---
title: "الاشتقاق والتحدب"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity
---

# الفصل 22 — الاشتقاق والتحدب

تقيس [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative) معدل تغير [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) اللحظي؛ وهي [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) [المماس](#def-g12-deriv-tangent) لمنحناها. ويراجع هذا الفصل ويمدّد قواعد الاشتقاق، ويربط إشارة $f'$ بتغيرات $f$، ويقدّم [التحدب](#def-g12-deriv-convex)، الذي تحكمه [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative) الثانية.

## 22.1 المشتقة

**تعريف 22.1 (المشتقة عند نقطة).**

لتكن $f$ معرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ وليكن $a \in I$. تكون [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ *قابلة للاشتقاق عند $a$* إذا كان لمعدل التغير

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

نهاية منتهية لما $h \to 0$. وتُسمّى هذه النهاية *مشتقة $f$ عند $a$* وتُكتب $f'(a)$. وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $I$، [فالدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ هي *مشتقة* $f$.

**تعريف 22.2 (المماس).**

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$، فإن *المماس* [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f$ عند النقطة $(a, f(a))$ هو المستقيم ذو [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![لما يتناقص h، يدور القاطع المار بالنقطتين A = (a, f(a)) و (a+h, f(a+h)) (بالبرتقالي) نحو المماس عند A (بالأحمر): إذ يؤول ميله f(a+h)-f(a)/h إلى f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-c1e05f0703e7.svg)

*لما يتناقص $h$، يدور [القاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-rate) المار بالنقطتين $A = (a, f(a))$ و $(a+h, f(a+h))$ (بالبرتقالي) نحو [المماس](#def-g12-deriv-tangent) عند $A$ (بالأحمر): إذ يؤول ميله $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ إلى $f'(a)$.*

**قضية 22.3.**

كل [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) قابلة للاشتقاق عند $a$ [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) عند $a$. والعكس خاطئ.

**برهان.** من أجل $h \neq 0$ صغير، $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. ولما $h \to 0$، يؤول الطرف الأيمن إلى $0 \times f'(a) = 0$، إذن $f(a+h) \to f(a)$. وأما العكس، [فالدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \abs{x}$ [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) عند $0$، لكن معدل تغيرها عند $0$ يساوي $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ بحسب إشارة $h$، وليست له نهاية. ∎

### 22.1.1 قواعد الاشتقاق

**قضية 22.4 (العمليات).**

لتكن $u, v$ قابلتين للاشتقاق على $I$ وليكن $\lambda \in \R$. عندئذٍ تكون $u + v$ و $\lambda u$ و $uv$ قابلة للاشتقاق على $I$، وكذلك $\frac{u}{v}$ حيث $v \neq 0$، ويكون

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**برهان قاعدة الجداء.** اكتب معدل تغير $uv$ عند $a$ على الصورة

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

ولما $h \to 0$، يكون $v(a+h) \to v(a)$ [بالاتصال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) ([القضية 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont))، إذن يؤول الطرف الأيمن إلى $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. ويُبرهن على القواعد الأخرى بالمثل. ∎

**مبرهنة 22.5 (قاعدة السلسلة).**

لتكن $u$ قابلة للاشتقاق على $I$ وقيمها في $J$، ولتكن $g$ قابلة للاشتقاق على $J$. عندئذٍ تكون $g \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ ويكون

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

وخاصة، من أجل $u$ قابلة للاشتقاق:

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**مخطط البرهان.** عندما يكون $u(a+h) \neq u(a)$ من أجل $h$ صغير، اكتب

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

ولما $h \to 0$، يكون $u(a+h) \to u(a)$، إذن يؤول العامل الأول إلى $g'(u(a))$ ويؤول الثاني إلى $u'(a)$. (وعلى البرهان الكامل أن يعالج الحالة التي يكون فيها $u(a+h) = u(a)$ من أجل $h$ صغير كما نشاء؛ وتُعالَج هذه النقطة التقنية في الجامعة.) ∎

**مثال 22.6.**

المشتقات المألوفة، الصالحة على مجموعات التعريف الطبيعية:

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

ويُبرهن على الأولى بالتراجع انطلاقًا من قاعدة الجداء، وعلى الأخيرتين في [الفصل 24](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#ch-g12-trigo).

