--- title: "الجبر: المعادلات والمتراجحات" book: "رياضيات المرحلة الثانوية" subject: math language: ar chapter: 2 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities --- # الفصل 2 — الجبر: المعادلات والمتراجحات الجبر فن الحساب بالحروف. يراجع هذا الفصل الحركتين الأساسيتين — [النشر](#def-g10-algebra-expand) [والتحليل إلى عوامل](#def-g10-algebra-expand) — ويصقلهما، ثم يستعملهما في حل المعادلات والمتراجحات على نحو منهجي، [وجدول الإشارة](#def-g10-algebra-signtable) هو الأداة المركزية فيه. ## 2.1 النشر والتحليل إلى عوامل **تعريف 2.1 (النشر والتحليل إلى عوامل).** *نشرُ* عبارةٍ هو تحويل الجداءات إلى مجاميع؛ و*تحليلُها إلى عوامل* هو العكس، أي تحويل المجموع إلى جداء. والقاعدة الأساسية هي التوزيعية: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **مثال 2.2.** انشر $(2x + 3)(x - 5)$ خطوة خطوة: $$ \begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*} $$ **مبرهنة 2.3 (المتطابقات الشهيرة).** من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 . $$ **برهان.** كل واحدة منها [نشر](#def-g10-algebra-expand) مباشر. فمن أجل الأولى: $$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 . $$ وتنتج الثانية بتعويض $-b$ عن $b$: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. ومن أجل الثالثة: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. ∎ ![لماذا (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: مربع طول ضلعه a + b ينقسم إلى مربع ضلعه a، ومربع ضلعه b، ومستطيلين بعداهما a × b.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg) *لماذا $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: مربع طول ضلعه $a + b$ ينقسم إلى مربع ضلعه $a$، ومربع ضلعه $b$، ومستطيلين بعداهما $a \times b$.* **مثال 2.4.** مستعملة طردًا (نشرًا) وعكسًا (تحليلًا إلى عوامل): $$ \begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*} $$ والحساب الذهني يستفيد منها أيضًا: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$. **طريقة 2.5 (تحليل عبارة إلى عوامل).** جرّب، بهذا الترتيب: 1. *العامل المشترك:* ابحث عن عامل موجود في كل الحدود وأخرجه، مثلًا $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . وقد يكون العامل المشترك قوسًا كاملًا: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ . 2. *المتطابقة الشهيرة:* تعرّف على $a^2 - b^2$ ، أو على $a^2 \pm 2ab + b^2$ ، مثلًا $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ . 3. ازدواج الطريقتين، وتحقق من النتيجة بنشرها من جديد. **مثال 2.6.** حلّل $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ إلى عوامل. إنه فرق مربعين $a^2 - b^2$ حيث $a = 2x+1$ و $b = x-3$: $$ \begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*} $$ انتبه إلى القوس الثاني: طرح $x - 3$ يعني طرح $x$ *وإضافة* $3$. ## 2.2 المعادلات **تعريف 2.7 (المعادلة، الحل).** *المعادلة* مساواة تحوي عددًا مجهولًا $x$؛ و*الحل* قيمة للمجهول $x$ تجعل المساواة صحيحة. وحل المعادلة هو إيجاد *كل* حلولها. تكون معادلتان *متكافئتين* إذا كان لهما المجموعة نفسها من الحلول. وإضافة العدد نفسه إلى الطرفين، أو ضرب الطرفين في العدد *غير المعدوم* نفسه، تعطي [معادلة](#def-g10-algebra-equation) مكافئة. **مثال 2.8 (معادلة من الدرجة الأولى).** حل $5x - 7 = 2x + 8$، حركةً حركةً: $$ \begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(نضيف $7 - 2x$ إلى الطرفين)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(نقسم الطرفين على $3$).} \end{align*} $$ الحل الوحيد هو $5$. تحقق: $5 \times 5 - 7 = 18$ و $2 \times 5 + 8 = 18$. **مبرهنة 2.9 (قاعدة الجداء المعدوم).