--- title: "المتتاليات" book: "رياضيات المرحلة الثانوية" subject: math language: ar chapter: 20 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences --- # الفصل 20 — المتتاليات [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) قائمة من [الأعداد الحقيقية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) مدلَّلة [بالأعداد الطبيعية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets). وتنمذج المتتاليات التطورات المتقطعة — تعدادات السكان محسوبة سنة بعد سنة، وأرصدة حساب مصرفي، والتقريبات المتعاقبة لعدد ما — ونهاياتها هي أول لقاء جدي مع اللانهاية. ويرسي هذا الفصل المفردات، ومبدأ التراجع، ومبرهنات التقارب الأساسية. ## 20.1 الاستدلال بالتراجع **مبرهنة 20.1 (مبدأ التراجع).** لتكن $P(n)$ عبارة تتعلق [بعدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$، وليكن $n_0 \in \N$. إذا تحقق 1. *(الحالة الابتدائية)* $P(n_0)$ صحيحة، و 2. *(خطوة التراجع)* من أجل كل $n \geq n_0$ ، تستلزم $P(n)$ العبارة $P(n+1)$ ، فإن $P(n)$ صحيحة من أجل كل $n \geq n_0$. **برهان.** لنفترض، بغرض الوصول إلى تناقض، أن مجموعة [الأعداد الصحيحة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $A$ التي $n \geq n_0$ و $P(n)$ خاطئة من أجلها غير خالية. عندئذٍ تملك $A$ عنصرًا أصغريًا $m$.[1](#fn-1) وبما أن $P(n_0)$ صحيحة، فإن $m > n_0$، إذن $m - 1 \geq n_0$ و $m-1 \notin A$، أي إن $P(m-1)$ صحيحة. وعندئذٍ تبيّن خطوة التراجع مطبَّقة على $n = m-1$ أن $P(m)$ صحيحة، وهذا يناقض $m \in A$. ∎ **مثال 20.2.** لنبرهن على *متراجحة برنولي*: من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $a > 0$ وكل $n \in \N$، $$ (1+a)^n \geq 1 + na. $$ *الحالة الابتدائية.* من أجل $n = 0$، يساوي الطرفان $1$. *خطوة التراجع.* لنفترض أن $(1+a)^n \geq 1+na$ من أجل $n \in \N$ ما. وبما أن $1 + a > 0$، فإن ضرب الطرفين في $1+a$ يحافظ على المتراجحة: $$ (1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a . $$ وبالتراجع، تصح المتراجحة من أجل كل $n \in \N$. **طريقة 20.3 (كتابة برهان بالتراجع).** اجعل العبارة $P(n)$ صريحة دائمًا قبل أن تبدأ. وللبرهان الكامل ثلاثة أجزاء ظاهرة: الحالة الابتدائية، وخطوة التراجع (“لنفترض $P(n)$؛ ولنبرهن على $P(n+1)$”)، والخاتمة التي تستدعي مبدأ التراجع. وأشيع الأخطاء هو أن تُبرهن خطوة التراجع دون أن تُستعمل الفرضية $P(n)$ قط: فإن حدث ذلك، فإما أن البرهان خاطئ وإما أن التراجع لم يكن ضروريًا. ## 20.2 مفردات المتتاليات **تعريف 20.4 (المتتالية).** *المتتالية* هي [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $u \colon \N \to \R$ (أو من $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ إلى $\R$). وتُكتب صورة $n$ على الصورة $u_n$، وتُكتب المتتالية نفسها $(u_n)_{n\in\N}$ أو ببساطة $(u_n)$. ويمكن تعريف [متتالية](#def-g12-seq-sequence) *صراحةً*، بصيغة $u_n = f(n)$، أو *بالتراجع*، بحدها الأول وعلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$. **تعريف 20.5 (الرتابة).** تكون [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *متزايدة* إذا كان $u_{n+1} \geq u_n$ من أجل كل $n$، و*[متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* إذا كان $u_{n+1} \leq u_n$ من أجل كل $n$، و*رتيبة* إذا كانت متزايدة أو [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations). وتكون متزايدة (أو [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)) *تمامًا* عندما تكون المتراجحات تامة. **طريقة 20.6 (دراسة رتابة متتالية).** ثلاث تقنيات معيارية: 1. ادرس إشارة $u_{n+1} - u_n$ ؛ 2. إذا كانت كل الحدود موجبة، فقارن $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ بالعدد $1$ ؛ 3. إذا كان $u_n = f(n)$ مع $f$ معرَّفة على $\intco{0}{+\infty}$ ، فاستعمل تغيرات $f$ . **تعريف 20.7 (المتتالية المحدودة).** تكون [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *محدودة من الأعلى* إذا وُجد $M \in \R$ حيث $u_n \leq M$ من أجل كل $n$؛ و*محدودة من الأسفل* إذا وُجد $m \in \R$ حيث $u_n \geq m$ من أجل كل $n$؛ و*محدودة* إذا تحقق الشرطان معًا. ### 20.2.1 المتتاليات الحسابية والهندسية **تعريف 20.8 (المتتاليات الحسابية والهندسية).** تكون [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *حسابية* ذات [أساس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $r$ إذا كان $u_{n+1} = u_n + r$ من أجل كل $n$، و *هندسية* ذات [أساس هندسي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $q$ إذا كان $u_{n+1} = q\,u_n$ من أجل كل $n$. **قضية 20.9 (الصورة الصريحة والمجاميع).** ليكن $n \in \N$. 