## 22.2 التغيرات والقيم الحدية

**مبرهنة 22.7 (إشارة المشتقة والتغيرات).**

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. تكون $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) على $I$ إذا وفقط إذا كان $f' \geq 0$ على $I$ .
2. تكون $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $I$ إذا وفقط إذا كان $f' \leq 0$ على $I$ .
3. إذا كان $f' > 0$ على $I$ عدا عند عدد منته من النقط التي تنعدم عندها، فإن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا على $I$ .

**برهان جزئي.** إذا كانت $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)، فإن كل معدل تغير $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ يكون $\geq 0$، وبالانتقال إلى النهاية نجد $f'(a) \geq 0$. أما الاستلزامات العكسية فتستند إلى مبرهنة التزايدات المنتهية، المبرهَن عليها في الجامعة؛ وهي *مقبولة في هذا المستوى*. ∎

**تعريف 22.8 (القيمة الحدية المحلية).**

تملك $f$ *قيمة عظمى محلية* عند $a$ إذا كان $f(x) \leq f(a)$ من أجل كل $x$ بجوار $a$؛ وتُعرَّف القيم الصغرى المحلية بتناظر.

**قضية 22.9 (شرط المرتبة الأولى).**

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) *مفتوحة* $I$ وتملك [قيمة حدية](#def-g12-deriv-extremum) محلية عند $a \in I$، فإن $f'(a) = 0$. والعكس خاطئ ($f(x) = x^3$ عند $a = 0$).

**برهان.** لنقل إن $a$ [قيمة عظمى محلية](#def-g12-deriv-extremum). من أجل $h > 0$ صغير، $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$، إذن بجعل $h \to 0^+$ نجد $f'(a) \leq 0$؛ ومن أجل $h < 0$ يكون معدل التغير $\geq 0$، فنجد $f'(a) \geq 0$. ومنه $f'(a) = 0$. ∎

![عند قيمة حدية محلية داخل فترة مفتوحة، يكون المماس (بالبرتقالي) أفقيًا: f'(a) = 0. وهنا f(x) = x3 - 3x، مع قيمة عظمى محلية عند -1 وقيمة صغرى محلية عند 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*عند [قيمة حدية](#def-g12-deriv-extremum) محلية داخل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) مفتوحة، يكون [المماس](#def-g12-deriv-tangent) (بالبرتقالي) أفقيًا: $f'(a) = 0$. وهنا $f(x) = x^3 - 3x$، مع [قيمة عظمى محلية](#def-g12-deriv-extremum) عند $-1$ [وقيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية عند $1$.*

**طريقة 22.10 (جدول التغيرات).**

لدراسة [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$: حدّد [مجموعة تعريفها](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) ونهاياتها عند الحدود؛ ثم احسب $f'$ وحلّلها إلى عوامل؛ ثم حدّد إشارة $f'$ على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) جزئية؛ وسجّل كل شيء في جدول تغيرات، مؤشرًا القيم الحدية؛ ثم استنتج عدد حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ باستعمال مبرهنة التقابل ([المبرهنة 21.15](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 التحدب

**تعريف 22.11 (الدالة المحدبة).**

تكون [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ المعرَّفة على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ *محدبة* على $I$ إذا كان كل وتر من أوتار منحناها فوق [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph): أي من أجل كل $a, b \in I$ وكل $t \in \intcc{0}{1}$،

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

وتكون *مقعرة* إذا تحققت المتراجحة المعاكسة (أي إذا كانت $-f$ محدبة).

![دالة محدبة: كل وتر (بالأحمر) فوق المنحنى، و المنحنى فوق كل مماس من مماساته (بالبرتقالي). وتبيّن القطعة المتقطعة الفجوة بين f ((1-t)a+tb ) و (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-316d2ed9f053.svg)

*[دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [محدبة](#def-g12-deriv-convex): كل وتر (بالأحمر) فوق [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph)، و [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) فوق كل [مماس](#def-g12-deriv-tangent) من مماساته (بالبرتقالي). وتبيّن القطعة المتقطعة الفجوة بين $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ و $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**مبرهنة 22.12 (التحدب والمشتقات).**

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$. العبارات التالية متكافئة:

1. $f$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex) على $I$ ؛
2. $f'$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) على $I$ ؛
3. [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f$ فوق كل [مماس](#def-g12-deriv-tangent) من مماساته.

وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق مرتين، فهذه تكافئ أيضًا $f'' \geq 0$ على $I$.

**برهان (2) $\Rightarrow$ (3).** ثبّت $a \in I$ وضع $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$، وهي الفجوة بين [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [والمماس](#def-g12-deriv-tangent) عند $a$. عندئذٍ تكون $g$ قابلة للاشتقاق و $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. وإذا كانت $f'$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)، فإن $g' \leq 0$ على $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ و $g' \geq 0$ على $I \cap \intco{a}{+\infty}$: أي إن $g$ تتناقص قبل $a$ وتتزايد بعدها، فتبلغ $g$ قيمتها الصغرى $g(a) = 0$، ومنه $g \geq 0$. أما الاستلزامات الباقية فمقبولة في هذا المستوى؛ والتكافؤ مع $f'' \geq 0$ ينتج من [المبرهنة 22.7](#thm-g12-deriv-variations) مطبَّقة على $f'$. ∎

**تعريف 22.13 (نقطة الانعطاف).**

النقطة التي يقطع عندها [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f$ مماسه هي *نقطة انعطاف*. ومن أجل $f$ قابلة للاشتقاق مرتين، تكون نقط الانعطاف هي النقط التي تغيّر عندها $f''$ إشارتها.

**مثال 22.14.**

من أجل $f(x) = x^3$ يكون $f''(x) = 6x$: فتكون $f$ [مقعرة](#def-g12-deriv-convex) على $\intoc{-\infty}{0}$، [ومحدبة](#def-g12-deriv-convex) على $\intco{0}{+\infty}$، مع [نقطة انعطاف](#def-g12-deriv-inflection) عند المبدأ، حيث يقطع [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) مماسه (وهو المحور $x$).

![نقطة انعطاف x x3 عند المبدأ: يقطع المنحنى مماسه (بالبرتقالي)، وهو مقعر على اليسار ومحدب على اليمين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-b4831b044986.svg)

*[نقطة انعطاف](#def-g12-deriv-inflection) $x \mapsto x^3$ عند المبدأ: يقطع [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) مماسه (بالبرتقالي)، وهو مقعر على اليسار ومحدب على اليمين.*

**مثال 22.15 (متراجحات التحدب).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الأسية [محدبة](#def-g12-deriv-convex) على $\R$ (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند $0$ هو $y = 1 + x$، إذن

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{من أجل كل } x \in \R .
$$

ومثل هذه *المتراجحات المماسية* ناتج معياري من نواتج [التحدب](#def-g12-deriv-convex).

**طريقة 22.16 (استعمال التحدب).**

- لتبرهن على متراجحة $f(x) \geq ax + b$ : تعرّف على المستقيم بوصفه مماسًا [لدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [محدبة](#def-g12-deriv-convex) $f$ واستدعِ [المبرهنة 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3).
- لتحديد نقط الانعطاف: حل $f''(x) = 0$ *ثم* تحقق من أن $f''$ تغيّر إشارتها هناك.
- وفي [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) ، يشحذ [التحدب](#def-g12-deriv-convex) رسم [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) (في أي جهة ينحني).

## 22.4 تمارين

**تمرين 22.1 ★.**

اشتق الدوال التالية على مجموعات تعريفها:

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**حل التمرين 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

بقاعدة خارج القسمة: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

بقاعدة السلسلة مع $u = 2x+1$: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$.

بقاعدة السلسلة مع $u = x^2 + 1$: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**تمرين 22.2 ★.**

أعطِ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) [المماس](#def-g12-deriv-tangent) [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $f(x) = x^2 - 3x + 1$ عند النقطة ذات [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $a = 2$، وحدّد وضعي [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) بالنسبة إلى هذا [المماس](#def-g12-deriv-tangent).

