---
title: "النهايات والاتصال"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity
---

# الفصل 21 — النهايات والاتصال

يمدّد هذا الفصل مفهوم النهاية من المتتاليات إلى دوال المتغير الحقيقي، ويقدّم [الاتصال](#def-g12-limcont-continuity). والنتيجة المركزية هي مبرهنة القيم الوسطى، التي تحوّل معلومة نوعية (“$f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) وتغيّر إشارتها”) إلى وجود حلول لمعادلات.

## 21.1 نهايات الدوال

في هذا الفصل كله، $f$ [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) أو على [اتحاد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) فترات $D \subseteq \R$.

**تعريف 21.1 (النهاية عند ما لا نهاية).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ وليكن $\ell \in \R$. نقول إن $f$ *تؤول إلى $\ell$ عند $+\infty$*، ونكتب $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$، إذا كانت كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) مفتوحة تحوي $\ell$ تحوي كل القيم $f(x)$ من أجل $x$ كبير بما يكفي: أي إنه من أجل كل $\varepsilon > 0$ يوجد $A$ بحيث يكون من أجل كل $x \geq A$، $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

ونقول إن $f$ تؤول إلى $+\infty$ عند $+\infty$ إذا وُجد، من أجل كل $M \in \R$، عدد $A$ بحيث يكون $f(x) \geq M$ من أجل كل $x \geq A$. وتُعرَّف النهايات عند $-\infty$ والنهايات المساوية $-\infty$ بصورة نظيرة.

**تعريف 21.2 (النهاية عند نقطة).**

ليكن $a \in \R$ ولتكن $f$ معرَّفة بجوار $a$ (إلا ربما عند $a$). نقول إن $f$ تؤول إلى $\ell \in \R$ عند $a$، ونكتب $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$، إذا وُجد من أجل كل $\varepsilon > 0$ عدد $\delta > 0$ بحيث يكون من أجل كل $x \in D$ حيث $\abs{x - a} \leq \delta$، $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

ونقول إن $f$ تؤول إلى $+\infty$ عند $a$ إذا وُجد من أجل كل $M$ عدد $\delta > 0$ بحيث يكون $f(x) \geq M$ كلما كان $x \in D$ و $\abs{x - a} \leq \delta$. وتقصر النهايات من جهة واحدة ($x \to a^+$، $x \to a^-$) المتغير $x$ على $x > a$ أو $x < a$.

**مثال 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$، $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$، $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. أما [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ فليست لها نهاية (من الجهتين) عند $0$.

**تعريف 21.4 (المقاربات).**

يكون المستقيم $y = \ell$ *مقاربًا أفقيًا* [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f$ عند $+\infty$ (أو $-\infty$) إذا كان $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (أو عند $-\infty$). ويكون المستقيم $x = a$ *مقاربًا شاقوليًا* إذا كان [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ نهاية لانهائية من جهة واحدة عند $a$.

![منحنى f(x) = 2 + 1/x-1 مع مقاربه الأفقي y = 2 (عند ±∈fty) ومقاربه الشاقولي x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*[منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ مع مقاربه الأفقي $y = 2$ (عند $\pm\infty$) ومقاربه الشاقولي $x = 1$.*

**قضية 21.5 (العمليات على النهايات).**

تصح قواعد [القضية 20.14](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#prop-g12-seq-operations) (المجاميع والجداءات وخارج القسمة) حرفيًا من أجل نهايات الدوال، عند نقطة أو عند ما لا نهاية، مع الصور غير المحددة الأربع نفسها $(+\infty)+(-\infty)$ و $0\times\infty$ و $\frac{\infty}{\infty}$ و $\frac{0}{0}$.

**برهان.** البراهين مطابقة لحالة المتتاليات، بتعويض “من أجل $n \geq N$” بالعبارة “من أجل $x \geq A$” أو “من أجل $\abs{x-a} \leq \delta$”. ∎

**مبرهنة 21.6 (نهاية دالة مركَّبة).**

لتكن $f, g$ دالتين وليكن $a, b, c$ أعدادًا حقيقية أو $\pm\infty$. إذا كان $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ و $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$، فإن

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

وتصح العبارة نفسها [بمتتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) محل $f$: إذا كان $u_n \to b$ و $\lim_{y\to b} g(y) = c$، فإن $g(u_n) \to c$.