1. إذا كانت $(u_n)$ [حسابية](#def-g12-seq-arith-geom) ذات [أساس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $r$، فإن $u_n = u_0 + nr$ و $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$$ 2. إذا كانت $(u_n)$ [هندسية](#def-g12-seq-arith-geom) ذات [أساس هندسي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $q \neq 1$، فإن $u_n = u_0\, q^n$ و $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$ **برهان.** تنتج الصور الصريحة بتراجعات مباشرة. وأما المجموع الحسابي، فاكتب $S = u_0 + \dots + u_n$ ثم اجمعه إلى المجموع نفسه مكتوبًا [بالترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) المعكوس: فيساوي كل عمود من الأعمدة $n+1$ المقدار $u_0 + u_n$، إذن $2S = (n+1)(u_0+u_n)$. وأما المجموع الهندسي، فاحسب $S - qS$: فتختصر كل الحدود أزواجًا عدا الأول والأخير، إذن $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$. ∎ ## 20.3 نهاية متتالية **تعريف 20.10 (المتتالية المتقاربة).** *تتقارب* [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ إلى [العدد الحقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $\ell$ إذا كانت كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) مفتوحة تحوي $\ell$ تحوي كل الحدود $u_n$ ابتداءً من دليل ما. ونكتب عندئذٍ $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$. وبصيغة مكافئة: من أجل كل $\varepsilon > 0$، يوجد $N \in \N$ بحيث يكون من أجل كل $n \geq N$، $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$. ![تقارب u_n = 2 + (-1)n/n إلى = 2: فإذا أُعطي > 0، وقعت كل الحدود ابتداءً من الدليل N في الشريط ( - , + ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-8991cce01fa0.svg) *تقارب $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ إلى $\ell = 2$: فإذا أُعطي $\varepsilon > 0$، وقعت كل الحدود ابتداءً من [الدليل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) $N$ في الشريط $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$.* **تعريف 20.11 (التباعد إلى ما لا نهاية).** *تؤول [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ إلى $+\infty$* إذا وُجد، من أجل كل $A \in \R$، عدد $N \in \N$ بحيث يكون $u_n \geq A$ من أجل كل $n \geq N$. ونكتب $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$؛ وتعريف $\lim u_n = -\infty$ نظير له. ويقال عن [متتالية](#def-g12-seq-sequence) لا [تتقارب](#def-g12-seq-limit) إنها *تتباعد*. **ملاحظة 20.12.** يمكن أن تتباعد [متتالية](#def-g12-seq-sequence) دون أن تؤول إلى $\pm\infty$: [فالمتتالية](#def-g12-seq-sequence) $u_n = (-1)^n$ لا تأخذ إلا القيمتين $1$ و $-1$ وليست لها نهاية. **قضية 20.13 (وحدانية النهاية).** إذا تقاربت $(u_n)$، فنهايتها وحيدة. **برهان.** لنفترض أن $u_n \to \ell$ و $u_n \to \ell'$ مع $\ell \neq \ell'$، وليكن مثلًا $\ell < \ell'$. ضع $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$. فابتداءً من دليل ما، يكون $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ و $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$، ومنه $$ \ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell, $$ وهذا تناقض. ∎ **قضية 20.14 (العمليات على النهايات).** لتكن $(u_n)$ و $(v_n)$ متتاليتين نهايتاهما $\ell$ و $\ell'$ (منتهيتين أو لانهائيتين). عندئذٍ، كلما لم يكن الطرف الأيمن صورة غير محددة، $$ \lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}. $$ والصور غير المحددة هي $(+\infty) + (-\infty)$ و $0 \times \infty$ و $\frac{\infty}{\infty}$ و $\frac{0}{0}$. **برهان.** نبرهن على قاعدة المجموع من أجل نهايتين منتهيتين؛ والحالات الأخرى مماثلة وتُترك تمارين. ليكن $\varepsilon > 0$. يوجد $N_1, N_2$ بحيث يكون $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ من أجل $n \geq N_1$ و $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ من أجل $n \geq N_2$. ومن أجل $n \geq \max(N_1, N_2)$، تعطي متراجحة المثلث $$ \abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere $$ ∎ **طريقة 20.15 (رفع صورة غير محددة).** أمام صورة غير محددة، أخرج الحد المهيمن عاملًا مشتركًا. فمثلًا $$ n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 . $$ ## 20.4 مبرهنات التقارب **مبرهنة 20.16 (مبرهنتا المقارنة والحصر).** لتكن $(u_n)$ و $(v_n)$ و $(w_n)$ متتاليات. 1. إذا كان $u_n \leq v_n$ ابتداءً من دليل ما وكان $u_n \to +\infty$ ، فإن $v_n \to +\infty$ . 2. *(مبرهنة الحصر)* إذا كان $u_n \leq v_n \leq w_n$ ابتداءً من دليل ما وتقاربت $(u_n)$ و $(w_n)$ كلتاهما إلى النهاية نفسها $\ell$ ، فإن $(v_n)$ [تتقارب](#def-g12-seq-limit) إلى $\ell$ . **برهان.** *1.* ليكن $A \in \R$. بما أن $u_n \to +\infty$، يوجد $N$ حيث $u_n \geq A$ من أجل $n \geq N$؛ وبتكبير $N$ عند اللزوم، يكون $v_n \geq u_n \geq A$ من أجل $n \geq N$. *2.