**حل التمرين 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$، إذن $f(2) = -1$ و $f'(2) = 1$: [فالمماس](#def-g12-deriv-tangent) هو $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. والفجوة هي

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

إذن يقع [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) فوق [المماس](#def-g12-deriv-tangent) في كل مكان، ولا يلامسه إلا عند $x = 2$ (كما هو متوقع: [فالدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex)).

**تمرين 22.3 ★.**

باستعمال تعريف [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative)، احسب

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{و}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**حل التمرين 22.3.**

كلاهما معدل تغير. فمع $f(x) = (1+x)^{100}$ عند $0$: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$، إذن النهاية هي $f'(0) = 100$. ومع $g(x) = \sqrt{x}$ عند $4$: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$، إذن النهاية هي $g'(4) = \frac14$.

**تمرين 22.4 ★★.**

ادرس [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ على [مجموعة تعريفها](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function): النهايات، [والمشتقة](#def-g12-deriv-derivative)، [وجدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table)، والقيم الحدية المحلية.

**حل التمرين 22.4.**

[مجموعة التعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. والنهايات: عند $\pm\infty$، $f(x) \sim x \to
\pm\infty$؛ وعند $1^\pm$، البسط $\to 4 > 0$ والمقام $\to 0^\pm$، إذن $f \to \pm\infty$؛ فالمستقيم $x = 1$ [مقارب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-asymptote) شاقولي.

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

ومنه $f' > 0$ على $\intoo{-\infty}{-1}$ وعلى $\intoo{3}{+\infty}$، و $f' < 0$ على $\intoo{-1}{1}$ وعلى $\intoo{1}{3}$. فتتزايد [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) إلى [قيمة عظمى محلية](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$، ثم تتناقص إلى $-\infty$، ثم تقفز إلى $+\infty$ بعد [المقارب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-asymptote)، ثم تتناقص إلى [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) محلية $f(3) = 6$، ثم تتزايد.

**تمرين 22.5 ★★.**

تُصنع علبة بلا غطاء من ورقة مقوّى مربعة طول ضلعها $30\,$cm بقص مربعات متساوية طول ضلعها $x$ من الزوايا وطي الجوانب إلى أعلى. حدّد $x$ الذي يعظّم حجم العلبة.

**حل التمرين 22.5.**

من أجل $x \in \intoo{0}{15}$، تكون قاعدة العلبة مربعة طول ضلعها $30 - 2x$ و ارتفاعها $x$، إذن

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. وعلى $\intoo{0}{15}$ يكون $30 - 2x > 0$، إذن تكون إشارة $V'$ هي إشارة $30 - 6x$: موجبة قبل $x = 5$ وسالبة بعدها. فالحجم أعظمي من أجل $x = 5$ cm، وقيمته $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$.

**تمرين 22.6 ★★.**

لتكن $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. احسب $f''$ وحدّد فترات [تحدب](#def-g12-deriv-convex) $f$ ونقط انعطافها.
2. بيّن أن [المماس](#def-g12-deriv-tangent) عند [نقطة الانعطاف](#def-g12-deriv-inflection) ذات [الفاصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $2$ يقطع [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) هناك.

**حل التمرين 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ و $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. ومنه $f'' > 0$ على $\intoo{-\infty}{0}$ وعلى $\intoo{2}{+\infty}$ ([محدبة](#def-g12-deriv-convex))، و $f'' < 0$ على $\intoo{0}{2}$ ([مقعرة](#def-g12-deriv-convex)). وتغيّر $f''$ إشارتها عند $0$ وعند $2$: فكلتاهما [نقطة انعطاف](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* عند $a = 2$: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$، و $f'(2) = 32 - 48 = -16$، [فالمماس](#def-g12-deriv-tangent) $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. والفجوة هي

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

وبما أن $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$، فإن $(x-2)^3$ يقسم $g$؛ والقسمة تعطي $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. وبجوار $x = 2$ يكون $x + 2 > 0$، إذن تكون إشارة $g$ هي إشارة $(x-2)^3$: سالبة قبل $2$ وموجبة بعدها. [فالمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) يقطع [المماس](#def-g12-deriv-tangent): إذن $2$ [نقطة انعطاف](#def-g12-deriv-inflection) فعلًا.