** يكون جداء عددين حقيقيين معدومًا إذا وفقط إذا كان أحد عامليه على الأقل معدومًا: $$ A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ أو } \ B = 0 . $$ **برهان.** إذا كان $A = 0$ أو $B = 0$، فالجداء $0$ بداهةً. وبالعكس، لنفترض أن $AB = 0$ و $A \neq 0$. بقسمة الطرفين على $A$ نجد $B = 0$. ∎ **طريقة 2.10 (الحل بالتحليل إلى عوامل).** لحل [معادلة](#def-g10-algebra-equation) طرفها الأيمن $0$ ويمكن تحليل طرفها الأيسر إلى عوامل: 1. انقل كل شيء إلى اليسار حتى تصير [المعادلة](#def-g10-algebra-equation) $E = 0$ ؛ 2. حلّل $E$ إلى جداء عوامل من الدرجة الأولى؛ 3. طبّق قاعدة الجداء المعدوم وحل كل [معادلة](#def-g10-algebra-equation) صغيرة؛ 4. اجمع كل الحلول التي وجدتها. **مثال 2.11.** حل $(x - 2)(3x + 6) = 0$: إما $x - 2 = 0$ فيكون $x = 2$، وإما $3x + 6 = 0$ فيكون $x = -2$. الحلول: $-2$ و $2$. حل $x^2 = 9x$. *لا* تقسم على $x$ (فقد يكون معدومًا!)؛ انقل كل شيء إلى طرف واحد وحلّل إلى عوامل: $$ x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ أو } \ x = 9 . $$ **مثال 2.12 (معادلة ذات خارج قسمة).** حل $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$. يكون الخارج معدومًا بالضبط عندما يكون بسطه معدومًا *ومقامه* غير معدوم. هنا $x - 1 = 0$ يعطي $x = 1$، و $1 + 2 = 3 \neq 0$: فالحل الوحيد هو $1$. أما القيمة $x = -2$ فهي *ممنوعة* (قسمة على صفر) ويجب استبعادها دائمًا في البداية. ## 2.3 المتراجحات وجداول الإشارة **قضية 2.13 (قواعد المتراجحات).** ليكن $a \leq b$. 1. من أجل أي $c$ : $a + c \leq b + c$ (الإضافة تحفظ الترتيب). 2. إذا كان $c > 0$ : $ac \leq bc$ (الضرب في عدد موجب يحفظ الترتيب). 3. إذا كان $c < 0$ : $ac \geq bc$ (الضرب في عدد سالب *يقلب* الترتيب). **برهان.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$. 2. $bc - ac = (b-a)c$ جداء عددين غير سالبين، إذن $bc \geq ac$. 3. وهنا يكون $(b-a)c \leq 0$ لأنه جداء عدد غير سالب في عدد سالب، إذن $bc \leq ac$. ∎ **مثال 2.14.** حل $-2x + 3 > 9$: $$ \begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(نطرح 3)} \\ x &< -3 && \text{(نقسم على $-2 < 0$: ينقلب اتجاه المتراجحة).} \end{align*} $$ مجموعة الحلول هي $\intoo{-\infty}{-3}$. **تعريف 2.15 (جدول الإشارة).** *جدول الإشارة* يسجل، في سطر لكل عامل، إشارة ($+$ أو $-$) كل عامل من عوامل عبارة عندما يمسح $x$ المجموعة $\R$، مع $0$ عند كل قيمة ينعدم عندها العامل؛ ويعطي سطر أخير إشارة الجداء، بتطبيق قاعدة الإشارات عمودًا عمودًا. **مثال 2.16.** إشارة $P(x) = (x - 2)(3 - x)$. ينعدم العامل $x - 2$ عند $2$ ويكون موجبًا بعدها؛ وينعدم العامل $3 - x$ عند $3$ ويكون موجبًا قبلها: | $x$ | $-\infty$ | $2$ | | $3$ | $+\infty$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $3 - x$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | إذن $P(x) > 0$ على $\intoo{2}{3}$ بالضبط، و $P(x) \leq 0$ على $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$. ![يؤكد منحنى P(x) = (x-2)(3-x) جدول الإشارة: موجب بين الجذرين 2 و 3، وسالب خارجهما.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg) *يؤكد منحنى $P(x) = (x-2)(3-x)$ [جدول الإشارة](#def-g10-algebra-signtable): موجب بين الجذرين $2$ و $3$، وسالب خارجهما.* **طريقة 2.17 (حل متراجحة بجدول إشارة).** لحل متراجحة مثل $E(x) \geq 0$ أو $E(x) < 0$: 1. انقل كل شيء إلى الطرف الأيسر حتى يصير الطرف الأيمن $0$ (ولا تضرب الطرفين أبدًا في عبارة إشارتها مجهولة)؛ 2. حلّل الطرف الأيسر إلى عوامل، أو وحّد مقاماته إذا كان خارج قسمة؛ 3. ابنِ [جدول الإشارة](#def-g10-algebra-signtable) بسطر لكل عامل (وفي حالة خارج القسمة، علّم القيم الممنوعة بشرطة مزدوجة في السطر الأخير)؛ 4. اقرأ الفترات التي تتحقق فيها الإشارة المطلوبة، متحققًا من إدراج كل طرف أو استبعاده. **مثال 2.18.