* ليكن $\varepsilon > 0$. فابتداءً من دليل ما، يتحقق $\ell - \varepsilon \leq u_n$ و $w_n \leq \ell + \varepsilon$ معًا، ومنه $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$، أي $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$. ∎ **مثال 20.17.** من أجل كل $n \geq 1$، يكون $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$، وتؤول الحاصرتان كلتاهما إلى $0$؛ ومنه $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$. **مبرهنة 20.18 (مبرهنة التقارب الرتيب).** كل [متتالية](#def-g12-seq-sequence) [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) [ومحدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded) [تتقارب](#def-g12-seq-limit). وكل [متتالية](#def-g12-seq-sequence) [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [ومحدودة من الأسفل](#def-g12-seq-bounded) [تتقارب](#def-g12-seq-limit). وكل [متتالية](#def-g12-seq-sequence) [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) غير [محدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded) تؤول إلى $+\infty$. **برهان جزئي.** نبرهن على العبارة الثالثة. لتكن $(u_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) وغير [محدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded)، وليكن $A \in \R$. بما أن $A$ ليس حدًا أعلى، يوجد $N$ حيث $u_N \geq A$؛ وبالرتابة، يكون $u_n \geq u_N \geq A$ من أجل كل $n \geq N$. ومنه $u_n \to +\infty$. أما عبارتا التقارب فتعتمدان على خاصية الحد الأعلى الأصغري في $\R$؛ وهما *مقبولتان في هذا المستوى* (ويُبرهن عليهما في السنة الأولى الجامعية). ∎ **ملاحظة 20.19.** تضمن المبرهنة *وجود* النهاية لكنها لا تعطي قيمتها. [فمتتالية](#def-g12-seq-sequence) [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) [ومحدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded) بالعدد $M$ [تتقارب](#def-g12-seq-limit) إلى $\ell \leq M$ ما، وليس بالضرورة إلى $M$. **مبرهنة 20.20 (نهاية المتتاليات الهندسية).** ليكن $q \in \R$. 1. إذا كان $q > 1$ ، فإن $q^n \to +\infty$ . 2. إذا كان $q = 1$ ، فإن $q^n \to 1$ . 3. إذا كان $\abs{q} < 1$ ، فإن $q^n \to 0$ . 4. إذا كان $q \leq -1$ ، فإن $(q^n)$ تتباعد وليست لها نهاية. **برهان.** *1.* اكتب $q = 1 + a$ مع $a > 0$. فمتراجحة برنولي ([المثال 20.2](#ex-g12-seq-bernoulli)) تعطي $q^n \geq 1 + na \to +\infty$، ونستنتج بالمقارنة ([المبرهنة 20.16](#thm-g12-seq-squeeze)). *2.* مباشرة. *3.* إذا كان $q = 0$ فالادعاء واضح. وإلا فإن $\abs{q} < 1$ يعطي $1/\abs{q} > 1$، إذن $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ حسب النقطة 1، ومنه $\abs{q}^n \to 0$، ويسمح $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ بأن نستنتج بمبرهنة الحصر. *4.* من أجل $q \leq -1$، تأخذ $(q^{2n})$ قيمًا $\geq 1$ بينما تأخذ $(q^{2n+1})$ قيمًا $\leq -1$: فلا نهاية وحيدة تجذب المتتاليتين الجزئيتين معًا. ∎ ![سلوكيات (qn) الثلاثة: التباعد إلى +∈fty من أجل q > 1 (بالأحمر)، والتقارب إلى 0 من أجل q < 1 (بالأزرق)، والتذبذب المخمَّد — وهو تقارب إلى 0 أيضًا — من أجل -1 < q < 0 (بالبرتقالي).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-d2621466e91a.svg) *سلوكيات $(q^n)$ الثلاثة: التباعد إلى $+\infty$ من أجل $q > 1$ (بالأحمر)، والتقارب إلى $0$ من أجل $\abs q < 1$ (بالأزرق)، والتذبذب المخمَّد — وهو تقارب إلى $0$ أيضًا — من أجل $-1 < q < 0$ (بالبرتقالي).* **طريقة 20.21 (المتتاليات التراجعية un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)).** لدراسة [متتالية](#def-g12-seq-sequence) معرَّفة بالعلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$: 1. برهن بالتراجع على أن $(u_n)$ تبقى في [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ تكون $f$ حسنة السلوك عليها (وعلى أن $(u_n)$ [رتيبة](#def-g12-seq-monotonic) ، في الغالب)؛ 2. استنتج التقارب من مبرهنة التقارب الرتيب؛ 3. انتقل إلى النهاية في العلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$ : فإذا كانت $f$ متصلة وكان $u_n \to \ell \in I$ ، فإن $\ell$ يحقق $f(\ell) = \ell$ (انظر [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#ch-g12-limcont) )؛ فحل هذه [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) واختر [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) الصحيح. ![إنشاء الدرج من أجل u_n+1 = √u_n + 2 و u_0 = 0 (): فكل خطوة شاقولية تقرأ f(u_n) على المنحنى، وكل خطوة أفقية تعيدها عبر y = x. وتصعد المتتالية إلى النقطة الثابتة = 2، حيث يلتقي المنحنى بالمستقيم.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-fce72bb54caf.svg) *إنشاء الدرج من أجل $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ و $u_0 = 0$ ([التمرين 20.6](#exo-g12-seq-6)): فكل خطوة شاقولية تقرأ $f(u_n)$ على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph)، وكل خطوة أفقية تعيدها عبر $y = x$. وتصعد [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) إلى [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $\ell = 2$، حيث يلتقي [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) بالمستقيم.