**برهان.** خذ $b, c$ منتهيين (والحالات الأخرى نظيرة). ليكن $\varepsilon > 0$. يوجد $\delta > 0$ بحيث يستلزم $\abs{y - b} \leq \delta$ أن $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$؛ ويوجد $\delta' > 0$ بحيث يستلزم $\abs{x - a} \leq \delta'$ أن $\abs{f(x) - b} \leq \delta$. وبربط الاثنين نجد $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ من أجل $\abs{x - a} \leq \delta'$. ∎

**مبرهنة 21.7 (المقارنة والحصر).**

لتكن $f, g, h$ دوالًا وليكن $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$.

1. إذا كان $f \leq g$ بجوار $a$ و $f(x) \to +\infty$ لما $x \to a$ ، فإن $g(x) \to +\infty$ .
2. إذا كان $f \leq g \leq h$ بجوار $a$ وآلت $f, h$ إلى النهاية المنتهية نفسها $\ell$ عند $a$ ، فإن $g(x) \to \ell$ لما $x \to a$ .

**برهان.** الحجة نفسها كما في حالة المتتاليات ([المبرهنة 20.16](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#thm-g12-seq-squeeze)). ∎

**طريقة 21.8 (حساب النهايات عمليًا).**

- كثيرات الحدود والدوال الناطقة عند $\pm\infty$ : أخرج أعلى قوة للمتغير $x$ عاملًا مشتركًا؛ فالنهاية هي نهاية نسبة الحدين المهيمنين.
- الصورة $\frac{0}{0}$ عند نقطة $a$ : أخرج $(x-a)$ عاملًا مشتركًا من البسط ومن المقام، أو تعرّف على [مشتقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ ( [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) ).
- الجذور التربيعية: اضرب في العبارة المرافقة.
- العوامل المتذبذبة ( $\cos$ و $\sin$ ): استعمل مبرهنة الحصر.

## 21.2 الاتصال

**تعريف 21.9 (الاتصال).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ وليكن $a \in I$. تكون [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ *متصلة عند $a$* إذا كان $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. وتكون *متصلة على $I$* إذا كانت متصلة عند كل نقطة من $I$.

وحدسيًا، يمكن رسم [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) دون رفع القلم.

**قضية 21.10 (اتصال الدوال المألوفة).**

كثيرات الحدود والدوال الناطقة و $x \mapsto \sqrt{x}$ و $x \mapsto \abs{x}$ و $\cos$ و $\sin$ و $\exp$ و $\ln$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) محتواة في [مجموعة تعريفها](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function). ومجاميع الدوال [المتصلة](#def-g12-limcont-continuity) وجداءاتها وخارج قسمتها (حيث تُعرَّف) ومركباتها [متصلة](#def-g12-limcont-continuity).

**برهان جزئي.** ينتج الاستقرار بالجمع والضرب والقسمة والتركيب من المبرهنات الموافقة على النهايات. [واتصال](#def-g12-limcont-continuity) $x \mapsto x$ والدوال الثابتة مباشر من التعريف، ومنه فإن كثيرات الحدود والدوال الناطقة [متصلة](#def-g12-limcont-continuity). أما [اتصال](#def-g12-limcont-continuity) بقية الدوال المألوفة فمبرهَن عليه في الفصول التي تُبنى فيها، أو مقبول. ∎

**مثال 21.11.**

*[دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الجزء الصحيح* $x \mapsto \floor{x}$ (وهي أكبر [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $\leq x$) ليست [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) عند أي [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$: فنهايتها اليسرى هناك هي $n - 1$ بينما $\floor{n} = n$.

![تقفز دالة الجزء الصحيح عند كل عدد صحيح: فالقيمة (النقطة المملوءة) تختلف عن النهاية اليسرى (النقطة المفرَّغة).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*تقفز [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الجزء الصحيح عند كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets): فالقيمة (النقطة المملوءة) تختلف عن النهاية اليسرى (النقطة المفرَّغة).*

**قضية 21.12 (المتتاليات والاتصال).**

إذا كان $u_n \to \ell$ وكانت $f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) عند $\ell$، فإن $f(u_n) \to f(\ell)$. وخاصة، إذا تقاربت [متتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) معرَّفة بالعلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$ إلى $\ell$ وكانت $f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) عند $\ell$، فإن $f(\ell) = \ell$.