** حل $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$. ينعدم البسط عند $-1$، وينعدم المقام عند $3$ (قيمة ممنوعة). ويكون الخارج سالبًا حين تكون إشارتاهما مختلفتين، وذلك من أجل $x$ المحصور بين $-1$ و $3$. وبإدراج الطرف الذي ينعدم عنده *البسط* واستبعاد القيمة الممنوعة: مجموعة الحلول هي $\intco{-1}{3}$. ## 2.4 تمارين **تمرين 2.1 ★.** انشر وبسّط: $$ 3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x). $$ **حل التمرين 2.1.** $3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$. $(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$. $(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$. $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$. **تمرين 2.2 ★.** حلّل إلى عوامل: $$ x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 . $$ **حل التمرين 2.2.** $x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (فرق مربعين). $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. $7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (عامل مشترك). $16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$. **تمرين 2.3 ★.** حل: $$ 4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 . $$ (إحداها ليس لها حل — فسّر لماذا.) **حل التمرين 2.3.** $4x + 9 = x - 3$: نجد $3x = -12$، إذن $x = -4$. $\frac{2x-1}{3} = 5$: نجد $2x - 1 = 15$، إذن $x = 8$. $2(x-3) = 2x + 1$ تُنشر إلى $2x - 6 = 2x + 1$، أي $-6 = 1$: وهذا خطأ من أجل كل $x$. لا حل لها — فالطرفان يعرّفان مستقيمين متوازيين لا يلتقيان أبدًا. **تمرين 2.4 ★.** حل مستعملًا قاعدة الجداء المعدوم: $$ (x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 . $$ **حل التمرين 2.4.** $(x+5)(2x-8) = 0$: $x = -5$ أو $x = 4$. $x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$: $x = 4$ أو $x = -4$. $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$: الحل الوحيد $x = -3$. **تمرين 2.5 ★.** حل المتراجحات واكتب مجموعات الحلول على صورة فترات: $$ 3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 . $$ **حل التمرين 2.5.** $3x - 5 \leq 7$: نجد $3x \leq 12$، إذن $x \leq 4$: مجموعة الحلول $\intoc{-\infty}{4}$. $-4x + 1 > 9$: نجد $-4x > 8$، والقسمة على $-4$ تقلب المتراجحة: $x < -2$: مجموعة الحلول $\intoo{-\infty}{-2}$. $2(x-1) \geq 5x + 4$: نجد $2x - 2 \geq 5x + 4$، إذن $-3x \geq 6$، إذن $x \leq -2$: مجموعة الحلول $\intoc{-\infty}{-2}$. **تمرين 2.6 ★★.** حلّل $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ إلى عوامل، ثم حل $E = 0$. **حل التمرين 2.6.** العامل المشترك هو $(x-1)$: $$ E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x). $$ إذن $E = 0$ عندما $x = 1$ أو $x = 8$ (قاعدة الجداء المعدوم). **تمرين 2.7 ★★.** حل $x^2 = 5x$، ثم $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$. (من أجل الثانية، انقل كل شيء إلى اليسار وحلّل فرق المربعين.) **حل التمرين 2.7.** $x^2 = 5x$: نجد $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$، إذن $x = 0$ أو $x = 5$ (ولا تقسم على $x$ أبدًا: فالحل $0$ سيضيع). $(2x+1)^2 = (x-4)^2$: انقل إلى اليسار وحلّل فرق المربعين: $$ (2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5). $$ وبقاعدة الجداء المعدوم: $x = 1$ أو $x = -5$. **تمرين 2.8 ★★.** مستعملًا جدول إشارة، حل $$ (x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 . $$ **حل التمرين 2.8.