات ذيل جامح فلا يسعّرها متوسطها.

**19.** الأملان الرياضيان: التأمين $-20$؛ والمواجهة عاريًا $-0.01 \times 1000 = -10$. فالاستراتيجية العارية تربح وسطيًا — لمن يقدر على امتصاص الخسارة وتكرار الرهان مرات كثيرة. أما الأسرة التي لا تنجو من $-1\,000$ فليست في تجارة المتوسطات: فهي تدفع $10$ زيادة لتمحو [التباين](#def-g11-prob-variance). المؤمّنون يأخذون المتوسطات؛ والأسر تشتري اليقين.

**20.** وُلد وهو يقسم رهانًا بين مقامرين نافدَي الصبر؛ ومكّنته الخطية، التي تجمع الآمال دون أن تستأذن التبعية؛ وهو أعمى عن الخطر، الذي على [التباين](#def-g11-prob-variance) — في اليانصيبات، ولعبة بطرسبورغ، وعقد الأسرة — أن يقيسه بدلًا منه؛ ويتوّجه في السنة المقبلة قانون الأعداد الكبيرة، الذي يفسّر لماذا تحصّل المتوسطات دائمًا، في نهاية المطاف.