**برهان.** الادعاء الأول هو [المبرهنة 21.6](#thm-g12-limcont-composition) مطبَّقة على [المتتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$. وأما الثاني، فانتقل إلى النهاية في طرفي $u_{n+1} = f(u_n)$: فالطرف الأيسر يؤول إلى $\ell$، والطرف الأيمن إلى $f(\ell)$، والنهايات وحيدة. ∎

## 21.3 مبرهنة القيم الوسطى

**مبرهنة 21.13 (مبرهنة القيم الوسطى).**

لتكن $f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على $\intcc{a}{b}$ وليكن $k$ أي عدد محصور بين $f(a)$ و $f(b)$. عندئذٍ يوجد $c \in \intcc{a}{b}$ بحيث $f(c) = k$.

![مبرهنة القيم الوسطى: لا بد لمنحنى متصل يصل (a, f(a)) بالنقطة (b, f(b)) من أن يقطع كل مستقيم أفقي y = k يقع بين f(a) و f(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*مبرهنة القيم الوسطى: لا بد [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) متصل يصل $(a, f(a))$ بالنقطة $(b, f(b))$ من أن يقطع كل مستقيم أفقي $y = k$ يقع بين $f(a)$ و $f(b)$.*

**برهان.** بتعويض $f$ [بالدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f - k$ (وبالدالة $k - f$ عند اللزوم)، يمكننا أن نفترض $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ وأن نبحث عن صفر [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$. ونبني متتاليتين *بالتنصيف*: ضع $a_0 = a$ و $b_0 = b$؛ وإذا أُعطي $a_n \leq b_n$ مع $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$، فليكن $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ ونعرّف

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{إذا كان } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{إذا كان } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

وفي الحالتين يكون $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$، [والمتتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)، و $(b_n)$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)، و $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$: فالمتتاليتان متجاورتان (انظر [التمرين 20.10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#exo-g12-seq-10)) وتتقاربان إلى نهاية مشتركة $c \in \intcc{a}{b}$. وبالاتصال، $f(a_n) \to f(c)$ و $f(b_n) \to f(c)$؛ وبالانتقال إلى النهاية في $f(a_n) \leq 0$ و $f(b_n) \geq 0$ نجد $f(c) \leq 0 \leq f(c)$، إذن $f(c) = 0$. ∎

**ملاحظة 21.14.**

برهان التنصيف خوارزمية: فهو يعطي تقريبات دقيقة كما نشاء لحل ما، ويُنصّف الخطأ عند كل خطوة. وهكذا يمكن لحاسوب أن يحل $f(x) = 0$ وهو لا يعرف إلا كيف يحسب قيم $f$.

**مبرهنة 21.15 (مبرهنة التقابل).**

لتكن $f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) و*[رتيبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا* على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$. عندئذٍ يكون [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$، من أجل كل $k$ محصور تمامًا بين نهايتي $f$ عند طرفي $I$، حل *وحيد* في $I$.

**برهان.** الوجود: اختر $a, b \in I$ بحيث يقع $k$ بين $f(a)$ و $f(b)$ (وهذا ممكن لأن قيم $f$ تقترب من نهاياتها عند الطرفين)، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسطى على $\intcc{a}{b}$. والوحدانية: إذا كان $x < y$، أعطت الرتابة التامة أن $f(x) \neq f(y)$، إذن لا يمكن أن تكون نقطتان مختلفتان حلَّين معًا. ∎

**طريقة 21.16 (حل f(x)=kf(x) = kf(x)=k بمبرهنة التقابل).**

لتبرهن على أن [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ حلًا واحدًا بالضبط في [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval):

1. أنشئ جدول تغيرات $f$ (إشارة $f'$ ، انظر [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) )؛
2. على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تكون $f$ فيها [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) [ورتيبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا، قارن $k$ بالقيم أو النهايات عند الطرفين؛
3. طبّق مبرهنة التقابل على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) كهذه وعُدّ الحلول.

ثم تحدّد آلة حاسبة أو التنصيف موضع كل حل بالدقة المطلوبة.

**مثال 21.17.**

[للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ حل حقيقي وحيد. وفعلًا، $f(x) = x^3 + x$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا على $\R$ (بوصفها مجموع دالتين متزايدتين تمامًا)، و $\lim_{-\infty} f = -\infty$ و $\lim_{+\infty} f = +\infty$، إذن تنطبق مبرهنة التقابل مع $k = 1$. وبما أن $f(0.6) = 0.816 < 1$ و $f(0.7) = 1.043 > 1$، فإن الحل يقع في $\intoo{0.6}{0.7}$.