* **مثال 20.22.** ليكن $u_0 = 2$ و $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. ويُتحقق بالتراجع من أن $u_n \geq \sqrt{2}$ من أجل كل $n$ (فالمتراجحة $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ من أجل $x>0$ تكافئ $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$)، ثم من أن $(u_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)، إذ $$ u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 . $$ وبما أنها [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [ومحدودة من الأسفل](#def-g12-seq-bounded)، فإن $(u_n)$ [تتقارب](#def-g12-seq-limit) إلى $\ell \geq \sqrt{2}$ ما، ولا بد أن يحقق $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$، أي $\ell^2 = 2$. ومنه $u_n \to \sqrt{2}$. وهذه خوارزمية هيرون، وقد استعملها البابليون من قبل؛ وتقاربها سريع جدًا ($u_3$ يعطي $\sqrt 2$ بثمانية أرقام عشرية أصلًا). ## 20.5 تمارين **تمرين 20.1 ★.** برهن بالتراجع على أنه من أجل كل $n \in \N$، $$ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$ **حل التمرين 20.1.** لتكن $P(n)$ العبارة $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. *الحالة الابتدائية:* من أجل $n = 0$ يساوي الطرفان $0$ (مجموع خالٍ). *خطوة التراجع:* لنفترض $P(n)$. عندئذٍ $$ \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}. $$ وبما أن $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$، فهذا هو $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$، أي $P(n+1)$. وبالتراجع، تصح $P(n)$ من أجل كل $n$. **تمرين 20.2 ★.** ادرس رتابة المتتاليتين المعرَّفتين من أجل $n \geq 1$ بالعلاقتين $$ a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n . $$ **حل التمرين 20.2.** $a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$: إذن $(a_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا. وحدود $(b_n)$ موجبة و $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$: إذن $(b_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) (تمامًا من أجل $n \geq 2$). $c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$، وهو سالب من أجل $n \leq 4$ وموجب من أجل $n \geq 5$: فتتناقص $(c_n)$ حتى $c_5 = -25$، وهي قيمتها الصغرى، ثم تتزايد. فهي ليست [رتيبة](#def-g12-seq-monotonic). **تمرين 20.3 ★.** احسب نهايات المتتاليات ذات الحدود العامة $$ u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}. $$ **حل التمرين 20.3.** أخرج الحدود المهيمنة عوامل مشتركة: $$ u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}. $$ اضرب في المرافق: $$ v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0. $$ اقسم البسط والمقام على $3^n$: $$ w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1, $$ باستعمال $\lim q^n = 0$ من أجل $\abs{q} < 1$. **تمرين 20.4 ★.** لتكن $(u_n)$ [المتتالية الحسابية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) حيث $u_0 = 5$ وأساسها $r = 3$، ولتكن $(v_n)$ [المتتالية الهندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) حيث $v_0 = 8$ وأساسها الهندسي $q = \frac{1}{2}$. احسب $u_n$ و $v_n$ و $\sum_{k=0}^{n} u_k$ و $\sum_{k=0}^{n} v_k$، ونهايات العبارات الأربع كلها لما $n \to +\infty$. **حل التمرين 20.4.** $u_n = 5 + 3n \to +\infty$ و $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$. والمجموعان هما $$ \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, $$ $$ \sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 . $$ **تمرين 20.5 ★★.** باستعمال مبرهنة الحصر، احسب $$ \lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{و}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n}, $$ حيث $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. ومن أجل النهاية الثانية، احصر $\frac{n!}{n^n}$ بحد من [متتالية هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric). **حل التمرين 20.5.** بما أن $-1 \leq \cos n \leq 1$، فإن $$ \frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1, $$ و $\frac{n-1}{n+1} \to 1$، إذن النهاية هي $1$ بمبرهنة الحصر. وأما النهاية الثانية، فاكتب $$ 0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n}, $$ لأن كل عامل $\frac{k}{n}$ حيث $2 \leq k \leq n$ لا يتجاوز $1$. وبما أن $\frac1n \to 0$، تعطي مبرهنة الحصر أن $\frac{n!}{n^n} \to 0$. (والحصر الهندسي المقترح يفلح أيضًا: فكل عامل حيث $k \leq n/2$ لا يتجاوز $\frac12$، مما يعطي الحاصرة الأقوى $(1/2)^{\floor{n/2}}$.) **تمرين 20.6 ★★.