**تمرين 22.7 ★★.**

باستعمال متراجحة مماسية، بيّن أنه من أجل كل $x > 0$،

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

وحدّد متى تتحقق المساواة. (إرشاد: [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) التربيعي [دالة مقعرة](#def-g12-deriv-convex).)

**حل التمرين 22.7.**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ تحقق $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ على $\intoo{0}{+\infty}$: فهي [مقعرة](#def-g12-deriv-convex)، ومنه يقع منحناها *تحت* كل [مماس](#def-g12-deriv-tangent) من مماساته. [والمماس](#def-g12-deriv-tangent) عند $a = 1$ هو

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

ومنه $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ من أجل كل $x > 0$. والمساواة تعني أن [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) يلامس [المماس](#def-g12-deriv-tangent)، وهذا لا يحدث إلا عند نقطة التماس $x = 1$. (وبصيغة مكافئة: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**تمرين 22.8 ★★★.**

لتكن $f$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex) وقابلة للاشتقاق على $\R$، ولنفترض أن $f'$ تنعدم عند نقطة $a$ ما. بيّن أن $f(a)$ هي [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) *الشاملة* [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ على $\R$.

**حل التمرين 22.8.**

حسب [المبرهنة 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)، يقع [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [محدبة](#def-g12-deriv-convex) قابلة للاشتقاق فوق كل [مماس](#def-g12-deriv-tangent) من مماساته. [والمماس](#def-g12-deriv-tangent) عند $a$ أفقي ($f'(a) = 0$)، ومعادلته $y = f(a)$. ومنه $f(x) \geq f(a)$ من أجل كل $x \in \R$: أي إن $f(a)$ هي [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) الشاملة.

**تمرين 22.9 ★★★.**

بيّن أنه من بين كل المستطيلات ذات المحيط الثابت $p$، للمربع أكبر مساحة. ثم بيّن أنه من بين كل المستطيلات ذات المساحة الثابتة $A$، للمربع أصغر محيط، وفسّر كيف ترتبط العبارتان إحداهما بالأخرى.

**حل التمرين 22.9.**

*المحيط الثابت.* مستطيل ضلعاه $x$ و $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) مساحته $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. ثم $S'(x) = \frac p2 - 2x$ تنعدم عند $x = \frac p4$، وهي موجبة قبلها و سالبة بعدها: [فالقيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) عند $x = \frac{p}{4}$، حيث يتساوى الضلعان عند $\frac p4$ — أي مربع.

*المساحة الثابتة.* الضلعان $x$ و $\frac Ax$ يعطيان محيطًا $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$، مع $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$، وهي سالبة من أجل $x < \sqrt A$ و موجبة بعدها: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) عند $x = \sqrt{A}$، أي مربع من جديد.

*العلاقة.* العبارتان متقابلتان. لنفترض أن مستطيلًا غير مربع يصغّر المحيط عند مساحة ثابتة $A$؛ فالمربع ذو المحيط نفسه ستكون مساحته $> A$ حسب العبارة الأولى، وتصغيره تحاكيًا حتى المساحة $A$ سينقص محيطه تمامًا — وهذا يناقض كونه أصغريًا. فكل عبارة تستلزم الأخرى إذن.

## 22.5 مسألة: حساب المنقذة

**مسألة 22.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — أسرع مسار إنقاذ يطيع قانون سنيل في الضوء، والتحدب يصادق على كل أمثلية، و علبة المشروب المثلى ارتفاعها يساوي عرضها بالضبط

ترى منقذة سابحًا في ورطة — في الجهة القطرية من الشاطئ، بعيدًا في الماء. والركض أسرع من السباحة: فالخط المستقيم *ليس* أسرع الطرق. والطريق الذي يصغّر الزمن ينكسر عند خط الشاطئ، وقانون انكساره هو بالضبط القانون الذي ينكسر به الضوء داخلًا الماء: فالطبيعة تشتق هي أيضًا. وتدرّب هذه المسألة على قاعدة السلسلة ([المبرهنة 22.5](#thm-g12-deriv-chain))، وتنفّذ الإنقاذ، وتحصد متراجحات [التحدب](#def-g12-deriv-convex) ([المبرهنة 22.12](#thm-g12-deriv-convexity))، ثم تصمّم علبة صفيح.