## 21.4 تمارين

**تمرين 21.1 ★.**

احسب النهايات التالية:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**حل التمرين 21.1.**

بالقسمة على $x^3$: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$.

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ لما $x \to -\infty$، لأن $x^2 \to +\infty$ والقوس يؤول إلى $1$.

ولما $x \to 2^+$، يؤول البسط إلى $3 > 0$ ويؤول المقام إلى $0^+$، إذن $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$.

ومن أجل $x > 0$، يكون $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$، إذن النهاية هي $0$ بمبرهنة الحصر.

**تمرين 21.2 ★.**

لتكن $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$، معرَّفة من أجل $x \neq 1$.

1. بيّن أن $f(x) = 2x - 1$ من أجل كل $x \neq 1$ .
2. استنتج $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . فهل يمكن تمديد $f$ إلى [دالة متصلة](#def-g12-limcont-continuity) عند $1$ ؟

**حل التمرين 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ ([والجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ ظاهر من $2 - 3 + 1 = 0$). ومن أجل $x \neq 1$، اختصر $x - 1$: فيكون $f(x) = 2x - 1$.

*2.* ومنه $\lim_{x\to1} f(x) = 1$. ووضع $f(1) = 1$ يمدّد $f$ إلى [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) كثير الحدود $x \mapsto 2x-1$ على $\R$، وهي [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) عند $1$.

**تمرين 21.3 ★.**

حدّد مقاربات [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ وارسم [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) تقريبيًا.

**حل التمرين 21.3.**

اكتب $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$. فلما $x \to \pm\infty$، يكون $f(x) \to 3$: إذن المستقيم $y = 3$ [مقارب](#def-g12-limcont-asymptote) أفقي عند اللانهايتين. ولما $x \to (-2)^\pm$، $f(x) \to \mp\infty$: إذن المستقيم $x = -2$ [مقارب](#def-g12-limcont-asymptote) شاقولي. [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [قطع زائد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference)، يقع تحت $y=3$ من أجل $x > -2$ وفوقه من أجل $x < -2$.

**تمرين 21.4 ★★.**

احسب

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{و}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**حل التمرين 21.4.**

اضرب في المرافق:

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

وبالمثل،

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**تمرين 21.5 ★★.**

لتكن $f(x) = x + \sin x$.

1. بيّن أن $f(x) \to +\infty$ لما $x \to +\infty$ ، مع أن $f$ ليست [رتيبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) على أي [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ .
2. بيّن أن $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ تؤول إلى $1$ عند $+\infty$ .

**حل التمرين 21.5.**

*1.* بما أن $\sin x \geq -1$، فإن $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$، ونستنتج بالمقارنة. ومع ذلك فإن $f'(x) = 1 + \cos x$ تنعدم عند كل مضاعف فردي للعدد $\pi$، وعلى كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ تتناوب [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) بين فترات تزايد تام؛ فهي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) لكن ليس تمامًا، والأهم أن تزايدها ليس لازمًا: فالمقارنة تكفي.

*2.* من أجل $x > 1$، اقسم على $x$:

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

و $\frac{\sin x}{x} \to 0$ بمبرهنة الحصر ($\abs{\sin x} \leq 1$). ومنه $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$.

**تمرين 21.6 ★★.**

بيّن أن [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ ثلاثة حلول حقيقية بالضبط، وأعطِ من أجل كل منها [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) طولها $1$ تحويه. (إرشاد: ادرس تغيرات $f(x) = x^3 - 3x + 1$؛ ومشتقتها هي $3x^2 - 3$.)

**حل التمرين 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity)، مع $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: فتتزايد $f$ على $\intoc{-\infty}{-1}$، وتتناقص على $\intcc{-1}{1}$، وتتزايد على $\intco{1}{+\infty}$، مع [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(-1) = 3 > 0$ و [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(1) = -1 < 0$، و $\lim_{-\infty} f = -\infty$، و $\lim_{+\infty} f = +\infty$.

وعلى كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) من فترات الرتابة الثلاث، تكون $f$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) [ورتيبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا، ويقع $0$ تمامًا بين القيم أو النهايات عند الطرفين، إذن تعطي مبرهنة التقابل صفرًا واحدًا بالضبط في كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval): أي ثلاثة أصفار في المجموع. والتحقق من الإشارات: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$، إذن صفر واحد في $\intoo{-2}{-1}$؛ و $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$، فصفر واحد في $\intoo{0}{1}$؛ و $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$، فصفر واحد في $\intoo{1}{2}$.