** ليكن $u_0 = 0$ و $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ من أجل كل $n \in \N$. 1. برهن بالتراجع على أن $0 \leq u_n \leq 2$ من أجل كل $n$ . 2. بيّن أن $(u_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) . 3. استنتج أن $(u_n)$ [تتقارب](#def-g12-seq-limit) وحدّد نهايتها. **حل التمرين 20.6.** *1.* $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$. وإذا كان $0 \leq u_n \leq 2$، فإن $2 \leq u_n + 2 \leq 4$، إذن $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$؛ وخاصة $0 \leq u_{n+1} \leq 2$. وبالتراجع تصح الخاصية من أجل كل $n$. *2.* $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. ومن أجل $x \in \intcc{0}{2}$، يكون $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$، وهذا صحيح. ومنه فإن $(u_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic). *3.* وبما أنها [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) [ومحدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded) بالعدد $2$، [تتقارب](#def-g12-seq-limit) $(u_n)$ إلى $\ell \in \intcc{0}{2}$ ما. وبالانتقال إلى النهاية في $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (فالتطبيق $x \mapsto \sqrt{x+2}$ متصل) نجد $\ell = \sqrt{\ell + 2}$، إذن $\ell^2 - \ell - 2 = 0$، أي $\ell \in \{-1, 2\}$. وبما أن $\ell \geq 0$، فإن $\lim u_n = 2$. **تمرين 20.7 ★★.** يأخذ مريض جرعة مقدارها $1$ وحدة من دواء كل صباح. وخلال كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) من 24 ساعة، يطرح الجسم $40\%$ من الدواء الموجود. وليكن $u_n$ كمية الدواء في الجسم بُعيد جرعة اليوم $n$، بحيث $u_0 = 1$. 1. برّر أن $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ . 2. ليكن $v_n = u_n - 2.5$ . بيّن أن $(v_n)$ [هندسية](#def-g12-seq-arith-geom) واستنتج صيغة صريحة للمقدار $u_n$ . 3. حدّد كمية الدواء في الجسم على [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل. **حل التمرين 20.7.** *1.* بين جرعتين، يُطرح $40\%$ من الدواء، فتصير الكمية $u_n$ هي $0.6\,u_n$؛ ثم تضيف الجرعة التالية $1$ وحدة: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$. *2.* $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$: إذن $(v_n)$ [هندسية](#def-g12-seq-arith-geom) أساسها الهندسي $0.6$ وحدها الأول $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$. ومنه $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ و $$ u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n . $$ *3.* وبما أن $0.6^n \to 0$، فإن $u_n \to 2.5$: أي أن كمية الدواء تستقر عند $2.5$ وحدة. **تمرين 20.8 ★★.** لتكن $(u_n)$ معرَّفة بالعلاقتين $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$. 1. بيّن بالتراجع أن $u_n > 1$ من أجل كل $n \in \N$ . 2. بيّن أن $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ يعرّف [متتالية حسابية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) . 3. استنتج صيغتين صريحتين للمقدارين $v_n$ و $u_n$ ، ونهاية $(u_n)$ . **حل التمرين 20.8.** *1.* $u_0 = 3 > 1$. وإذا كان $u_n > 1$، فإن $u_n + 2 > 0$ و $$ u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 . $$ وبالتراجع، يكون $u_n > 1$ من أجل كل $n$ (وخاصة $u_n + 2 \neq 0$، إذن [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) معرَّفة جيدًا). *2.* باستعمال المتطابقة أعلاه، $$ v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n . $$ إذن $(v_n)$ [حسابية](#def-g12-seq-arith-geom) أساسها $\frac13$ و $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$. *3.* $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$، ومنه $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$. وبما أن $v_n \to +\infty$، فإن $u_n \to 1$. **تمرين 20.9 ★★★.** من أجل $n \geq 1$، ليكن $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$. 1. بيّن أنه من أجل كل $n \geq 1$ ، يكون $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ . 2. استنتج أن $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ من أجل كل $k \in \N$ ، ثم استنتج أن $H_n \to +\infty$ . **حل التمرين 20.9.** *1.* المقدار $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ مجموع $n$ حدًا، كل منها لا يقل عن $\frac{1}{2n}$؛ ومنه $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$. *2.