**الجزء الأول — التمكّن من قاعدة السلسلة.**

1. اشتق: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ؛ $\sqrt{x^2 + 9}$ ؛ $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. أعطِ [المماس](#def-g12-deriv-tangent) [لمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $y = \sqrt{x^2 + 9}$ عند $x = 4$ .
3. ابنِ جدول تغيرات $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ على $\R$ (بما فيه القيم الحدية).
4. من أجل $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) *و* جدول [التحدب](#def-g12-deriv-convex) ( $g''$ )، مع [نقطة الانعطاف](#def-g12-deriv-inflection) ( [التعريف 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. احسب [المماس](#def-g12-deriv-tangent) [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $g$ عند نقطة انعطافه، وبيّن أن $g(x) - (\text{المماس}) = (x - 1)^3$ : فماذا يقول تغير الإشارة عن كيفية لقاء [المماس](#def-g12-deriv-tangent) [بالمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) عند انعطاف؟

**الجزء الثاني — الإنقاذ.** خط الشاطئ على المحور $x$؛ وتقف المنقذة على الرمل عند $A(0, 30)$، وينتظر السابح عند $B(40, -20)$ (بالمتر). و تركض المنقذة بسرعة $5$ m/s على الرمل، وتسبح بسرعة $2$ m/s، وتدخل الماء عند نقطة $(x, 0)$ من اختيارها.

6. النمذجة: عبّر عن زمن الإنقاذ الكلي $T(x)$ ، وقل لماذا لا يستحق النظر إلا $x \in \intcc{0}{40}$ .
7. اشتق $T$ (وقاعدة السلسلة في العمل — مرتين).
8. لتكن $\theta_1$ زاوية مسار الركض مع *العمود* على الشاطئ، ولتكن $\theta_2$ زاوية مسار السباحة. بيّن أن $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ وأن الشرط $T'(x) = 0$ يُقرأ $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — وهو *قانون سنيل*، بالسرعتين محل سرعتي الضوء في الهواء والماء.
9. تقطع القطعة المستقيمة $[AB]$ الشاطئ عند $x = 24$ . احسب $T(24)$ و $T(40)$ (بالركض على الشاطئ ثم السباحة مباشرة) و $T(0)$ : فهل الخط المستقيم الهندسي هو الأسرع؟ وهل أي من الاستراتيجيتين المتطرفتين كذلك؟
10. حدّد نقطة الدخول المثلى [بالتنصيف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#thm-g12-limcont-ivt) على $T'$ (وهي $\approx 33.7$ m): أعطِ $x^*$ بدقة المتر والزمن القياسي $T(x^*)$ بدقة عُشر الثانية. فكم يوفّر الانكسار الأمثل بالقياس إلى الخط المستقيم؟
11. لماذا تكون النقطة الحرجة [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) *شاملة* ؟ (فكل حد من حدود $T$ محدب — واقبل أن مجموع دالتين محدبتين محدب — ثم طبّق [التمرين 22.8](#exo-g12-deriv-8) .)
12. ينص مبدأ فيرما على أن الضوء يسلك دائمًا مسار أقل *زمن* . استنتج لماذا ينكسر شعاع ضوئي عند السطح بالضبط عندما يدخل الماء (حيث يكون الضوء أبطأ)، وسمِّ الملاحظة اليومية التي يفسّرها هذا عن قلم في كأس ماء.