**تمرين 21.7 ★★.**

لتكن $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity). بيّن أن [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ *[نقطة ثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1)*: أي أنه يوجد $c \in \intcc{0}{1}$ بحيث $f(c) = c$. (إرشاد: طبّق مبرهنة القيم الوسطى على $g(x) = f(x) - x$.)

**حل التمرين 21.7.**

لتكن $g(x) = f(x) - x$، وهي [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على $\intcc{0}{1}$. وبما أن $f(0) \in \intcc{0}{1}$، فإن $g(0) = f(0) \geq 0$؛ وبما أن $f(1) \in \intcc{0}{1}$، فإن $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. وبمبرهنة القيم الوسطى، تنعدم $g$ عند $c \in \intcc{0}{1}$ ما، أي $f(c) = c$.

**تمرين 21.8 ★★★.**

تصعد متنزّهة درب جبل، فتنطلق عند 8:00 وتصل عند 20:00. وفي اليوم التالي تنزل الدرب نفسه، منطلقة عند 8:00 وواصلة عند 20:00. بيّن أن ثمة لحظة من اليوم تكون فيها عند النقطة نفسها بالضبط من الدرب في اليومين. (إرشاد: أدخل الفرق بين دالتي الموضع.)

**حل التمرين 21.8.**

ليكن $u(t)$ و $d(t)$ الموضعين (مقيسين بالمسافة من أسفل الدرب) عند اللحظة $t \in \intcc{8}{20}$ في الصعود وفي النزول. وكلاهما متصل، مع $u(8) = 0$ و $u(20) = L$ (وهو طول الدرب) و $d(8) = L$ و $d(20) = 0$. [والدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $g = u - d$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) مع $g(8) = -L \leq 0$ و $g(20) = L \geq 0$، إذن $g(c) = 0$ عند لحظة $c$ ما بمبرهنة القيم الوسطى: أي إن الموضعين في اليومين يتطابقان عند اللحظة $c$.

**تمرين 21.9 ★★★.**

لتكن $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$.

1. بيّن أن [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ صفرًا حقيقيًا وحيدًا $\alpha$ ، وأن $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
2. صِف إجراء تنصيف يحسب $\alpha$ بدقة $10^{-6}$ ، وأعطِ عدد التكرارات اللازمة انطلاقًا من $\intcc{0}{1}$ .

**حل التمرين 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$، إذن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا على $\R$؛ ومع $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ [والاتصال](#def-g12-limcont-continuity)، تعطي مبرهنة التقابل صفرًا حقيقيًا وحيدًا $\alpha$. وبما أن $f(0) = -1 < 0$ و $f(1) = 2 > 0$، فإن $\alpha \in \intoo{0}{1}$.

*2.* احتفظ [بفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ حيث $f(a_n) < 0 < f(b_n)$، انطلاقًا من $\intcc{0}{1}$؛ وعند كل خطوة احسب قيمة $f$ عند [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ واحتفظ بنصف [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) الذي يستمر فيه تغير الإشارة. وبعد $n$ خطوة يصير طول [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $2^{-n}$، إذن يقرّب [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\alpha$ بدقة $2^{-(n+1)}$. ونحتاج إلى $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$، أي $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$: إذن $n = 20$ تكرارًا تكفي.

## 21.5 مسألة: لا تعبر نهرًا دون أن تبتلّ

**مسألة 21.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة القيم الوسطى تفرض النقط الثابتة، والنقط المتقابلة المتساوية الحرارة، والطاولات الثابتة: ثلاث مبرهنات تبدو مستحيلة من فكرة واحدة

كوّر خريطة لبلد ما وألقها في أي مكان من أرض ذلك البلد: فثمة نقطة من الخريطة تقع *بالضبط* فوق الموضع الذي تمثّله. وفي كل لحظة، توجد نقطتان متقابلتان قطريًا على خط الاستواء لهما *بالضبط* درجة الحرارة نفسها. وأي طاولة مربعة متأرجحة على أرض متعرجة يمكن دائمًا تثبيتها *بإدارتها*. ثلاث حيل، ومبرهنة واحدة: فمقدار متصل لا يمكن أن ينتقل من السالب إلى الموجب دون أن ينعدم ([المبرهنة 21.13](#thm-g12-limcont-ivt)). وتدرّب هذه المسألة على النهايات، ثم تبني العجائب الثلاث كلها — وتعرف بالضبط ما لا تعد به المبرهنة.