* بالتراجع على $k$: $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$. وإذا كان $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$، فإن تطبيق النقطة 1 مع $n = 2^k$ يعطي $$ H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}. $$ [والمتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(H_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) (فكل خطوة تضيف $\frac{1}{n+1} > 0$) و [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) الجزئية $H_{2^k}$ غير [محدودة](#def-g12-seq-bounded)، إذن $(H_n)$ غير [محدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded). وبما أنها [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) وغير [محدودة](#def-g12-seq-bounded)، فهي تؤول إلى $+\infty$ ([المبرهنة 20.18](#thm-g12-seq-monotone)). **تمرين 20.10 ★★★.** *(المتتاليتان المتجاورتان.)* تكون متتاليتان $(a_n)$ و $(b_n)$ *متجاورتين* إذا كانت $(a_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) و $(b_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) و $b_n - a_n \to 0$. 1. بيّن أنه من أجل كل $n$ ، يكون $a_n \leq b_n$ . (إرشاد: ادرس رتابة [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(b_n - a_n)$ .) 2. بيّن أن المتتاليتين المتجاورتين تتقاربان كلتاهما إلى النهاية نفسها. 3. تطبيق: بيّن أن المتتاليتين $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ و $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) متجاورتان. (ونهايتهما المشتركة هي العدد $\eu$ ، المدروس في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#ch-g12-exp) .) **حل التمرين 20.10.** *1.* [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $d_n = b_n - a_n$ تحقق $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$، إذن $(d_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)؛ وبما أن $d_n \to 0$، نجد $d_n \geq 0$ من أجل كل $n$ ([فمتتالية](#def-g12-seq-sequence) [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) فيها حد سالب تبقى دونه إلى الأبد، مما يمنع النهاية $0$). ومنه $a_n \leq b_n$. *2.* من $a_n \leq b_n \leq b_0$، تكون [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) [المتزايدة](#def-g12-seq-monotonic) $(a_n)$ [محدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded)، [فتتقارب](#def-g12-seq-limit) إلى $\ell$ ما. وبالمثل [تتقارب](#def-g12-seq-limit) $(b_n)$، [المتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [والمحدودة من الأسفل](#def-g12-seq-bounded) بالعدد $a_0$، إلى $\ell'$ ما. ثم $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$، إذن $\ell = \ell'$. *3.* [المتتالية](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) (تمامًا) لأن $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$. وأما $(b_n)$، فإن $$ b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 , $$ إذن $(b_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations). وأخيرًا $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$. فالمتتاليتان متجاورتان، ومنه تتقاربان إلى نهاية مشتركة. ## 20.6 مسألة: متتالية هيرون، تُحاكم أخيرًا **مسألة 20.1.** مسألة نهاية الأسبوع — التراجع يصادق، والتقارب الرتيب يحكم، ووصفة $\sqrt2$ ذات الألفي سنة تنال برهانها أخيرًا (ومتوسط غاوس البديع للتحلية) ثلاث مرات التقت هذه السلسلة بوصفة هيرون — خذ [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) التخمين مع $2/\text{التخمين}$ — وثلاث مرات لم تستطع إلا أن *تلاحظ* أن الوصفة تعمل. وهذا الفصل يملك أخيرًا أدوات الحكم: التراجع ([المبرهنة 20.1](#thm-g12-seq-induction))، ومبرهنة التقارب الرتيب ([المبرهنة 20.18](#thm-g12-seq-monotone))، ونهايات العلاقات التراجعية. ويشغل الحكمُ والسرعةُ المصادَق عليها قلب هذه المسألة؛ وحولهما، مصائد التراجع الكلاسيكية، وأبطأ تباعد في الرياضيات، وأسرع تقارب وجده غاوس قط. **الجزء الأول — تمارين إحماء على التراجع.** 1. برهن بالتراجع على: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (درج الأعداد [الفردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) ، المرسوم في الكتاب السابق، وقد صار الآن مصادَقًا عليه). 2. برهن بالتراجع على أن $2^n > n$ من أجل كل $n \in \N$ . 3. برهن بالتراجع على متراجحة برنولي: من أجل $x \geq 0$ و $n \in \N$ ، $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ . 4. المصيدة الكلاسيكية: “كل الكريات لها اللون نفسه — فهذا صحيح من أجل كرية واحدة؛ وإذا كانت أي $n$ كرية أحادية اللون دائمًا، فإن الكريات $n$ الأولى من بين $n + 1$ كرية تشترك في لون، والكريات $n$ الأخيرة تشترك في لون، فتشترك الكريات $n + 1$ كلها.” وكل طفل يعرف أن الخاتمة سخيفة: فأوجد الخطوة التي ينهار عندها التراجع بالضبط. 5. برهن بالتراجع على أن $4^n - 1$ يقبل القسمة على $3$ من أجل كل $n \in \N$ . **الجزء الثاني — محاكمة هيرون.** ليكن $x_0 = 2$ و $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$. 6. احسب $x_1$ و $x_2$ و $x_3$ كسورًا مضبوطة (أصدقاء قدامى). 