**الجزء الثالث — حصاد [التحدب](#def-g12-deriv-convex).**

13. بيّن أن $x \mapsto x^2$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex) ، وبرهن على متراجحة [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq  \frac{a^2 + b^2}{2}$ مرتين: مرة انطلاقًا من [التحدب](#def-g12-deriv-convex) ، ومرة [بنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) $(a - b)^2 \geq 0$ .
14. استنتج أن *[المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) التربيعي* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ يهيمن على [المتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) ، وركّب سلسلة السلسلة الكاملة — التوافقي $\leq$ الهندسي $\leq$ الحسابي $\leq$ التربيعي — بالتحقق من الأربعة على $a = 2$ و $b = 8$ .
15. [المماس](#def-g12-deriv-tangent) تحت [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) : [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex) على $\intoo{0}{+\infty}$ ؛ اكتب مماسها عند $1$ ثم استنتج المتراجحة $\frac1x \geq 2 - x$ من أجل كل $x > 0$ . وأين تكون مساواة؟
16. الانعطاف في الحياة: خلال وباء، يتبع العدد التراكمي للحالات [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) على شكل حرف S. فماذا يحدث عند نقطة انعطافه، ولماذا يترقب علماء الأوبئة ذلك التاريخ؟ اربط بإشارة [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative) الثانية على كل جهة.

**الجزء الرابع — العلبة المثلى.** على علبة أسطوانية أن تسع $V = 330$ cm$^3$ بأقل معدن: فالمساحة $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$، والقيد $\pi r^2 h = V$.

17. عبّر عن $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ ، ثم اشتق، واحسب نصف القطر الأمثل و الارتفاع الأمثل من أجل $V = 330$ (بدقة المليمتر).
18. برهن على القانون العام الأنيق: عند الأمثلية، يكون $h = 2r$ — أي إن ارتفاع العلبة المثلى يساوي عرضها بالضبط.
19. تحقق من $S''(r) > 0$ واستنتج (حسب [التمرين 22.8](#exo-g12-deriv-8) مرة أخرى) أن الأمثلية شاملة. أما علب المشروبات الحقيقية فأطول من عرضها بوضوح: فسمِّ سببًا غير رياضي.
20. الخاتمة — خط أنابيب الأمثلة: انمذج، ثم اسأل [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative) ، ثم حل لإيجاد النقط الحرجة، ثم صادق [بالتحدب](#def-g12-deriv-convex) أو بجدول، ثم فسّر. طبّق القائمة على المنقذة، وعلى العلبة، وعلى أقوى عارضة في السنة الماضية ( [المسألة 12.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#pb-g11-deriv-1) ) — وصُغ ما يقوله مبدأ فيرما عن الذي يشغّل هذا الخط أيضًا.

**حل المسألة 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$؛ $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$؛ $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$، [والميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$: [فالمماس](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$، أي $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$: سالبة ثم موجبة ثم سالبة عبر $-1$ و $1$: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$، [والقيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$، مع [المقارب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-asymptote) الأفقي $0$ على الجهتين.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$: [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) ثم [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) ثم [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) عبر $0$ و $2$؛ [فالقيمة العظمى المحلية](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$، والصغرى المحلية $g(2) = 0$. و $g''(x) = 6x - 6$: [مقعرة](#def-g12-deriv-convex) قبل $1$ [ومحدبة](#def-g12-deriv-convex) بعدها: فالانعطاف عند $(1, 2)$.

**5.** [المماس](#def-g12-deriv-tangent) عند $1$: [الميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$: $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. والفرق: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 =
(x - 1)^3$، وهو يغيّر إشارته عند $1$: [فالمماس](#def-g12-deriv-tangent) *يقطع* [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) — وهو السلوك [المميز](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) عند [نقطة انعطاف](#def-g12-deriv-inflection)، حيث يبدّل [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) جهته.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. فالدخول قبل $0$ أو بعد $40$ يطيل *المسارين* معًا: أي بلا جدوى.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** في مثلث الركض، يكون الضلع على طول الشاطئ هو $x$ والوتر $\sqrt{x^2 + 900}$: [فجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) الزاوية مع العمود هو بالضبط خارج قسمتهما (المقابل على الوتر)؛ وبالمثل $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. عندئذٍ يُقرأ $T'(x) = 0$ على الصورة $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — وهو قانون سنيل بالسرعتين $5$ و $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s؛ و $T(40) = 10 + 10 = 20$ s؛ و $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. فالخط المستقيم يخسر حتى أمام “اركض إلى النهاية ثم اسبح مباشرة” — وكلاهما يخسر أمام المسار المنكسر.