**الجزء الأول — التمكّن من النهايات.**

1. احسب $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ ، $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ ، و $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ ( [الطريقة 21.8](#met-g12-limcont-limits) ).
2. أعطِ مقاربات $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ( [التعريف 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) )، بحساب النهايات المناسبة.
3. احسب $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ ( [بالتحليل إلى عوامل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) ) و $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (بالمرافق).
4. بمبرهنة الحصر ( [المبرهنة 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ): احسب $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ و $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
5. بالتركيب والحدود المهيمنة: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

**الجزء الثاني — جذور مصادَق عليها.**

6. بيّن أن [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ حلًا واحدًا على الأقل في $\intcc{1}{2}$ .
7. بيّن أن الحل وحيد على $\R$ ( [المبرهنة 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) ).
8. برهن على العبارة الكلاسيكية: *لكل كثير حدود درجته [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) [جذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) حقيقي واحد على الأقل* . (اكتب الحجة من أجل $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : احسب النهايتين اللانهائيتين بالحد المهيمن، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسطى على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) كبيرة.)
9. تحديد موضع [جذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) السؤال 6 [بالتنصيف](#thm-g12-limcont-ivt) : كم تنصيفًا [للفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1}{2}$ يضمن خطأ دون $10^{-6}$ ( [التمرين 21.9](#exo-g12-limcont-9) )؟ وقارن بتضاعف الأرقام في طريقة نيوتن ( [المسألة 12.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#pb-g11-deriv-1) ): فكم خطوة [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) ستحتاج إليها؟
10. المثال المضاد الذي يحرس المبرهنة: تحقق $g(x) = \frac1x$ أن $g(-1) = -1 < 0$ و $g(1) = 1 > 0$ ، ومع ذلك لا تنعدم أبدًا. فأي فرضية من فرضيات مبرهنة القيم الوسطى تسقط — وماذا يعلّمنا المثال عن التحقق من الفرضيات؟

**الجزء الثالث — ثلاث مبرهنات تبدو مستحيلة.**

11. مبرهنة [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) على القطعة: إذا كانت $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) ، فبرهن على أن ثمة $c$ تحقق $f(c) = c$ . (ادرس $g(x) = f(x) - x$ عند الطرفين.)
12. ترجم السؤال 11 إلى لغة الخريطة المكوّرة: ما الذي يلعب دور $f$ ، ولماذا تقع صورته في $\intcc{0}{1}$ (مجازًا: داخل البلد)، وما النقطة الواقعة بالضبط فوق موضعها؟ (وثمة بُعد واحد مقبول في صمت — والعبارة الأمينة ذات البعدين هي مبرهنة براور، في الكتب الجامعية.)
13. خط الاستواء: لتكن $T$ درجة حرارة [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على دائرة، منظورًا إليها بوصفها [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) دورية دورها $2\pi$ حيث $T(0) = T(2\pi)$ . ضع $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . احسب $g(0) + g(\pi)$ ، واستنتج أن $g$ تنعدم في مكان ما من $\intcc{0}{\pi}$ ، ثم صُغ المبرهنة المتعلقة بالنقطتين المتقابلتين.
14. الطاولة المتأرجحة: طاولة مربعة صلبة تمامًا تقف على أرض متعرجة [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) (بلا درجات!)؛ فثلاث أرجل تلامس دائمًا، وواحدة تحوم على ارتفاع $h(\theta)$ يتعلق اتصاليًّا بزاوية دوران الطاولة $\theta$ . فسّر لماذا يفرض الدوران بربع دورة أن تغيّر فجوة التحويم إشارتها — واستنتج أن ثمة زاوية $\theta^*$ تثبّت الأرجل الأربع كلها. (وقد نُشرت هذه الحجة مبرهنةً حقيقية في سنة 2005؛ وأصحاب المقاهي عرفوا الحيلة قبل ذلك.)
15. استعملت متنزّهة [التمرين 21.8](#exo-g12-limcont-8) المخطط نفسه. صُغ في ثلاثة أسطر القالب المشترك بين الأسئلة 11 و 13 و 14 والمتنزّهة — أي [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) تبني، وماذا تتحقق منه عند الطرفين، وماذا تستدعي.
16. ما *لا* تعطيه مبرهنة القيم الوسطى: فقد جاء الوجود بلا مقابل، لكن أي سؤالين يتركهما مفتوحين، وأي أدوات في هذه المسألة تجيب عنهما (السؤالان 7 و 9)؟