** $(x+2)(4-x) > 0$: ينعدم العامل $x + 2$ عند $-2$ (ويكون موجبًا بعدها)، وينعدم $4 - x$ عند $4$ (ويكون موجبًا قبلها). ويكون الجداء موجبًا بالضبط عندما يكون العاملان موجبين معًا، أي على $\intoo{-2}{4}$. $\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$: ينعدم البسط عند $3$، وينعدم المقام عند $-1$ (قيمة ممنوعة). [جدول الإشارة](#def-g10-algebra-signtable): يكون الخارج موجبًا عندما يكون للطرفين الإشارة نفسها، أي من أجل $x < -1$ أو $x > 3$؛ وينعدم عند $x = 3$. مجموعة الحلول: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$. **تمرين 2.9 ★★.** تكلّف خدمة بث $9$ في الشهر، مع رسم اشتراك يُدفع مرة واحدة قدره $15$؛ وتكلّف خدمة منافسة $12$ في الشهر دون رسم. بعد كم شهرًا تصير الخدمة الأولى الخيار الأرخص إجمالًا؟ كوّن متراجحة وحلها. **حل التمرين 2.9.** بعد $x$ شهرًا تكلّف الخدمة الأولى $9x + 15$ وتكلّف الثانية $12x$. وتكون الأولى أرخص عندما $$ 9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 . $$ ابتداءً من الشهر $6$ تصير الخدمة الأولى الخيار الأرخص إجمالًا. **تمرين 2.10 ★★.** حل $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$. (اضرب الطرفين في $x - 1$ بعد استبعاد القيمة الممنوعة، أو انقل كل شيء إلى اليسار بمقام مشترك.) **حل التمرين 2.10.** القيمة الممنوعة: $x = 1$. ومن أجل $x \neq 1$، اضرب الطرفين في $x - 1$: $$ x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 . $$ وبما أن $5 \neq 1$، فالحل هو $x = 5$. تحقق: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$. **تمرين 2.11 ★★★.** ليكن $n$ عددًا صحيحًا. بيّن أن $(n + 1)^2 - n^2$ فردي دائمًا، وأن الفرق بين مربعي عددين فرديين متتاليين مضاعف للعدد $8$ دائمًا. **حل التمرين 2.11.** $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$، وهو فردي من أجل كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$. يمكن كتابة عددين فرديين متتاليين على الصورة $2n - 1$ و $2n + 1$. عندئذٍ $$ (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n, $$ وهو مضاعف للعدد $8$. ## 2.5 مسألة: من بابل إلى النسبة الذهبية **مسألة 2.1.** مسألة نهاية الأسبوع — مسائل المجموع والجداء، وإتمام المربع كما رسمه الخوارزمي، والمعادلة $x^2 = x + 1$ قبل أربعة آلاف سنة، كان كتبة بابل يحلون هذه المسألة على الطين: *أوجد عددين تعرف مجموعهما وجداءهما*. وحيلتهم — البحث عن العددين متناظرين حول نصف المجموع — ما زالت تفكّ كل [معادلة](#def-g10-algebra-equation) من الدرجة الثانية اليوم، تحت اسمها الحديث: *إتمام المربع*. تتعلم هذه المسألة الحيلة، وتشاهد الخوارزمي يتم مربعًا بالمعنى الحرفي، وتشغّل الطريقة على أشهر النسب جميعًا. **الجزء الأول — المسألة البابلية.** 1. تحمية ( [المبرهنة 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ): حلّل $x^2 - 10x + 25$ إلى عوامل، ثم $9x^2 - 49$ ، ثم — بمزج متطابقة بفرق مربعين — $x^2 + 6x + 9 - 4$ . 2. حل $(x + 1)(x + 5) = 0$ و $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ ( [المبرهنة 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) ). 3. مسألة الكاتب: عددان مجموعهما $10$ وجداؤهما $21$ . على منوال بابل، اكتبهما $5 - t$ و $5 + t$ (متناظرين حول نصف المجموع) وأوجد $t$ ، ثم العددين. 4. الطريقة نفسها: المجموع $14$ والجداء $33$ . 5. الوصفة العامة: من أجل مجموع $s$ وجداء $p$، بيّن أن العددين هما $$\frac s2 - t \quad\text{و}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{حيث}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ وبيّن الشرط على $s$ و $p$ ليكون للمسألة حل. **الجزء الثاني — إتمام المربع.** 6. انشر $(x - a)(x - b)$ واستنتج: حلول $x^2 - sx + p = 0$ هي بالضبط أزواج الأعداد ذات المجموع $s$ والجداء $p$ . (كان الكتبة يحلون معادلات من الدرجة الثانية دون أن يدروا.) 7. تحقق من أن $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ ، ثم حل $x^2 - 10x + 21 = 0$ بتحليل الطرف الأيمن على صورة فرق مربعين. قارن بالسؤال 3. 8. حل $x^2 + 6x - 7 = 0$ بإتمام المربع. 