7. برهن على المتطابقة المفتاحية $$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2} \geq 0,$$ واستنتج بالتراجع أن $x_n > 0$ و $x_n^2 > 2$ من أجل كل $n$. 8. بيّن أن $(x_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا (احسب $x_{n+1} - x_n$ واستعمل السؤال 7). 9. استدعِ مبرهنة التقارب الرتيب: لماذا [تتقارب](#def-g12-seq-limit) $(x_n)$ إلى نهاية $L \geq 1$ ما؟ 10. حدّد النهاية: انتقل بالعلاقة التراجعية إلى النهاية ( [القضية 20.14](#prop-g12-seq-operations) ) واستنتج $L = \sqrt2$ . وصُغ الحكم التاريخي: بعد ألفي سنة من الخدمة الأمينة، صار *مبرهَنًا* أن وصفة هيرون [تتقارب](#def-g12-seq-limit) . 11. السرعة المصادَق عليها: مع $e_n = x_n - \sqrt2$، برهن على $$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$$ واستنتج $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$: أي أن الخطأ يُربَّع عند كل خطوة — وهو تضاعف الأرقام الملاحَظ منذ الكتاب السابق، وقد صار مبرهنة. 12. تأكد عدديًا: احسب $e_0, e_1, e_2, e_3$ (انطلاقًا من السؤال 6) وتحقق من أن كل $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ قريب من $\frac{1}{2x_n}$ . **الجزء الثالث — أبطأ تباعد.** 13. برهن [التمرين 20.9](#exo-g12-seq-9) على $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ من أجل المجاميع التوافقية. فكم حدًا يضمن $H_n > 10$ ؟ (وتكفي قوة للعدد اثنين؛ فاعجب من حجمها.) 14. وفي المقابل، [تتقارب](#def-g12-seq-limit) المجاميع [الهندسية](#def-g12-seq-arith-geom) $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$ إلى $2$ ( [المبرهنة 20.20](#thm-g12-seq-geometric) ): وهذا حدس لوح الشوكولاتة في الكتاب السابق، وقد صار أخيرًا عبارة عن نهاية. اكتب البرهان في سطرين. 15. وبين الاثنين: بيّن أن المجاميع $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$ [تتقارب](#def-g12-seq-limit) ، بحصر $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (من أجل $k \geq 2$ )، ثم التلسكوب، ثم تطبيق التقارب الرتيب. (وهذه النهاية، $\frac{\pi^2}{6}$ ، إحدى معجزات أويلر، المبرهَن عليها في الكتب الجامعية.) 16. صُغ عبرة الأسئلة 13–15 في جملتين: ماذا تقرّر عبارة “الحدود تؤول إلى $0$ ” بخصوص تقارب المجاميع — وماذا لا تقرّر؟ **الجزء الرابع — [المتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) الهندسي عند غاوس.** ليكن $a_0 = 1$ و $b_0 = 2$ و $$ a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} . $$ 17. احسب $a_1, b_1, a_2, b_2$ (بخمسة أرقام عشرية). فماذا تلاحظ بخصوص السرعة؟ 18. بيّن أن $a_n \leq b_n$ من أجل كل $n$ (وهي المتراجحة بين المتوسطين الحسابي والهندسي، التي لقيناها في هذه السلسلة كلها)، وأن $(a_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) و $(b_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) . 19. بيّن أن $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (بإخراج $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ عاملًا مشتركًا والمقارنة)، واستنتج حسب [التمرين 20.10](#exo-g12-seq-10) أن المتتاليتين متجاورتان: فلهما نهاية مشتركة $M(1, 2)$ ، هي *[المتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) الهندسي* . 20. احسب $M(1, 2)$ بستة أرقام عشرية (وكم تكرارًا لزمك؟). في 30 أيار 1799، حسب غاوس $M(1, \sqrt2)$ بأحد عشر رقمًا عشريًا، وتعرّف على $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ بوصفه تكاملًا معروفًا، وكتب أن “حقلًا جديدًا من التحليل” قد انفتح — وقد انفتح فعلًا: التكاملات الإهليلجية، المحكية في الكتب الجامعية. واختم بسرعات التقارب الملاحَظة في هذه المسألة، من الأبطأ إلى الأسرع. **حل المسألة 20.1.** **1.** صحيحة من أجل $n = 1$ ($1 = 1^2$). وإذا كان $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$، فبإضافة العدد الفردي التالي: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$: وهي الوراثة. وبالتراجع، تصح من أجل كل $n \geq 1$. **2.** $2^0 = 1 > 0$. وإذا كان $2^n > n$، فإن $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ من أجل $n \geq 1$ (والحالة $n = 0$ تُتحقق مباشرة): وهي الوراثة، وقد تمّ المطلوب. **3.** $n = 0$: $1 \geq 1$. وإذا كان $(1 + x)^n \geq 1 + nx$، فاضرب في $1 + x \geq 1 > 0$: $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \geq 1 + (n + 1)x$. **4.** الخطوة من $n = 1$ إلى $n = 2$: ففي حالة كريتين، تكون “الكريات $n$ الأولى” و“الكريات $n$ الأخيرة” كريتين مفردتين *منفصلتين* — فلا كرية مشتركة تجسر بين المجموعتين، ولا شيء يفرض توافق لونيهما. وحجة الوراثة تقتضي ضمنًا أن تتقاطع المجموعتان، وهذا لا يصح إلا من $n \geq 2$؛ ومع الحالة الابتدائية $n = 1$ لا تنطلق السلسلة أبدًا. **5.** $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$. وإذا كان $4^n - 1 = 3k$، فإن $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$: وهي الوراثة. **6.