**10.** التنصيف على $T'$ (وهي سالبة عند $24$ وموجبة عند $40$) يتقارب إلى $x^* \approx 34$ m، مع $T(x^*) \approx 19.5$ s: أي أسرع بنحو ثانية واحدة من الخط المستقيم — وهو الفرق بين إنقاذ و مأساة.

**11.** زمن كل مسار [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [محدبة](#def-g12-deriv-convex) في $x$ (وهو فرع $\sqrt{\text{التربيعي}}$)، إذن $T$ [محدبة](#def-g12-deriv-convex)، والنقطة الحرجة [لدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [محدبة](#def-g12-deriv-convex) قابلة للاشتقاق هي قيمتها الصغرى الشاملة ([التمرين 22.8](#exo-g12-deriv-8)): أي إن $x^*$ ليست مستقرة فحسب، بل لا تُقهر.

**12.** الضوء في الماء أبطأ؛ وحسب مبدأ فيرما ينكسر أسرع مسار من الهواء إلى الماء عند السطح بالضبط حسب قانون سنيل — فتصل الأشعة من قلم مغمور إلى العين منكسرة، ويرى الدماغ، وهو يمدّ الخطوط المستقيمة، القلم مكسورًا عند خط الماء.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$: إذن [محدبة](#def-g12-deriv-convex). [والتحدب](#def-g12-deriv-convex) عند [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint): $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq
\frac{f(a) + f(b)}{2}$، وهذا هو المطلوب. وباليد: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =
\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$.

**14.** بأخذ الجذور التربيعية (وهي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)) في السؤال 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. والسلسلة الكاملة على $2, 8$: التوافقي $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$؛ والهندسي $\sqrt{16} = 4$؛ والحسابي $5$؛ والتربيعي $\sqrt{34} \approx 5.83$: فكل [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) ينحني للذي يليه.

**15.** [المماس](#def-g12-deriv-tangent) [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $\frac1x$ عند $1$: القيمة $1$ [والميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $-1$: أي $y = 2 - x$. والمنحنيات [المحدبة](#def-g12-deriv-convex) تجلس فوق مماساتها ([المبرهنة 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)): إذن $\frac1x \geq 2 - x$ من أجل كل $x > 0$، مع المساواة عند نقطة التماس $x = 1$ بالضبط.

**16.** عند الانعطاف، يبلغ العدد *اليومي* للحالات (وهو [المشتقة](#def-g12-deriv-derivative)) ذروته: فيتوقف النمو عن التسارع ويبدأ بالتباطؤ — وهي أول إشارة رياضية على أن الموجة تنقلب، قبل أن تنخفض الأعداد نفسها بزمن طويل. فقبلها، $f'' > 0$ (كل يوم أسوأ من سابقه)؛ وبعدها، $f'' < 0$ (ما زال النمو قائمًا، لكن أبطأ).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ يعطي $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$: أي $r \approx 3.74$ cm، و $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2}
= 2r$ عند الأمثلية: فالارتفاع يساوي القطر، مهما كان الحجم.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$: إذن [محدبة](#def-g12-deriv-convex)، ومنه يكون نصف القطر الحرج هو [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) الشاملة. أما العلب الحقيقية فتقف أطول من عرضها لأجل المسك والتكديس وحضور الرف والمعدن الأثخن في الأعلى والأسفل — فالأمثلة تصغّر دائمًا بالضبط ما كتبتَه، لا ما قصدتَه.

**20.** المنقذة: انمذج $T(x)$، ثم اشتق، ثم سنيل، ثم [التحدب](#def-g12-deriv-convex)، فثانية واحدة موفَّرة. والعلبة: انمذج $S(r)$، ثم اشتق، فيكون $h = 2r$، ثم [التحدب](#def-g12-deriv-convex)، فمعدن موفَّر. والعارضة ([المسألة 12.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/12-differentiation-a-first-course#pb-g11-deriv-1)): انمذج $S(w)$، ثم اشتق، فيكون $d = w\sqrt2$، ثم الجدول، فصلابة مكتسبة. وحسب مبدأ فيرما، يشغّل الضوء نفسه هذا الخط عند كل سطح يلقاه — فالطبيعة كانت أول من أَمثَل.