9. أتمّ المربع في $x^2 + 4x + 5$ ، وفسّر لماذا *ليس* [للمعادلة](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ حل حقيقي. وبيّن المحك العام: متى تنعدم عبارة من الدرجة الثانية بعد كتابتها على الصورة $(x + h)^2 + k$ ؟ 10. الاسم حرفي. في بغداد القرن التاسع، رسم الخوارزمي $x^2 + 6x = 7$ مربعًا ضلعه $x$ ألصق بضلعين منه مستطيلين بعداهما $3 \times x$ ، ثم *أتمّ المربع* بالزاوية الناقصة $3 \times 3$ . ارسم الشكل وفسّر كيف يحوّل [المعادلة](#def-g10-algebra-equation) إلى $(x + 3)^2 = 16$ — ثم حل. **الجزء الثالث — الإشارات والجداول ووعدان قديمان.** 11. ابنِ جدول إشارة $(x - 3)(x + 2)$ ( [التعريف 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) وحل $(x - 3)(x + 2) < 0$ . 12. حل $x^2 \leq 10x - 21$ (انقل كل شيء إلى طرف واحد وأعد استعمال السؤال 7). 13. حل $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ بجدول إشارة، منتبهًا إلى القيمة الممنوعة. 14. وعد قديم يُوفى: بالنسبة إلى فلّاح مسألة سياج الملكة ديدو في الكتاب السابق، ومعه $20$ م من السياج، فإن مساحة حظيرة بعداها $x \times (10 - x)$ تحقق $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ تحقق من المتطابقة، واقرأ فيها *برهانًا* على ما لم يكن ممكنًا من قبل سوى تخمينه: المساحة العظمى، وقيمة $x$ الوحيدة التي تبلغها. 15. ووعد آخر: برهن على أن $x + \dfrac1x \geq 2$ من أجل كل $x > 0$ ، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط. (اضرب في $x$ ، واجمع الحدود، وتعرّف على مربع — إنها متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي في مسألة نهاية الأسبوع عن علاقات إقليدس في الكتاب السابق، في حلة جديدة.) **الجزء الرابع — المقطع الذهبي.** اقطع قطعة طولها $1$ إلى جزء كبير $x$ وجزء صغير $1 - x$ بحيث تكون *نسبة الكل إلى الكبير كنسبة الكبير إلى الصغير*: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$. 16. بيّن أن الشرط يُكتب $x^2 + x - 1 = 0$ . 17. حل بإتمام المربع، واحتفظ بالجذر الذي يصلح طولًا: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ . 18. *النسبة الذهبية* هي $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . اجعل المقام ناطقًا (اضرب البسط والمقام في $\sqrt5 + 1$ ، وهي متطابقة في العمل) وبيّن أن $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ . 19. تحقق *بالضبط* من متطابقتَي $\varphi$ السحريتين: $$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$ 20. الخاتمة: فسّر لماذا $\varphi$ عدد أصمّ (تعطي مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق الواقعة الأساسية عن $\sqrt5$ )، ثم احسب النسب $\frac53$ و $\frac85$ و $\frac{13}{8}$ و $\frac{21}{13}$ بين أعداد هيماشندرا–فيبوناتشي المتتالية (مسألة نهاية الأسبوع عن عدّ الأوزان في الكتاب السابق) بثلاثة أرقام عشرية. ماذا يبدو أنها تطارد؟ (والبرهان على أنها تدركه يخص فصول المتتاليات.) **حل المسألة 2.1.** **1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$؛ $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$؛ $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$. **2.** $x = -1$ أو $x = -5$؛ $x = \frac73$ أو $x = -\frac73$. **3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ يعطي $t^2 = 4$، أي $t = 2$: والعددان هما $3$ و $7$ (المجموع $10$، والجداء $21$: تحقق). **4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: نجد $t = 4$، والعددان $3$ و $11$. **5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ يفرض $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. ويوجد حل بالضبط عندما يكون هذا المقدار $\geq 0$، أي عندما $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — فجداء عددين معلوم مجموعهما لا يمكن أن يتجاوز مربع نصف المجموع (وهذا ما كانت تعرفه مسألة سياج الملكة ديدو في الكتاب السابق). **6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: [فالمعادلة](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ تقول بالضبط “$x$ أحد عددين مجموعهما $s$ وجداؤهما $p$”. **7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$. وبفرق المربعين: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: الحلان $3$ و $7$ — وهما عددا الكاتب في السؤال 3. **8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ يعطي $(x + 3)^2 = 16$، أي $x + 3 = \pm 4$: فيكون $x = 1$ أو $x = -7$. **9.** $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ من أجل كل $x$: فلا حل حقيقي. وعلى الصورة $(x + h)^2 + k$: توجد الحلول بالضبط عندما $k \leq 0$ (وعندئذٍ [للمعادلة](#def-g10-algebra-equation) $(x+h)^2 = -k$ الجذران $-h \pm \sqrt{-k}$)؛ أما عندما $k > 0$ فتبقى العبارة موجبة. **10.** المربع ذو الضلع $x$ (مساحته $x^2$) مع مستطيلين بعداهما $3 \times x$ (مساحتهما $6x$ إجمالًا) يشكّل شكلًا على هيئة حرف سلّم مساحته $x^2 + 6x = 7$؛ والزاوية الناقصة $3 \times 3$ (مساحتها $9$) تتمّ مربعًا كبيرًا ضلعه $x + 3$. وبإضافة $9$ إلى الطرفين: $(x + 3)^2 = 16$، إذن $x + 3 = 4$ (فالأطوال موجبة) و $x = 1$. الجبر والرسم فعل واحد. **11.** $(x-3)(x+2)$: سالب بين الجذرين. فحل $< 0$ هو: $x \in \intoo{-2}{3}$. **12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$، أي $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: بين الجذرين، مع إدراج الطرفين: $x \in \intcc{3}{7}$. **13.** ينعدم عند $x = 1$، ويمنع عند $x = -2$؛ ويكون الخارج موجبًا خارج الجذرين: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$. **14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$: المتطابقة متحققة. وبما أن $(x-5)^2 \geq 0$ دائمًا، فإن $A(x) \leq 25$، مع تحقق المساواة عند $x = 5$ بالضبط: أي الحظيرة المربعة $5 \times 5$، ومساحتها العظمى $25$ م$^2$ — وهو الجدول العددي القديم، وقد صار برهانًا من سطرين. **15.** من أجل $x > 0$، اضرب الادعاء في $x$: $x^2 + 1 \geq 2x$، أي $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — وهذا صحيح، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط. والقسمة من جديد على $x > 0$ تحفظ كل شيء ([القضية 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules)). **16.** بالضرب التبادلي في $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (وكل الأطوال موجبة): $x^2 = 1 - x$، أي $x^2 + x - 1 = 0$. **17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ يعطي $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. والجذر الموجب: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$. **18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$. **19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$، و $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: متساويان. و $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (وهكذا عُرّف $\varphi$). فالنسبة الذهبية هي العدد الذي يضيف مربعُه واحدًا ويطرح مقلوبُه واحدًا. **20.** العدد $\sqrt5$ أصمّ (مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق: فالعدد $5$ ليس مربعًا كاملًا)، وإضافة $1$ ثم التنصيف يحفظان كون العدد أصمّ (عمليات ناطقة، [المسألة 1.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#pb-g10-numbers-1)). النسب: $\frac53 \approx 1.667$ و $\frac85 = 1.600$ و $\frac{13}{8} = 1.625$ و $\frac{21}{13} \approx 1.615$: تعلو وتنخفض بالتناوب، وتضيق حول $\varphi = 1.618\ldots$ — فأعداد الأوزان في مسألة نهاية الأسبوع عن عدّ الأوزان في الكتاب السابق تطارد المقطع الذهبي في الخفاء؛ وفصول المتتاليات ستضبطها متلبسة.