**الجزء الرابع — صور مع مقاربات.**

17. أعد كتابة $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ على الصورة $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ واستعملها لوصف [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) وصفًا كاملًا: المقاربات، والتغيرات على كل جهة، والرسم التقريبي. (وهو [قطع زائد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) منسحب — [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) التكلفة المتوسطة في [المسألة 4.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#pb-g10-reffunc-1) كان كذلك.)
18. [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ غير معرَّفة عند $1$ . فأي قيمة تُسنَد إلى $f(1)$ تجعلها [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) هناك — ولماذا يسمّي المحلّلون نقطة كهذه انقطاعًا *قابلًا للرفع* ؟
19. [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الجزء الصحيح $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (أكبر [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $\leq x$ ): أين تكون [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) ، وأين تقفز، ولماذا تسقط خاتمة مبرهنة القيم الوسطى من أجلها (أوجد $a < b$ حيث $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ ومع ذلك لا حل [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )؟
20. الخاتمة — وجها [الاتصال](#def-g12-limcont-continuity) : الوعد المحلي (القيمة $=$ النهاية: فلا انتقال آني) والقوة الشاملة (مبرهنة القيم الوسطى: فكل قيمة وسطى تُزار). صنّف عجائب الجزء الثالث الأربع تحت الوجه الصحيح، وأعطِ شعار عبور النهر اسمه الرياضي الدقيق.

**حل المسألة 21.1.**

**1.** الحدود المهيمنة: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$؛ $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$؛ $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$.

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$: [فالمقارب](#def-g12-limcont-asymptote) الأفقي $y = 3$؛ و $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$: [فالمقارب](#def-g12-limcont-asymptote) الشاقولي $x = -2$.

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$. و $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$.

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$، إذن النهاية هي $0$. و $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$: فالنهاية $0$.

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} =
\sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ ([باتصال](#def-g12-limcont-continuity) [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) التربيعي والتركيب).

**6.** $f(x) = x^3 + x$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) مع $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$: فبمبرهنة القيم الوسطى، $f(c) = 5$ من أجل $c \in \intoo{1}{2}$ ما.

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: فهي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا على $\R$، [ومتصلة](#def-g12-limcont-continuity)، ونهايتاها $\mp\infty$: فبمبرهنة التقابل، تُبلَغ كل قيمة — وخاصة $5$ — مرة واحدة بالضبط.

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$: فلما $x \to +\infty$، يكون $p \to +\infty$؛ ولما $x \to -\infty$، يكون $p \to -\infty$. إذن على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) ضخمة ما $\intcc{-M}{M}$، يكون $p(-M) < 0 < p(M)$: فتسلّم مبرهنة القيم الوسطى جذرًا. وتصح حجة الحد المهيمن نفسها حرفيًا من أجل أي درجة [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) — فالقوى [الفردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) تحتفظ بإشارتين متعاكستين عند اللانهايتين.

**9.** التنصيف $n$ مرة يترك [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) طولها $2^{-n}$؛ و $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$: أي عشرون خطوة. أما نيوتن فيضاعف الأرقام الصحيحة عند كل خطوة: فمن رقم صحيح واحد، تبلغ $3$–$4$ خطوات ستة أرقام — إنهما السلحفاة والسلوقي في اقتناص الجذور.

**10.** $g$ ليست [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على $\intcc{-1}{1}$: فهي تنفجر عند $0$، وهو داخل [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval). فخاتمة مبرهنة القيم الوسطى تتبخر مع فرضيتها — فتحقق دائمًا من [الاتصال](#def-g12-limcont-continuity) *على [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) كلها*، لا عند الطرفين وحدهما.

**11.** $g(x) = f(x) - x$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity)؛ و $g(0) = f(0) \geq 0$ (لأن القيم تقع في $\intcc{0}{1}$) و $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. فبمبرهنة القيم الوسطى، $g(c) = 0$ من أجل $c$ ما: أي $f(c) = c$.

**12.** بمثلنة البلد على أنه القطعة $\intcc{0}{1}$: ترسل $f$ كل موضع إلى الموضع المبيَّن تحته مباشرة على الخريطة المكوّرة؛ والتكوير يبقي الخريطة فوق البلد، إذن تقع صورة $f$ في $\intcc{0}{1}$، وهي [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) (فالورق لا يتمزق). [والنقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $c$ هي الموضع الواقع بالضبط فوق صورته — ومبرهنة براور تعالج الخريطة الأمينة ذات البعدين.