** $x_1 = \frac32$، و $x_2 = \frac{17}{12}$، و $x_3 = \frac{577}{408}$. **7.** $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2} {4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$: مربع على مقدار موجب، ومنه فهو $\geq 0$، وهو $> 0$ كلما كان $x_n^2 \neq 2$. والتراجع: $x_0 = 2 > 0$ مع $x_0^2 = 4 > 2$؛ وإذا كان $x_n > 0$ و $x_n^2 > 2$، فإن $x_{n+1}$ (وهو [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) موجبين) موجب و $x_{n+1}^2 - 2 > 0$. **8.** $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ حسب السؤال 7: إذن [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا. **9.** [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [ومحدودة من الأسفل](#def-g12-seq-bounded) (بالعدد $1$، لأن $x_n^2 > 2 > 1$ و $x_n > 0$): فبمبرهنة التقارب الرتيب، [تتقارب](#def-g12-seq-limit) $(x_n)$ إلى $L \geq 1$ ما. **10.** تحترم النهايات الجبر: فمن $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ و $x_n \to L \geq 1 > 0$: $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$، إذن $L^2 = 2$، وبما أن $L$ موجب، فإن $L = \sqrt2$. والحكم: التقارب مبرهَن عليه، والنهاية محدَّدة — فهيرون بريء مع مرتبة الشرف. **11.** $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$: أي بالضبط $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$، و $x_n > \sqrt2$ يعطي $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$. فالخطأ مربَّع: أي أن كل خطوة تضاعف عدد الأرقام العشرية الصحيحة، كما لوحظ منذ الكتاب السابق. **12.** $e_0 \approx 0.5858$، و $e_1 \approx 0.0858$، و $e_2 \approx 0.00245$، و $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$. والنسب $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$؛ $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$؛ $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$: أي المبرهنة في العمل. **13.** $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$: أي نحو $260\,000$ حد ($2^{18} = 262\,144$) لمجرد تجاوز $10$ — فهو تباعد بخطوة السلحفاة (وأما $H_n > 100$ فسيحتاج إلى حدود أكثر من ذرات أي مكتبة). **14.** $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (مجموع هندسي)، و $\frac{1}{2^n} \to 0$ ([المبرهنة 20.20](#thm-g12-seq-geometric))، إذن $S_n \to 2$: فلوح الشوكولاتة المقضوم بلا انتهاء يؤول إلى اللوح كله دون أن يبلغه أبدًا — والآن بلغة النهايات الرسمية. **15.** من أجل $k \geq 2$: $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$، إذن $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$: فهي [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic) و [محدودة من الأعلى](#def-g12-seq-bounded)، ومنه متقاربة (بالتقارب الرتيب). وقد سمّى أويلر النهاية فيما بعد: $\frac{\pi^2}{6}$. **16.** أيلولة الحدود إلى $0$ *لازمة* لكي تستقر المجاميع لكنها لا تقرّر شيئًا: فالحدود التوافقية $\frac1n \to 0$ ومع ذلك تنفجر المجاميع؛ والحدود $\frac{1}{n^2} \to 0$ والمجاميع [تتقارب](#def-g12-seq-limit). فالسؤال كله هو *بأي سرعة* تموت الحدود — وتلك نظرية المتسلسلات، المبنية في الكتب الجامعية. **17.** $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$ و $b_1 = 1.5$؛ و $a_2 \approx 1.45648$، و $b_2 \approx 1.45711$: فتكراران اثنان يتفقان أصلًا إلى ثلاثة أرقام عشرية — سرعة مذهلة. **18.** $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$: فالمتوسطان يبقيان مرتبين. و $(a_n)$ [متزايدة](#def-g12-seq-monotonic): $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$؛ و $(b_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) بتناظر. **19.** $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2} {2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} \leq \frac12$: فالفجوة تنتصف على الأقل، إذن $b_n - a_n \to 0$؛ ومع السؤال 18، تكون المتتاليتان متجاورتين ولهما نهاية مشتركة $M(1, 2)$. **20.** يعطي التكرار الثالث $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$: أي $M(1, 2) \approx 1.456791$ في ثلاث لفات من المدور (فالفجوة *تتربّع* [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx)، مثل فجوة هيرون). [وترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) سرعات متتاليات المسألة، من الأبطأ إلى الأسرع: المجاميع التوافقية (تباعد جليدي)، ثم المجاميع [الهندسية](#def-g12-seq-arith-geom) (الخطأ ينتصف عند كل خطوة)، ثم هيرون [والمتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) الهندسي (الخطأ يتربّع عند كل خطوة) — وسرعة هذا الأخير الخارقة هي التي أنبأت غاوس بأنه أصاب عرقًا جديدًا من التحليل. 1. كل جزء غير خالٍ من $\N$ له عنصر أصغري؛ وتُؤخذ هذه الخاصية للمجموعة $\N$ بديهيةً. [↩](#fnref-1)