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$. إذن $g(0)$ و $g(\pi)$ متعاكسان (أو معدومان معًا): وفي الحالتين تنعدم $g$، وهي [متصلة](#def-g12-limcont-continuity)، عند $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ ما: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — أي إن ثمة، في مكان ما من خط الاستواء، نقطتين متقابلتين تتفقان في درجة الحرارة، في كل لحظة.

**14.** إدارة الطاولة بربع دورة تبادل دوري القطرين: فزوج الأرجل الذي كان يضغط الأرض وزوج الأرجل الذي كانت إحداهما تحوم يتبادلان الوضعين، إذن يأخذ ارتفاع التحويم — محسوبًا بإشارته بوصفه “فجوة القطر [المميز](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant)” — إشارتين متعاكستين عند $\theta$ وعند $\theta + \frac\pi2$. والأرض [المتصلة](#def-g12-limcont-continuity) تجعل $h$ [متصلة](#def-g12-limcont-continuity)، وتسلّم مبرهنة القيم الوسطى زاوية $\theta^*$ حيث $h(\theta^*) = 0$: فالأرجل الأربع على الأرض. (ولا حظّ كهذا مع طاولة مستطيلة أو أرض ذات درجات.)

**15.** القالب: ابنِ *فرق* المقدارين اللذين تريد لهما أن يتطابقا ($f(x) - x$؛ و $T(t) - T(t + \pi)$؛ وموضع الصعود ناقص موضع النزول عند المتنزّهة؛ والفجوة ذات الإشارة عند الطاولة)؛ ثم تحقق من أنه يأخذ قيمًا بالإشارتين (وغالبًا عبر تناظر بين الطرفين)؛ ثم استدعِ مبرهنة القيم الوسطى على [دالة متصلة](#def-g12-limcont-continuity). فيُفرَض التطابق.

**16.** السؤالان المفتوحان: *كم* حلًا (وتجيب عنه الرتابة التامة ومبرهنة التقابل، في السؤال 7) و*أين* تقع الحلول (ويجيب عنه التنصيف أو نيوتن، في السؤال 9). فمبرهنة القيم الوسطى عرّافة وجود خالصة.

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$: [فالمقارب](#def-g12-limcont-asymptote) الشاقولي $x = -2$، والأفقي $y = 3$؛ وعلى كل جهة من $-2$ تكون [الدالة متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) (لأن $-\frac{7}{x+2}$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) حيث تُعرَّف)؛ [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) هو [القطع الزائد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) المرجعي $-\frac7x$ منسحبًا $2$ إلى اليسار و $3$ إلى الأعلى — فرعان يعانقان [تقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) المقاربين.

**18.** من أجل $x \neq 1$: $f(x) = x + 1$، إذن $\lim_{x \to 1} f = 2$: فوضع $f(1) = 2$ يعيد [الاتصال](#def-g12-limcont-continuity). فالانقطاع كان ثقبًا لا قفزة — فاملأ النقطة المفقودة الوحيدة يلتئم [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph): انقطاع *قابل للرفع*.

**19.** [متصلة](#def-g12-limcont-continuity) على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) بين عددين صحيحين متتاليين؛ وعند كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$ تقفز من $n - 1$ إلى $n$. ومع $a = 0.9$ و $b = 1.1$: $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 <
1 = \lfloor b \rfloor$، ومع ذلك $\lfloor x \rfloor = \frac12$ ليس له حل — فالقفزة تنتقل آنيًا فوق $\frac12$، وهذا بالضبط ما تمنع مبرهنة القيم الوسطى الدوال [المتصلة](#def-g12-limcont-continuity) من فعله.

**20.** الوجه المحلي: القيمة $=$ النهاية عند كل نقطة — وقد خرقه الثقب القابل للرفع (السؤال 18) خرقًا قابلًا للشفاء، وخرقته قفزات الجزء الصحيح (السؤال 19) خرقًا لا شفاء له. والوجه الشامل: على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)، تُزار كل القيم الوسطى — وهنا تعيش شهادات الجذور (6–8)، [والنقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1)، وخط الاستواء، والطاولة، والمتنزّهة. واسم الشعار الرسمي: *مبرهنة القيم الوسطى*.